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文档简介

广东深圳2025高三高考模拟考试

(数学)

注意事项:

1、答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答

题卡上.

2、每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动用橡皮擦干净后,再涂其它答案,不能答在试题卷上.

3、考试结束,监考人员将答题卡收回.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A=卜|0<V<3},3={-2,-1,0,1,2),则AA3=()

A.{-1,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1)D.{-2,-1,0,1)

2.若z=l+i,则d—z=()

A.0B.1C.亚D.2

3.已知向量1,5满足商+1=(2,3),商一5=(2,—1),则时-()

A.-2B.-1C.0D.1

4.tan195°=()

A.-2-73B.-2+73C.2-6D.2+73

5.已知直线分别在两个不同的平面%乃内,贝广直线。和直线6平行”是“平面a和平面月

平行''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.在等差数列{4}中,q=-9,a3=-1.记7;=%电…a“(〃=l,2,…),则数列{(}()

A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项

C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项

22

7.椭圆C:=+2=l(a>b>0)的左顶点为A,点尸,。均在C上,且关于原点对称,若直线

ab

4尸,A。的斜率之积为则C的离心率为()

4

4.BB.交C.ID.-

8.已知直线/:依+力-/=()与圆c:/+y2=r2,点4(°力),则下列说法错误的是()

A.若点A在圆C上,则直线/与圆C相切

B.若点A在圆C内,则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外,则直线/与圆C相离

D.若点A在直线/上,则直线/与圆C相切

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0

分.

9.某物理量的测量结果服从正态分布N00,4),则下列结论中正确的是()

A.b越小,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

10.已知〃x)=gsin2无,下列说法中正确的是()

A."%)的最小正周期为2兀

B.在一;,;上单调递增

C.当尤e时,/(x)的取值范围为-严,严

_63」44

D.的图象可由g(x)=;sin12x+力的图象向右平移1个单位长度得到

11.已知正方体,贝U()

A.直线BG与。4所成的角为90。B.直线BG与CA所成的角为90。

C.直线BG与平面BBQD所成的角为45°D.直线BG与平面所成的角为45°

试卷第2页,共4页

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.二项式的展开式中的常数项是.

13.已知双曲线C:V-y2=i,左、右焦点分别为乙、F2,过歹2作倾斜角为60。的直线与双

曲线C交于M,N两点,则△脑阴的周长为.

14.学校要举办足球比赛,现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员(一名

主裁判,两名不同的助理裁判,一名第四裁判),其中高一共13个班,每个班各一名体育委

员,共4个女生,9个男生,要求四名裁判中既要有男生,也要有女生,那么在女裁判员担

任主裁判的条件下,第四裁判员是男生的概率为.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算

步骤.

15.在AABC中,角AB,C所对的边分别为a,加c淇中。=7,6=8,COS3=-L

7

Cl)求NA;

(2)求AC边上的高,

16.已知抛物线C:^=2px,斜率为1的直线/交抛物线于M,N两点,且加(1,-2).

(1)求抛物线C的方程;

(2)试探究:抛物线C上是否存在点P,使得PMLRV?若存在,求出P点坐标;若不存在,

请说明理由.

17.如图,在三棱锥A—3co中,已知AB=4C=a>=2,BC=AD,4C,3£).

(1)若即=2,求证:AB1CD;

(2)若8。=或,求直线AB与平面AC。所成角的正弦值.

3

18.已知函数/(》)=111(/工+1)-依-国,其中aeR.

⑴当。=0时,讨论函数〃x)的单调性;

(2)当。=1时,证明:曲线/'(尤)是轴对称图形;

⑶若/(x)Wln2在R上恒成立,求”的取值范围.

19.若数列{4}(1<〃<加+左,〃€N,九人€z)满足4€{-1,1}.定义广义规范数列如下:{%}

中共有机+左项(机2人),其中加项为-U项为1,且对任意区机+左项,%,。2,…%中的一1

的个数不少于1的个数.当m=人时,满足上述定义的数列称为规范数列.记/(加,女)表示“广

义规范数列”的个数.

