鞍山市台安县八年级上期中数学试卷附含答案

...wd......wd......wd...2015-2016学年辽宁省鞍山市台安县八年级〔上〕期中数学试卷一、选择题〔共8小题，每题2分，总分值16分〕1．以下各组线段的长为边，能组成三角形的是()A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．2cm，5cm，10cm D．8cm，4cm，4cm2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是()A． B． C． D．3．如图，AB交CD于点O，点O分别是AB与CD的中点，则以下结论中错误的选项是()A．∠A=∠B B．AC=BD C．∠A+∠B=90° D．AC∥BD4．直角三角形中30°角所对的直角边为3cm，则斜边的长为()A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm5．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为()A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定6．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于()A．110° B．115° C．120° D．130°7．如图，EB=FD，∠EBA=∠FDC，以下不能判定△ABE≌△CDF的条件是()A．∠E=∠F B．AB=CD C．AE=CF D．AE∥CF8．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠D+∠E=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P等于()A．90°+α B． C． D．360°﹣α二、填空题〔共8小题，每题2分，总分值16分〕9．一个正多边形的每个外角都等于20°，则这个正多边形的边数是__________．10．假设点A〔x，y〕关于x轴的对称点的坐标为〔3，﹣2〕，则点A关于y轴对称的点的坐标为__________．11．△ABC中，∠B=40°，∠C的外角等于100°，则∠A=__________．12．如图，∠1=∠2，要根据SAS判定△ABD≌△ACD，则需要补充的条件为__________．13．将一副直角三角尺如图摆放，点C在EF上，AC经过点D，∠A=∠EDF=90°，∠B=45°，∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF的度数为__________．14．如以以下图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是__________．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，假设∠F=30°，DE=1，则EF的长是__________．16．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，假设D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为__________cm．三、解答题〔共8小题，总分值68分〕17．一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．18．如以以下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，DE垂直平分AC，D为垂足，交AB于E，连接CE．〔1〕求∠ECB的度数；〔2〕假设AB=10，求△BCE的周长．19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如以以下图．〔1〕作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；〔2〕将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；〔3〕观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称假设是，请在图上画出这条对称轴．20．如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方等边△BEF，连接CF．〔1〕求证：AE=CF；〔2〕求∠ACF的度数．21．在数学课上，林教师在黑板上画出如以以下图的图形〔其中点B、F、C、E在同一直线上〕，并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：__________；结论：__________．〔均填写序号〕证明：22．：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．〔1〕直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G〔如图1〕，求证：AE=CG；〔2〕直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M〔如图2〕，找出图中与BE相等的线段，并证明．23．在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是△ABC的高，〔1〕当∠BAC=90°时，如图①，求证：AB+DB=DC．〔2〕当∠BAC≠90°时，如图②、③，请直接写出图②和图③中AB、DB、DC的数量关系，不需要证明．〔3〕假设AD=12，AB=13，则BC=__________．24．〔1〕，如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE=BD+CE．〔2〕如图②，将〔1〕中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立假设成立，请你给出证明：假设不成立，请说明理由．2015-2016学年辽宁省鞍山市台安县八年级〔上〕期中数学试卷一、选择题〔共8小题，每题2分，总分值16分〕1．以下各组线段的长为边，能组成三角形的是()A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．2cm，5cm，10cm D．8cm，4cm，4cm【考点】三角形三边关系．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知A、2+3＞4，能组成三角形，故A正确；B、2+3=5，不能组成三角形，故B错误；C、2+5＜10，不能够组成三角形，故C错误；D、4+4=8，不能组成三角形，故D错误；应选A．【点评】此题考察了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是()A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．应选A．【点评】此题考察了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部沿对称轴折叠后可重合．3．如图，AB交CD于点O，点O分别是AB与CD的中点，则以下结论中错误的选项是()A．∠A=∠B B．AC=BD C．∠A+∠B=90° D．AC∥BD【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△ACO≌△BDO，则由“全等三角形的对应边、对应角相等〞得到∠A=∠B，AC=BD．再根据“内错角相等，两直线平行〞推知AC∥BD．【解答】解：如图，∵AB交CD于点O，点O分别是AB与CD的中点，∴AO=BO，CO=DO，∴在△ACO与△BDO中，，∴△ACO≌△BDO〔SAS〕，∴∠A=∠B，AC=BD〔故A、B选项正确〕，但是〔∠A+∠B〕不一定等于90°，所以C选项错误；∴AC∥BD〔故D选项正确〕．应选C．【点评】此题考察了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角以及对顶角．4．直角三角形中30°角所对的直角边为3cm，则斜边的长为()A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长．【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为3cm，∴斜边长为6cm．应选C．【点评】此题主要考察直角三角形的性质，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．5．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为()A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】如图，过点D作DE⊥BC于点E．利用角平分的性质得到DE=AD=3，然后由三角形的面积公式来求△BCD的面积．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．又∵BC=5，∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5．应选：A．【点评】此题考察了角平分线的性质．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于()A．110° B．115° C．120° D．130°【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=〔∠ABC+∠ACB〕=×130°=65°，∴∠BOC=180°﹣〔∠OBC+∠OCB〕=180°﹣65°=115°．