专题 与相交线有关的计算问题(解答题)（5大题型提分练）-2024-2025学年七年级数学下册同步练习（北师大版）

PAGE1（北师大版）七年级下册数学《第2章相交线与平行线》专题与相交线有关的计算问题(解答题)题型一直接利用相交线的性质求角度1．（2024秋•高新区校级期末）如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度数．【分析】根据∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，求出∠EOC30°，根据对顶角的性质得∠BOC＝∠AOD＝80°，即可求出∠EOB的度数．【解答】解：∵∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，∴∠EOC=1∵∠AOD＝80°，∴∠BOC＝∠AOD＝80°，∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝30°+80°＝110°．【点评】本题考查对顶角的性质和角的计算，掌握对顶角相等是解题的关键．2．（2024秋•庆阳期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝89°，OF平分∠AOE，∠COF＝31°，求∠BOD的度数．【分析】先求出∠EOF，然后根据角平分线的定义求出∠AOE，再求出∠AOC的度数，然后根据对顶角相等解答即可．【解答】解：∵∠COE＝89°，∠COF＝31°，∴∠EOF＝89°﹣31°＝58°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝116°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣116°＝64°，∴∠BOD＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝180°﹣89°﹣64°＝27°．【点评】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等的性质，角的计算，是基础题，准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．3．（2024秋•天河区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度数．【分析】设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由邻补角的性质，求出x的值，再根据角平分线，计算出∠COE的度数，计算即可．【解答】解：设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由题意得：x+4x＝180，解得：x＝36，∴∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°，∵OE是∠BOC的平分线，∴∠BOE＝∠COE=12∠BOC【点评】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系．4．（2024春•广州期中）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝90°，OF平分∠BOC，∠1＝2∠2，求∠COF的度数．【分析】先根据邻补角的定义求出∠BOE＝90°，再根据∠1＝2∠2可求出∠2＝30°，然后根据对顶角的性质得∠AOC＝∠2＝60°，则可得∠BOC＝120°，最后根据角平分线的定义可得出∠COF的度数．【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝90°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝90°，∵∴∠BOE＝∠1+∠2，∠1＝2∠2，∴3∠2＝90°，∴∠2＝30°，∵∠AOC＝∠2＝30°，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝150°，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠【点评】此题主要考查了角平分线的定义，邻补角的定义，对顶角的性质，角的计算，理解角平分线的定义，邻补角的定义，对顶角的性质，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．5．（2024春•青秀区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．（1）∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC＝70°，且∠BOE：∠EOD＝2：3，求∠DOE的度数．【分析】（1）根据对顶角，邻补角的定义求解即可；（2）根据对顶角相等，邻补角互补求解即可．【解答】解：（1）由题意得：∠AOC的对顶角为∠BOD；∠BOE的邻补角为∠AOE，故答案为：∠BOD，∠AOE；（2）设∠BOE＝2x，∵∠BOE：∠EOD＝2：3，∴∠EOD＝3x，∵∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠EOD+BOE＝∠AOC＝70°，∴2x+3x＝70°，∴x＝14°，∴∠DOE＝3x＝42°．【点评】本题考查了对顶角，邻补角，解题的关键是掌握对顶角相等，邻补角互补．6．（2024秋•定边县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°，（1）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠BOD的度数；（2）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数．【分析】（1）根据OE平分∠BOC，可得∠COE＝∠BOE，再结合∠BOD：∠BOE＝1：2可得∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，最后利用平角的定义即可求解；（2）由∠BOE＝70°可求得∠BOD＝40°，根据对顶角的定义可得∠AOC＝40°，然后根据∠COF＝90°，即可求得结果．