(1)若{%}既为等比数列,又为规范数列,求符合条件的所有{%}的通项公式;

⑵求/(私2),\/相>2;进一步证明:当加〉左时,f(m,lc)=f(m-l,k)+f(m,k-l);

7

⑶当k=5且加N9时,记匕+5表示机+5项数列中符合广义规范数列的概率,求证:P<—.

m+564

(提示:f+2?+…+〃2=>〃+1)(2〃+1))

6

试卷第4页,共4页

1.A

【分析】求出集合3,利用交集的定义可求得集合

【详解】不等式0<d<3,可解得:贝U

[%2<3[-J3<x<、

综合可得4=卜卜若<无<°或0<x<g,

而3={—2,—1,。」,2},因此,405={-1,1}.

故选:A.

2.C

【分析】根据z=l+i求出z2-Z,再根据公式求其模长.

【详解】vz=l+i;

z2-z=(l+i)2-(l+i)=l+2i+i2-l-i=-l+i;

222=72.

.■.|Z-Z|=^(-1)+1

故选:C.

3.D

【分析】根据模长公式即可求解.

【详解】由1+B=(2,3),万-5=(2,-1)可得。=(2,1)3=(0,2),

故同2-麻=2?+『一(22+。2)=1,

故选:D

4.C

【分析】利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得;

【详解】解:tanl95°=tan(180o+15o)=tanl50=tan(45o-30o)

tan45°-tan30°

1+tan45°tan30°

=2-石

i+i4

故选:C

5.D

答案第1页,共16页

【分析】结合图形利用线面的位置关系和充分条件,必要条件的定义即可判断.

【详解】当“直线。和直线方平行”时,平面a和平面£可能平行也可能相交,故不充分;

当“平面a和平面夕平行”时,直线。和直线6可能平行也可能异面,故不必要;

因此“直线a和直线b平行”是“平面a和平面§平行”的既不充分也不必要条件.

故选:D.

6.B

【分析】首先求得数列的通项公式,然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中

是否存在最大项和最小项.

【详解】由题意可知,等差数列的公差1=与苧=?;=4,

则其通项公式为:=Oj+(n-l)J=-9+(n-l)x4=4n-13,

注意至U%</<<0<〃4=3<%<…,

且由心<0可知(<0U23,ieN),

由条=4>l(iW4"eN),得(<凡(后4,ieN),

Li-\

所以数列{瑁在〃e[3,xo),〃eN上为递减数列,

所以数列区}不存在最小项,

由于%=—9,%——5,。3=—1,〃4=1,

故数列{瑁中的正项只有《=45,

故数列{(,}中存在最大项,且最大项为心.

故选:B.

7.A

【分析】设尸优,%),根据题设得到1^=9,再结合&+g=1,得到巨=工,即可求

a'-x04a-b矿4

解.

【详解】设尸(十,%),则。A(-a,0),

由题有如"年^则…『尹

—XQ+a4

答案第2页,共16页

所以/("一4)一1,得到所以C的离心率为e=£=<「X=、Q=虫,

.—焉一]a-4a\a2\42

故选:A.

8.C

【分析】求出圆心C(o,o)到直线/的距离,根据点与圆的位置列关系式,求出圆心C(o,o)到

直线/的距离求解.

【详解】圆心C(o,o)到直线/的距离1=

若点A(a/)在圆。上,贝!]/+/=/,

所以d=I:/=,|,则直线/与圆C相切,故A正确;

y/a2+b2

2

若点A(a,6)在圆C内,则/+/<r,

所以d=I:,>>|,则直线/与圆C相离,故B正确;

y/a2+b2

若点A(a,6)在圆C外,则片+片>/,

所以<卜|,则直线/与圆C相交,故C错误;

yla72+b2

若点A(a,6)在直线/上,贝!]/+/一户=o,

即所以d=/:,

da2+及

直线/与圆C相切,故D正确.

故选:C.

9.ABC

【分析】根据正态分布密度曲线的特征逐项判断即可.

【详解】选项A:〃为数据的方差,所以。越小,数据在〃=1。附近越集中,正态曲线越

瘦高,

所以该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大,A说法正确;

选项B:由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5,B

答案第3页,共16页

说法正确;

选项C:由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的

概率相等,C说法正确;

选项D:由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10)与落在

(10.2,10.3)的概率不相等,

所以落在(9.9,102)与落在(10,10.3)的概率也不相等,D说法错误;

故选:ABC

10.BD

【分析】根据三角函数的图象与性质,以及函数图象变换法则计算可判断每个选项的正误.

