2025年广东湛江市高三一模高考数学模拟试卷（含答案详解）

湛江市2025年普通高考测试（一）

数学

2025.3

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，

写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合'斗'2"叫，则4nB=（）.

A.[T0]B.[-2,1]C.0D.{-1,0}

已知向量G=l,g3=（加），若方则网=（）•

2.1,

A.B.2C.V5D.5

在等比数列｛%｝中，3，8=().

3.。。5=49,6Z4+6Z6=70,则。

A.-567B.567C.451D.699

4.一组数据1,3,7,9,加（加＞0）的中位数不小于平均数，则机的取值范围为（）.

A[5,7]B,[5,15]C.[7,15]D.[5,20]

2兀

5.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3,圆心角为——的扇形，在该圆锥内有一个体积为忆的球，则该球

3

的体积m的最大值是（）.

2「2V2n12

A.2TIB.—71C.------71D.-----71

333

7T

6.已知函数/（X)=sin(2x+—)在区间(0,r〃）上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（

6

7717171

A.—B.兀C.一D.-

636

第1页/共25页

7.已知2(-1,0),8(1,0),点尸满足1PH=G|必I，当二尸48取到最大值时，,48的面积为().

A3g3行3行6

z*..-------o.-------V/.-------\-).72

442

8.已知定义在R上的函数/(x)为奇函数，且当x〉0时，〃x)=ex-a,若VxeR,不等式

/(—x)+/(x—|a—1|)<0恒成立，则。的值不可能是().

A.-2025B.2025C.e2D.3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知4(1,6),8(2,4),C(3,4),D(4,2),£(5,4),5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回

归模型建立经验回归方程.经分析确定£(5,4)为“离群点”，故将其去掉，将数据£(5,4)去掉后，下列说

法正确的有().

牛

%(1,6)

C(3,4)

5(2,4)邱A)

3(4,2)

~Ox

A.样本相关系数「变大

B.残差平方和变小

C.决定系数氏2变大

D.若经验回归直线过点(3.5,2.8),则其经验回归方程为/=-1.2x+7

10.复数Z-Z2满足2]+Z2=4,Zr-Z2=8,则().

A"z〉"|=8B.|Z!-Z2|=4

C.k|+"|=4D.|^|=1

11.设定义在R上的函数/(x)和g(x),记g(x)的导函数为g'(x),且满足/(x)+g'(x)=4,

/(x-l)-g,(3-x)=4,若g(x)为奇函数，则下列结论一定成立的有().

第2页/共25页

A/（2）+/（4）=8B./（2025）=4

2025

c.X/(〃)=8100D.g'(4)=o

n=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知等差数列｛4｝的前〃项和为且满足邑“t=41—2%-1,aA=1,则数列｛%｝的通项公式为

13.已知tan]a+在"—,则sin2。+——=

3I3J---------

X22.2,2

14.已知椭圆/:=+2=1(%〉4〉0)与双曲线5:「一今=1(出〉082〉0)具有相同的焦点片，F],

a

xbx%匕2

点尸为椭圆/与双曲线3位于第一象限的交点，且|。尸|=；闺鸟|(。为坐标原点).设椭圆/与双曲线2

的离心率分别为,,%则2e；+e；的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在V48C中，内角4B,C的对边分别是a,b,c,且GasinB+6cosNA4C=6，。为5C边上

的点，且ND平分/氏4c.

(1)求NA4c的大小；

(2)若=(2=7,求V4SC的周长.

8

16已知函数/(x)=aln(x-l)+x2一2x,其中aeR.

(1)若a=—8,求函数/(x)的单调区间；

(2)当。＜-2时，试判断/(x)的零点个数并证明.

17.如图，四棱锥S-4BC。的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的近倍，P为侧棱

SD上的点，且部〃平面PZC.

第3页/共25页

(1)求证：ACVSD.

(2)求直线SB到平面PNC的距离.

