黑龙江省新时代高中教育联合体2025届高三下学期4月考试数学试题（原卷版+解析版）

数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知随机变量，则（）A. B. C. D.3.已知，则（）A. B.1 C. D.24.若，且，则（）A. B. C. D.5.圆与的公共弦长为（）A. B. C. D.46.在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点直线斜率为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教.现将5名男大学生和4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.是的一条对称轴B.与函数相等C.在区间上单调递减D.在区间上的取值范围是10.已知函数，若函数存在两个零点，则的取值可能是（）A B.1 C.2 D.311.由变量和变量组成的10个成对样本数据得到的经验回归方程为，设过点的直线方程为，记，则（）A.变量正相关B.若，则C.经验回归直线至少经过中的一个点D三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________.13.已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则________.14.若直线为函数图象一条切线，则的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求a的取值范围.16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求角C；（2）若，M为内一动点，且，求的最小值.17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与过点的直线l交于A，B两点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）过点且不过点的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.18.如图，两个底面相同的正四棱锥，顶点M，N位于底面两侧，底面ABCD是边长为6的正方形.（1）证明：平面平面BMDN；（2）若且，点P满足，求直线AM与平面BPN所成角的正弦值.19.甲、乙两位同学做一次游戏，起初两名同学各有一个盒子，盒内装有相同数量的糖果，规定每轮游戏由两名同学各掷一枚骰子，若两枚骰子的点数之积为奇数，就从乙的盒子中取一颗糖放入甲的盒子中，若点数之积为偶数，就从甲的盒子中取一颗糖放入乙的盒子中，直至一方盒中的糖果被取空后再次需要取出糖果时游戏结束.（1）假设甲、乙两位同学起初拥有超过三颗糖果，求在三轮游戏后，甲同学盒子中的糖数多于乙同学的概率；（2）若起初甲、乙两名同学盒子中各有4颗糖果，求游戏结束时，乙同学的盒子中没有糖果的概率.

数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上所对应的点在（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，确定复数，再根据复数的几何意义进行判断即可.【详解】复数.故选：A2.已知随机变量，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二项分布的概率公式即可.【详解】故选：D.3.已知，则（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用整体替换取值代入计算即可.【详解】由可知,取,可得,则.故选：A.4.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，结合角的取值范围，可确定角的值，进而求.详解】由，则，则，又，所以，所以，.故选：B5.圆与的公共弦长为（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长.【详解】圆：①，所以，.圆：②，所以，.因为，所以圆与圆相交.因此公共弦所在直线的方程为①②：，圆的圆心到公共弦的距离为，即公共弦长为.故选：A6.在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将正四面体ABCD中置于正方体中，分析易得，可得为直线AN与CM所成角（或补角），进而结合余弦定理求解即可.【详解】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图，易得，，所以四边形为平行四边形，则，则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角，即为直线AN与CM所成角（或补角），设正方体的棱长为2，则，，在中，由余弦定理可得，，因此直线AN与CM所成角的余弦值为.故选：C.7.已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用“点差法”探索的关系，再根据双曲线离心率的概念求双曲线的离心率.【详解】设，，则，①，②因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，由得：中点坐标为，所以，且.①②可得，则，故选：D8.为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教.现将5名男大学生和4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设事件“每所学校都有男大学生”，事件“甲学校没有女大学生”，再求，再利用条件概率的概率公式计算.【详解】设事件“每所学校都有男大学生”，事件“甲学校没有女大学生”，则，，则，因此在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.