2025年上海市高三数学二轮复习：解三角形（6题型+高分技法+限时提升练）

热点06解三角形

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年解三角形、正弦定理

2023年正余弦定理的应用、利用导数解三角形中几何

解三角形、三角形面积公式

问题、三角形面积公式

2022年正余弦定理和三角形面积公式

热点题型解读

题型4三角形面积公式题型1利用正弦碘解三角形

壁5余弦定理解三角形解三角形题型2限定理求夕峻a半径

避6解三角形的实际应用题型3正弦定理边角互化应用

题型1利用正弦定理解三角形

1.(1)正弦定理实际上是三个等式：一冬=一/，一空=一‘八-每个等式涉及四个元素，所以

isinAsinB,sinBsinC?sinAsinC*Ji

ii

只要知道其中的三个就可以求另外一个.

(2)因为三角形的内角和为180°,所以已知两角一定可以求出第三个角.

2.已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤

(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.

II

(2)用三角形内角和定理求出第三个角.

(3)根据正弦定理求出第三条边.

其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值.

1.（2024•上海）三角形ABC中，BC=2,A=-,B=~,则AB=

34

2.(2024•普陀区校级三模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=1,cosB=/,a=l,

贝Ub=.

3.(2024春•普陀区校级月考)在三角形ABC中，已知A=120°,3=45°,AC=2,则三角形面积S

4.(2021•上海)已知A、B、。为AABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a=2,cosC=--.

4

(1)若sinA=2sin3,求b、c；

(2)cos(A—求c.

45

5.(2021•上海)在AABC中，已知a=3,b=2c.

(1)若4=整，求5AAsc•

(2)若2sin3-sinC=l,求匕^瓯。

6.(2024・上海宝山•一模)在VABC中，已知廿+/="+儿.

(1)若sinC=2sinB,且6=2,求VABC的面积；

(2)若6+c=L求。的取值范围.

7.（2024・上海普陀・二模）设函数/（x）=sin（0x+9）,。＞0,0＜。＜兀，它的最小正周期为死.

（1）若函数＞是偶函数，求。的值；

⑵在VABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,若a=2,A=y,二求6的值.

6I2J4

8.（2024・上海崇明•一模）在VABC中，己知点。是BC边上一点，且皮）=1,CD=3.

（1）若AO13C,且NABD=2NACD,求A。的长；

（2）若ZABD=55。，ZACD=32°,求A。的长（结果精确到0.01）.

题型2正弦定理求外接圆半径

abc

（为外接圆半径）.

sinAsinBsinC;=2RR

1.（2024•徐汇区校级模拟）在△ABC中，角A,3,C所对的边分别为a,b,c,若a=遍，且c—26+2^cosC=

0,则该三角形外接圆的半径为（）

A.1B.V3C.2D.2A/3

2.（2023・上海普陀•一模）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，6,c,若“=石，且-26+2百cosC=0,

则该三角形外接圆的半径为（）

A.1B.6C.2D.2上

3.（2024・上海嘉定•二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动.太阳高度角是指某时刻太阳光

线和地平面所成的角.测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面.如图，两竖直墙面所成

的二面角为120。，墙的高度均为3米.在时刻实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度

分别为1米、1.5米.在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时

刻f最可能为（）

太阳高度角时间太阳高度角时间

43.13°08:3068.53°10:30

49.53°09:0074.49°11:00

55.93°09:3079.60°11:30

62.29°10:0082.00°12:00

A.09:00B.10:00C.11:00D.12:00

4.（2022•上海）已知在AABC中，ZA=~,AB=2,AC=3,则AABC的外接圆半径为

3

5.（2024•徐汇区模拟）在△ABC中，AC=1,NC=*，乙4=%则AABC的外接圆半径为

6.（2024•虹口区二模）已知一个三角形的三边长分别为2,3,4,则这个三角形外接圆的直径为.

7.（2023・上海虹口•一模）在VA3C中，AB=5,AC=6,cosA=1,。是VA3c的外心，若。尸=xO8+yOC,

其中尤，ye[0,l],则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为.

8.（2023・上海普陀・模拟预测）已知过A,B,C三点的球。的小圆为9,其面积为4兀，且A8=8C=AC=001,

则球。的表面积为.

9.（2022・上海嘉定•一模）在VABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,a=5,b=6.

4

（1）若cosB=-《，求A和VABC外接圆半径R的值；

⑵若三角形的面积求c.

