高考数学复习第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积配套理

第2讲空间几何体表面积和体积1/32考纲要求考点分布考情风向标1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体结构特征，并能利用这些特征描述现实生活中简单物体结构.2.了解球、棱柱、棱锥、台表面积和体积计算公式新课标第16题考查球内接圆锥问题；新课标第18题(2)以四棱锥为背景，求三棱锥高；新课标第8题考查求球体积；新课标第19题(2)以三棱柱为背景，求几何体体积；新课标Ⅰ第15题考查求球表面积；新课标Ⅰ第19题(2)考查线面位置判定定理及求三棱柱体积；新课标Ⅰ第6题考查圆锥体积公式应用；新课标Ⅰ第11题考查简单几何体三视图、圆柱侧面积公式及球表面积公式；新课标Ⅰ第18题(2)已知三棱锥体积，求三棱锥侧面积；新课标Ⅰ第7题考查三视图及体积、表面积运算；新课标Ⅰ第7题考查三视图及面积运算从近几年高考试题来看，本部分内容是高考必考内容，考查形式能够直接求几何体面积和体积，也能够依据几何体体积、面积求一些元素量，与三视图相结合求几何体面积、体积是课改以来高考热点，在备考时应给予重视.同时要尤其注意相关球内接或外切几何体计算，全国卷多年都有考查2/321.柱、锥、台和球侧面积和体积2πrh3/32(续表)4πR24/322.几何体表面积(1)棱柱、棱锥、棱台表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们表面积等于侧面积与底面面积之和.3.等积法应用(1)等积法：包含等面积法和等体积法.

(2)等积法前提是几何图形(或几何体)面积(或体积)通过已知条件能够得到，利用等积法能够用来求解几何图形高或几何体高，尤其是求三角形高和三棱锥高.这一方法回避了详细经过作图得到三角形(或三棱锥)高，而经过直接计算得到高数值.5/321.以边长为1正方形一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱侧面积等于()AA.2πB.πC.2D.1

解析：由已知得，圆柱底面半径和高均为1，其侧面积S＝2π×1×1＝2π.6/322.若两个球表面积之比为1∶4，则这两个球体积之比为()CA.1∶2B.1∶4C.1∶8D.1∶16

解析：因为球表面积S＝4πR2，两个球表面积之比为

所以这两个球体积之比为1∶8.7/32球O体积为V2，则值是_____.

3.(年江苏)如图

8-2-1，在圆柱O1O2

内有一个球O，该球与圆柱上、下面及母线均相切.记圆柱O1O2

体积为V1，V1V2图8-2-1

8/324.(年新课标Ⅱ)体积为8正方体顶点都在同一球面上，则该球表面积为()AA.12πB.32 3πC.8πD.4π9/32考点1几何体面积

例1：(1)(年新课标Ⅱ)长方体长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O球面上，则球O表面积为________.

答案：14π10/32

(2)(年广东揭阳一模)如图8-2-2，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出是某几何体三视图，则该几何体表面积为()图8-2-211/32答案：C12/32(3)一个六棱锥体积为，其底面是边长为2正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥侧面积为________.答案：1213/32(4)(年福建)某几何体三视图如图8-2-3，则该几何体表面积等于()图8-2-314/32

解析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2直四棱柱，且底面直角梯形两底分别为1,2，直角腰答案：B15/32(5)(年河北定州中学统测)如图8-2-4为某几何体三)视图，则该几何体外接球表面积为(

图8-2-416/32解析：由已知中三视图，可得该几何体是以俯视图为底面四棱锥，其底面是边长为3正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3正方体外接球，所以外接球表面积为S＝4πR2＝27π.故选B.答案：B

【规律方法】第(1)(3)小题是求实体面积；第(2)(4)小题只给出几何体三视图，求几何体表面积，先要依据三视图画出直观图，再确定该几何体结构特征，最终利用相关公式进行计算.注意表面积包含底面面积.17/32考点2几何体体积

例2：(1)(年新课标Ⅲ)已知圆柱高为1，它两个底面圆周在直径为2同一个球球面上，则该圆柱体积为()A.πB.3π 4C.π2D.π4答案：B18/32(2)(年山东)一个由半球和四棱锥组成几何体，其三)视图如图8-2-5.则该几何体体积为(

图8-2-519/32答案：C20/32

(3)(年新课标Ⅱ)正三棱柱ABC­A1B1C1底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1

体积为()A.3B.32C.1D.

解析：如图D54，显然AD⊥平面BCC1B1，

答案：C图D5421/32算.另外不要忘了锥体体积公式中.

【规律方法】求几何体体积时，若所给几何体是规则柱体、锥体、台体或球，可直接利用公式求解；若是给出几何体三视图，求该几何体体积时，先要依据三视图画出直观图，再确定该几何体结构特征，最终利用相关公式进行计22/32考点3立体几何中折叠与展开

例3：(2017年新课标Ⅰ)如图8-2-6，圆形纸片圆心为O，半径为5cm，该纸片上等边三角形ABC中心为O.D，E，F为圆O上点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当.ABC边长改变时，所得三棱锥体积(单位：cm3)最大值为________.

图8-2-623/32图D5524/3225/3226/32

【互动探究】

1.一块正方形薄铁片边长为4cm，以它一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图8-2-7)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒容积等于_____cm3.图8-2-727/32

解析：扇形弧长和圆锥底面周长相等，依据公式即可算出底面半径r，则容积易得.

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难点突破 ⊙组合体相关运算 例题：Rt△ABC角A，B，C所正确边分别是a，b，c(其中c为斜边)，分别以a，b，c边所在直线为旋转轴，将△ABC旋转