专题 平行线的性质与判定的综合运用（基础题提升题压轴题）-2024-2025学年七年级数学下册同步练习（北师大版）

PAGE1（北师大版）七年级下册数学《第2章相交线与平行线》专题平行线的性质与判定的综合运用（基础题&提升题&压轴题）一、基础题1．（2024秋•武功县期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，还需要添加条件（）A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2【分析】根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出∠1＝∠B，再根据平行线的判定定理，找出符合要求的答案．【解答】解：A、∵∠B＝∠1，可由EF∥AB得出，不用添加，不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意；B、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠1＝∠3，则∠B＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意；C、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠3，则∠1＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意；D、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠2，则∠1＝∠2，∴DF∥BC，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．2．（2024秋•丹东期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE【分析】根据平行线的判定和性质一一判断即可【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠1＝∠3，故A错误．∵∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴AC∥DE，故B正确，∵∠2＝45°，∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，∵∠E+∠3＝∠B+∠4，∴∠4＝30°，∵∠D＝60°，∴∠4≠∠D，故C错误，∵∠2＝50°，∴∠3＝40°，∴∠B≠∠3，∴BC不平行AE，故D错误．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2024秋•莲池区期末）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（）度时，AM∥BE．A．15 B．65 C．70 D．115【分析】根据已知易得：AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝60°，再利用三角形内角和定理可得∠ACB＝70°，最后根据内错角相等，两直线平行可得当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，即可解答．【解答】解：∵AB∥l，CD∥l，∴AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝60°，∵∠BAC＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，∴当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．4．①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD+∠D＝90°；④∠DBF＝60°．其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】由BC⊥BD得到∠CBE+∠DBE＝90°，∠BCD+∠D＝90°，则可对③进行判断；再由平行线的性质得∠D＝∠DBF，由角平分线定义得∠DBF＝∠DBE，则∠CBE＝∠BCE，而∠ABC＝∠BCE，所以∠ABC＝∠CBE，则可对①进行判断；接着由BC平分∠ACD得到∠ACB＝∠BCE，所以∠ACB＝∠CBE，根据平行线的判定即可得到AC∥BE，于是可对②进行判断；当∠DBF＝2∠ABC，3∠ABC＝90°，∠ABC＝30°，∠DBF＝60°，利用平行线的性质得到∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，又因为∠D＝∠DBE＝∠DBF，∠D≠∠BED，于是可得∠DBF≠2∠ABC，当则可对④进行判断．【解答】解：∵BC⊥BD，∴∠CBD＝90°，即∠CBE+∠DBE＝90°，∴∠BCD+∠D＝90°，所以③正确；∵AF∥CD，∴∠D＝∠DBF，∵BD平分∠EBF，∴∠DBF＝∠DBE，∴∠CBE＝∠BCE，∵AB∥CE∴∠ABC＝∠BCE，∴∠ABC＝∠CBE，∴BC平分∠ABE，所以①正确；∵BC平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCE，∴∠ACB＝∠CBE，∴AC∥BE，所以②正确；当∠DBF＝2∠ABC时，3∠ABC＝90°，∴∠ABC＝30°，∴∠DBF＝60°，∵∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，而∠D＝∠DBE＝∠DBF，∠D≠∠BED，∴∠DBF≠2∠ABC，∴∠DBF≠60°．故④错误．故正确的结论有3个．故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．5．（2024秋•玉门市期末）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1＝180°﹣∠3 B．∠1＝∠3﹣∠2 C．∠2+∠3＝180°﹣∠1 D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据平行线的性质可得到∠2+∠BDC＝180°，∠BDC+∠1＝∠3，从而可找到∠1、∠2、∠3之间的关系．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2+∠BDC＝180°，即∠BDC＝180°﹣∠2，∵EF∥CD，∴∠BDC+∠1＝∠3，即∠BDC＝∠3﹣∠1，∴180°﹣∠2＝∠3﹣∠1，即∠2+∠3＝180°+∠1，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．