【详解】因为〃x)=1sin2x,所以函数/(X)的最小正周期为7=胃=叫故A错误,

因为xe-皆,所以2xe-卦,所以〃尤)在上单调递增,故B正确;

因为尤e-K,2x©与,所以sinxe-4,1,的取值范围为-乎,

故c错误;

由于g(尤)=!sin(2x+f],将其向右平移得到白,得至叮=1sin12/-J[+m=1sin2%

214/o2|_^oy4J2

故D正确.

故选:BD.

11.ABD

【分析】数形结合,依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图,连接与C、BCX,因为DA//BC,所以直线8G与3。所成的角即为直线BC

与。4所成的角,

因为四边形8瓦GC为正方形,则4c■LBC,故直线BG与D4所成的角为90。,A正确;

答案第4页,共16页

连接AC,因为a旦,平面B4GC,JBGu平面B百GC,则

因为与CLBG,A1BinB1C=Bl,所以平面A^C,

又ACu平面A4C,所以BC]_LCA,故B正确;

连接AG,设AGn4R=。,连接BO,

因为8瓦,平面A31G2,GOu平面AB]G2,则C[O,48,

因为GO,耳2,4Rc瓦2=4,所以G。,平面B42。,

所以NGBO为直线BC{与平面班QD所成的角,

设正方体棱长为1,则G0=走,BC]=夜,SinNGBO=「£=;,

12BC\2

所以,直线BG与平面所成的角为30。,故C错误;

因为C|C,平面ABCZ),所以/GBC为直线8G与平面ABCZ)所成的角,易得NC|3C=45。,

故D正确.

故选:ABD

35

12.

T

【分析】利用二项式(x+g]的通项公式加=2TC"j(0W8/eN),即可求出结果.

【详解】二项式[x+曰的通项公式为“"gif——N*),

由8-2厂=0,得到厂=4,所以二项式、+(1的展开式中的常数项是

答案第5页,共16页

,-44

T2C=1;;8x7x6x5;35

58164x3x28'

35

故答案为:v-

o

13.12

【分析】由耳(-夜,0),用(血,。),可得〃^为丫=1曲1(无-四)=石0-逝),代入双曲线

方程中,利用弦长公式求出|加|,再由双曲线的定义即可求解周长.

【详解】因为耳(一行,0),g(3,0),

所以直线肱\^y=tan/x-e)=7^(x-0),

设加(石,乂),阳九2,%),

[x2-y2=1

由彳厂厂,得2%2—6岳+7=0,

y=73(x72)

7

则&+x2-3A/2,xrx2=—,

所以\MN\=y/1+3-J(X]+%2)2—41尤2=2\/18-14=4,

因为|叫|=|吗|+2,|明|=|峭|+2,

所以|明|+|g|=I懈I+|M^|+4=|M?V|+4=8,

所以|岫|+|明|+|加朋=12

故答案为:12

【分析】先确定四名裁判中既有男生也有女生,且女裁判员担任主裁判的事件数,再确定四

名裁判中既有男生也有女生,且女裁判员担任主裁判,第四裁判是男生的事件数,最后根据

条件概率公式得结果.

答案第6页,共16页

【详解】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生,且女裁判员担任主裁判的事件数:

先从4名女生中选出一名担任主裁判,有4种选法,再从剩下12人中选出3人分别担任不同

的助理裁判以及第四裁判,注意到四名裁判中既有男生也有女生,所以有(A:?-A;)种选法,

故四名裁判中既有男生也有女生,且女裁判员担任主裁判的事件数为4(Al-A;),

第二步确定四名裁判中既有男生也有女生,且女裁判员担任主裁判,第四裁判是男生的事件

数:

先从4名女生中选出一名担任主裁判,有4种选法;再从9名男生中选出一名担任第四裁判,

有9种选法;最后从剩下11人中选出2人分别担任不同的助理裁判,有A:种选法,故四名

裁判中既有男生也有女生,且女裁判员担任主裁判,第四裁判是男生的事件数为4X9A;

因此,四名裁判中既要有男生,也要有女生,且在女裁判员担任主裁判的条件下,第四裁判

员是男生的概率为99055

1314-73

4(A(2-A012x11x10-6

故答案为:

15.(1)A=J;(2)更

32

【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系求出sinB,再由正弦定理求出sinA,即可得解;

(2)首先由两角和的正弦公式求出sinC,过3作交AC于点。,在AD3C中,

sinC=—,即可求出BD;

BC

【详解】解:(1);a=7,Z?=8,cos5=-;

sinB=±V1-cos2B—±

7

因为BE(0,4)且cosB=—;,/.Be(会乃),「.sin5=^^,

7^8

由正弦定理可得三二—J,即"而解得sinA=也,

smAsinB二丁2

因为.14=3

(2)如图,过B作交AC于点O,

在AABC中sinC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsinB

答案第7页,共16页

3A/3

14

如图所不,在AZMC中,sinC=——

BC

.n八一3指_3石

..BD=BCsinC=7x-----=------

142

故AC边上的高为迈

2

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,正弦定理解三角形以及三角恒等变换的应用,

属于中档题.