【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE，∵∠BOD：∠BOE＝1：2，∴∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，∵∠BOD+∠BOE+∠EOC＝180°，∴∠BOD=180°×1（2）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝70°，∴∠BOC＝2∠BOE＝140°，∴∠BOD＝180°﹣140°＝40°，∴∠AOC＝∠BOD＝40°，∵∠COF＝90°，∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°．【点评】本题考查了角平分线的性质、平角的定义、对顶角的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．7．（2024秋•海安市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD的内部，∠AOC＝70°−12∠（1）如图1，当∠AOE＝40°时，请写出与∠BOD互余的角，并说明理由；（2）如图2，若OF平分∠BOE，求∠DOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系可求出∠BOD＝50°，再根据互为余角的定义即可得出答案；（2）根据角平分线的定义、互为补角的定义以及图形中角的和差关系可得到∠AOE+2∠DOF+140°﹣∠AOE＝180°，进而求出∠DOF的度数．【解答】解：（1）∵∠AOC＝70°−12∠AOE，∠∴∠AOC＝70°−1∴∠BOD＝∠AOC＝50°，∴∠BOD+∠AOE＝50°+40°＝90°，即∠AOE与∠BOD互为余角；（2）∵OF平分∠BOE，∴∠BOF＝∠EOF=12∠∵∠AOE+2∠BOF＝180°，∴∠AOE+2∠DOF+2∠BOD＝180°，∵∠AOC＝70°−12∠AOE＝∠∴∠AOE+2∠DOF+140°﹣∠AOE＝180°，即∠DOF＝20°．【点评】本题考查角平分线，互为余角、互为补角以及对顶角，掌握角平分线，互为余角、互为补角的定义以及对顶角相等是正确解答的关键．8．（2024秋•城厢区校级期末）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．（1）若∠BOD=12∠COD，求∠（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．【分析】（1）根据对顶角的定义可得∠COD的度数，再根据∠BOD=12∠COD可得∠（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，利用角的和差运算即可解得x，进而可得∠BON的度数．【解答】解：（1）∵∠MON＝70°，∴∠COD＝∠MON＝70°，∵∠BOD=12∠∴∠BOD=1∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，∵∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，∵∠AOD＝2∠BOD，∴x+70＝2（3x﹣70），解得x＝42，∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．【点评】此题主要考查了角的计算，关键是掌握邻补角互补．题型二利用垂线的性质求角度1．（2024春•惠州期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE、OF在∠AOD内，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【分析】由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD的度数，根据OD平分∠BOE，可求出∠EOD，根据垂直的定义求出∠DOF＝90°，则∠EOF可求．【解答】解：∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD：∠AOD＝1：5．∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∵OD平分∠BOE，∴∠BOD＝∠EOD＝30°，∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∴∠EOF＝60°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟记概念并灵活运用是解题的关键，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．2．（2024秋•福州期末）如图，点B、O、C三点在同一直线上，∠DOE＝90°，（1）若AO⊥BC，∠AOE＝65°，求∠COE的度数；（2）若∠BOD：∠COE＝2：1，求∠COD的度数．【分析】（1）由垂直的定义可得∠AOC＝90°，再根据角度的和差可得出结论；（2）由∠DOE＝90°，可得∠BOD+∠COE＝90°，再结合比例关系，代入可得∠COE的度数，再根据角度的和差可得出结论．【解答】解：（1）∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∵∠AOE＝65°，∴∠COE＝90°﹣∠AOE＝25°；（2）∵∠BOD+∠DOE+∠COE＝90°，∠DOE＝90°，∴∠BOD+∠COE＝90°，∵∠BOD：∠COE＝2：1，∴∠BOD＝2∠COE，∴2∠COE+∠COE＝90°，∴∠COE＝30°，∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝120°．【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．3．（2024春•大冶市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．（1）若∠COE＝35°，则∠AOD的度数为°（直接写出结果）；（2）若∠AOD+∠COE＝170°，求∠COE的度数．