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文档简介
广东深圳2025高三高考模拟考试
(数学)
注意事项:
1、答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答
题卡上.
2、每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动用橡皮擦干净后,再涂其它答案,不能答在试题卷上.
3、考试结束,监考人员将答题卡收回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=卜|0<V<3},3={-2,-1,0,1,2),则AA3=()
A.{-1,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1)D.{-2,-1,0,1)
2.若z=l+i,则d—z=()
A.0B.1C.亚D.2
3.已知向量1,5满足商+1=(2,3),商一5=(2,—1),则时-()
A.-2B.-1C.0D.1
4.tan195°=()
A.-2-73B.-2+73C.2-6D.2+73
5.已知直线分别在两个不同的平面%乃内,贝广直线。和直线6平行”是“平面a和平面月
平行''的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.在等差数列{4}中,q=-9,a3=-1.记7;=%电…a“(〃=l,2,…),则数列{(}()
A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项
22
7.椭圆C:=+2=l(a>b>0)的左顶点为A,点尸,。均在C上,且关于原点对称,若直线
ab
4尸,A。的斜率之积为则C的离心率为()
4
4.BB.交C.ID.-
8.已知直线/:依+力-/=()与圆c:/+y2=r2,点4(°力),则下列说法错误的是()
A.若点A在圆C上,则直线/与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线/与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线/与圆C相离
D.若点A在直线/上,则直线/与圆C相切
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,
有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0
分.
9.某物理量的测量结果服从正态分布N00,4),则下列结论中正确的是()
A.b越小,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
10.已知〃x)=gsin2无,下列说法中正确的是()
A."%)的最小正周期为2兀
B.在一;,;上单调递增
C.当尤e时,/(x)的取值范围为-严,严
_63」44
D.的图象可由g(x)=;sin12x+力的图象向右平移1个单位长度得到
11.已知正方体,贝U()
A.直线BG与。4所成的角为90。B.直线BG与CA所成的角为90。
C.直线BG与平面BBQD所成的角为45°D.直线BG与平面所成的角为45°
试卷第2页,共4页
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.二项式的展开式中的常数项是.
13.已知双曲线C:V-y2=i,左、右焦点分别为乙、F2,过歹2作倾斜角为60。的直线与双
曲线C交于M,N两点,则△脑阴的周长为.
14.学校要举办足球比赛,现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员(一名
主裁判,两名不同的助理裁判,一名第四裁判),其中高一共13个班,每个班各一名体育委
员,共4个女生,9个男生,要求四名裁判中既要有男生,也要有女生,那么在女裁判员担
任主裁判的条件下,第四裁判员是男生的概率为.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算
步骤.
15.在AABC中,角AB,C所对的边分别为a,加c淇中。=7,6=8,COS3=-L
7
Cl)求NA;
(2)求AC边上的高,
16.已知抛物线C:^=2px,斜率为1的直线/交抛物线于M,N两点,且加(1,-2).
(1)求抛物线C的方程;
(2)试探究:抛物线C上是否存在点P,使得PMLRV?若存在,求出P点坐标;若不存在,
请说明理由.
17.如图,在三棱锥A—3co中,已知AB=4C=a>=2,BC=AD,4C,3£).
(1)若即=2,求证:AB1CD;
(2)若8。=或,求直线AB与平面AC。所成角的正弦值.
3
18.已知函数/(》)=111(/工+1)-依-国,其中aeR.
⑴当。=0时,讨论函数〃x)的单调性;
(2)当。=1时,证明:曲线/'(尤)是轴对称图形;
⑶若/(x)Wln2在R上恒成立,求”的取值范围.
19.若数列{4}(1<〃<加+左,〃€N,九人€z)满足4€{-1,1}.定义广义规范数列如下:{%}
中共有机+左项(机2人),其中加项为-U项为1,且对任意区机+左项,%,。2,…%中的一1
的个数不少于1的个数.当m=人时,满足上述定义的数列称为规范数列.记/(加,女)表示“广
义规范数列”的个数.
(1)若{%}既为等比数列,又为规范数列,求符合条件的所有{%}的通项公式;
⑵求/(私2),\/相>2;进一步证明:当加〉左时,f(m,lc)=f(m-l,k)+f(m,k-l);
7
⑶当k=5且加N9时,记匕+5表示机+5项数列中符合广义规范数列的概率,求证:P<—.
m+564
(提示:f+2?+…+〃2=>〃+1)(2〃+1))
6
试卷第4页,共4页
1.A
【分析】求出集合3,利用交集的定义可求得集合
【详解】不等式0<d<3,可解得:贝U
[%2<3[-J3<x<、
综合可得4=卜卜若<无<°或0<x<g,
而3={—2,—1,。」,2},因此,405={-1,1}.