2兀

(3)请判断在平面尸/C上是否存在一点£,使得△ESS是以S3为底边，——为顶角的等腰三角形.若

3

存在，请求出点£的轨迹；若不存在，请说明理由.

18.已知抛物线=2.(P>0)的焦点为尸，A,8分别为C上的点(点/在点8上方).过点/,B

分别作C的切线小12,交于点尸.点O为坐标原点，当△048为正三角形时，其面积为48百.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线48经过点尸，求动点尸的轨迹以及点P到直线48的距离的最小值.

19.甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题(难度系数较低的A类问题以及难度系数较高的B

类问题)供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题.甲遇到每类问题的概率均为。，甲遇到A

类问题时回答正确的概率为:，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到3类问题时回答正确的概率为

回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立.

(1)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望.

(2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为〃分的概率为G(").

(i)证明：｛G(〃+1)—为等比数列.

(ii)求G(〃)的最大值以及对应〃的值.

第4页/共25页

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合/斗卜°},B=则zn8=（）.

A.[-1,0]B.[-2,1]C.0D.{-1,0}

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式确定集合A,然后由交集定义计算.

【详解】因为2={X,2+2》三0}={*—24》三0},5=[-1,1],

所以=1,0].

故选：A.

2.已知向量5=1-,B=（i,加），若nB,则忖=（）.

A.V3B.2C.V5D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案.

【详解】因为所以=—i+g优=o,所以加=2,所以忖=石.

故选：C.

,

3.在等比数列{a“}中，。3。5=49,<24+<26=70,则网=（）.

A.-567B.567C.451D.699

【答案】B

【解析】

【分析】由已知根据等比中项可得%=±7,分两种情况利用通项公式求解即可.

【详解】因为%q=编=49,所以&=±7,

当q=-7时，—7—7q2=70,q2=—H,舍去，

故的=7,所以7+7/=70,即/=9,

第5页/共25页

所以％=%,/=567.

故选：B.

4.一组数据1,3,1,9,加（加＞0）的中位数不小于平均数，则加的取值范围为（）.

A.[5,7]B,[5,15]C.[7,15]D.[5,20]

【答案】B

【解析】

【分析】先计算这组数据的平均数，由平均数可得这组数据的中位数只可能是加或7,分两种情况分别求

解即可.

【详解】因为这组数据的平均数为-i=4+-＞4,

55

所以这组数据的中位数只可能是m或7,

若这组数据的中位数是〃?，则4+—＜加＜7,即5W加K7,

5

m

若这组数据的中位数是7,则4+—47V加，即7«加《15,

5

综上所述，加的取值范围为54加＜15.

故选：B.

2兀

5.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3,圆心角为——的扇形，在该圆锥内有一个体积为忆的球，则该球

3

的体积K的最大值是（）.

A.2兀B.-nC.兀D.—

333

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的

体积公式求出答案.

【详解】由题意得，扇形的弧长/=3X&=2TT,

3

所以该圆锥的底面圆的半径r=—=l,

2兀

所以该圆锥的高/z=存=3=2J5•

设该圆锥内的球的最大半径为R,圆锥的轴截面如图所示：

第6页/共25页

A

则依题意得S“BC=！x2x2正=4x(3+3+2)xR,

△ADL22、'

所以R二』Z

2

44（桓、Jy

所以该球的体积厂的最大值是?应?3=2一兀=注兀.

33（2J3

故选：D

7T

6.已知函数/（x）=sin（2x+：）在区间（0,加）上存在唯一个极大值点，则机的最大值为（）.

6

7兀7171

A.—B.7lC.—D.—

636

【答案】A

【解析】

【分析】在指定区间内求出相位的范围，再结合极大值点的意义列出不等式求解.

【详解】当xe（0,加）时，2x+巴e（巴,2加+巴），由/（x）在区间（0,加）上存在唯一个极大值点,

666

/口兀-兀，5兀口兀，7兀

得一＜2加+—V—,解得一〈加4——，

26266

7

所以m的最大值为一兀.