应选B．【点评】此题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键．7．如图，EB=FD，∠EBA=∠FDC，以下不能判定△ABE≌△CDF的条件是()A．∠E=∠F B．AB=CD C．AE=CF D．AE∥CF【考点】全等三角形的判定；平行线的性质．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上定理逐个判断即可．【解答】解：A、符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABE≌△CDF，故本选项错误；B、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABE≌△CDF，故本选项错误；C、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△CDF，故本选项正确；D、∵AE∥CF，∴∠A=∠FCD，∴符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABE≌△CDF，故本选项错误；应选C．【点评】此题考察全等三角形的判定定理，平行线的性质的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．8．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠D+∠E=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P等于()A．90°+α B． C． D．360°﹣α【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=α，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，根据三角形的内角和求得∠P的度数．【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠D+∠E=α，∴∠ABC+∠DCB=540°﹣α，∵∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，∴∠PBC+∠PCB=〔∠ABD+∠DCB〕=〔540°﹣α〕=270°﹣，∴∠P=180°﹣270°+=﹣90°．应选B．【点评】此题主要考察了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用二、填空题〔共8小题，每题2分，总分值16分〕9．一个正多边形的每个外角都等于20°，则这个正多边形的边数是18．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的外角和为360°，又由正多边形的每一个外角都相等可得到答案．【解答】解：360°÷20°=18．故这个正多边形的边数是18．故答案为：18．【点评】此题主要考察了多边形的外角和定理，题目对比根基．10．假设点A〔x，y〕关于x轴的对称点的坐标为〔3，﹣2〕，则点A关于y轴对称的点的坐标为〔﹣3，2〕．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】平面直角坐标系中任意一点P〔x，y〕，关于x轴的对称点的坐标是〔x，﹣y〕，关于y轴的对称点的坐标是〔﹣x，y〕，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．【解答】解：假设点A〔x，y〕关于x轴的对称点的坐标为〔3，﹣2〕，则点A关于y轴对称的点的坐标为〔﹣3，2〕．【点评】此题对比容易，考察平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．11．△ABC中，∠B=40°，∠C的外角等于100°，则∠A=60°．【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵∠B=40°，∠C的外角等于100°，∴∠A=100°﹣40°=60°．故答案为：60°．【点评】此题考察了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．12．如图，∠1=∠2，要根据SAS判定△ABD≌△ACD，则需要补充的条件为BD=CD．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】条件是BD=CD，根据SAS推出即可．【解答】解：BD=CD，理由是：∵在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD〔SAS〕，故答案为：BD=CD．【点评】此题考察全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．13．将一副直角三角尺如图摆放，点C在EF上，AC经过点D，∠A=∠EDF=90°，∠B=45°，∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF的度数为25°．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】根据条件和等腰三角形的性质得到∠ACE的度数，又由三角形外角的性质，可得∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F，继而求得答案．【解答】解：∵AB=AC，∠A=90°，∴∠ACB=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∠E=30°，∴∠F=90°﹣∠E=60°，∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．故答案为：25°．【点评】此题考察了三角形的内角和，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟知三角板个角的度数是解题的关键．14．如以以下图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是50°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】首先连接AC，由AE的垂直平分线MN交BE于点C，可得AC=EC，又由AB+BC=BE，易证得AB=AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，继而求得答案．【解答】解：连接AC，∵MN是AE的垂直平分线，∴AC=EC，∴∠CAE=∠E，∵AB+BC=BE，BC+EC=BE，∴AB=EC=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，∴∠B=2∠E，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣4∠E，∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，解得：∠E=25°，∴∠B=2∠E=50°．故答案为：50°．【点评】此题考察了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，假设∠F=30°，DE=1，则EF的长是2．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】首先连接BE，由AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，可得AE=BE，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，易求得∠A=∠F﹣=∠ABE=∠CBE=30°，则可证得BE=EF，然后在Rt△BCE中，利用含30°角的直角三角形的性质，求得答案．【解答】解：连接BE，∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，∴AE=BE，∠A+∠AED=90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠F+∠CEF=90°，∵∠AED=∠FEC，∴∠A=∠F=30°，∴∠ABE=∠A=30°，∠ABC=90°﹣∠A=60°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF，在Rt△BED中，BE=2DE=2×1=2，∴EF=2．故答案为：2．【点评】此题考察了线段垂直平分线的性质以及含30°的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，假设D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为8cm．【考点】轴对称-最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】探究型．【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=〔BM+MD〕+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8cm．故答案为：8．【点评】此题考察的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．三、解答题〔共8小题，总分值68分〕17．