【分析】（1）根据垂直定义可得∠EOB＝90°，从而求出∠COB的度数，再利用对顶角相等即可解答；（2）根据已知可得∠BOE+2∠COE＝170°，再根据∠BOE＝90°，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵∠COE＝35°，∴∠COB＝∠COE+∠EOB＝125°，∴∠AOD＝∠COB＝125°，故答案为：125；（2）∵∠AOD+∠COE＝170°，∴∠BOC+∠COE＝170°，∴∠BOE+∠COE+∠COE＝170°，∴∠BOE+2∠COE＝170°，∵∠BOE＝90°，∴∠COE＝40°，∴∠COE的度数为40°．【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．4．（2024秋•海口期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，EO⊥FO于点O．（1）若∠AOE＝36°，求∠AOD和∠COF的度数；（2）若∠AOE＝α（0°＜α＜90°），直接写出∠DOF的度数（用含α的代数式表示）．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠COE、∠AOC的度数，根据邻补角互补即可求出∠AOD的度数，再根据∠COF＝∠EOF﹣∠COE求解即可；（2）根据角平分线的定义求出∠COE的度数，再根据EO⊥FO求出∠COF的度数，根据邻补角互补即可求出∠DOF的度数．【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，∠AOE＝36°，∴∠COE＝∠AOE＝36°，∴∠AOC＝2∠AOE＝72°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣72°＝108°，∵EO⊥FO，∴∠EOF＝90°，∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣36°＝54°；（2）∵OE平分∠AOC，∠AOE＝α，∴∠COE＝∠AOE＝α，∵EO⊥FO，∴∠EOF＝90°，∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣α；∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．【点评】本题考查了垂线，邻补角，角平分线，熟练掌握垂直的定义，邻补角互补是解题的关键．5．（2024秋•苍南县期末）如图，直线AB与直线CD交于点O，射线OE在∠AOD内部，OF是∠EOB的平分线，且∠FOD＝20°．（1）若EO⊥OD，求∠AOC的度数．（2）若∠EOD＝2∠BOD，求∠AOD的度数．【分析】（1）先求∠EOF，再求∠BOD即可求出答案；（2）设∠BOD＝x°，根据题意列出方程式，再根据补角的定义即可解决问题，【解答】解：（1）∵EO⊥OD，∴∠EOD＝90°，∵∠FOD＝20°，∴∠EOF＝∠EOD﹣∠FOD＝70°，∵OF是∠EOB的平分线，∴∠BOF＝∠EOF＝70°，∴∠BOD＝∠BOF﹣∠FOD＝50°，∴∠AOC＝∠BOD＝50°．（2）设∠BOD＝x°，则∠EOD＝2x°，∵∠FOD＝20°，∴∠EOF＝∠EOD﹣∠FOD＝（2x﹣20）°，∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝（x+20）°，∵OF是∠EOB的平分线，∴∠BOF＝∠EOF，∴2x﹣20＝x+20，∴x＝40，∴∠BOD＝40°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝140°．【点评】本题主要考查了垂线、角平分线的定义以及角的计算，解决本题的关键是熟练运用这些知识点建立等量关系式．6．（2024春•船营区校级月考）如图所示，已知直线AB与CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，且∠COE＝2∠AOC．（1）求∠DOE的度数；（2）过点O在AB上方作射线OF，若∠DOF＝4∠AOF，求∠COF的度数．【分析】（1）根据垂线的定义得到∠AOE＝∠BOE＝90°，根据∠COE＝2∠AOC求出∠BOD＝30°，再加上∠BOE即可；（2）先由平角得出∠AOD＝150°，根据∠DOF＝4∠AOF知∠AOF＝30°，继而由∠FOC＝∠AOF+∠AOC可得答案．【解答】解：（1）∵EO⊥AB，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∵∠COE＝2∠AOC，∠COE+∠AOC＝90°，∴∠AOC=13∠AOE＝30°＝∠∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝120°；（2）∵∠AOC＝∠BOD＝30°，∠COD＝180°，∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，∵∠DOF＝4∠AOF，∴∠AOD＝∠DOF+∠AOF＝4∠AOF+∠AOF＝5∠AOF＝150°，∴∠AOF＝30°，∴∠COF＝∠AOF+∠AOC＝60°．【点评】本题主要考查垂线的定义，掌握垂线的定义及对顶角、邻补角是解题的关键．7．（2024春•道外区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC．（1）若∠DOE＝130°，求∠BOC的度数；（2）过点O作OF⊥OE，请直接写出和∠BOF互补的角．【分析】（1）根据邻补角的定义先求出∠EOC，然后求出求出∠AOC，再根据邻补角的定义求出∠BOC即可；（2）因为OF⊥OE，所以∠FOC+∠EOC＝90°，则∠BOF+∠AOF＝90°，而∠AOF＝∠EOC，所以∠BOF＝∠FOC，根据补角的定义写出∠BOF的补角即可．【解答】解：（1）∵∠DOE＝130°，∴∠EOC＝50°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠EOC＝2×50°＝100°，∴∠BOC＝180°﹣100°＝80°；（2）∵OF⊥OE，∴∠FOC+∠EOC＝90°，∴∠BOF+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝∠EOC，∴∠BOF＝∠FOC，∴与∠BOF互补的角是∠AOF和∠DOF．【点评】本题考查角平分线的定义，对顶角，邻补角，理解邻补角、补角余角以及角平分线的定义是正确解答的前提．8．（2024春•蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度数．