6

故选：A

7.已知z（-1,0）,8（1,0）,点P满足|「旬=&|必当二尸48取到最大值时，△尸48的面积为（）.

，迪B.逑…D,V2

442

【答案】D

【解析】

【分析】由1PH=6|尸划可得点尸轨迹方程，然后由直线N尸与圆。相切时，NPAB最大,可得答案.

22

【详解】设P（x/）,由1PH=百\PB\得加+1）2+/=V3x^x-l）+y,

第7页/共25页

即(X-2『+/=3,则点P轨迹为的圆心为。(2,0),半径为G的圆.

当直线/尸与圆。相切时，NPAB最大,则4P_LP£>.

又|户必=百，|4D|=3,所以归4|=J|4012Tpz邛=瓜.

又I网=j孙，所以^=f^=jx|xPH.\PD\=42.

8.已知定义在R上的函数/(x)为奇函数，且当x〉0时，/(x)=eY-fit,若VxeR,不等式

/(—x)+/(x—|a—1|)40恒成立，则。的值不可能是().

A.-2025B.2025C.e2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用奇函数的性质求出/(X)的解析式，再按。的不同取值分类讨论/(x)在R上的单调性即可求

解.

【详解】因为定义在R上的函数/(x)为奇函数，且当x〉0时，f(x)=e-a,

所以当x<0时，一x>0,f(x)=-f(-x)=-e~x+a,当x=0时，f(x)=0,

X.—x

令e"—a2-e~x+a，即a«------，

2

因为《±£;22、忙*3二=1，当且仅当x=0时等号成立，所以a«l,

2V22

若aWl,则函数/(x)在R上单调递增，

Xx-|a-l|<x,所以—=,

即/(—x)+/(x—|a—[)<0恒成立，故a<l满足题意，排除选项A；

若。〉1,贝la-1〉0,函数/(x)在R上不单调，图象如图所示，

第8页/共25页

-Ina/1Ina/、

qr

又/(—x)+/(x—|aT|)<0,即/—V/(x),

可理解为函数/[x-(a-1)]的图象在函数/(x)的图象下方,

所以由图象可得a—1221na,即21na—a+l«O,

令g(a)=21na—。+1(。〉。)，

则g（2025）=21n2025-2024<0,g（3）=21n3-2=2（ln3-l）>0,

g（e2=2Ine2-e2+1=5-e2<0.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知4（1,6）,8（2,4）,C（3,4）,£>（4,2）,£（5,4）,5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回

归模型建立经验回归方程.经分析确定£（5,4）为“离群点”，故将其去掉，将数据£（5,4）去掉后，下列说

法正确的有（）.

弘(1,6)

C(3,4)

5(2,4)‘即用

力(4,2)

>

Ox

A,样本相关系数r变大

B.残差平方和变小

C.决定系数氏2变大

D.若经验回归直线过点（3.5,2.8）,则其经验回归方程为/=-1.2X+7

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【答案】BCD

【解析】

【分析】根据散点图的性质可知去掉£后相关性变强判断A选项；残差平方和以及决定系数判断BC选项;

根据回归直线的求法和性质判断D.

【详解】对于选项A：由图可知，变量x与变量y是负相关，

且将数据£（5,4）去掉后，样本相关系数r的绝对值变大，

所以厂变小，故选项A错误；

对于选项B：将数据£（5,4）去掉后，变量x与变量y的相关性变强，

所以残差平方和变小，决定系数氏2变大，故选项B,C正确；

44

对于选项D：设经验回归方程为»=&+G,经计算得»,=30,»,%=34,

i=lz=l

且元=2.5,7=4,可得34-4x2.5x4=«=4-（-1.2）x2.5=7,

30-4x2.52'7

所以经验回归方程是3=-1.2x+7,所以选项D正确.

故选：BCD.

10.复数Z],Z2满足Z]+Z2=4,ZJZ2=8,则（）.

