2025年高考数学重难点复习特训：指、对、幂数比较大小问题【八大题型】学生版+解析

重难点03指、对、塞数的大小比较问题【八大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1利用函数的性质比较大小】............................................................2

【题型2中间值法比较大小】...................................................................2

【题型3特殊值法比较大小】...................................................................3

【题型4作差法、作商法比较大小】............................................................3

【题型5构造函数法比较大小】................................................................3

【题型6数形结合比较大小】..................................................................4

【题型7含变量问题比较大小】................................................................4

【题型8放缩法比较大小】.....................................................................5

►命题规律

1、指、对、塞数的大小比较问题

指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幕数

的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以

及指数函数、对数函数和幕函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函

数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.

►方法技巧总结

【知识点1指、对、塞数比较大小的一般方法】

1.单调性法：当两个数都是指数累或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或募函数的函数值,

然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：

①底数相同，指数不同时，如优，和利用指数函数y=罐的单调性；

②指数相同，底数不同时，如¥和石，利用累函数y=x"单调性比较大小；

③底数相同，真数不同时，如log”玉和log,%,利用指数函数log,X单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其

它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法：

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”

规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6、放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；

(2)指数和幕函数结合来放缩；

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

►举一反三

【题型1利用函数的性质比较大小】

3

【例1】（2024.湖南衡阳.模拟预测）已知。=3。，3,b=0.3,c=log033,则a,b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

21

【变式1-1]（2024•四川自贡•三模）已知a=log25b=I?。？，c=0.5,贝!Jc的大小关系是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【变式1-21（2024•贵州贵阳・三模）已知a=403）=Qog4a），c=logKIog4），则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

a

【变式1-3]（2024•山东泰安・模拟预测）已知a=log0.20.3,b=Ina,c=2,则a,瓦c的大小关系为（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【题型2中间值法比较大小】

【例2】（23-24高三上•天津南开•阶段练习）已知a=e°\b=1-21g2,c=2-log310,则m0,c的

大小关系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

i

【变式2-1]（2024•陕西铜川•模拟预测）已知a=g）之*=Sg65,c=log56,贝!J（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【变式2-2]（2024•山东潍坊・二模）已知a=eT,b=Iga,c=e°,贝!j（）

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

31

【变式2-3](2024•天津北辰•三模)已知。=0.5,b=log090.3,c=logi1,贝!Ja,b,c的大小关系为()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【题型3特殊值法比较大小】

-03-06

［例3］（2024.陕西商洛•模拟预测）设a=log050.6,b=O.49-,c=O.6,,则a,b,c的大小关系是

（）

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

b

【变式3-1］（23-24高二下•云南玉溪•期中）已知实数a,hc满足2。+a=2,2+b=V5,c=log163,则

（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【变式3-2］（2024•宁夏银川•二模）若a=log“，b=（1）4,c=log34,d=［则（）

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

i

【变式3-3］（2024•天津和平・一模）设（J=2,b=logi3—logi9,c=g）3,则有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【题型4作差法、作商法比较大小】

_1

1

【例4】（2023•四川成都•一模）若a=31b=（|）3,c=logi|»则a，b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【变式4-1】（2023.贵州六盘水.模拟预测）若。=三一=詈，。=?,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【变式4-2］（2024.四川成都.二模）若a=ln26,b=41n2-ln3,c=（l+ln3）2,则见hc的大小关系是（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【变式4-3］（2024.全国.模拟预测）若a=2。，,一=3"25,c=logo7OS则a,仇c的大小关系为（

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【题型5构造函数法比较大小】

【例5】（2024•全国•模拟预测）已知a=Ing,b=ln7xln2,c=则（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

1r_

【变式5-1］（2024•全国•模拟预测）设a=5"b=-,c=log5,则a,b,c的大小关系为（）

44

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【变式5-2]（2024.天津和平.一模）已知a=logo20.3,b=log0,30-2,c=log23,则a,b,c的大小关系为（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【变式5-3]（2023・河南•校联考模拟预测）已知实数见hc满足小+log2a=0,2023一》=log2023^c=

log7V6,则（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【题型6数形结合比较大小】

【例6】（2024•河南•模拟预测）已知a=Imr,b=log?%c=S?ln2,则a,4c的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【变式6-1]（2023•江西赣州•二模）若log?%=log4y=logsz<一1，则（）