【分析】（1）根据角平分线的意义，得到∠COM=12∠AOC，∠CON=1（2）先求出∠MON，再根据∠MON：∠AOC＝2：7，求出∠AOC，再根据角平分线的意义得出∠AOM，进而求出答案．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°；（2）∵∠COM=12∠AOC，∠CON=1∴∠MON=12（∠AOC﹣∠BOC）=1∵∠MON：∠AOC＝2：7，∴∠AOC＝140°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠∴∠AON＝∠AOM+∠MON＝70°+40°＝110°【点评】考查角平分线的意义，理清图形中各个角之间的关系是正确解答的关键．题型三通过计算说明两角的数量关系1．（2024春•渭城区期中）将下面的解答过程补充完整：已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOF，∠COE＝90°．试说明：∠FOB＝2∠AOC．解：因为OE平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（）因为∠COE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因为直线AB，CD相交于点O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝（）．因为直线AB，CD相交于点O，所以（），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．【分析】根据角平分线的定义、对顶角相等、角平分线的定义解答即可．【解答】解：因为OE平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（角平分线的定义）因为∠COE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因为直线AB，CD相交于点O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝∠FOD（等角的余角相等）．因为直线AB，CD相交于点O，所以∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．2．（2024秋•莲都区期末）如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；（2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由BF⊥AE得∠EBF＝90°，即可计算；（2）由∠CBE＝∠ABD，∠ABF＝90°，即可解决问题．【解答】（1）解：∵BF⊥AE，∴∠EBF＝∠ABF＝90°，∵∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE，∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°；（2）∠CBE﹣∠DBF＝90°．证明：∵∠ABD﹣∠FBD＝∠ABF，∴∠ABD﹣∠FBD＝90°，∵∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE﹣∠DBF＝90°．【点评】本题考查角度的计算，关键是掌握垂直的定义，对顶角相等．3．如图，直线AB与CD相交于O．OF是∠BOD的平分线，OE⊥OF．（1）若∠BOE比∠DOF大38°，求∠DOF和∠AOC的度数；（2）试问∠COE与∠BOE之间有怎样的大小关系？请说明理由．（3）∠BOE的余角是，∠BOE的补角是．【分析】（1）设∠BOF＝α，根据角平分线的定义得出∠DOF＝∠BOF＝α，得出方程38°+α+α＝90°，求出方程的解即可；（2）求出∠COE＝180°﹣∠DOE＝90°﹣∠DOF，根据垂直求出∠BOE＝90°﹣∠BOF，即可得出答案；（3）根据余角和补角定义求出即可．【解答】解：（1）设∠BOF＝α，∵OF是∠BOD的平分线，∴∠DOF＝∠BOF＝α，∵∠BOE比∠DOF大38°，∴∠BOE＝38°+∠DOF＝38°+α，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴38°+α+α＝90°，解得：α＝26°，∴∠DOF＝26°，∠AOC＝∠BOD＝∠DOF+∠BOF＝26°+26°＝52°；（2）∠COE＝∠BOE，理由是：∵∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣（90°+∠DOF）＝90°﹣∠DOF，∵OF是∠BOD的平分线，∴∠DOF＝∠BOF，∴∠COE＝90°﹣∠BOF，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠BOE＝90°﹣∠BOF，∴∠COE＝∠BOE；（3）∠BOE的余角是∠BOF和∠DOF，∠BOE的补角是∠AOE和∠DOE，故答案为：∠BOF和∠DOF，∠AOE和∠DOE．【点评】本题考查了余角、补角，对顶角、邻补角，角平分线定义等知识点，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键．4．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数；（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．【分析】（1）依据OF⊥CD，∠EOF＝54°，可得∠DOE＝90°﹣54°＝36°，再根据OE平分∠BOD，即可得出∠BOD＝2∠DOE＝72°，依据对顶角相等得到∠AOC＝72°；（2）依据OE平分∠BOD，可得∠BOE＝∠DOE，再根据OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，依据等角的余角相等，可得∠EOF＝∠AOG．【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF＝54°，∴∠DOE＝90°﹣54°＝36°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠DOE＝72°，∴∠AOC＝72°；（2）①如图所示：②∠AOG＝∠EOF；理由：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE，∵OF⊥CD，OG⊥OE，∴∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，∴∠EOF＝∠AOG．