A.归卜"|=8B.|Z!-Z2|=4

C.㈤+"|=4D.五=1

Z2

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案.

【详解】依题意得，复数zrZ2是方程4x+8=0的两个根，

x2-4x+8=0RlMA=（-4）2-4x8=-16=（4i）2,

解得）_4±皿17_4±4i、2±2j,则z=2+2i,z2=2-2i,

22

所以团归|=J==26"x2忘=8,故选项A正确；

|zj-z2|=|4i|=4,故选项B正确;

第10页/共25页

㈤+"|=2&+2后=4后，故选项C错误;

故选：ABD.

11.设定义在R上的函数/(x)和g(x),记g(x)的导函数为g'(x),且满足/(x)+g'(x)=4,

/(x-l)-g,(3-x)=4,若g(x)为奇函数，则下列结论一定成立的有().

A./（2）+/（4）=8B./（2025）=4

C.工/（〃）=8100D.g'（4）=0

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用已知得出g(x)的图象关于(1,0)对称，又得出g(x)是偶函数，从而它的周期性，然后通过

g(x)的值计算出/(x)相应的值，判断各选项.

【详解】由/(x)+g'(x)=4得/(x—l)+g'(x—l)=4.

又/(x—l)—g'(3—x)=4,所以g'(x-l)=_g'(3_x),BPg,(x)=-g,(2-x),

所以g”)关于(1,0)对称,g，(l)=0.

又因为g(x)是奇函数，故g'(x)是偶函数，所以《(X)满足条件g'(x+4)=g'(x).

对于选项A,因为g'(4)=H(-2)=-g12),所以g14)+g<2)=0,

所以〃2)+/(4)=4—g12)+4—g<4)=8—[g]4)+g[2)]=8,选项A正确;

/(2025)=4—g'(2025)=4—g'⑴=4,选项B正确；

因为g43)=_g'(T)=_g'⑴=0,所以g'⑴+g'⑵+g'⑶+g'(4)=0,

20252025

所以Z/(〃)=4x2025—Zg'(〃)=8100-g'(2025)=8100—g'(l)=8100,选项C正确；

M=1M=1

对于选项D,g'(4)=g'(o),但不一定为0,选项D错误.

故选：ABC.

第11页/共25页

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知等差数列｛%｝的前〃项和为J,且满足邑“_1=41—2a“-1,=1,则数列｛%｝的通项公式为

【答案】an=2n-l

【解析】

【分析】设出公差，根据邑=15-2^2=3%，求出的=3,得到公差，利用通项公式求出答案.

【详解】设｛4｝的公差为d,

因为邑〃_1=4〃-2an—1,

所以S3—4x22—2a2—1—15—2ci?，

又S3=q+%+%=3%，故15—2。2=3。2，解得。2=3,所以d=g—，4=2,

又％=1,所以%=q—=1+2(〃-1)二2〃一1.

故答案为：CLn=2n-l

13.已知tan[a+;■]=§,贝!Jsin12a+—^-1=________.

4

【答案】1##0.8

【解析】

，2TIA(兀、

【分析】利用同角关系式可求得cos?1a+—|=利用诱导公式可得sin2aH---=cos2aH----

12J10、3)LI12

再利用倍角公式即可求解.

x、sin[adJ/\/

【详解】tan|cc+I-/、—，即cos|cc+|-3sinIa+

112)ccJ0+兀]3I12)I12)

I12J

又cos~(an---|+sin21H----|=1,所以cos2(an---|=—,

L12；L12JI12J10

b,、，•(c,2兀、.「『c，兀'，兀[(c,兀)

I3JLI6)2」I6j

第12页/共25页

c兀c2兀14

=cos2a+—=2cosa+——l=一.

LI12JJI12J5

_,4

故答案为：一.