16.⑴y2=4x

⑵存在,(0,0)和(9,-6)

【分析】(1)由河。,-2)在抛物线上,代入求出P,即可求出抛物线C的方程;

(2)设尸不加,求出直线/并与抛物线C的方程联立,求出N点坐标,将PMLRV转化

7

为丽■•两=0,求出加并检查是否符合题意即可.

【详解】(1)由”(1,一2)在抛物线上,则(-2)2=2pxl,解得p=2,

因此可得抛物线C的方程为y2=4x.

(2)

答案第8页,共16页

存在点夕在抛物线。上,

,2、

设点

由直线/的斜率为:,且过

则直线/的方程为:y-(-2)=j(x-l),即2x—3y—8=0,

[2x-3y-8=0,

联立,可得>-6y-16=0,解得y=-2,或y=8,

即可得N点的纵坐标为8,代入9=4尤,得x=16,即N(16,8),

若PMLPN,则两'_L两,即两.丽=0,

又丽=11_乎,—,闲

(相2、/2\

则可得[1一彳)[16_彳)+(_2_⑹(87w)=0,

整理得,加(机+2)(机一8)(机+6)=0,解得%=0,或m=-2,或〃z=8,或:”=-6,

当帆=一2时,P(l,-2)与M重合,舍去,

当机=8时,P(16,8)与N重合,舍去,

当m=0时,尸(0,0),

当7”=-6时,P(9,-6),

综上知,抛物线C上存在点尸,为(0,0)和(9,-6)时,PMLPN.

17.(1)证明见解析

⑵域

答案第9页,共16页

【分析】(1)取3c的中点E,连接易证3CJ_AD,再通过空间位置的关系的向

量表示即证荏.诙=砺.函=0即可;

(2)通过等体积法,求得8到平面AC。的距离为,即可求解;

【详解】(1)

取的中点E,连接AE,£>E,

因为AB=AC=CD=BD=2,

所以8C,AE,BC,OE,又AE,DE为平面ADE内两条相交直线,

所以2C_L平面ADE,又AD在平面ADE内,

所以3CLAD,

由福•丽=(莅+丽)•回+瓦5)=而言+访砺+历・刀+丽・亚

因为AC23D,所以丽.耳=0,

所以荏•亚二通•百+而•砺+丽•而=而•历+丽•而=丽•丽,

又BC1.AD,

所以初•①=砺・国=0,

所以ABL8;

(2)

过点A作的垂线,交BD于点0,连接CO,

因为AC2BD,又AO,AC为平面AOC内两条相交直线,

所以1平面AOC,又CO在平面AOC内,

所以5DLOC,

答案第10页,共16页

又AB=CD=2,BC=AD,5O=B。,

△ABD*BCD,

所以。为80中点,所以HS=AD=2,

因为42=2,3。=侦,

3

由勾股定理可得:A0=C0=巫,

3

4+4_4

所以COSNAOC=3所以sin/A0C=走,

2x3422

3

所以s初工空义正义昱=6,

yoc23323

SAnr」x2x2x3=G

△22r

设3到平面ACD的距离为d,

=X

则^B-ACD2SjOCXBD=—XS4ABeXh,

1G4战1/T7

—xx---=—xV3xn,

3333

解得:h=,

9

设直线AB与平面AC。所成角为巴

4A/6

所以.A丁2瓜,

sin0==----

29

所以直线43与平面AC。所成角的正弦值为2匹.

9

18.(1)/(尤)在R上单调递增.

(2)证明过程见解析.

⑶{1

【分析】(1)去绝对值求导函数,根据导函数正负判断原函数增减;

(2)去绝对值判断函数为偶函数,从而确定其关于y轴对称;

(3)先讨论x20时不等式恒成立,此时可就。分类讨论后得在此条件下再

讨论xWO不等式恒成立,从而可求参数的范围.