6．（2024春•泰山区期中）如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．判断直线AB、CE是否平行？并说明理由．【分析】根据角平分线的定义结合对顶角得到∠ECD＝∠ACB，则可证明∠B＝∠ECD，根据平行线的判定即可证明AB∥CE．【解答】解：AB∥CE，理由如下：因为CD平分∠ECF，所以∠ECD＝∠FCD．因为∠ACB＝∠FCD，所以∠ECD＝∠ACB．因为∠B＝∠ACB，所以∠B＝∠ECD．所以AB∥CE．【点评】本题考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．7．（2024秋•德城区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于F．求证：BE∥DF．【分析】根据四边形内角和定理及角平分线定义求出∠EBC+∠FDC＝90°，结合直角三角形的性质推出∠EBC＝∠DFC，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．【解答】证明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠EBC=12∠ABC，∠FDC=1∴∠EBC+∠FDC=12（∠ABC+∠∵∠C＝90°，∴∠FDC+∠DFC＝90°，∴∠DFC＝∠EBC，∴BE∥DF．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．8．（2024秋•辉县市校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理即可解答．【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠EDC＝∠5（两直线平行，内错角相等），∵∠5＝∠A（已知），∴∠EDC＝∠A（等量代换），∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行），∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠5+∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠2（已知），∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换），即∠BCF+∠3＝180°，∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键．9．（2024春•平罗县期末）如图，∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°．（1）若∠2＝125°，求∠C的度数；（2）若∠1和∠D互余，你能试着判断AB∥CD吗？【分析】（1）根据平行线的判定得出CF∥EB，再根据平行线的性质得出∠C+∠2＝180°，据此计算即可得出答案；（2）先根据∠1＝∠B，余角的性质得出∠BFD＝∠D，推出∠BFD＝∠D，即可证明结论．【解答】（1）解：∵∠1＝∠B，∴CF∥EB，∴∠C+∠2＝180°，又∵∠2＝125°，∴∠C＝55°；（2）证明：∵∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，又∵∠1和∠D互余，即∠1+∠D＝90°，∴∠BFD＝∠D，∴AB∥CD．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．10．（2024秋•太康县期末）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．（1）求证：DF∥AB．（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．【分析】（1）根据DE∥BC，得出∠AED＝∠B，又因为∠1＝∠AED，等量代换得∠B＝∠1，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；（2）根据DE∥BC，得出∠EDF＝∠1＝50°，再根据DF平分∠CDE，得出∠CDF＝∠EDF＝50°，最后在△CDF中利用三角形内角和等于180°即可求解．【解答】解：（1）证明：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B，又∵∠1＝∠AED，∴∠B＝∠1，∴DF∥AB；（2）∵DE∥BC，∴∠EDF＝∠1＝50°，∵DF平分∠CDE，∴∠CDF＝∠EDF＝50°，在△CDF中，∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°．答：∠C的度数为80°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．11．（2024春•临川区校级月考）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF，EC平分∠DEF．（1）试说明：AE⊥CE；（2）若∠1＝∠A，∠2＝∠C，试说明：AB∥CD．【分析】（1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可；（2）根据平行线的判定解答即可．【解答】证明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF，∴∠1=12∠BEF，∠2∵∠BEF+∠DEF＝180°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥CE；（2）∵∠1＝∠A，∠2＝∠C，∴∠1+∠A+∠2+∠C＝2（∠1+∠2）＝180°，∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠2）＝360°﹣2（∠1+∠2）＝180°，∴AB∥CD．【点评】此题考查平行线的判定和角平分线的定义，关键是根据平行线的判定定理解答．提升题1．（2024秋•北碚区校级期末）如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，AB∥CD，EP与FP交于点P，且∠FEP＝2∠BEP，∠EFP＝3∠DFP，∠BEP＝40°，则∠P＝．