A.3%<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x

【变式6-2］（2024•全国•模拟预测）已知a=6）=logaha，=logK，则实数a,瓦c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【变式6-3]（2024•广东茂名・统考一模）已知％y,z均为大于0的实数，且知=3、=logsz,则居y,z大小关

系正确的是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【题型7含变量问题比较大小】

【例7】（23-24高三上•天津滨海新•阶段练习）设a、b、c都是正数，且4a=6匕=9。，则下列结论错误的是

（）

A.c<b<aB.ab-Vbe=acc.4”•9”=4a•9，D.-=---

cba

【变式7-1］（2024•江西・模拟预测）若ae。=blnb（a>0）,则（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.无法确定

【变式7-2］（2023•全国•模拟预测）已知a,b,c均为不等于1的正实数，SAnc=alnb,\na=bine,则a,瓦c的

大小关系是（）

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【变式7-3]（2024•全国•模拟预测）已知正实数a,b,c满足e。+e-2。=e。+口-b=log23+log86,c+

log2c=2,则〃，Z?,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【题型8放缩法比较大小】

【例8】（2024•陕西西安・模拟预测）若a=0.31L5,b=3g312,c=log26,d=[三,则有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

i

4

【变式8-1]（2023•河南郑州•模拟预测）已知a=log35,b=2（|）,c=31og72+log87,贝H（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【变式8-2]（2023上•安徽•高二校联考阶段练习）已知a=g-g,b=63,c=log53-]log35,则（）

9

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【变式8-3]（2024•全国•模拟预测）已知a=log8」4,b=log3xe,c=ln2.1,,则（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

►过关测试

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）设a=log62,b=log123,c=log405,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

2.（2024•安徽宿州・一模）已知3m=4,0=2力-3,/7=4血一5,则（）

A.a>0>bB.b>0>aC.a>b>0D.b>a>0

3.（2024・贵州毕节•一模）已知a=31og83,b=-^logil6,c=log43,则a,b,c的大小关系为（）

23

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.b>a>c

0.7zox0.7

©，b=G），c=log式log34）,则（）

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

5.(2024・云南昆明•模拟预测)已知a=而,b=ln2,c=log32,则a,瓦c的大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

a2aq3b5C

6.(2024•陕西宝鸡•一模)已知实数a,b,c满足三=三=Og=2,贝。()

A.a>b>cB.a<b<c

C.b>a>cD.c>a>b

7.(2023•湖南永州•一模)已知a=log3H,b='；—--,c=——，则()

10g3TT-l2-lOg37T

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

8.(2023•陕西西安•一模)已知函数/(%)=-2%,若2。=logzb=c,则()

A./㈤</(c)<f(a)B./(a)</(h)</(c)

C.f(a)</(c)<f(b)D./(c)</(h)</(a)

二、多选题

9.(2024.河南洛阳.模拟预测)下列正确的是()

-001-0001

A.2>2B.log2V3>log2n—1

001

c.logi,85<log175D.log33.01>e-

10.(2024.重庆・模拟预测)若b>c>1,0<a<1,则下列结论正确的是()

aa

A.b<cB.log^a>logca

aa

C.cb<bcD.b\ogca>clogba

11.(2024.重庆.一模)已知3a=5匕=15,则下列结论正确的是()

A.Iga>IghB.a+b=ab

C-(1>(乎D.a+b>4

三、填空题

1

12.(2023•北京昌平.二模)3-2,27og25三个数中最大的数是.

1A

13.(2024•北京通州・三模)已知a=2-,b=logif,c=log23,则三者大小关系为______(按从小到大

43

顺序)

14.(2023•吉林长春•模拟预测)已知a=log鱼?，b=(y)',c=In则a,b,c的大小关系为.

四、解答题

15.（23-24高一・全国•随堂练习）已知x=Inn,y=log52,z=e~2.

（1）比较x,y的大小；

（2）比较y,z的大小.

16.（23-24高三・全国•对口高考）（1）比较£1%"与>0,6>0）的大小;

（2）已知a>2,比较log（a-i）a与logja+1）大小

17.(23-24高一•湖南•课后作业)比较a,b,c的大小：

22

(1)已知l<x<2,a=(log2x),b=log2x,c=log2(log2x)；

(2)已知a=log36,b=log510,c=log714.