【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及余角的综合运用，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，解决问题的关键是掌握：等角的余角相等．5．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE＝α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？【分析】（1）、（2）根据平角的定义求得∠AOF，又有角平分线的定义求得∠FOC；然后根据对顶角相等求得∠EOD＝∠FOC；∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE，∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE；（3）由（1）、（2）的结果找出它们之间的倍数关系．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF＝180°（互为补角），∠AOE＝40°，∴∠AOF＝140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=12∠∴∠EOD＝∠FOC＝70°（对顶角相等）；而∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝50°，∴∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE＝20°；（2）∵∠AOE+∠AOF＝180°（互为补角），∠AOE＝α，∴∠AOF＝180°﹣α；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=12∠AOF＝90°−∴∠EOD＝∠FOC＝90°−12而∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝90°﹣α，∴∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE=12（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE＝2∠BOD．【点评】本题利用垂直的定义，对顶角和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．6．（2024春•香坊区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM＝∠DON＝90°．（1）如图1，若∠COM＝35°，求∠BON的度数；（2）如图1，请直接写出图中所有互余的角；（3）如图2，若射线OE在∠MOB的内部，且12∠MON﹣∠BOE＝45°，请比较∠MOE与∠DOE【分析】（1）先求出∠AOC，根据对顶角相等求出∠BOD，已知∠DON＝90°，可求得∠BON的度数；（2）根据互余的定义判断即可，互余的两个角和为90度；（3）可设∠MOC＝x，则∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，根据已知可得∠BOE=12x，进而得出∠MOE和∠【解答】解：（1）∵BOM＝90°，∴∠AOM＝90°，∵∠COM＝35°，∴∠AOC＝55°，∴∠BOD＝55°，∵∠DON＝90°，∴∠BON＝∠BOD+∠DON＝55°+90°＝145°；（2）∵∠AOC+∠COM＝90°，∴∠AOC与∠COM互余，∵∠AOC+∠AON＝90°，∴∠AOC与∠AON互余，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠BOD与∠COM互余，∠BOD与∠AON互余；（3）∠MOE＝∠DOE，∵∠BOM＝∠DON＝90°，∴∠MOC＝∠AON，设∠MOC＝x，则∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，∵12∠MON﹣∠BOE∴12（90°+x）﹣∠BOE∴∠BOE=12∴∠MOE＝90°−12∠DOE＝∠BOE+∠BOE＝90°﹣x+12x＝90°−∴∠MOE＝∠DOE．【点评】本题考查了对顶角和邻补角，解题的关键是根据概念会判断并灵活运用，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．7．（2024秋•南岗区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．（1）如图1，求证：∠BOE﹣∠AOC＝90°；（2）如图2，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，即∠BOD＝∠FOD，求证：OE平分∠AOF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度数．【分析】（1）由垂直的定义及角度的和差计算可得；（2）证明OE平分∠AOF，即证明∠AOE＝∠EOF，通过题目中角度的和差运算可得；（3）设出∠FOG的度数，表示出∠AOE的度数，找到等量关系，列出等式，求出未知数的值，即可．【解答】解：（1）如图，∵AB，CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°，∴∠BOE﹣∠AOC＝90°．（2）如图，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠EOF+∠FOD＝90°，∴2∠EOF+2∠FOD＝180°，∵∠BOD＝∠FOD，∴∠FOB＝2∠FOD，∴2∠EOF＝180°﹣∠FOB＝∠AOF，∴∠AOE＝∠EOF，∴OE平分∠AOF．（3）如图，∵∠FOG：∠AOE＝2：3，∴设∠FOG＝2α，则∠AOE＝3α，∴∠EOG＝3α﹣2α＝α，∵∠EOG+∠GOD＝90°，∠GOD+∠BOD＝90°，∴∠EOG＝∠BOD＝α，∴∠FOD＝∠BOD＝α，∵A，O，B三点在一条直线上，∴3α+α+2α+α+α＝180°，解得α＝22.5°，∴∠COG＝112.5°．【点评】本题主要考查垂直的定义，角平分线的定义，角度的和差等内容，解题关键是找到图中角度之间的关系，列出等式．题型四通过计算说明两直线垂直1．