一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．【考点】多边形内角与外角．【分析】一个多边形的外角和是内角和的，任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和是1260°．n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°，如果多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意得：〔n﹣2〕180°=360°，解得n=9．答：这个多边形的边数为9．【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．18．如以以下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，DE垂直平分AC，D为垂足，交AB于E，连接CE．〔1〕求∠ECB的度数；〔2〕假设AB=10，求△BCE的周长．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】〔1〕根据△ABC中DE垂直平分AC，可求出AE=CE，再根据等腰三角形的性质求出∠ACE=∠A=30°，再根据∠ACB=90°即可解答；〔2〕根据含30°角的直角三角形的性质得到BC=AB=5，于是得到结论．【解答】解：〔1〕∵DE垂直平分AC，∠A=30°，∴AE=CE，∠ACE=∠A=30°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=90°﹣30°=60°；〔2〕∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=AB=5，∴△BCE的周长=CE+BE+BC=AE+BE+BC=AB+BC=15．．【点评】此题考察了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如以以下图．〔1〕作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；〔2〕将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；〔3〕观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称假设是，请在图上画出这条对称轴．【考点】作图-平移变换；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】〔1〕要关于y轴对称，即从各顶点向y轴引垂线，并延长，且线段相等，然后找出各顶点的坐标．〔2〕各顶点向右平移6个单位找对应点即可．〔3〕从图中可以看出关于直线x=3轴对称．【解答】解：〔1〕A1〔0，4〕，B1〔2，2〕，C1〔1，1〕；〔2〕A2〔6，4〕，B2〔4，2〕，C2〔5，1〕；〔3〕△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x=3轴对称．【点评】此题侧重于数学知识的综合应用，做这类题的关键是掌握平移，轴对称，及坐标系的有关知识，触类旁通．20．如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方等边△BEF，连接CF．〔1〕求证：AE=CF；〔2〕求∠ACF的度数．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】〔1〕根据△ABC是等边三角形，得出AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，再根据△BEF是等边三角形，得出EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，从而求出∠ABE=∠CBF，最后根据SAS证出△ABE≌△CBF，即可得出AE=CF；〔2〕根据△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的角平分线，得出∠BAE=30°，∠ACB=60°，再根据△ABE≌△CBF，得出∠BCF=∠BAE=30°，从而求出∠ACF的度数．【解答】解：〔1〕∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，∵△BEF是等边三角形，∴EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，∴∠ABE=∠CBF，在△ABE和△CBF，∵，∴△ABE≌△CBF〔SAS〕，∴AE=CF；〔2〕∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=30°，∠ACB=60°，∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF=∠BAE=30°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°；【点评】此题考察了等边三角形的性质和全等三角形的判定，关键是根据等边三角形的性质得出∠ABE=∠CBF，掌握全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点．21．在数学课上，林教师在黑板上画出如以以下图的图形〔其中点B、F、C、E在同一直线上〕，并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：可以为①②③；结论：④．〔均填写序号〕证明：【考点】全等三角形的判定与性质；命题与定理．【专题】压轴题．【分析】此题可以分成三种情况：情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF；情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABC≌△DEF；情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可推出结论．【解答】情况一：题设：①②③；结论：④．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF〔SAS〕，∴∠1=∠2；情况二：题设：①③④；结论：②．证明：在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF〔AAS〕，∴BC=EF，∴BC﹣FC=EF﹣FC，即BF=EC；情况三：题设：②③④；结论：①．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF〔ASA〕，∴AB=DE．【点评】此题主要考察了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答．22．：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．〔1〕直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G〔如图1〕，求证：AE=CG；〔2〕直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M〔如图2〕，找出图中与BE相等的线段，并证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】〔1〕首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，〔2〕根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．【解答】〔1〕证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，∴△AEC≌△CGB〔ASA〕，∴AE=CG，〔2〕解：BE=CM．证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM〔AAS〕，∴BE=CM．【点评】此题主要考察了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．23．在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是△ABC的高，〔1〕当∠BAC=90°时，如图①，求证：AB+DB=DC．〔2〕当∠BAC≠90°时，如图②、③，请直接写出图②和图③中AB、DB、DC的数量关系，不需要证明．〔3〕假设AD=12，AB=13，则BC=3．【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】〔1〕如图1在DC上截DM=DB，则AB=AM，∠B=∠AMB=2∠C=2∠CAM，因此AM=CM，从而得到CD=DM+MC=AB+BD；〔2〕如图②在DC上截DM=DB，则AB=AM，∠B=∠AMB=2∠C=2∠CAM，因此AM=CM，从而得到CD=DM+MC=AB+BD；如图③由∠ABC=2∠C，∠ABC=∠C+∠BAC，得到∠BAC=∠C，AB=CB，所以CB=AB，CD=BD+AB；〔3〕由勾股定理求得BD=5，再根据〔2〕中的结论求得BC=3．【解答】〔1〕如图1证明：在DC上截DM=DB，∵AD⊥BC，DM=BD，∴AD是BM的垂直平分线，∴AB=AM〔线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等〕，∴∠B=∠AMB〔等边对等角〕，∵∠B=2∠C，∠AMB=∠C+∠MAC，∴∠MAC=∠C，∴AM=CM，∴CM=AB，∴CD=DM+MC=BD+AB．〔2〕C