18.（23-24高一上.广东江门•阶段练习）已知正实数x,y,z满足3工=4〃=62.

(1)求证：1-1=^；

zx2y

(2)比较3x,4y,6z的大小.

19.（23-24高一上•广东广州•阶段练习）已知函数/（无）=总

⑴判断并证明函数f(%)在区间(0,+8)上的单调性;

⑵已知Q==/Qog25),c=/(0.2S),试比较三个数〃，b,c的大小，并说明理由.

重难点03指、对、塞数的大小比较问题【八大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1利用函数的性质比较大小】............................................................2

【题型2中间值法比较大小】...................................................................2

【题型3特殊值法比较大小】...................................................................3

【题型4作差法、作商法比较大小】............................................................3

【题型5构造函数法比较大小】................................................................3

【题型6数形结合比较大小】..................................................................4

【题型7含变量问题比较大小】................................................................4

【题型8放缩法比较大小】.....................................................................5

►命题规律

1、指、对、幕数的大小比较问题

指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幕数

的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以

及指数函数、对数函数和幕函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函

数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.

►方法技巧总结

【知识点1指、对、幕数比较大小的一般方法】

1.单调性法：当两个数都是指数累或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幕函数的函数值,

然后利用该函数的单调性比较,具体情况如下:

①底数相同，指数不同时,如〃和烦，利用指数函数y=优的单调性;

②指数相同，底数不同时,如<和其，利用累函数y=x"单调性比较大小;

③底数相同，真数不同时,如log“占和log.9,利用指数函数log”x单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其

它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判

定.

3.作差法、作商法:

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法：

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”

规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6、放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；

(2)指数和募函数结合来放缩；

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

►举一反三

【题型1利用函数的性质比较大小】

3

【例1】(2024.湖南衡阳.模拟预测)已知a=3°-3,b=0.3,c=log033,则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.

【解答过程】a=3°，3>3°=1,0<b=0.33<1=0.3°,

c=l°go,33Vlogo.sl=0，/.a>>c.

故选：A.

21

【变式1-1](2024・四川自贡•三模)已知a=log25b=I?。？，c=0.5,则。，b,。的大小关系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.

【解答过程】因为y=log?%在％e(0,+8)上单调递增，

所以a=log2|<log2l=0即a<0；

因为y=1.2%为增函数，故b=1.2。？>1.2O=1即b>1；

因为y=0.5%为减函数，故0<0.521<0.5°=1即0<c<1,

综上a<c<b.

故选：A.

【变式1-2](2024•贵州贵阳•三模)已知a=403,力=(log4a)，c=Iog4(log4。)，则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1,利用指对运算和指数函数单调性得到0<b<1,利用对数函

数单调性得到c<0,则比较出大小.

【解答过程】因为a=40-3>4°=l,b=（log4a尸=0.34<1,且OJ4>0,则0<b<1,

c=log4（log4a）=log40.3<0,

所以a>b>c,

故选：A.

a

【变式1-3]（2024.山东泰安・模拟预测）已知a=log020.3,b=Ina,c=2,则a,b,c的大小关系为（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【解题思路】利用对数函数的单调性求得a,b的范围，根据指数函数的单调性得c的范围，即可比较大小.

【解答过程】因为y=logo"在（0,+8）上单调递减，所以logo”<logo.20.3<logo.2（）.2,即0<a<1,

因为y=Inx在（0,+8）上单调递增，所以InaClnl,即b<0,

因为丫=2丫在R上单调递增，所以2a>2。，即c>l,

综上，c>a>b.

故选：D.

【题型2中间值法比较大小】

【例2】（23-24高三上•天津南开•阶段练习）已知a=e°\b=1-21g2,c=2-log310,则a,6,c的

大小关系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0,1,分析判断即可.

【解答过程】由题意可得：a=e01>e°=1,

b=l-21g2=1-lg4,且0=Igl<lg4<IglO=1,则0<b<1,

因为logslO>log39=2,则c—2—log310<0,

故选：B.

_1

2

【变式2-1]（2024•陕西铜川•模拟预测）已知a=（J,b=log65,c=log56,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【解题思路】取两个中间值1和I，由。=粕>|,匕Vlog66=1,1=log55<CV|即可比较三者大小.