（2022春•南昌期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．（1）判断OF与OD的位置关系，并证明；（2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EOF=12∠AOE，∠EOD=1（2）根据对顶角相等、余角的概念计算即可．【解答】解：（1）OF⊥OD，理由如下：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠EOF=12∠AOE，∠EOD=1∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠EOF+∠EOD＝90°，∴OF⊥OD；（2）∵∠AOC＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°，∴∠EOD＝∠BOD＝30°，∴∠EOF＝90°﹣∠EOD＝60°．【点评】本题考查的是对顶角、角平分线的定义、邻补角的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键．2．（2024秋•拱墅区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；（2）若∠1=13∠BOC，求∠【分析】（1）利用垂直的定义得出∠2+∠AOC＝90°，进而得出答案；（2）根据题意得出∠1的度数，即可得出∠BOD的度数．【解答】证明：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，∴ON⊥CD；（2）∵∠1=13∠∴∠BOM＝2∠1＝90°，解得：∠1＝45°，∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°【点评】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角、对顶角等知识，正确把握垂直的定义是解题关键．3．（2024秋•玄武区校级期末）如图，直线AB和直线CD交于点E，EF、EG分别平分∠AEC和∠BEC．（1）求证：EF⊥EG；（2）若∠AEF＝66°，求∠BEG的度数．【分析】（1）根据条件可求出∠AOC和∠BOC的和，再根据角平分线的意义求出∠EFG的度数；（2）根据∠AEF＝66°，求得∠AEC的度数，利用平角的定义算出∠BEC的度数，根据角平分线的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠AEC+∠BEC＝180°，∵EF、EG分别平分∠AEC和∠BEC，∴∠FEC+∠CEG=12（∠AEC+∠BEC）∴EF⊥EG；（2）解：∵∠AEF＝66°，EF平分∠AEC，∵∠AEC＝2∠AEF＝2×66°＝132°，∴∠BEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣132°＝48°，∵EG平分∠BEC，∴∠BEG=1【点评】本题考查对顶角、邻补角、角平分线的性质，正确的识图和推理是解决问题的关键．4．（2024春•墨玉县期末）如图，直线AB．CD相交于点O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．（1）求∠BOF的度数：（2）判断射线OE与OF之间的位置关系．并说明理由．【分析】（1）根据对顶角相等和角平分线即可求出答案；（2）求出求出∠EOF的度数，根据垂直定义求出即可．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝28°，∴∠BOD＝28°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=1（2）垂直，理由如下：∵∠AOC＝28°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣28°＝152°，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD=12∠AOD∠DOF=12∠BOD∴∠EOF＝∠EOD+∠DOF＝76°+14°＝90°，∴OE⊥OF．【点评】此题考查了对顶角及邻补角的定义，熟记对顶角及邻补角的性质是解题的关键．5．（2024春•邯郸期中）如图，直线AB，CD相交于点O，MO⊥AB，垂足为O．（1）若∠1＝∠2，求∠AOD的度数；（2）已知N是直线AB下方的一点，且NO⊥CD，在图中画出NO．若∠BOC＝2∠2，求∠BON的度数．【分析】（1）由MO⊥AB得到∠BOM＝∠AOM＝90°．由∠1＝∠2，得到∠1=∠2=12∠AOM=45°（2）由∠BOC+∠2＝180°，∠BOC＝2∠2得到∠2＝60°，则∠BOD＝∠2＝60°．由NO⊥CD得到∠NOD＝90°，即可得到答案．【解答】解：（1）∵MO⊥AB，∴∠BOM＝∠AOM＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠1=∠2=1∴∠AOD＝180°﹣∠2＝135°；（2）如图，∵∠BOC+∠2＝180°，∠BOC＝2∠2，∴3∠2＝180°，∴∠2＝60°，∴∠BOD＝∠2＝60°．∵NO⊥CD，∴∠NOD＝90°，∴∠BON＝∠BOD+∠NOD＝60°+90°＝150°．【点评】此题考查了垂直的定义、对顶角、邻补角等知识，熟练掌握相关角之间的关系是解题的关键．6．（2024春•阿瓦提县期末）如图①，直线AB，CD相交于点O．（1）若∠AOC+∠BOD＝120°，求∠AOD的度数．（2）分别作∠AOD、∠BOD的平分线OE，OF，如图②，请判断OE与OF之间的位置关系，并说明理由．【分析】（1）由对顶角的性质得到AOC＝∠BOD，而∠AOC+∠BOD＝120°，求出∠AOC＝60°，由邻补角的性质得到∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°；（2）由角平分线定义得到∠DOE+∠DOF=12（∠AOD+∠BOD），因此∠EOF=12∠AOB=1【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOD＝120°，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝60°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°；（2）OE⊥OF，理由如下：∵∠AOD、∠BOD的平分线分别是OE，OF，∴∠DOE=12∠AOD，∠DOF=1∴∠DOE+∠DOF=12（∠AOD+∠∴∠EOF=12∠AOB∴OE⊥OF．