广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（含解析）

2024-2025学年高二下学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.函数在时的瞬时变化率为（

）A．0 B．2 C．4 D．62.函数的单调递减区间是（

）A． B． C．D．3.函数在上的最大值是（

）A． B．0 C． D．4.某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为（）A.120种B.84种C.52种D.48种5.若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（

）A． B． C． D．6.已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．7.若的展开式中的系数为30，则（

）A． B． C． D．8.定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（

）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（

）A．在上单调递减 B．在处取得极大值C．在上单调递减 D．在处取得最小值10.2025年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（）A．若A与B相邻，则有48种不同站法B．若C与D不相邻，则有24种不同站法C．若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法D．若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法11.已知函数f(x)＝x3－3x2＋4，则()A．f(x)的极小值为2B．f(x)有两个零点C．点(1，2)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝－3x＋5是曲线y＝f(x)的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知的展开式中各项二项式系数和是，则展开式中的常数项是.13.若函数在处取得极小值，则；函数的极大值为．14.若函数在上单调递增，则实数的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)已知函数在处取得极小值5.(1)求实数a，b的值；(2)当时，求函数的最大值.16.(本小题15分)若，求：（1）求的值；（2）；（3）．17.(本小题15分)工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少?18.(本小题17分)设函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间与极值；(3)求出方程的解的个数.19.(本小题17分)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，求证：．2024-2025学年高二下学期期中数学试题答案一、选择题：题号1234567891011答案BDBCACADBCACDBCD1.解析：由可得，故时的瞬时变化率为.故选：B2.解析：，则，由f'x<0，得，所以单调递减区间是.故选：D3.解析：由题，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.故选：B.4.解析：8人中任选3人的组队方案有种，没有女生的方案有种，所以符合要求的组队方案有种.故选：C.5.解析：由题设，知曲线在点处的切线的斜率为，由，则，所以.故选：A6.解析：因为，所以，，，，，.故选：C．7.解析：由二项式的展开式的通项为，则的展开式中为，可得，解得.故选：A.8.解析：设，则，由于当时，，则当时，，在单调递减，又为奇函数，,则，则函数为偶函数，可得函数在上单调递增，又，则，当时，由，可得，即，解得；当时，由，可得，即，解得；综上，不等式的解集为．故选：D．9.解析：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，在处取得极大值.故选：BC10.解析：若A与B相邻，则有种不同站法，A正确；若C与D不相邻，则有种不同站法，B错误；若B在E的左边（可以不相邻），则有种不同站法，C正确；若A不在最左边，D不在最中间，当A排在最中间时，满足条件的排法有种，当A不排在最中间时，满足条件的排法有种，故共有种不同排法，D正确.故选：ACD．11．解析：由题得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，所以当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(0，2)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减．对于A，当x＝2时，函数f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝23－3×22＋4＝0，故A不正确；对于B，方法一：因为f(0)＝03－3×02＋4＝4，且当x→－∞时，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(－∞，0)上存在一个零点，又f(2)＝0，所以结合f(x)的单调性知，函数f(x)有两个零点，故B正确．方法二：f(x)＝x3－3x2＋4＝x3－2x2－x2＋4＝(x＋1)(x－2)2，则由f(x)＝0，解得x＝－1或x＝2，所以函数f(x)有两个零点，故B正确；对于C，方法一：若点(1，2)是曲线y＝f(x)的对称中心，则有f(x)＋f(2－x)＝4，将函数f(x)＝x3－3x2＋4代入上式验证得，x3－3x2＋4＋(2－x)3－3(2－x)2＋4＝4，故C正确．方法二：令g(x)＝f′(x)＝3x2－6x，则g′(x)＝6x－6，由g′(x)＝0，得x＝1，又f(1)＝2，所以点(1，2)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；对于D，若直线y＝－3x＋5是曲线y＝f(x)的切线，则有3x2－6x＝－3，解得x＝1.当x＝1时，f′(1)＝－3，f(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程为y－2＝－3(x－1)，即y＝－3x＋5，故D正确．故选BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.解析：由已知的展开式中各项二项式系数和是，解得，又二项式的通项为，令，即时，常数项为，故答案为：24.13.解析：因为，所以，所以，解得，或，当时，，所以，当或时，时，即函数在和上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值，符合题意，函数在处取得极大值，且；当时，，所以，当或时，时，即函数在和上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，不符合题意，．故答案为：2；.14.解析：，求导得，由在上单调递增，得，又当，，则，又时，在上单调递增，所以实数的最大值为2.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.解：（1），..........................................................1分因为在处取极小值5，所以，得，..............................3分此时，令，解得；令，解得或，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在时取极小值，符合题意............................................................4分所以，.又，所以............................................................6分综上，，.（2）由（1）知，，...................8分列表如下：0（0,1）12（2,3）3001极大值6极小值510...................12分由于，故时，....................13分解：（1）二项式展开式的通项为，，.......................2分因为，所以.......................4分（2），令，解得；..................................................................6分令，整理得，..................................................................8分故...................................................................9分（2）的展开式通项为，则，其中且，当为偶数时，；当为奇数时，.........................11分所以........................13分令可得，........................14分所以.........................15分17.解：（1）记=“车间生产的产品”，=“车间生产的产品”，=“车间生产的产品”，=“抽取到次品”，则........................2分,，由全概率公式知：取到次品的概率为........................5分.........................9分（2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：.........................15分18.解：（1）由，........................2分所以，且，........................4分所以曲线在处的切线方程为，即；........................5分（2）因为，令，得或，........................6分所以当或时，，则函数单调递增，........................7分当时，，则函数单调递减，........................8分所以的单调递增区间为；的单调递减区间为.........................10分的极大值为；的极小值为；........................12分（3）由（2）可知函数的单调性和极值，画出和得图象，........................14分可得当或时，方程的解为1个；........................15分当或时，方程的解为2个；........................16分当时，方程的解为3个.........................17分19.解：（1）函数的定义域为，........................1分则，........................4分①当时，令，解得，令，解得，在上单调递减，在上单调递增，.....................