2

【解答过程】a=0=Ve>=|,b=log65<log66=1,1=log55<log56=c<log5V125=|,

因此b<c<a,

故选：c.

【变式2-2](2024•山东潍坊・二模)已知a=e-1,b=Iga,c=e。，贝！j()

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量。和1即可比较大小.

【解答过程】a=e-1G(0,1),b=Iga=Ige-1=—Ige<0,c=e°=1,

所以b<a<c,

故选：A.

31

【变式2-3](2024•天津北辰•三模)已知a=0.5,b=log090.3,c=logi|,贝!Ja,b,c的大小关系为()

32

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值分析大小即可.

【解答过程】因为y=0.5久在R上单调递减，则0.53-1<0卬=|,即a</

又因为y=logo,9%在(0，+8)上单调递减,则logogO.3>logo_90.9=1,即b>1；

可得c=logii=log32,且y=log?、在(0,+8)上单调递增，

32

贝咛=log3V3<log32<log33=1,即*c<1；

综上所述：a<c<b.

故选：D.

【题型3特殊值法比较大小】

【例3】(2024.陕西商洛•模拟预测)设a=logo,50.6,b=0.49~0-3,c=0.6­°-6,则a,b,c的大小关系是

()

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解题思路】利用幕函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.

【解答过程】因为y=logo.5%在(0,+8)上单调递减，tUlog0,5l<log0,50.6<Iog0.50.5,即0Va<1.

因为y=”6在(0,+8)上单调递增，又0.49-03=07-06=管)°.6,。石-“=(j)*

又|>三>1,所以(|)°‘>(三)°6>1。.6,故c>b>L所以c>b>a.

故选：A.

【变式3-1](23-24高二下•云南玉溪•期中)已知实数满足2。+。=2,2匕+b=遮，c=log163,则

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解题思路】由对数函数单调性得c<I，构造函数/(x)=2x+x,xeR,由函数的单调性得[<a<b及,

即可得出判断.

【解答过程】由对数函数单调性得，c=log163<log164=log16162=

构造函数/(%)=2X+x,xeR,贝！]/(a)=2。+a=2,f(b)=2b+b—

因为y=2X和y=X单调递增，所以/(x)单调递增，

因为2<花,即f(a)<f(b),所以a<b,

又/•(|)=2，+[=噌<2,所以/(a)〉”》，即a>|,

所以c<a<b,

故选：A.

【变式3-2](2024.宁夏银川•二模)若a=log£,b=(|)tc=log3td=1则()

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.

43；

【解答过程】因为a=log|5=log3>log3=1，(/<(1)<(0°=(<b<1,

1

log34<log3=0=>c<0,

所以a>b>d>c.

故选：A.

_i

【变式3-3](2024•天津和平•一模)设(J=2,b=logi3-logi9,c=%则有()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0,可得a最小，再利用〃>c3得出大小.

【解答过程】由0=2可得a=logi2<logil=0,

_i]

3

b=logi3—logi9=logi-=log23>1,c==23=V2>0,

2223\2✓

下面比较b,c,

323

因为32>(25)=8,所以3>2*

32

所以b=log23>log222=

而《3=（遮『=2v（I）=孑，故cv',所以c<b,

综上，b>c>a.

故选：B.

【题型4作差法、作商法比较大小】

【例4】（2023・四川成都•一模）若a=3F,匕=（|）:c=logN|,贝!］a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【解题思路】先根据指对函数的单调性可得0<a<l,0<b<l,c>1,再作商比较a,b的大小，从而可

求解.

【解答过程】因为0<a=<3。=1,0<b=（j）-5<（|）°=1,

nq-T1.1111Z11、12/1、12/lx121

令三=—=3一差x2"3=3五x2"3,而（3后x2可=（3五）x（2可=3X2-4=^<1,即3五x

（2）

2~3<1,所以a<b,

又因为c=logij=logi^>logi^>logij=1,所以c>b>a.

故选：D.

【变式4-1］（2023.贵州六盘水.模拟预测）若。=三一=詈，。=?,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y=Inx的单调性分别判断a,6和a,c的大小关系，即可判断出a,b,c

的大小关系.

【解答过程】因为b—a=詈一券21n3-31n2In9-ln8>0,所以b>a；

66

下、—八匚、

又7因m为i.c-a=-In5——ln-2=2-1n5—-5-1n2=l-n25-ln-32<0,所以a>c；

综上所述：c<a<b.