【分析】由∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，得到∠FEP＝80°，∠BEF＝120°，由平行线的性质推出∠EFD+∠BEF＝180°，得到∠EFD＝60°，求出∠EFP=34×【解答】解：∵∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，∴∠FEP＝80°，∠BEF＝3∠BEP＝120°，∵AB∥CD，∴∠EFD+∠BEF＝180°，∴∠EFD＝60°，∵∠EFP＝3∠DFP，∴∠EFP=3∴∠P＝180°﹣45°﹣80°＝55°．故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推∠EFD+∠BEF＝180°．2．（2024秋•黔江区期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中正确的是（）①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝45°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【分析】根据平行线的性质与判定，余角的性质，等逐项分析并选择正确的选项即可．【解答】解：①∵∠2＝30°，∴∠1＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正确；②∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝∠2+∠1+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确；③∵BC∥AD，∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°，又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°，∴∠3＝45°，∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③正确；④∵∠CAD＝150°，∠DAE＝90°，∴∠1＝∠CAD﹣∠DAE＝150°﹣90°＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，∴∠4＝∠C，故④正确；故选：D．【点评】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质与判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．3．（2024秋•丹徒区期末）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯（图①），其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的大小为．【分析】过C作CF∥AB，得到CF∥DE∥AB，根据平行线的性质和角的和差关系即可得出结果．【解答】解：∵BC⊥AB，∴∠B＝90°，过点C作CF∥AB，∵DE∥AB，∴CF∥DE∥AB，∴∠EDC＝180°﹣∠DCF，∠BCF＝180°﹣∠B＝180°﹣90°＝90°，∵∠DCF＝∠DCB﹣BCF＝140°﹣90°＝50°，∴∠EDC＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是过C作CF∥AB，得到CF∥ED，由平行线的性质来解决问题．4．（2024秋•淮阳区校级期末）一副直角三角尺按如图1所示的方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2的位置．在此转动过程中，若BC与三角尺ADE的一直角边平行，则∠CAE的度数为．【分析】如图，当BC∥DE时，当AD∥BC时，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：如图，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如图，当AD∥BC时，∠CAE＝45°+60°＝105°；综上所述，若BC与三角尺ADE的一直角边平行，则∠CAE的度数为15°或105°，故答案为：15°或105°．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．5．求证：（1）∠1+∠2＝90°；（2）BE∥DF．【分析】（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC＝180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；（2）由互余可得∠1＝∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．【解答】证明：（1）∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴2（∠1+∠2）＝180°，∴∠1+∠2＝90°；（2）在△FCD中，∵∠C＝90°，∴∠DFC+∠2＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠DFC，∴BE∥DF．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握四边形内角和为360度，同位角相等，两直线平行．6．（2024春•卢龙县期末）如图，∠A＝59°，∠D＝121°，∠1＝3∠2，∠2＝24°，点P是BC上的一点．（1）求∠DFE的度数；（2）若∠BFP＝48°，请判断CE与PF是否平行．【分析】（1）根据同位角、内错角以及同旁内角的定义，即可得出结论；（2）根据平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠A＝59°，∠D＝121°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠DFE＝∠1，∵∠1＝3∠2，∠2＝24°，∴∠DFE＝72°；（2）CE∥PF，理由：∵∠DFE＝72°，∴∠BFC＝72°，∵∠BFP＝48°，∴∠PFC＝72°﹣48°＝24°，∵∠2＝24°，∴∠PFC＝∠2，∴CE∥PF．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、同位角、内错角以及同旁内角，解题的关键是：（1）能够找出一个角的同位角、内错角以及同旁内角；（2）得出AB∥CD；（3）熟悉各平行线的判定定理．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角证出两直线平行是关键．