故选:A.
2.C
【分析】根据z=l+i求出z2-Z,再根据公式求其模长.
【详解】vz=l+i;
z2-z=(l+i)2-(l+i)=l+2i+i2-l-i=-l+i;
222=72.
.■.|Z-Z|=^(-1)+1
故选:C.
3.D
【分析】根据模长公式即可求解.
【详解】由1+B=(2,3),万-5=(2,-1)可得。=(2,1)3=(0,2),
故同2-麻=2?+『一(22+。2)=1,
故选:D
4.C
【分析】利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得;
【详解】解:tanl95°=tan(180o+15o)=tanl50=tan(45o-30o)
tan45°-tan30°
1+tan45°tan30°
=2-石
i+i4
故选:C
5.D
答案第1页,共16页
【分析】结合图形利用线面的位置关系和充分条件,必要条件的定义即可判断.
【详解】当“直线。和直线方平行”时,平面a和平面£可能平行也可能相交,故不充分;
当“平面a和平面夕平行”时,直线。和直线6可能平行也可能异面,故不必要;
因此“直线a和直线b平行”是“平面a和平面§平行”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
6.B
【分析】首先求得数列的通项公式,然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中
是否存在最大项和最小项.
【详解】由题意可知,等差数列的公差1=与苧=?;=4,
则其通项公式为:=Oj+(n-l)J=-9+(n-l)x4=4n-13,
注意至U%</<<0<〃4=3<%<…,
且由心<0可知(<0U23,ieN),
由条=4>l(iW4"eN),得(<凡(后4,ieN),
Li-\
所以数列{瑁在〃e[3,xo),〃eN上为递减数列,
所以数列区}不存在最小项,
由于%=—9,%——5,。3=—1,〃4=1,
故数列{瑁中的正项只有《=45,
故数列{(,}中存在最大项,且最大项为心.
故选:B.
7.A
【分析】设尸优,%),根据题设得到1^=9,再结合&+g=1,得到巨=工,即可求
a'-x04a-b矿4
解.
【详解】设尸(十,%),则。A(-a,0),
由题有如"年^则…『尹
—XQ+a4
答案第2页,共16页
所以/("一4)一1,得到所以C的离心率为e=£=<「X=、Q=虫,
.—焉一]a-4a\a2\42
故选:A.
8.C
【分析】求出圆心C(o,o)到直线/的距离,根据点与圆的位置列关系式,求出圆心C(o,o)到
直线/的距离求解.
【详解】圆心C(o,o)到直线/的距离1=
若点A(a/)在圆。上,贝!]/+/=/,
所以d=I:/=,|,则直线/与圆C相切,故A正确;
y/a2+b2
2
若点A(a,6)在圆C内,则/+/<r,
所以d=I:,>>|,则直线/与圆C相离,故B正确;
y/a2+b2
若点A(a,6)在圆C外,则片+片>/,
所以<卜|,则直线/与圆C相交,故C错误;
yla72+b2
若点A(a,6)在直线/上,贝!]/+/一户=o,
即所以d=/:,
da2+及
直线/与圆C相切,故D正确.
故选:C.
9.ABC
【分析】根据正态分布密度曲线的特征逐项判断即可.
【详解】选项A:〃为数据的方差,所以。越小,数据在〃=1。附近越集中,正态曲线越
瘦高,
所以该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大,A说法正确;
选项B:由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5,B
答案第3页,共16页
说法正确;
选项C:由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的
概率相等,C说法正确;
选项D:由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10)与落在
(10.2,10.3)的概率不相等,
所以落在(9.9,102)与落在(10,10.3)的概率也不相等,D说法错误;
故选:ABC
10.BD
【分析】根据三角函数的图象与性质,以及函数图象变换法则计算可判断每个选项的正误.
【详解】因为〃x)=1sin2x,所以函数/(X)的最小正周期为7=胃=叫故A错误,
因为xe-皆,所以2xe-卦,所以〃尤)在上单调递增,故B正确;
因为尤e-K,2x©与,所以sinxe-4,1,的取值范围为-乎,
故c错误;
由于g(尤)=!sin(2x+f],将其向右平移得到白,得至叮=1sin12/-J[+m=1sin2%
214/o2|_^oy4J2
故D正确.