10-（2。22•上海长宁•一模）已知三个内角4B、C所对的边分别为mc,

（1）若sinA=2sinC,求VABC的面积；

（2）设线段A3的中点为D,若CD=M,求VABC外接圆半径的值.

题型3正弦定理边角互化应用

①sinA：sin3：sinC=a":c；

Ca_____b_____c________a+b+c______

®sinA_sinB-sinC-sinA+sinB+sinC~——；

③a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

•2.hC

(4)sinA—.R,sinJ5=。,sinC=、p

1.（2023•上海黄浦•三模）在ZkABC中，角A、B、C所对的边记作。、b、c.已知A=；,

4

bsin［：+cj-csin（：+jB）=a,则3—c=.

2.（2023•上海松江•一模）在三角形ABC中，内角A&C所对边分别为6久c，已知asinB=尻05（4-e

（1）求角A的大小；

⑵若c=2b,三角形ABC的面积为毡，求三角形ABC的周长.

3

3.（2023•上海闵行•一模）在VABC中，角A、B、C所对边的边长分别为。、b、c,且a—2ccos3=c.

(1)若cos3=；,c=3,求6的值;

⑵若VABC为锐角三角形，求sinC的取值范围.

4.(2023・上海青浦•一模)在VABC中，角A,B,C所对的边分别为b,c,+c2-b2+ac=0.

(1)求角B的大小；

(2)若6=24，求VABC的周长的最大值.

5.(2023・上海宝山•一模)在VABC中，角A,氏C的对边分别为a,b,c.

(1)若2asinB=®>,求角A的大小；

⑵若sc边上的高等于求5+2的最大值.

2bc

6.(2023•上海奉贤•一模)在VABC中，设角A、B、C所对边的边长分别为。、b、c,已知

>J3c=>J3bcosA+asinB.

(1)求角B的大小；

(2)当a=2也,。=2抬时，求边长。和VABC的面积S.

7.(2024・上海宝山•二模)在11ABe中，角A、B、C的对边分别为“、b、c,已知

sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC.

⑴求角8的大小；

(2)若ABC的面积为百，求4+c的最小值，并判断此时「ABC的形状.

8.(2024•上海•三模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且瓜=2csinA.

(1)求sinC的值；

(2)若c=3,求ABC面积S的最大值.

9.(2023,上海•三模)已知在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,6=l,且满足2acos3=cosC+ccos3.

(1)若°="姮，求VABC的面积S；

13

(2)求a+2c的最大值，并求其取得最大值时cosC的值.

10.(2025•上海•模拟预测)在VABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,且c=5.

*、什asinB7i

⑴右脑=-；---,C=一求〃；

sinA2

⑵若必二20,求VABC的面积的最大值.

题型4三角形面积公式

任意三角形的面积公式为:

（1）SAABC=JcsinA=[acsinB=^absinC,即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积

的一半.

（2）SAA5C=1O/?，其中。为△ABC的一边长，而人为该边上的高的长.

（3）50左=5（。+》+。）=3"，其中『，1分别为aABC的内切圆半径及△ABC的周长.

1.（2024•上海青浦•一模）在VABC中，已知NAC8=120,A3=2近，若3c=2AC,则VABC的面积为.

2.（2024•上海普陀•一模）设VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若6=4,sin[^A+yJ=0,

VABC的面积为代，则。的值为.

3.（2024・上海•模拟预测）VABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,面积为S,且/+/一。2=45,

则角C=.

4.（2024•上海•三模）空间中A、B两点间的距离为8,设鸟鸟的面积为S,令％=|在中|,若火2%=3,

1=1

则S的取值范围为.

5.（2024•上海徐汇•二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道〃4相交于点。，一根长度为8的直杆的

两端点A8分别在4,上滑动（AB两点不与。点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上

的点尸满足OPLAB，贝UQ4P面积的取值范围是.

6.（2024・上海徐汇・二模）如图所示，已知VA2C满足BC=8,AC=3AB,尸为VABC所在平面内一点.定义

点集。]尸AP=3AAB+—AC"eR].若存在点片e。，使得对任意PeD,满足|AP闫A6|恒成立，

则IARI的最大值为1

A

BC

7.（2024・上海青浦,二模）对于函数y=/（x）,其中/（x）=2sinrcos^+268$2%一石，xeR.

⑴求函数y=的单调增区间；

（2）在锐角三角形ABC中，若/（A）=l,AB-AC=也,求VABC的面积.

8.（2023•上海）在AABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,其中6=2.

(1)若A+C=120。，a=2c,求边长c；

(2)若A—C=15。，°=J5csinA,求AABC的面积.