7．（2024春•滨海县月考）已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F，∠BED＝90°（1）AB与CD平行吗？试说明理由．（2）试探究∠EFD与∠BDE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠FBD+∠BDE＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．（2）已知∠BED＝90°，那么∠EFD+∠FDE＝90°，将等角代换，即可得出∠EFD与∠BDE的数量关系．【解答】解：（1）AB与CD平行，理由如下：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，∴∠FBD=12∠ABD，∠BDE=1∵∠BED＝90°∴∠FBD+∠BDE＝90°，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）（2）∠EFD+∠BDE＝90°，理由如下：∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠FDE；∴∠BED＝90°＝∠DEF，∴∠EFD+∠FDE＝90°，∴∠EFD+∠BDE＝90°．【点评】此题主要考查了平行线的判定，平行线的判定定理是解题的关键，难度不大．8．（2024秋•达川区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，过点D作DF∥BE交AC于点F．（1）求证：DF是∠ADE的平分线；（2）若∠BED＝28°，若∠ACB＝81°，求∠AFD的度数．【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，再利用平行线的性质可得∠DEB＝∠CBE，从而可得∠DEB＝∠ABE，然后再利用平行线的性质可得∠ADF＝∠ABE，∠EDF＝∠DEB，从而利用等量代换可得∠ADF＝∠EDF，即可解答；（2）利用平行线的性质可得∠AED＝∠ACB＝81°，然后利用平行线的性质可得∠EDF＝∠BED＝28°，再利用三角形的外角性质可得∠AFD＝∠FDE+∠DEF＝109°，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠DEB＝∠ABE，∵DF∥BE，∴∠ADF＝∠ABE，∠EDF＝∠DEB，∴∠ADF＝∠EDF，∴DF是∠ADE的平分线；（2）解：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝81°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠BED＝28°，∵∠AFD是△DFE的一个外角，∴∠AFD＝∠FDE+∠DEF＝28°+81°＝109°，∴∠AFD的度数为109°．【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义，以及平行线的性质是解题的关键．9．（2024春•长安区校级期中）如图，直线EF与直线AB，CD分别相交于点M，O，OP，OQ分别平分∠COE和∠DOE，与AB交于点P，Q，已知∠OPQ+∠DOQ＝90°．（1）若∠DOQ：∠DOF＝2：5，求∠FOQ的度数；（2）对AB∥CD说明理由．【分析】（1）由OQ分别平分∠DOE，得到∠EOQ＝∠DOQ，又∠DOQ：∠DOF＝2：5，推出∠EOQ=22+2+5×180°＝40°，即可求出∠FOQ（2）由角平分线定义推出∠POQ=12∠COD=12×180°＝90°，得到∠PQO+∠OPQ＝90°，又∠OPQ+∠DOQ＝90°，得到∠PQO＝∠DOQ【解答】解：（1）∵OQ分别平分∠DOE，∴∠EOQ＝∠DOQ，∵∠DOQ：∠DOF＝2：5，∴∠EOQ：∠DOQ：∠DOF＝2：2：5，∵∠EOQ+∠DOQ+∠DOF＝180°，∴∠EOQ=2∴∠FOQ＝180°﹣∠EOQ＝140°；（2）∵OP，OQ分别平分∠COE和∠DOE，∴∠POM=12∠COM，∠QOM=1∴∠POM+∠QOM=12（∠COM+∠∴∠POQ=12∠COD∴∠PQO+∠OPQ＝90°，∵∠OPQ+∠DOQ＝90°，∴∠PQO＝∠DOQ，∴AB∥CD．【点评】本题考查平行线的判定，角平分线定义，关键是掌握平行线的判定方法；由角平分线定义，推出∠POQ=12∠COD10．（2024秋•青山区期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）求证：CE∥GF；（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；（3）若∠EHF＝100°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，可证CE∥GF；（2）根据平行线的性质可得∠C＝∠FGD，根据等量关系可得∠FGD＝∠EFG，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠AED与∠D之间的数量关系；（3）根据对顶角相等可求∠DHG，根据三角形外角的性质可求∠CGF，根据平行线的性质可得∠C，∠AEC，再根据平角的定义可求∠AEM的度数．【解答】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF；（2）解：∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D＝180°；（3）∵∠DHG＝∠EHF＝100°，∠D＝30°，∴∠CGF＝100°+30°＝130°，∵CE∥GF，∴∠C＝180°﹣130°＝50°，∵AB∥CD，∴∠AEC＝50°，∴∠AEM＝180°﹣50°＝130°．【点评】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．11．（2024春•双流区校级月考）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）填空：∠1＝°，∠2＝°；（2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，若∠2恰好是∠1的32倍，求n（3）如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至第一次与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t（s）．