故选:BD.
11.ABD
【分析】数形结合,依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图,连接与C、BCX,因为DA//BC,所以直线8G与3。所成的角即为直线BC
与。4所成的角,
因为四边形8瓦GC为正方形,则4c■LBC,故直线BG与D4所成的角为90。,A正确;
答案第4页,共16页
连接AC,因为a旦,平面B4GC,JBGu平面B百GC,则
因为与CLBG,A1BinB1C=Bl,所以平面A^C,
又ACu平面A4C,所以BC]_LCA,故B正确;
连接AG,设AGn4R=。,连接BO,
因为8瓦,平面A31G2,GOu平面AB]G2,则C[O,48,
因为GO,耳2,4Rc瓦2=4,所以G。,平面B42。,
所以NGBO为直线BC{与平面班QD所成的角,
设正方体棱长为1,则G0=走,BC]=夜,SinNGBO=「£=;,
12BC\2
所以,直线BG与平面所成的角为30。,故C错误;
因为C|C,平面ABCZ),所以/GBC为直线8G与平面ABCZ)所成的角,易得NC|3C=45。,
故D正确.
故选:ABD
35
12.
T
【分析】利用二项式(x+g]的通项公式加=2TC"j(0W8/eN),即可求出结果.
【详解】二项式[x+曰的通项公式为“"gif——N*),
由8-2厂=0,得到厂=4,所以二项式、+(1的展开式中的常数项是
答案第5页,共16页
,-44
T2C=1;;8x7x6x5;35
58164x3x28'
35
故答案为:v-
o
13.12
【分析】由耳(-夜,0),用(血,。),可得〃^为丫=1曲1(无-四)=石0-逝),代入双曲线
方程中,利用弦长公式求出|加|,再由双曲线的定义即可求解周长.
【详解】因为耳(一行,0),g(3,0),
所以直线肱\^y=tan/x-e)=7^(x-0),
设加(石,乂),阳九2,%),
[x2-y2=1
由彳厂厂,得2%2—6岳+7=0,
y=73(x72)
7
则&+x2-3A/2,xrx2=—,
所以\MN\=y/1+3-J(X]+%2)2—41尤2=2\/18-14=4,
因为|叫|=|吗|+2,|明|=|峭|+2,
所以|明|+|g|=I懈I+|M^|+4=|M?V|+4=8,
所以|岫|+|明|+|加朋=12
故答案为:12
【分析】先确定四名裁判中既有男生也有女生,且女裁判员担任主裁判的事件数,再确定四
名裁判中既有男生也有女生,且女裁判员担任主裁判,第四裁判是男生的事件数,最后根据
条件概率公式得结果.
答案第6页,共16页
【详解】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生,且女裁判员担任主裁判的事件数:
先从4名女生中选出一名担任主裁判,有4种选法,再从剩下12人中选出3人分别担任不同
的助理裁判以及第四裁判,注意到四名裁判中既有男生也有女生,所以有(A:?-A;)种选法,
故四名裁判中既有男生也有女生,且女裁判员担任主裁判的事件数为4(Al-A;),
第二步确定四名裁判中既有男生也有女生,且女裁判员担任主裁判,第四裁判是男生的事件
数:
先从4名女生中选出一名担任主裁判,有4种选法;再从9名男生中选出一名担任第四裁判,
有9种选法;最后从剩下11人中选出2人分别担任不同的助理裁判,有A:种选法,故四名
裁判中既有男生也有女生,且女裁判员担任主裁判,第四裁判是男生的事件数为4X9A;
因此,四名裁判中既要有男生,也要有女生,且在女裁判员担任主裁判的条件下,第四裁判
员是男生的概率为99055
1314-73
4(A(2-A012x11x10-6
故答案为:
15.(1)A=J;(2)更
32
【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系求出sinB,再由正弦定理求出sinA,即可得解;
(2)首先由两角和的正弦公式求出sinC,过3作交AC于点。,在AD3C中,
sinC=—,即可求出BD;
BC
【详解】解:(1);a=7,Z?=8,cos5=-;
sinB=±V1-cos2B—±
7
因为BE(0,4)且cosB=—;,/.Be(会乃),「.sin5=^^,
7^8
由正弦定理可得三二—J,即"而解得sinA=也,
smAsinB二丁2
因为.14=3
(2)如图,过B作交AC于点O,
在AABC中sinC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsinB
答案第7页,共16页
3A/3
14
如图所不,在AZMC中,sinC=——
BC
.n八一3指_3石
..BD=BCsinC=7x-----=------
142
故AC边上的高为迈
2
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,正弦定理解三角形以及三角恒等变换的应用,
属于中档题.