题型5余弦定理解三角形

i"亡r

\

解三角形的一般方法

（1）已知两角和一边，如已知A,8和c,由A+8+C=TT求C,由正弦定理求a,b.

（2）已知两边和这两边的夹角，如已知a,6和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边

;所对的角，然后利用A+B+C=7t,求另一角.

（3）已知两边和其中一边的对角，如已知a,b和A,应先用正弦定理求8,由A+B+C=7t求C,再由

正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.

（4）已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.

1.（2023•上海）已知AABC中，角A,B,C所对的边a=4,6=5,c=6,则sinA=.

2.（2024•黄浦区校级三模）在△ABC中，内角A,B,C的对边是a,b,c.若a?=（2+百）•次，b=c,

则A=.

3.（2024•黄浦区校级三模）ZVIBC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,面积为S,且J+序_02=4S,

则角C=.

4.（2024•上海•模拟预测）已知点8在点C正北方向，点。在点C的正东方向，BC=CE>,存在点A满足

ZBAC=16.5°,ZDAC=37°,贝|NBC4=（精确到0.1度）

22

5.(2024・上海虹口•一模)双曲线G：「-谷=1的左、右焦点分别为片和尸2,若以点尸2为焦点的抛物线

ab

。2：丫2=2°天5>0)与e在第一象限交于点尸，且/尸片乙=(,则G的离心率为.

6.(2024•静安区二模)在△A8C中，角A、B、C的对边分别为°、6、c,已知a=3,b=5,c=7.

(1)求角C的大小；

(2)求sin(A+C)的值.

7.(2024•浦东新区校级模拟)已知函数/(乂)=5?7125-7^5讥*<；05*+1.

(I)求函数y=/(无)的单调递减区间；

(II)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2—62=accosB—/be,求/(2)

的取值范围.

8.(2024・上海杨浦•二模)己知/(x)=sin0x(0>0).

7T

⑴若y=/(x)的最小正周期为2兀，判断函数尸(x)=〃尤)+/(尤+万)的奇偶性，并说明理由；

JT

⑵己知。=2,VABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，若/(4+1)=0,a=2,6=3,求c的

值.

9.(2024・上海松江•二模)设/(xhsii?。尤+若cos葭xsin葭尤3>0),函数>=/(无)图象的两条相邻对称轴

之间的距离为兀.

(1)求函数，=〃尤)的解析式;

3

(2)在VABC中，设角A、8及C所对边的边长分别为“、b及c,若。=6，b=近,/(A)=-,求角C.

题型6解三角形的实际应用

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------i

匕

—0

1.三角形中与距离有关问题的求解策略：

(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所

求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.

(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要

求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决.

2.解决测量高度问题的一般步骤：

(1)画图：根据已知条件画出示意图.

(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形.

(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知

识与平面几何知识，注意方程思想的运用.

3.解决实际问题应注意的问题

(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，

这是最关键最主要的一步.

(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理。

4.正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余；

弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是利用三角函数的性质，一般

把求边的范围转化成求角的范围，解与三角形有关的问题.

1.（2024•上海）已知点3在点C正北方向，点。在点C的正东方向，3C=CD,存在点A满足ZBAC=16.5°,

ZZMC=37°,则/BG4=.（精确到0.1度）

A

2.（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水

平面所成夹角为。.行人每沿着斜坡向上走1机消耗的体力为（1.025-cos。），欲使行人走上斜坡所消耗的总

体力最小，则J=•

3.（2024・上海静安•一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在A层，

小宁家位于小明家正上方的8层，已知筋=。.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为a，小宁在家测得东方

明珠塔尖的仰角为£,则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离"=.

4.（2024•上海金山•二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC、CO是救生栈

道的一部分，其中BC=300〃z,CD=800m,B在A的北偏东30。方向，C在A的正北方向，。在A的北偏

西80。方向，且？390?.若救生艇在A处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道则最短距离为_

m.（结果精确到1m）

5.（2022•上海）如图，在同一平面上，AD=BC^6,AB=20,O为AB中点，曲线8上任一点到。距

离相等，角"46=/45。=120。，P,。关于OM对称，MOYAB-,

（1）若点P与点C重合，求/尸08的大小；

（2）P在何位置，求五边形MQRP面积S的最大值.

6.(2024•浦东新区校级模拟)如图所示，扇形AO8中，圆心角半径为2,在半径上有一

动点C,过点C作平行于。2的直线交弧检于点P.