在旋转过程中，是否存在BM∥QN；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；（2）根据∠2恰好是∠1的32（3）分两种情况，根据∠AQN＝∠ABM画出图形，列方程可解得答案．【解答】解：（1）∵DG∥EF，∴∠AQG＝∠ABC＝60°，∠2＝∠ACF＝90°，∴∠1＝180°﹣60°＝120°；故答案为：120，90；（2）∵∠2恰好是∠1的32∴90+n=3解得n＝36，∴n的值是36；（3）存在BM∥NQ，理由如下：如图：则∠FBM＝（2t）°，∠AQN＝（3t）°，∵BM∥NQ，∴∠AQN＝∠ABM＝∠ABF﹣∠FBM，∴3t＝60﹣2t，解得t＝12；如图：∵BM∥NQ，∴∠ABM＝∠BQN，∴2t﹣60＝180﹣3t，解得t＝48，综上所述，t的值为12或48．【点评】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用．三、压轴题1．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为时，CD与AB平行．【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．【解答】解：分三种情况：如图①，AB与CD在EF的两侧时，∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°，解得t＝4；此时（180°﹣60°）÷6＝20，∴0＜t＜20；②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°，解得t＝40，此时（360°﹣60°）÷6＝50，∴20＜t＜50；③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°，要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°，解得t＝40，此时t＞50，∵40＜50，∴此情况不存在．综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行．故答案为：4秒或40秒．【点评】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．2．（2024秋•徐州校级期末）如图，AB∥CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠【分析】根据拐角∠F和∠Q的特性，作FT∥CD，QK∥AB，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角∠DFT，∠TFB，∠DQK，∠KQB对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出∠DFB，∠DBQ两者的数量关系．【解答】解：过点F作FT∥CD，过点Q作QK∥AB∵AB∥CD，∴CD∥FT∥QK∥AB，∴∠DFT＝∠CDF，∠TFB＝∠ABF，∠DQK＝∠GDQ，∠KQB＝∠QBH，∴∠DFB＝∠DFT+∠TFB＝∠CDF+∠ABF∠DQB＝∠DQK+∠KQB＝∠GDQ+∠QBH，∵∠ABF=2∴∠DFB=∠CDF+∠ABF=2∴32∵DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，∴∠DQB=∠GDQ+∠QBH=1∵∠GDE+∠CDE＝180°，∠HBE+∠ABE＝180°，∴∠DQB=1∴∠DQB=180°−12(∠CDE+∠ABE)∴∠DQB+3故答案为：∠DQB+3【点评】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键．3．（2024秋•城关区校级期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时（不包含重合的情形），此时t的值为．【分析】分情况讨论：当AB∥DE时；当AB∥CE时；当AB∥CD时；结合图形求出∠ACE的度数，即可求出t的值．【解答】解：如图1，当AB∥DE时，此时BC与CD重合，∴∠ACE＝30°+45°＝75°，∴t＝75°÷5°＝15（s）；如图2，当AB∥CE时，∴∠BCE＝∠B＝90°，∴∠ACE＝90°+45°＝135°，∴t＝135°÷5°＝27（s）；如图3，当AB∥CD时，∴∠BCD＝∠B＝90°，∴∠ACE＝90°+30°+45°＝165°，∴t＝165°÷5°＝33（s）；综上，t＝15或27或33，故答案为：15或27或33．【点评】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，关键在于数形结合，分类讨论．4．如图，已知AB∥CD，P是射线AB上一动点（不与点A重合），CE，CF分别平分∠ACP与∠PCD，分别交射线AB于点E，F．（1）若∠A＝52°，求∠ECF的度数；（2）在点P的运动过程中，∠CPA与∠CFA的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CPA与∠CFA的数量关系；（3）当点P运动到使∠AEC＝∠ACF时，探究∠ACE与∠FCD的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据AB∥CD，可得∠A+∠ACD＝180°，从而得到∠ACD＝128°，再由角平分结的定义，可得∠ECF=1（2）根据AB∥CD，可得∠CPA＝∠PCD，∠CFA＝∠FCD，再由∠FCD=∠PCF=12∠PCD，可得∠PCD（3）根据AB∥CD，可得∠AEC＝∠ECD，再由∠AEC＝∠ACF，可得∠ACE＝∠FCD，即可求解．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，又∠A＝52°，∴∠ACD＝128°，∵CE，CF分别平分∠ACP与∠PCD，∴∠ECP=12∠ACP∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=1（2）在点P的运动过程中，∠CPA与∠CFA的数量关系不随之发生变化，∠CPA＝2∠CFA．理由如下：∵AB∥CD，∴∠CPA＝∠PCD，∠CFA＝∠FCD，又∵∠FCD=∠PCF=1∴∠PCD＝2∠FCD，∴∠BPA＝2∠BDA；（3）∠ACE＝∠FCD．理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∵∠AEC＝∠ACF，∴∠ECD＝∠ACF，即∠ACE+∠ECF＝∠FCD+∠ECF，∴∠ACE＝∠FCD．【点评】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．