5

2222

YVrV

14.已知椭圆N：r+丁=1（%〉4〉0）与双曲线5:^-3=1（&〉0力2〉0）具有相同的焦点片，月，

axbxa2b2

点尸为椭圆/与双曲线3位于第一象限的交点，且|。尸|=；闺用|（。为坐标原点）.设椭圆/与双曲线2

的离心率分别为6,e2,则2e；+e；的最小值为.

【答案】—FV2

2

【解析】

【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立

方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭

圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.

r洋解】不：,

1JT

法一：因为|。尸|=5阳阊，所以/片尸£二万.

设归用=加，|尸阊=〃（不妨设加〉协），闺闾=2%

m+n=2a

]111

依题意有〈加一〃二2%，a；+a；=2",—+—=2

222q6

m+n=4Ac

（[]）J

所以2（2e：+e：）=（2e；+e：）——+—=3+^+-->3+242,

e

2），e2

当且仅当e；=、/5e；时等号成立，所以2e；+e；»|+J5

所以2e；+e；的最小值为1+V2.

1jr

法二：因为|00|=5闺7讣所以/月盟=,.

对于焦点三角形AF[PFZ,根据椭圆的性质可得其面积S;

第13页/共25页

c*_____^2_____

根据双曲线的性质可得一/4尸耳2,所以母=眩,

a”T~

所以Q；一，二。2—Q；,整理可得F+F=2.

，e2

([]、02Q2

所以2(2e；+%)=(2彳+e；14+4=3+4•+%23+20,

I，。2)。2

当且仅当e；=、/5e；时等号成立，所以2e；+e；2|+J5,

所以2e；+e；的最小值为1+V2.

故答案为：—FV2.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在VZ8C中，内角/,B,C的对边分别是a,b,c,且GasinB+bcosN胡C=6，D为BC边上

的点，且4D平分NA4C.

(1)求NA4c的大小；

(2)若4D="",a=7,求V4SC的周长.

8

【答案】(1)ABAC=—

3

(2)15

【解析】

【分析】(1)由正弦定理得道$山/84。5亩5+51118(\)5/区4。=5111_5，进而可得

V3sinABAC+cosABAC=b根据辅助角公式可得ZBAC的大小.

(2)由题意可得S“BC=S“m+S”比,从而可得bc="(b+c),由余弦定理求得b+c=8,即可求

VZ3C的周长.

【小问1详解】

由正弦定理得Gsin/S/CsinB+sinBcos/S/C=sin5-

又因为sinBwO,所以GsinNB/C+cosNA4c=1，

ZBZC+胃

所以sin

2

第14页/共25页

TTTTTTSjT

.•.N8ZC+e=2+2E或N8ZC+2=H+2E,keZ,

6666

:.ABAC-2knsKABAC=—+2k.it,keZ

3

77r

又♦.•Z8/Ce(0,兀)，；.N8ZC=彳.

【小问2详解】

VZD平分/氏4c

TT

，/BAD=NCAD=—,

3

•q=ss

•JABC-3ABD丁°"。。'

所以工bcsin/5/C=—AD-csinABAD+—AD-bsinACAD,

222

1,.271115.71115,.71

一besin——=—x―c-sin—+—x——o-sm—

23283283

所以=^-(b+c)15

x——,

44V78

BPbe=^-(ZJ+C).①

27r

由余弦定理得7?=b~+c2-2bc-cos——,

一3

即49=(b+c『-be.②

将①代入②得8优+c『一15(b+c)—8x49=0,

49

所以b+c=8,b+c=----(舍去)，

8

所以V/8C的周长为a+b+c=7+8=15.

16.已知函数/(x)=aln(xT)+x2-2x,其中aeR.

(1)若a=—8,求函数/(x)的单调区间;

(2)当a<-2时，试判断/(x)的零点个数并证明.

【答案】(1)单调递减区间为(1,3),单调递增区间为(3,+8)

(2)两个零点，证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用导数求得/(x)的单调区间.

第15页/共25页

（2）先判断2是/（x）的一个零点，利用分类讨论法，对。进行分类讨论，或利用分离参数法，结合导数

来确定正确答案.