(1)若C是半径的中点，求线段PC的长；

(2)若/。。尸=。，求△COP面积的最大值及此时e的值.

A

7.(2024•杨浦区校级三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-b=2cs讥2?

(I)试判断△ABC的形状；

(II)若c=l,求△ABC周长的最大值.

8.（2023•上海徐汇・一模）近年来，为"加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系"，许多城市陆续

建起众多"口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园"、如图所示,

以防中点A为圆心，尸G为半径的扇形草坪区ABC,点P在弧上（不与端点重合）,42、弧BC、CA、PQ、

PR、R。为步行道，其中PQ与垂直,PR与AC垂直.设/R钻=6.

（1）如果点尸位于弧的中点，求三条步行道尸。、PR、RQ的总长度；

（2广地摊经济"对于"拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道

PQ、PR、R。开辟临时摊点，积极推进"地摊经济"发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万

元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、填空题_

1.（2024・上海嘉定•一模）在VA3C中，若A8=5,8C=0,CA=4,则NA=.

22

2.（2024・上海徐汇・一模）已知椭圆1r+方=1（。>6>0）的左、右焦点分别为耳月，P为椭圆上一点，且

NPF/苫,若此椭圆的离心率为后-1,则/尸片鸟的大小为.

3.（2024・上海,三模）如图，河宽50米，河两岸4、8的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以

从A走水路直接到8,也可以从A先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到&已知该气垫船在水中的速度是

10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A到8的最短时间为分钟，（精确到小数点后两位）

B

A

2

4.（2024・上海闵行・二模）双曲线r：尤2一二=1的左右焦点分别为月、F2,过坐标原点的直线与r相交于

6

A、5两点，若国用=2|4则&A由3=.

5.（2024・上海虹口•二模）如图，在直四棱柱A8C。-中，底面ABCD为菱形，且/BAD=60.若

AB=AA,=2,点M为棱CG的中点，点P在A8上，则线段尸4尸”的长度和的最小值为.

6.（2023・上海奉贤•一模）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和8.某日两个观测点的林场人

员都观测到C处出现火情.在A处观测到火情发生在北偏西40。方向，而在8处观测到火情在北偏西60°方

向.已知B在A的正东方向10km处（如图所示），则忸C-AC|=______km.（精确到0.1km）

7.（2023•上海嘉定•一模）在VABC中，内角A、8、C的对边分别为。、b、c,VABC的面积为SMC=百，

a=l,Z?=4,则。=.

8.（2023•上海嘉定•三模）在VA5c中，已知加in2A+asini5=0,则角A的大小为.

TT

9.（2023・上海•模拟预测）在VABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,ZB=y,—3的平分线

交AC于D,若BD=退,则a+2c的最小值为__.

10.（2023•上海浦东新•模拟预测）己知。>0,双曲线2y2=i的左、右焦点分别为月、工,点M在双曲

3兀

线的右支上，且直线的斜率为若一甲叫=1，贝匹=.

7T

11.（2023•上海浦东新•三模）已知非零平面向量°,b，c满足：a，6的夹角为7，c-a与c-0的夹角为

4

\a-b\=y/2,\c-b\=l,则b.c的取值范围是.

12.（2023•上海静安•二模）已知VA3C中，sinA=3sinCcosB,且AB=2,则VA3C面积的最大值为.

二、单选题

13.（2023・上海嘉定•一模）已知四面体A3C£>,A3=BC,AD=。.分别对于下列三个条件：

①ADSC；@AC=BD；®AB2+CD1=AC-+BD2,

是ASLCD的充要条件的共有几个（）

A.0B.1C.2D.3

14.（2023・上海普陀•模拟预测）已知点。为VABC的外35.AO-AB+BO-BC<CO-CA,则丫48（7为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

15.（2023•上海嘉定•一模）中国古代数学家用圆内接正6〃边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率兀的

值.若据此证明兀>3.14,则正整数〃至少等于（）

A.8B.9C.10D.11

|UUH|2|Uun,2lining

16.（2023・上海嘉定•一模）已知VABC,那么"AC+\AB\-\BC\<0"是"VABC为钝角三角形”的（）

A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件

C.充要条件D.以上皆非

三、解答题

17.（2023・上海黄浦•三模）已知向量〃7=（2$苗0龙,<20525：）,〃=（丁§0058,1）,其中。>0,若函数〃x）=次"

的最小正周期为兀.

（1）求〃尤）的单调增区间；

⑵在VABC中，若/（B）=-2,BC=g,sinB=J^sinA,求胡力。的值.