5．（2024秋•沙坪坝区校级期末）已知，四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°．（1）如图1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的邻补角，判断DF与BE的位置关系；（2）如图2，若BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DF与BE的位置关系．【分析】（1）由题意可知∠ADC＝∠NBC，在△BOG和△COD中，利用三角形内角和求出∠BGO＝∠DCO＝90°即可得结论；（2）再由角平分线的定义可得∠DHF=12∠ADM＝90°，再由（1）可得BE∥【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠NBC＝180°，∴∠ADC＝∠NBC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADO＝∠CDO，∵BE平分∠ABC的邻补角，∴∠OBE＝∠NBE，∴∠OBE＝CDO，∵∠DOC＝∠BOE，∴∠DCO＝∠OGB，∵∠DCB＝90°，∴∠BGO＝90°，∴DF⊥BE；（2）过点D作DH平分∠ADC交BE于点H，由（1）可知，DH⊥BE，∵DF平分∠MDC，∴∠MDF＝∠CDF，∵BH平分∠ADC，∴∠DHF=12∠∴DH⊥BE，∵DH⊥DF，∴BE∥DF．【点评】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义，四边形的内角和定理是解题的关键．6．（2024秋•双流区期末）已知：AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点P是线段EF上一点，M，N分别在射线EB，FD上，连接PM，PN．（1）如图1，求证：∠MPN＝∠EMP+∠FNP；（2）如图2，当MP⊥NP时，MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，求∠MQN的度数．【分析】（1）过点P作PH∥AB，证明AB∥PH∥CD得∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP，∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP，由此即可得出结论；（2）根据角平分线的定义设设∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β，则∠EMP＝2α，∠DNP＝2β，进而得∠FNP＝180°﹣2β，∠FNQ＝180°﹣β，然后根据（1）的结论得∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ，由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得β﹣α＝45°，由∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ即可得出答案．【解答】（1）证明：过点P作PH∥AB，如图所示：∵AB∥CD，∴AB∥PH∥CD，∴∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP，∴∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP，即∠MPN＝∠EMP+∠FNP；（2）∵MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，∴设∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β，∴∠EMP＝2α，∠DNP＝2β，∴∠FNP＝180°﹣∠DNP＝180°﹣2β，∴∠FNQ＝∠FNP+∠PNQ＝180°﹣2β+β＝180°﹣β，∵MP⊥NP，∴∠MPN＝90°，由（1）的结论得：∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ，由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得：90°＝2α+180°﹣2β，∴β﹣α＝45°，∴∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ＝α+180°﹣β＝180°﹣（β﹣α）＝135°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，理解垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．7．（2024春•翁源县期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，设∠ACE＝x．（1）填空：∠BCE＝，∠ACD＝；（用含x的代数式表示）（2）若∠BCD＝5∠ACE，求∠ACE的度数；（3）若三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，当∠BCE等于度时，CD∥AB，请说明理由．【分析】（1）根据题意直接得出即可；（2）先得出∠BCD＝180°﹣x，再根据∠BCD＝5∠ACE解得x的值即可；（3）分情况讨论求值即可．【解答】解：（1）由题知，∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣x，∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣x，故答案为：90°﹣x，90°﹣x；（2）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∴∠BCD＝90°+（90°﹣x）＝180°﹣x，∵∠BCD＝5∠ACE，∴180°﹣x＝5x，解得x＝30°，即∠ACE＝30°；（3）若CD∥AB分以下两种情况：①如图①，此时∠BCD+∠B＝180°，∵∠B＝60°，∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°+∠BCE，∴（90°+∠BCE）+60°＝180°，∴∠BCE＝30°；②如图②所示，此时∠BCD＝∠B＝60°，∵∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BCE＝90°+60°＝150°，综上，当∠BCE等于30或150度时，CD∥AB．