16.⑴y2=4x
⑵存在,(0,0)和(9,-6)
【分析】(1)由河。,-2)在抛物线上,代入求出P,即可求出抛物线C的方程;
、
(2)设尸不加,求出直线/并与抛物线C的方程联立,求出N点坐标,将PMLRV转化
7
为丽■•两=0,求出加并检查是否符合题意即可.
【详解】(1)由”(1,一2)在抛物线上,则(-2)2=2pxl,解得p=2,
因此可得抛物线C的方程为y2=4x.
(2)
答案第8页,共16页
花
存在点夕在抛物线。上,
,2、
设点
由直线/的斜率为:,且过
则直线/的方程为:y-(-2)=j(x-l),即2x—3y—8=0,
[2x-3y-8=0,
联立,可得>-6y-16=0,解得y=-2,或y=8,
即可得N点的纵坐标为8,代入9=4尤,得x=16,即N(16,8),
若PMLPN,则两'_L两,即两.丽=0,
又丽=11_乎,—,闲
(相2、/2\
则可得[1一彳)[16_彳)+(_2_⑹(87w)=0,
整理得,加(机+2)(机一8)(机+6)=0,解得%=0,或m=-2,或〃z=8,或:”=-6,
当帆=一2时,P(l,-2)与M重合,舍去,
当机=8时,P(16,8)与N重合,舍去,
当m=0时,尸(0,0),
当7”=-6时,P(9,-6),
综上知,抛物线C上存在点尸,为(0,0)和(9,-6)时,PMLPN.
17.(1)证明见解析
⑵域
答案第9页,共16页
【分析】(1)取3c的中点E,连接易证3CJ_AD,再通过空间位置的关系的向
量表示即证荏.诙=砺.函=0即可;
(2)通过等体积法,求得8到平面AC。的距离为,即可求解;
【详解】(1)
取的中点E,连接AE,£>E,
因为AB=AC=CD=BD=2,
所以8C,AE,BC,OE,又AE,DE为平面ADE内两条相交直线,
所以2C_L平面ADE,又AD在平面ADE内,
所以3CLAD,
由福•丽=(莅+丽)•回+瓦5)=而言+访砺+历・刀+丽・亚
因为AC23D,所以丽.耳=0,
所以荏•亚二通•百+而•砺+丽•而=而•历+丽•而=丽•丽,
又BC1.AD,
所以初•①=砺・国=0,
所以ABL8;
(2)
过点A作的垂线,交BD于点0,连接CO,
因为AC2BD,又AO,AC为平面AOC内两条相交直线,
所以1平面AOC,又CO在平面AOC内,
所以5DLOC,
答案第10页,共16页
又AB=CD=2,BC=AD,5O=B。,
△ABD*BCD,
所以。为80中点,所以HS=AD=2,
因为42=2,3。=侦,
3
由勾股定理可得:A0=C0=巫,
3
4+4_4
所以COSNAOC=3所以sin/A0C=走,
2x3422
3
所以s初工空义正义昱=6,
yoc23323
SAnr」x2x2x3=G
△22r
设3到平面ACD的距离为d,
=X
则^B-ACD2SjOCXBD=—XS4ABeXh,
1G4战1/T7
—xx---=—xV3xn,
3333
解得:h=,
9
设直线AB与平面AC。所成角为巴
4A/6
所以.A丁2瓜,
sin0==----
29
所以直线43与平面AC。所成角的正弦值为2匹.
9
18.(1)/(尤)在R上单调递增.
(2)证明过程见解析.
⑶{1
【分析】(1)去绝对值求导函数,根据导函数正负判断原函数增减;
(2)去绝对值判断函数为偶函数,从而确定其关于y轴对称;
(3)先讨论x20时不等式恒成立,此时可就。分类讨论后得在此条件下再
讨论xWO不等式恒成立,从而可求参数的范围.