18.（2023•上海•模拟预测）己知函数/（x）=¥sin2x-cos2x-；,xeR.

JT54

⑴求函数y=/（x）在区间-石，法上的最大值和最小值；

（2）设VABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,。且°=百，〃。）=0,若sinB=2sinA,求S诋

19.（2023•上海浦东新,三模）已知向量。=（百sinx,cosx）,b=[sin[x+'J,cosx].设=

⑴求函数y=〃x）的最小正周期；

⑵在VABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、J若/'（A）=l,6=4,三角形ABC的面积为26,

求边。的长.

20.（2023•上海徐汇•一模）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项

运动赛事扇形场地。45中，ZAOB=^,04=500米，点。是弧A8的中点，P为线段上一点（不与点。,

。重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO,PA,PB.记乙4尸。=。，三条轨道的

总长度为y米.

（1）将y表示成。的函数，并写出e的取值范围;

(2)当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO的长.

21.(2023・上海徐汇・三模)如图，VA8C中，角A、B、C的对边分别为b、c.

⑴若3a-c=3bcosC,求角8的大小；

7T

⑵已知6=3、B=~,若。为VA3C外接圆劣弧AC上一点，求AWC周长的最大值.

热点06解三角形

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年解三角形、正弦定理

2023年正余弦定理的应用、利用导数解三角形中几何

解三角形、三角形面积公式

问题、三角形面积公式

2022年正余弦定理和三角形面积公式

热点题型解读

题型4三角形面积公式题型1利用正弦碘解三角形

壁5余弦定理解三角形解三角形题型2限定理求夕峻a半径

避6解三角形的实际应用题型3正弦定理边角互化应用

题型1利用正弦定理解三角形

1.(1)正弦定理实际上是三个等式：一冬=一/，一空=一‘八-每个等式涉及四个元素，所以

isinAsinB,sinBsinC?sinAsinC*Ji

ii

只要知道其中的三个就可以求另外一个.

(2)因为三角形的内角和为180°,所以已知两角一定可以求出第三个角.

2.已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤

(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.

II

(2)用三角形内角和定理求出第三个角.

(3)根据正弦定理求出第三条边.

其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值.

1.（2024•上海）三角形ABC中，BC=2,A=-,B=~,则AB=

34

【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.

57T

【解答】解：二角形ABC中，A+B+C=7i,C=—

12

..7171.717171.71屈

sinC=sin(——I--)=sin—cos——Fcos—sin—=-----------

4646464

由正弦定理匹=工71

BC=2,A=—,

sinAsinC3

y/2+

痂BCsinC2X43>/2+A/6

故AB二-------二-----产=——=---------・

sinA733

~2~

3拒+逐

故答案为:

3

【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.

2.（2024•普陀区校级三模）—BC的内角A,3,C的对边分别为a,b,c,若cos2=京，cosB=%a=l,

则b=.

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA,sinB的值，进而利用正弦定理可求匕的值.

4q

【解答】解：因为cos/=耳，cosB=石，a=1,

且A,5为三角形内角；

sinA=V1—cos2A—sinB=V1—cos2B=圣

...由正弦定理可得：b=嘿苧=,•

故答案为：1^.

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

3.（2024春•普陀区校级月考）在三角形ABC中，已知4=120°,2=45°,AC=2,则三角形面积S

【分析】先利用正弦定理求出BC,再利用sinC=sin(180°-120°-45°)=sin(45°-30°)求出

sinC,最后通过三角形的面积公式求解即可.

ACBC

【解答】解：・・・A=120°,8=45°,AC=2,由正弦定理得一一=--,

sinBsinA

.ACsinA2x李仁

.•BC=--=—告=V6,

sinBV2

~2

'JsinC=s讥(180°-120°-45°)=sin(45°-30°)=^x^-^x1=底丁,

,14knr*.「1c/y--\/23-A/3

・・Se=AC,BC,smC=x2xv6x—————.

zz4z

3—V3

故答案为:

2

【点评】本题考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦公式以及三角形的面积公式在解三角

形中的应用，属于基础题.

4.（2021•上海）已知A、B、C为AABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a=2,cosC=—.

4

（1）若sinA=2sinB,求b、c；

（2）cos（A求c.

45

【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b的值；利用余弦定理即可求解c的值.

（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cosA,sinA,sin。的值，进而根

据正弦定理可得c的值.