故答案为：30或150．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．8．【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G．【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由；【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数；【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG．【分析】（1）根据平行线的判定得AB∥EF，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行；（2）根据平行线的判定和性质得∠FEA的度数，再运用角平分线定义计算求得∠GEC的度数，进一步求得∠FEC的度数，最后根据平行线的判定得EF∥CD，即可得出结论；（3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系．【解答】（1）解：EF∥CD，理由如下：∵∠1＝∠2，∴AB∥EF，∴∠AEF＝∠MAE，∵∠MAE＝45°，∠FEG＝15°∴∠AEG＝60°，∵EG平分∠AEC，∴∠CEG＝∠AEG＝60°，∴∠CEF＝∠CEG+∠FEG＝75°，∠NCE＝75°，∴∠NCE＝∠CEF，∴EF∥CD．（2）解：∵∠1＝∠2，∴AB∥EF，∴∠FEA+∠MAE＝180°，∠MAE＝140°，∴∠FEA＝40°，∠FEG＝30°，∴∠AEG＝70°，∵EG平分∠AEC，∴∠CEG＝∠AEG＝70°，∴∠FEC＝100°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠NCE+∠FEC＝180°，∴∠NCE＝80°．（3）证明：∵∠1＝∠2，∴AB∥EF，∴∠MAE+∠FEA＝180°，∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG，∵EG平分∠AEC，∴∠GEC＝∠AEG，∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG，∵AB∥CD，AB∥EF，∴EF∥CD，∴∠FEC+∠NCE＝180°，∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°，∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE，即∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG．【点评】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键掌握平行线的性质与判定．9．（10分）（2024春•望奎县期末）三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．（1）如图1，求证：CF∥AB；（2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成证明；（2）如图2，过点E作EK∥AB，可得CF∥AB∥EK，再根据平行线的性质即可得结论；（3）根据∠EBC：∠ECB＝7：13，可以设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，然后根据∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，13x+7x+100＝180，求出x的值，进而可得结果．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠BCF+∠ADE＝180°．∴∠BCF+∠B＝180°．∴CF∥AB；（2）解：如图2，过点E作EK∥AB，∴∠BEK＝∠ABE＝40°，∵CF∥AB，∴CF∥EK，∴∠CEK＝∠ACF＝60°，∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；（3）∵BE平分∠ABG，∴∠EBG＝∠ABE＝40°，∵∠EBC：∠ECB＝7：13，∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，∴13x+7x+100＝180，解得x＝4，∴∠EBC＝7x°＝28°，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．10．（2024秋•崇川区期末）如图1，点E在BC的延长线上，已知AD∥BE，∠B＝∠D．（1）求证：AB∥CD；（2）连接AE，∠BAE的平分线和∠DCE的平分线所在的直线相交于点F（点F与点C不重合）．①如图2，若∠BAE＝66°，∠DCE＝70°，且点F在∠DCE平分线的反向延长线上，则∠AFC＝°；②试探究∠DAE与∠AFC之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）先由AD∥BE得∠D＝∠DCE，再根据∠B＝∠D，由此可得∠B＝∠DCE，据此根据平行线的判定可得出结论；（2）①过点F作FM∥AB，延长FC交AE于H，先根据角平分线的定义求出∠BAF＝33°，∠DCH＝35°，再证AB∥FM∥CD，进而得∠AFM＝∠BAF＝33°，∠CFM＝∠DCH35°，然后∠AFC＝∠AFM+∠CFM可得出∠AFC的度数；②过点F作FN∥AB，延长FC交AE于P，设∠BAF＝α，∠DCP＝β，由角平分线的定义得∠EAF＝∠BAF＝α，∠BAE＝2α，∠DCE＝2∠PCE＝2β，由AB∥CD得∠B＝∠DCE＝2β，由AD∥BE得∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣2β，据此可得∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝180°﹣2（α+β），然后证FN∥AB∥CD，则∠AFN＝∠BAF＝α，∠CFN＝∠DCP＝β，由此得∠AFC＝∠AFN+∠CFN＝α+β，据此即可得出∠DAE与∠AFC之间的数量关系．【解答】（1）证明：如图1所示：∵AD∥BE，∴∠D＝∠DCE，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD；（2）①过点F作FM∥AB，延长FC交AE于H，如图2所示：∵∠BAE＝66°，AF平分∠BAE，∴∠BAF=12∠∵∠DCE＝70°，点F在∠DCE平分线的反向延长线上，∴C