答案第11页,共16页
2e2j
—1,x>0
e2x+l
【详解】(1)当。=0时,函数”x)=ln(e2,+l)-W,求导得:尸⑺二
2e21
+l,x<0
旧+1
当>>°时‘/(》)=门一1=门
vx>0,e2x>l,:.f\x)>0,
2X2%
7P3P+I
当x<°时'
.・・当。=0时,函数/(X)在R上单调递增.
(2)当4=1时,函数/(x)=ln(e"+l)-x-W
e2x+l
=In=ln(e,+er一x,
e2x
/(-%)=In
・••4X)为偶函数,关于y轴对称;
所以当。=1时,曲线是轴对称图形.
(3),//(力41!12在区上恒成立,「.1口(©2"+1)-依一国41112,
当xNO时,W*ln(e2x+l)-ar-x<ln2,
又/'(x)=^~f_a_l=l_a--^r-T,
vex+1eX+1
当时,/'(力<0在(0,+/)上恒成立,
故/(元)在[0,+8)上为减函数,故/⑺V〃0)=ln2,此时不等式恒成立,
若0vavl,ln(^e2A-\-i^-ax-x>]ne2x-ax-x=(1-a)x,
止匕时当兀〉史2时,1口12、+1)—以一%>1!12,
1-a'7
故In(e?、+1)-冰-%«In2不成立,
故当xNO时,若不等式ln(e"+l)—依一归归1112恒成立,则a>l.
若%<0,贝心!1(已2"+1)—Q+工«1112,
答案第12页,共16页
9
又/。)二门一0+1=3--e,
2
当止。时,1</+142,故1-"3-。-门42-。
若此时/(x)<0在(-/,0)上恒成立,故"X)在(-/,0)上为减函数,
故/(x)2"0)=In2在(-8,0]上恒成立,与题设矛盾;
若l<a<2,当」<M2时,有ln(e"+1)—ax+x>(l-a)无—a)x^^~=ln2,
1-a''1-a
这与题设矛盾,
若4=1,则0<r(x)Wl,故在(—8,0)上为增函数,
故/(x)w〃o)=ln2恒成立,
综上所述:。的取值范围{1}.
【点睛】方法点睛:导数背景下的含参不等式恒成立问题,可将导函数的值域求出,从而得
到导函数符号讨论的分类点,再结合函数的单调性及零点处理不等式成立.
19.⑴(-1)"
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)求出公比,求出首项,分i为奇数和偶数即可求解;
(2)对递推关系进行分析,求解了(九1),递推计算证明递推式
f(m,k)=f(m-l,k)+f(m,k-1)(当m>k)即可求解;
(3)求出,(加,5),求出匕+5,根据单调性和数值计算即可求解.
【详解】(1)规范数列要求根=左,即数列中-1和1的数量相等,均为〃7项,
等比数列的公比「必须使得所有项。“e{T」},
因此公比「只能是-1或1,
若公比r=l,则所有项均为首项4的值,
但若4=1,则数列全为1,
此时-1的数量为0,与〃z=左21矛盾,
同理,若%=T,则数列全为-1,
答案第13页,共16页
此时I的数量为0,亦矛盾,因此公比r=1不满足条件,
若公比r=-1,则数列为交替数列4“=4GDI,
由于规范数列要求-1和1的数量相等,总项数为2机,
故"7+左=2〃2,即左=〃2,
这与规范数列定义一致,接下来需验证前缀条件:对任意区2加,前i项中-1的个数不少于
1的个数,
若首项%=1,则数列为1,-1,1,-1,…,
此时前1项中1的个数为1,-1的个数为0,
不满足前缀条件,因此首项必须为-1,
即4=-1,数列为一1,1,一1,1,一,
当力为奇数时,前i项中有4个-1和二个1,
显然-1的个数多于1,当i为偶数时,
前i项中有:个-1和:个1,满足-1的个数不少于1的个数,
因此,唯一满足条件的等比数列为为=(-1)",
进一步验证总项数2帆时-1和1的数量均为加,
符合规范数列定义;
(2)当机>2时,若第一个位置为-1,
则剩余根-1个-1和2个1,此时广义规范数列的数目为〃根-L2),
若第一个位置为b则剩余优个-1和1个1,且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的
个数不少于1的个数,
这种情况等价于k=l的广义规范数列,其数目为/(m,l),
因此,递推关系为=+
当左=1时,数列中有机个-1和1个1,
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