【点评】本题考查对顶角，邻补角，角平分线定义，垂线，关键是由对顶角的性质求出∠AOC＝60°，由角平分线定义得到∠EOF=12∠AOB7．（2024春•沂水县期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别是∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分线．（1）画出这个图形．（2）射线OE，OF在同一条直线上吗？为什么？（3）OE与OG有什么位置关系？说明理由．【分析】（1）画出这个图形即可；（2）根据角平分线定义即可判断射线OE，OF在同一条直线上；（3）由OG平分∠AOD，得∠AOG＝∠DOG，再由∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，得∠AOE+∠AOG＝90°，进而即可判断OE与OG的位置关系．【解答】解：（1）如图所示，（2）射线OE、射线OF在同一条直线上．理由如下：∵直线AB、CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD，∠AOC+∠AOD＝180°，∵OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∴∠AOE=12∠AOC，∠DOF=1∴∠AOE＝∠DOF，∴∠AOE+∠DOF＝∠AOC，∴∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，∴射线OE、射线OF在同一条直线上；（3）OE⊥OG．理由如下：∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG，∵∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，∴∠AOE+∠AOG＝90°，∴OG⊥OE．【点评】本题考查了作图﹣基本作图、直线、射线、线段、角平分线的定义、对顶角、邻补角，解决本题的关键是根据语句准确画图．题型五与相交线有关的角度计算综合题1．（2024秋•江汉区校级期末）如图，AB、CD交于点O．（1）可得到结论：∠AOC＝∠BOD，依据是：（直接填序号：①同角的补角相等，②同角的余角相等）；（2）若∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角是∠DOE的2倍，求∠BOC；（3）在（2）的条件下，从点O引出一条射线OP，当∠COP＝∠AOE+∠DOP时，∠BOP＝．（直接写出结果）【分析】（1）根据同角的补角相等，即可得到答案；（2）设∠DOE＝x，则∠AOE＝4x，根据题意列出方程，进而可得∠AOD，由对顶角相等，即可得到答案；（3）分两种情况讨论：当OP在∠AOD内时，当OP在∠BOD内时，根据角的和差关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵∠AOC+∠AOD＝180°，∠BOD+∠AOD＝180°，∴∠AOC＝∠BOD，判断依据是：同角的补角相等，故答案为：①；（2）设∠DOE＝x，则∠AOE＝4x，由题意得：90°﹣4x＝2x，解得：x＝15°，即∠DOE＝15°，∴∠AOE＝4x＝60°，∴∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝75°，∵∠BOC＝∠AOD，∴∠BOC＝75°；（3）由（2）知∠AOE＝60°，∠DOE＝15°，∠BOC＝∠AOD＝75°，∴∠AOC＝∠BOD＝180°﹣75°＝105°，设∠AOP＝α，∠BOP＝β，当OP在∠AOD内时，∴∠COP＝∠AOC+∠AOP，∴∠AOC+∠AOP＝∠AOE+∠DOP＝∠AOE+∠AOD﹣∠AOP，即105°+α＝60°+75°﹣α，解得：α＝15°，∴∠BOP＝180°﹣α＝165°；当OP在∠BOD内时，∴∠COP＝∠BOC+BOP，∴∠BOC+∠BOP＝∠AOE+∠DOP＝∠AOE+∠BOD﹣∠BOP，即75°+β＝60°+105°﹣β，解得：β＝45°，综上，∠BOP＝45°或165°，故答案为：45°或165°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，关键是角的和差计算．2．如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图1）．（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，则∠BEC＝度；（2）在（1）的条件下，若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大小；（3）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝100°（如图2），则∠AEG﹣∠CEG＝度．【分析】（1）设∠BEC的度数为x，根据∠BEC的补角是它的余角的3倍列方程为：180﹣x＝3（90﹣x），解方程可得；（2）设∠AEG＝x°，则∠CEG＝x﹣25，根据已知列方程为：x+（x﹣25）＝135，解方程可得；（3）根据角平分线的定义得：∠AEF＝∠DEF，根据∠FEG＝100°，得∠AEG＝100°﹣∠AEF，根据平角的定义可得∠CEG＝180°﹣100°﹣∠DEF，最后可得结论．【解答】解：（1）设∠BEC的度数为x，则180﹣x＝3（90﹣x），x＝45°，∴∠BEC＝45°，故答案为：45；（2）∵∠BEC＝45°，∴∠AEC＝135°，设∠AEG＝x°，则∠CEG＝x﹣25，由∠AEC＝135°，得x+（x﹣25）＝135，解得x＝80°，∴∠AEG＝80°；（3）∵射线EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF，∵∠FEG＝100°，∴∠AEG+∠AEF＝100°，∵∠CEG＝180°﹣100°﹣∠DEF＝80°﹣∠DEF，∴∠AEG﹣∠CEG＝100°﹣∠AEF﹣（80°﹣∠DEF）＝20°，故答案为：20．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．3．