是的一条对称轴B.与函数相等C.在区间上单调递减D.在区间上的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】求函数的对称轴，判断A的真假；利用诱导公式进行转化，可判断B的真假；利用换元思想，结合正弦曲线的性质，可判断C的真假；结合三角函数在给定区间上值域的求法求函数值域判断D的真假.【详解】，令，，，当时，为的一条对称轴，A正确；，B错误；令，当时，，显然在上不单调，C错误；当时，，所以，∴，D正确.故选：AD10.已知函数，若函数存在两个零点，则的取值可能是（）A. B.1 C.2 D.3【答案】BCD【解析】【分析】化简，作出图象，由图像即可得到的取值范围，得出答案.【详解】，图象如图则在上共有3个零点，即在上有3个根，，，.又因为函数在上存在两个零点，故.故选：BCD.11.由变量和变量组成的10个成对样本数据得到的经验回归方程为，设过点的直线方程为，记，则（）A.变量正相关B.若，则C.经验回归直线至少经过中的一个点D.【答案】ABD【解析】【分析】根据回归直线的相关性质分别判断各个选项即可.【详解】对于A:回归方程一次项系数大于零是正相关，A正确；对于B:代入回归直线可得，B正确；经验回归直线可以不经过任意一个点，C错误；根据回归直线的求法最小二乘法值，回归直线的残差平方和最小，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________.【答案】【解析】【分析】先根据条件，结合向量数量积的有关运算，求出，再求向量的模.【详解】设，则：，则.所以：.故答案为：13.已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则________.【答案】4【解析】【分析】根据等差、等比数列的通项公式、求和公式，进行化简求值即可.【详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，则，即，可得，.故答案为：4.14.若直线为函数图象的一条切线，则的最小值为__________．【答案】0【解析】【分析】设切点，利用导数的几何意义确定，可得到得表达式，构造函数，利用导数求得其最值，可得答案.【详解】由题意直线为函数图象的一条切线，设切点，则，所以切线方程为，即，所以，设，则，当时，，当时，，可得在上单调递减，在单调递增，故，所以当时，取得最小值，故答案为：0四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数在处的切线方程.（2）先注意到恒成立，可把问题转化成时，恒成立，分离参数可得：，设函数，利用导数，分析函数的单调性，求函数的最大值即可.【小问1详解】当时，，又因为，所以，切线方程为，即.【小问2详解】当时，，①当时，因为恒成立，所以；②当时，由恒成立，得令，.再令，所以在上单调递增，所以，所以.所以在上单调递增，所以.所以.即的取值范围为：16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求角C；（2）若，M为内一动点，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；（2）由可得，进而结合三角形的面积公式及题设可得，可得，再结合基本不等式求解即可.【小问1详解】由题意，，由正弦定理得，，则，则，则，因为，所以，则，又，则【小问2详解】由，可得，可得，即，则，因此，，当且仅当时等号成立，因此的最小值为.，17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与过点的直线l交于A，B两点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）过点且不过点的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）为定值【解析】【分析】（1）设直线l的方程为，联立抛物线方程，由向量垂直的坐标表示即可求解；（2）设出直线直线AB方程为，与抛物线联立，利用韦达定理、斜率公式即可求出定值.【小问1详解】设过点的直线l的方程为，令，，联立，得，则，，故，又，，由，则，则，故抛物线C的方程为；【小问2详解】由，显然，过点的直线斜率不为0，故设直线AB方程为，，，由，得，，解得或，则，，故，，又，，所以，故为定值.18.如图，两个底面相同的正四棱锥，顶点M，N位于底面两侧，底面ABCD是边长为6的正方形.（1）证明：平面平面BMDN；（2）若且，点P满足，求直线AM与平面BPN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的几何性质，结合线面垂直的性质与判定，可得答案；（2）由题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量公式，可得答案.【小问1详解】由题意，连接AC，BD，MN交于点O，则MN⊥平面ABCD，∵平面ABCD，∴，∵ABCD为正方形，∴，∵平面BMDN，平面BMDN，，∴平面BMDN，∵平面AMCN，∴平面平面BMDN.【小问2详解】由且，在△AMN中，易得.以O为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，求出平面BPN的一个法向量.设直线AM与面BPN所成角，则，所以直线AM与平面BPN所成角的正弦值为.19.甲、乙两位同学做一次游戏，起初两名同学各有一个盒子，盒内装有相同数量的糖果，规定每轮游戏由两名同学各掷一枚骰子，若两枚骰子的点数之积为奇数，就从乙的盒子中取一颗糖放入甲的盒子中，若点数之积为偶数，就从甲的盒子中取一颗糖放入乙的盒子中，直至一方盒中的糖果被取空后再次需要取出糖果时游戏结束.（1）假设甲、乙两位同学起初拥有超过三颗糖果，求在三轮