【解答】解：（1）因为sinA=2sin5,可得。=»,

又a=2,可得人=1,

22+/—，

由于cosCJ+'v——，可得c=y/6.

lab2x2x14

(2)因为cos(A-工)=^^(cosA+sinA)=3,

425

可得cosA+sinA=4夜,

5

Xcos2A+sin2A=1,

可解得cosA=7®,sinA=，或sinA二,0,cosA=,

10101010

因为cosC=—L,可得sinC=史，tanC=—后，可得。为钝角,

44

-4-P.75/2―[*,曰―p/日tanA+tanC7_J15

右sinA=-----，cosA=-----,可得tanA=7,可得tanB=-tan(A+C)=------------------=---------------<0,

1010tanAtanC-17x(-715)-1

可得/为钝角，这与。为钝角矛盾，舍去,

所以sinA=Y2,由正弦定理工可得C=更变.

10sinAsinC2

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形

中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

5.（2021•上海）在AA3C中，已知a=3,b=2c.

(1)右A=—,求S8ABe.

(2)若2sinB-sinC=l,求QABC，

【分析】(1)由余弦定理求得。2,从而求得AABC面积；

(2)由正、余弦定理求得人、c值，从而求得AABC周长.

1/22c2_9

【解答】解：(1)由余弦定理得cos4=-±=ca=

22bc4厂

解得c?=2,

7

,c2_9也

..kvS.——/?csinA——x2c----；

AA4RBrC2414

(2)b=2c,由正弦定理得sinB=2sin。，又2sinB—sinC=l»

i9

「.sinC=—,sinB=—»「.sinCvsinB,:.C<B「.C为锐角，

339

由余弦定理得：c2=a2+b2—2abcosC,又a=3,b=2c,

.-.C2=9+4C2-8A/2C,得：3C2-8A/2C+9=0,解得：c=4后土胃.

3

当c=4夜;&时,匕/④，人时c-=3+4鱼+=；

当c=4血;岔时,b=8尬;也瞄C块BC=3+4及-也.

【点评】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题.

222

6.(2024・上海宝山•一模)在VA3C中，B^b+C=a+fee.

(1)若sinC=2sin8,且6=2,求VABC的面积；

(2)若6+c=L求”的取值范围.

【答案】⑴2g

।

【分析】(1)结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解；

(2)结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解.

【详解】(1)由正弦定理得：=吗=2,又6=2,从而c=4,

bsinB

^22_.be1

由人2+。2=得cosA=---------

2bc2bc~2

从而A=1,

所以VABC的面积S=；bcsinA=gx2x4xsing=273.

（2）由储=〃+/—bc=（b+c）2—3bc=l—3Z?c,

又。CM（与£：=:,当且仅当b=c=g时取等号，

311

从而/21-二=:，所以。2二，

442

又因为VA3C中，b+c＞a,从而。＜1,

所以”的范围是1,1].

7.（2024•上海普陀•二模）设函数/■（x）=sin（0x+。），a＞＞0,0＜＜p＜n,它的最小正周期为兀.

（1）若函数＞=是偶函数，求9的值；

⑵在VABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,若°=2,A=~,二？]=走o,求b的值.

6I2J4

【答案】⑴展与2兀

（2）b=2坦

【分析】（1）利用正弦函数的周期公式可求。=2,又函数y=/（x-专）是偶函数，结合。＜夕＜万，即可求

解。的值；

（2）由/（上义）=也°,可得sinB=3c,结合题意利用正弦定理可求八Gc,由余弦定理可求。，进

244

而可求6的值.

【详解】（1）因为函数/（x）=sin®x+e）的最小正周期为兀，且。＞0,

2兀

所以」=兀，即。=2,

（y

贝1Jy=/a_3)=sin(2x+e_g),

126

又函数y=〃x-=)是偶函数，

则0-^=也+=,keZ,

62

72兀

BonP^7=K71+—,又0＜。＜兀，

则展争

⑵由/（一）=£C得'sin八乎。'

又a=2,A=J，贝UsinB=^^=2=3c,即6=&c,

6a44

由余弦定理得，a2=b2+c2-IbccosA=3c2+c2-26c-c~,

2

即c=2,则匕=2g.

8.（2024・上海崇明•一模）在VABC中，已知点。是BC边上一点，且9）=1,CD=3.

（1）若AD13C,且NAB£>=2NACD,求AD的长；

（2）若4曲=55。，ZACD=32°,求A。的长（结果精确到0.01）.

【答案】（l）g

（2）1.75

【分析】（1）结合角的关系，利用二倍角的正切公式列式求解即可.

（2）先利用正弦定理求得AC,再利用余弦定理求解即可.