（2024秋•渠县期末）若直线AB和直线ED相交于点O，OC为∠BOE内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度数？（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度数？（3）请猜想，∠EOF度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则∠EOF度数是多少？【分析】（1）由对顶角的性质，得到∠AOE＝58°，再由角平分线的定义即可求解；（2）由角平分线的定义，对顶角的性质得到，∠COE＝α，∠COF＝90°﹣α，从而求出∠EOF的度数；（3）由角平分线的定义推出∠EOF=12∠【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB∵∠AOE＝∠BOD＝58°，∴∠AOF＝∠AOF+∠EOF＝58°+90°＝148°，（2）∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOE，∵∠AOE＝∠BOD＝α，∴∠AOC＝2α，∴∠BOC＝180°﹣2α，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠BOC＝90°﹣∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝α+90°﹣α＝90°；（3）∠EOF的度数不变，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB【点评】本题考查角的计算，关键是掌握角平分线的定义．4．（2024秋•滨湖区期末）如图，已知OE⊥AB，垂足为点O，直线CD经过点O．（1）若∠AOD＝35°，求∠COE的度数；（2）若∠BOC=23∠COE，求∠（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥CD，则∠EOF＝．（直接写出答案）【分析】（1）根据∠AOD＝35°，得∠BOC＝35°，由OE⊥AB，得到∠COE与∠BOC互余，从而得出结果；（2）根据∠BOC=23∠COE，得到∠BOC=25∠BOE=36°，由∠（3）先过点O作OF⊥CD，再分两种情况根据角的和差关系可求∠EOF的度数．【解答】解：（1）∵∠AOD＝35°，∴∠BOC＝∠AOD＝35°，∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠COE＝90°﹣35°＝55°；（2）∵∠BOC=2∴∠BOC=2∴∠BOC=2∴∠COE＝90°﹣36°＝54°，∵∠DOE+∠COE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣54°＝126°；（3）如图，当OF在CD下方时，则∠COF＝90°，由（2）知∠COE＝54°，∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝144°；如图，当OF在CD上方时，则∠COF＝90°，由（2）知∠COE＝54°，∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝36°，故答案为：36°或144°．【点评】本题考查的是垂直的性质，角平分线的定义，以及对顶角和邻补角．5．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23（1）求∠AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．【分析】（1）根据对顶角相等求出∠AOC的度数，设∠AOE＝2x，根据题意列出方程，解方程即可；（2）①根据角平分线的定义求出∠BOF的度数即可得结论；②分两种情况：当OF在∠BOC的内部时，如图2，根据α＝∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE可得结论；当OF在∠BOD的内部时，如图3，根据周角与∠AOF和∠AOE的差可得结论．【解答】解：（1）∵∠AOE=23∠EOC，即∠AOE：∠∴设∠AOE＝2x，则∠EOC＝3x，∴∠AOC＝5x，∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∴5x＝75°，解得：x＝15°，则2x＝30°，∴∠AOE＝30°；（2）①∵∠AOE＝30°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，∵OF平分∠BOE，∴∠BOF＝75°，∵∠BOD＝75°，∴∠DOF＝75°+75°＝150°；②分两种情况：当OF在∠BOC的内部时，如图2，∵∠AOF＝120°，∠AOE＝30°，∴α＝∠EOF＝120°﹣30°＝90°，当OF在∠BOD的内部时，如图3，∴α＝360°﹣∠AOF﹣∠AOE＝360°﹣120°﹣30°＝210°，综上所述，α的度数为90°或210°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键，并注意分类讨论的思想．6．（2024秋•上城区期末）直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．（1）如图（1），若∠BOD＝27°44'，求∠AOE的度数．（2）如图（2），作射线OF使∠EOF＝∠AOE，则OD是∠BOF的平分线．请说明理由．（3）在图（1）上作OG⊥AB，写出∠COG与∠AOE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据垂直的定义进行计算即可；（2）根据垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等可得答案；（3）根据垂直的定义，平角的定义以及对顶角相等、同角的余角相等进行计算即可．【解答】解：（1）∵OE⊥CD．∴∠COE＝90°，即∠AOC+∠AOE＝90°，∵∠BOD＝27°44'＝∠AOC，∴∠AOE＝90°﹣27°44′＝62°16′；（2）∵OE⊥CD．∴∠COE＝∠DOE＝90°，即∠AOC+∠AOE＝∠DOF+∠EOF＝90°，∵∠EOF＝∠AOE，∴∠AOC＝∠DOF，又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD＝∠DOF，即OD是∠BOF的平分线；（3）如图，∠COG+∠AOE＝18