云南省大理市白族自治州2023-2024学年高二数学下学期4月月考试题含解析

大理州2023-2024学年下学期4月月考高二数学试题考试时间：120分钟满分：150分注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔填涂答题卡；非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算，结合复数虚部的定义即可得解.【详解】因为，所以复数的虚部为.故选：C.2.已知为等比数列，若，则（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比中项的性质求解即可.【详解】，，，，.故选：B3.已知向量，向量，满足，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，设，有，求出、的值，计算可得答案．【详解】解：向量，，，向量，1，，若，设则有，则，则有，，则，故选：．4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据左加右减的平移原则一一判断，得到答案.【详解】A选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，A错误；B选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，B错误；C选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，C错误；D选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，D正确.故选：D5.若直线与圆相交所得的弦长为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理得，，解得.故选：B.6.若直线与曲线相切，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先设切点，再对曲线求导，然后令导数等于1，然后结合，即可求出a的值.【详解】解：设切点为（x，y），由题意.∴，解得.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用切点满足的两个条件列方程组是本题的总体思路.属于基础题.7.已知等差数列和的前项和分别为，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列下标和进行转化，构造出前项和的形式求解即可.【详解】易知.故选：A8.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全对得6分，部分选对得部分分，选错0分.9.已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为，则（）A.B.这组数据的中位数为4C.若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5D.这组数据的第70百分位数为5.5【答案】ACD【解析】【分析】根据平均数求出值，再根据百分位的性质求出结果．【详解】由题意得，解得，故A正确；将这组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数，故B错误；若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为，故C正确；因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确．故选：ACD．10.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（）A.两条异面直线和所成的角为B.直线与平面所成的角等于C.点到面的距离为D.四面体的体积是【答案】BCD【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量逐项计算与判断即可得.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，对A：、、、，则、，故，故，即异面直线和所成的角为，故A错误；对B：，由轴平面，故平面法向量可为，则，故直线与平面所成的角为，故B正确；对C：，，，设平面的法向量为，则有，令，则，故，故C正确；对D：易得四面体为正四面体，则，故D正确.故选：BCD.11.已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点（点A位于第一象限），与C的准线交于D点，F为线段AD的中点，准线与x轴的交点为E，则（）A.直线l的斜率为 B.C. D.直线AE与BE的倾斜角互补【答案】ABD【解析】【分析】分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，求出点的坐标，可得出点A的坐标，分析可得，将点A的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；再将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点A、的坐标，利用平面向量与解析几何的相关知识可判断BCD选项的正误.【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，若轴，则直线与抛物线的准线平行，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，联立，可得，即点，因为点为线段的中点，则，则，可得，因为点在抛物线上，则，可得，所以，直线的方程为，即，故直线的斜率为，A对；联立，解得或，即点、，易知点，所以，，，则，B对；易知点，，，故，C错；，，则，所以，直线与的倾斜角互补，D对.故选：ABD.第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线过点，则的最小值为________．【答案】8【解析】【分析】由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：因为直线过点，所以，因为所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8故答案为：8【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题13.若函数在处取得极小值，则a=__________．【答案】2【解析】【分析】对函数求导，根据极值点得到或，讨论的不同取值，利用导数的方法判定函数单调性，验证极值点，即可得解.【详解】由可得，因为函数在处取得极小值，所以，解得或，若，则，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意；当时，，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意；综上：.故答案为：2.【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般需要先对函数求导，根据极值点求出参数，再验证所求参数是否符合题意即可.14.已知数列中，，，，则的前项和__________．【答案】【解析】【分析】取倒可得，判断是等差数列，即可求解，进而根据裂项相消法求和即可.【详解】由可得，所以是等差数列，且公差为2，所以，故，所以，所以故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若，求，，.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）利用余弦定理求出，再结合求出，，即可得解.【小问1详解】因为，所以，即，所以，又，所以.【小问2详解】在中，由余弦定理有，又，即，所以，联立，即，所以，则，所以.16.已知数列满足，，.（1）求；（2）求数列前20项的和.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由和求出，利用数列的前4项是公比为2的等比数列，得到；（2）分别利用等比数列和等差数列的求和公式计算即可．【详解】（1）由题意知数列的前4项是公比为2的等比数列，从第5项开始是公差为-4的等差数列.因为，所以，又，所以.（2）.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，考查分组求和公式，属于中档题．17.如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.（1）取AB中点为G，求证：平面；（2）求平面和平面所成夹角大小【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AB中点G，连结EG，FG，由线面垂直的判定定理可证明平面；（2）取中点，连接，过O作AB平行线，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，利用空间两向量夹角公式求解.【小问1详解】取AB中点G，连结EG，FG，如图所示：∵ABCD是正方形，∴，又∵，，，∴又∵E，F，G都是中点，∴，，，，，GF，平面，∴平面；【小问2详解】取中点，连接，由（1）中，且，平面；所以平面，又，是正方形，所以；即可得两两垂直；过O作AB平行线，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如下图所示：由题意得，，，，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，得，设平面的法向量为，则，即，解得；令，则，得，因此，所以平面和平面所成夹角大小为.18.已知椭圆的右焦点为，且经过点，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆的左顶点为，直线，和直线分别交于点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质和将已知点代入列出方程组求出，即可得出椭圆的方程；（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简，从而证得结论成立.【小问1详解】由题意得，解得，故椭圆的标准方程为．小问2详解】由（1）知，，设，直线的方程为，由消去得，，则，直线的方程为，由，得，同理，则，所以为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标，；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；（5）代入韦达定理求解.19.已知函数．（1）若曲线在点处切线斜率为4，求的值；（2）讨论函数的单调性：（3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，．【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解；（2）对a进行分类讨论，根据导数的符号判断函数的单调性；（3）由题可得，进而可得函数的最小值为，再构造函数，通过导数证明即可得证.【小问1详解】∵，则，由题意可得，解得；【小问2详解】由（1）可得：，当时，则恒成立，令，解得；令，解得；故在上单调递减，在上单调递增；当时，令，解得或，①当，即时，令，解得或；令，解得；故在上单调递增，在上单调递减；②当，即时，则在定义域内恒成立，故在上单调递增；③当，即时，令，解得或；令，解得；故在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当，在上单调递增，在上单调递减；当，在上单调递增；当，在上单