【小问1详解】

由题知x＞l,/3二旦+2一=2（1）»,

Jx-1x-1

当a=—8时，/，（X）=2（XT）-8

令/'（x）=0,得x=3或x=—1（舍去）.

当xe（l,3）时,r（x）＜0,故/（x）的单调递减区间为（1,3）.

当xe（3,+oo）时,故/（x）的单调递增区间为（3,+oo）.

【小问2详解】

解法一：因为/（2）=0,故/（x）有一个零点是2.

令/'（x）=0,解得玉=1—（舍去），x2=l+^|.

当xe。,/）时，/，（%）＜0,故/（x）单调递减.

当%6（%2，+°°）时，/'（二）〉0,故/（X）单调递增.

当。＜一2时，x2=l+^-|-e（2,+00）,/（%2）＜/（2）=0.

=QIU（-Q）+/—1=—Q[_Q—In（-Q）]—1.

下面先证明当x21时，x-lnx＞1.

1x—}

令g(x)=x_lnx(x21),g'(x)=1——=---->0,

故g(x)在[L+8)上单调递增，

所以g(x"g⑴=1.

因为—a>2>1,所以/(l—a)=-Q[―a—In(—a)]—1>—a—1>0.

易知1—Q>%2，所以/(x)在(、2，+°°)上存在唯一的零点％3，

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所以当a<-2时，/(x)有两个零点，为2和七.

解法二：当x=2时，/(2)=0,故2是“X)的一个零点.

令/'(x)=0,又x>l,所以Xo=l+Qq.

当xe(l,x0)时，fr(x)<0,/(x)单调递减,

当尤e(xo，+oo)时，f'(x)>0,/(x)单调递增,

所以x=x0是/(x)的极小值点.

当。<一2时，x0>2,所以/(%)<0.

下证Inx«x-1(%>0).

1Y_1

令g(x)=x—l—lnx,则g'(x)=l__=---.

XX

当xe(O,l)时，g,(x)<0,g(x)单调递减,当xe(l,+8)时,g,(x)>0,g(x)单调递增,

从而g(x"g⑴=0,

所以当x>l时，In(x-l)<x-2,

所以aln(x-l)2ax-2a,

即f(x)ax-2a+x2-2x=x[x+(a-2)]-2a.

令西>2-a,则有再+a-2>0,则/(xJ>0.

易得当a<—2时，2-a>x0,所以/(x)=0在(％,+8)上有唯一解.

综上，当a<-2时，/(x)有两个零点.

解法三：令/(x)=aln(x_l)+x2_2x=0,

当x=2时，/(2)=0,故2是/(x)的一个零点.

—X2+2x

当xw2时,a~~7.

In(x-l)

2

A/\—X+2x

令g(x)=i^E

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易得g(x)在(1,2)和(2,+8)上均单调递减.

)■-x2+2x-2(x-l)_

因为巴1In(x-l)巴11(洛必达法则)，

x-1

所以当xe(2,+8)时，g(x)＜—2且单调递减，

-x2+2x

故当。＜—2时，a=-_正在(2,+co)上有唯一解.

In(x-l)

而当xe(1,2)时，g(x)＞-2,

-%2+2.x

故当。＜一2时，a=----八无解.

In(x-l)

综上可知，当。＜-2时，“X)有两个零点.

【点睛】方法点睛：

求函数单调区间时，先求函数的导数，令导数为0求出关键点，再根据导数在不同区间的正负确定函数的

单调区间，这是解决函数单调性问题的基本方法.

判断函数零点个数，先找出一个已知零点，再通过求导确定函数的单调性和极值，然后构造函数证明相关

不等式，进而判断在其他区间是否存在零点，这种方法综合运用了函数的导数性质和不等式证明.

17.如图，四棱锥S-4BCO的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的、巧倍，尸为侧棱

SD上的点，且55〃平面P/C.

(1)求证：AC1SD.

(2)求直线SB到平面PNC的距离.