答案第11页,共16页

2e2j

—1,x>0

e2x+l

【详解】(1)当。=0时,函数”x)=ln(e2,+l)-W,求导得:尸⑺二

2e21

+l,x<0

旧+1

当>>°时‘/(》)=门一1=门

vx>0,e2x>l,:.f\x)>0,

2X2%

7P3P+I

当x<°时'

.・・当。=0时,函数/(X)在R上单调递增.

(2)当4=1时,函数/(x)=ln(e"+l)-x-W

e2x+l

=In=ln(e,+er一x,

e2x

/(-%)=In

・••4X)为偶函数,关于y轴对称;

所以当。=1时,曲线是轴对称图形.

(3),//(力41!12在区上恒成立,「.1口(©2"+1)-依一国41112,

当xNO时,W*ln(e2x+l)-ar-x<ln2,

又/'(x)=^~f_a_l=l_a--^r-T,

vex+1eX+1

当时,/'(力<0在(0,+/)上恒成立,

故/(元)在[0,+8)上为减函数,故/⑺V〃0)=ln2,此时不等式恒成立,

若0vavl,ln(^e2A-\-i^-ax-x>]ne2x-ax-x=(1-a)x,

止匕时当兀〉史2时,1口12、+1)—以一%>1!12,

1-a'7

故In(e?、+1)-冰-%«In2不成立,

故当xNO时,若不等式ln(e"+l)—依一归归1112恒成立,则a>l.

若%<0,贝心!1(已2"+1)—Q+工«1112,

答案第12页,共16页

9

又/。)二门一0+1=3--e,

2

当止。时,1</+142,故1-"3-。-门42-。

若此时/(x)<0在(-/,0)上恒成立,故"X)在(-/,0)上为减函数,

故/(x)2"0)=In2在(-8,0]上恒成立,与题设矛盾;

若l<a<2,当」<M2时,有ln(e"+1)—ax+x>(l-a)无—a)x^^~=ln2,

1-a''1-a

这与题设矛盾,

若4=1,则0<r(x)Wl,故在(—8,0)上为增函数,

故/(x)w〃o)=ln2恒成立,

综上所述:。的取值范围{1}.

【点睛】方法点睛:导数背景下的含参不等式恒成立问题,可将导函数的值域求出,从而得

到导函数符号讨论的分类点,再结合函数的单调性及零点处理不等式成立.

19.⑴(-1)"

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)求出公比,求出首项,分i为奇数和偶数即可求解;

(2)对递推关系进行分析,求解了(九1),递推计算证明递推式

f(m,k)=f(m-l,k)+f(m,k-1)(当m>k)即可求解;

(3)求出,(加,5),求出匕+5,根据单调性和数值计算即可求解.

【详解】(1)规范数列要求根=左,即数列中-1和1的数量相等,均为〃7项,

等比数列的公比「必须使得所有项。“e{T」},

因此公比「只能是-1或1,

若公比r=l,则所有项均为首项4的值,

但若4=1,则数列全为1,

此时-1的数量为0,与〃z=左21矛盾,

同理,若%=T,则数列全为-1,

答案第13页,共16页

此时I的数量为0,亦矛盾,因此公比r=1不满足条件,

若公比r=-1,则数列为交替数列4“=4GDI,

由于规范数列要求-1和1的数量相等,总项数为2机,

故"7+左=2〃2,即左=〃2,

这与规范数列定义一致,接下来需验证前缀条件:对任意区2加,前i项中-1的个数不少于

1的个数,

若首项%=1,则数列为1,-1,1,-1,…,

此时前1项中1的个数为1,-1的个数为0,

不满足前缀条件,因此首项必须为-1,

即4=-1,数列为一1,1,一1,1,一,

当力为奇数时,前i项中有4个-1和二个1,

显然-1的个数多于1,当i为偶数时,

前i项中有:个-1和:个1,满足-1的个数不少于1的个数,

因此,唯一满足条件的等比数列为为=(-1)",

进一步验证总项数2帆时-1和1的数量均为加,

符合规范数列定义;

(2)当机>2时,若第一个位置为-1,

则剩余根-1个-1和2个1,此时广义规范数列的数目为〃根-L2),

若第一个位置为b则剩余优个-1和1个1,且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的

个数不少于1的个数,

这种情况等价于k=l的广义规范数列,其数目为/(m,l),

因此,递推关系为=+

当左=1时,数列中有机个-1和1个1,

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