云南湿远市2023-2024学年高二数学下学期期中试题含解析

Page7开远市2024年春季学期高二年级期中考试数学考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M=xx2-2x≤3，NA．-1,1 B．0,+∞ C．0,3 D．2.已知复数z满足（为虚数单位），则（）A.3B.C.5D.3.设α,β是两个不同的平面，l,m是两条直线，且m⊂α,l⊥α.则A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4.已知向量，则在上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．5.安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（

）A．36种 B．30种 C．24种 D．12种6.设，，，则（

）A． B． C． D．7.已知，则的值是（）A. B. C. D.8.过圆上的两点分别作圆的切线，若两切线的交点恰好在直线上，则的最小值为（）A.B.3C.D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，真命题有（）A.若随机变量，则B.数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位数是8.5C.若随机变量，，则D.若事件，满足且，则与相互独立已知抛物线y2＝2px(p>0)过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2).设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则下列结论正确的是（

）A．p＝2B．AB≥4C．·＝－4D．k1k2＝－411.已知函数和是定义域为的函数.若，，且，则下列结论正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.C.函数的图像关于直线对称D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，常数项为．（用数字作答）13.记为数列的前项和，已知则．14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是右支上一点，线段与的左支交于点．若△PMF2为正三角形，则的离心率为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若是的角平分线，，△ABC的面积为，求的值.16.（15分）长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表：喜欢不喜欢合计男生12080200女生100100200合计220180400(1)试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望．附：，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82817.（15分）如图，在四棱台中，底而为平行四边形，侧棱平面，，，.

(1)证明：；(2)若四棱台的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.18.（17分）已知椭圆：的短轴长等于，离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．19．（17分）已知曲线在点处的切线为．（1）求直线的方程；（2）证明：除点外，曲线在直线的下方；（3）设，求证：．高二年级期中考试数学参考答案一、单选题题号12345678答案DDACBBCD1.【解析】解不等式x2-2由指数函数y=2-x所以M∩N=x2.【解析】复数，故.3.【解析】l⊥β，且l⊥α，所以α//如图：满足m//β，m⊂所以“l⊥β”是“m//4.【解析】因为，所以在上的投影向量的坐标为．5.【解析】若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，则不同的安排方法有种，若甲、乙安排在同一所学校，则不同的安排方法有种，所以甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有种.6.【解析】，，而，则，即，所以.7.【解析】因为，可得，所以.8.【解析】因为圆的方程为，所以圆心，半径.因为是圆的两条切线，所以，由圆的知识可知四点共圆，且，所以，又，所以当最小，即时，取得最小值，此时，所以.二、多选题题号91011答案ADABDBC9.【解析】对于A：根据二项分布的方差公式可得，A正确；对于B：数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数，，则，B错误；对于C：随机变量，，则，C错误；对于D：因为，所以，故与独立，D正确.10.【解析】因为抛物线y2＝2px(p>0)过点M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；抛物线方程为y2＝4x，则焦点F为(1，0)，设直线l：x＝my＋1，联立消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)·(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以AB＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；k1k2＝·＝－4，故D正确．11.【解析】由可知的图象关于直线对称，C正确；所以，则①，令为，则②.的图象关于点对称，，令，故B正确；由①②可知，所以的图象关于直线对称.故错误；所以4是的周期，由，得，令，由①得是的周期.有2024项，故，故D错误.三．填空题12.【答案】448【解析】展开式的通项为，令，解得，故常数项为．13.【答案】【解析】由题意，所以.14.【答案】【解析】因为点是右支上一点，线段与的左支交于点，且，因为△PMF2为等边三角形，所以，，由双曲线定义得，，又由，解得，则，且，在中，由余弦定理得，化简整理得，所以双曲线的离心率为.四、解答题15.【解析】（1）由及正弦定理得，，所以，因为，所以，又，所以.……………………5分（2）由，得，又所以，由余弦定理得所以.…………………13分16.【解析】（1）解：零假设为：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.由列联表中的数据，可得，依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050．………4分（2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，其中男生的人数为人，女生的人数为人，从9人中随机抽取3人，所以随机变量的可能取值为，可得，，则随机变量的分布列为：…………………11分0123（3）解：由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为，所以随机变量服从二项分布，即，所以.………………15分17.【解析】(1)底面为平行四边形，，.，，由余弦定理可得：，，则，，侧棱平面，平面，，又平面，平面，且，平面，又平面，.…………6分（2）四棱台中的体积为，，，，解得：.如图，以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，，，设平面的法向量为，则有，所以平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则.…………………………15分18.【解析】（1）椭圆：的短轴长等于，离心率可得，，解得，所以椭圆的方程为.……………5分（2）由椭圆的方程，可得右焦点，当直线斜率不存在时被轴垂直平分，不符合题意；当直线斜率为0时，；直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，中点为，联立方程组，整理得，可得，所以，则，即，则中垂线的方程为，令，可得，所以，又由，所以（定值）；综上所述，为定值.……………17分19．【解析】（1）因为，所以，所以直线的方程为：………4分（2）令，则，令，则，由，解得，由，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当且仅当等号成立，所以除