2兀

(3)请判断在平面R4C上是否存在一点E,使得△£%是以S3为底边，——为顶角的等腰三角形.若

3

存在，请求出点E的轨迹；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

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(2)

2

（3）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据线线垂直可证明NCJ_平面S3。，即可利用线面垂直的性质求解，

（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用点面距离的向量法求解.

（3）根据线面平行的性质，结合（2）可知。到平面R4C的距离为半，而£°=?＜手，即可求解.

【小问1详解】

证明：如图，连接AD,

设NC交8。于点O,连接SO,由S4=S。得SO_L/C.

在正方形45CD中，AC1BD.

又SOcBD=O,SO,BDu平面S3。，所以ZC，平面SBD.

又因为5©＜=平面S3。，所以

【小问2详解】

连接P。，因为SB〃平面PNC,S5u平面SBD,平面SBDPI平面P/C=R9,

所以S5〃P0.

在ASAD中，。为RD的中点，所以点尸为SD的中点.

易知直线SO,AC,3。两两垂直，如图，以点。为原点建立空间直角坐标系.

因为正方形ABCD的边长为2,

所以Z（0,—C（0,V2,0）,5（V2,0,0）,P一半0，¥,5（0,0,V6）.

,、m-AC=0

设平面PNC的一个法向量为比=（x/,z）,则可得＜_,

m-AP=0

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2岳=0

所以‘6厂网,则片°，

----x+V2yH----z=0

I22

令x=3&，可得应=(3&,0,后).

因为SS〃平面PAC,所以直线SB到平面PAC的距离等于点B到平面PAC的距离，

J7

前在法向量成上的投影的模I5为C-^O^TI=比，

\m\2

所以直线SB到平面PNC的距离为逅.

2

【小问3详解】

不存在.

理由如下：根据第(2)问可得直线S5到平面R4C的距离为Y6.

2

又因为55〃平面R4C,设点。为S8的中点，所以点。到平面PZC的距离为逅.

~~2

假设在平面PZC上存在点E,使得△£%是以S3为底边，至为顶角的等腰三角形，

3

则有EQ=-SB-tan-=—■

263

因为£0=乎<手，所以不存在满足条件的点E

18.已知抛物线=2.(P>0)的焦点为凡A,8分别为C上的点(点/在点8上方).过点/,B

分别作C的切线小12,交于点尸.点O为坐标原点，当△048为正三角形时，其面积为48百.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线48经过点尸，求动点尸的轨迹以及点P到直线48的距离的最小值.

【答案】(1)y2=4x

(2)轨迹为直线x=-l,最小值为2.

【解析】

【分析】(1)由题意作图，根据正三角形的性质与抛物线的性质，可得点的坐标，代入抛物线方程，可得

答案；

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(2)设出直线方程，并联立抛物线方程，写出韦达定理，设出切线方程，联立抛物线方程，写出根的判别

式为零，进而求得切线的交点的坐标，利用点到直线距离公式，可得答案.

【小问1详解】

因为△045为正三角形时，其面积为48百，可得△045的边长CM=8百.

根据正三角形以及抛物线的对称性，可知此时点43关于x轴对称，

所以点/的坐标为(12,46).

将点/代入抛物线的方程可得48=24。，解得0=2,

所以抛物线C的方程为y2=4x.

【小问2详解】

易得厂(1,0).设直线AB的方程为了=叼+1,

联立直线AB与抛物线C的方程可得4my-4=0.

A=(-4m)2+4x4=+1)>0,

/2\(2\

设点2的坐标分别为I~4~,yxJ,I—4,y2J，

根据韦达定理可得%+外=4加，=-4.

2

设直线4的方程为1=叫(歹—")+3.

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因为4是抛物线。的切线，所以4与C仅有一个交点.

联立两个方程可得/-4叫7+4/必-货=0,

△=16*-4（4加1乂—%2）=0,所以叫=A,

2

所以直线4的方程为了=型-近.

24

2