故选：C.

【变式4-2］（2024•四川成者B•二模）若a=ln26,b=41n2Jn3,c=（l+ln3）2,贝b,b,c的大小关系是（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【解题思路】作差法比较a,b的大小，利用对数的性质比较a,c的大小.

【解答过程】a=ln26=(ln2+ln3)2,c=(Ine+ln3)2

因为ln2+ln3<Ine+ln3,所以(ln2+ln3)2<(Ine+ln3)2,即a<c,

a=ln26=(ln2+ln3)2,b=41n2-ln3,

则a—b=(ln2+ln3)2—41n2-ln3=(ln2—ln3)2>0,即b<a,

所以b<a<c.

故选：D.

【变式4-3](2024•全国•模拟预测)若a=2°”,|=3025,c=logo^OS则a,5c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【解题思路】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断a,c范围，比较它们的大小；利用作商法比

较a,b的大小，即可得答案.

【解答过程】因为函数y=2%在R上单调递增，所以a=20-4<20-5=V2.

111

又:残=(募款=(舒M瑞茄>】，所以…〈正

因为0.52=0.25<0.343,故0.5<V0343=O.7i,y=logo^x在(0,+8)上单调递减，

3o

所以logo,7(),5>log070.72=->yj2,所以a<c,

所以实数a,b,c的大小关系为b<a<c,

故选：B.

【题型5构造函数法比较大小】

【例5】(2024.全国.模拟预测)已知a=Ing,b=ln7Xln2,c=则()

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解题思路】根据0<ln2<1得至Uc的值最大，然后构造函数f(x)=(1-ln2)lnx-ln2,根据/(%)的单调

性和"8)<0得到a<b.

【解答过程】因为0<ln2<l,所以a=ln7-ln2<ln7,b<ln7,c>ln7,故c的值最大.

下面比较a,6的大小.

构造函数/'(x)=Inx—ln2—Inx-ln2=(1-ln2)lnx—ln2,

显然f(x)在(0,+8)上单调递增.

因为/'(8)=ln8—ln2—ln8-ln2=ln2(2—ln8)=ln2(lne2—ln8)<0,所以a—b=f(7)<f(8)<0,所

以a<b,所以a<b<c.

故选：C.

.1耳-

【变式5-1］（2024.全国.模拟预测）设a=5"b=-,c=log5,则mb,c的大小关系为（）

44

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.

【解答过程】先比较a和b,构造函数y=/在上（0,+8）单调递增，

・•.（*4=5>黑=（1，••/>：，即a>b;

44

又・「4b=5,4c=410g45=log45,且4、=4x256>5=625,

45

4c=log45<log44=5=4b,:・b>c,

.\a>b>c.

故选：A.

【变式5-2］（2024.天津和平.一模）已知a=\og020^,b=\ogQ30.2,c=log23,则a,b,c的大小关系为（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【解题思路】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得.

【解答过程】v0<a=log020.3<1,&=log030.2>1,c=log23>1,

又2=log030.2-log32=•臀=21g2,

cbU.3bJlg3-llg31g23Tg3

因为函数/(%)=/一%=(x—|)2一$在(0,9上单调递减，且/(0)=0,又因为1>lg3>lg2>0,

所以f(lg3)<f(lg2)<0,所以罂<1，即霭需<1，所以?<1，

/Ug3Jlg^3-lg3C

・•・b<c,即a<b<c.

故选：C.

【变式5-3](2023・河南•校联考模拟预测)已知实数见hc满足小+log2。=0,2023f=log2023^c=

log7V6,贝！J()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.

【解答过程】设/(%)=%2+log2X,/(%)在(0,+8)上单调递增，

又4)=一汴0,/(1)=1>0,所以|<a<l；

设9")=岛)"一1Og2023久，9(%)在(0,+8)上单调递减,

[/i\2023

又9(1)=康>0,9(2023)=(康)-K0,所以1<b<2023,

因为c=log7V6<log7V7=I，所以c<

综上可知，c<a<b.

故选：B.

【题型6数形结合比较大小】

【例6】(2024•河南•模拟预测)已知Q=In%)=log37T,c=Siln2,则a,b,c的大小关系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【解题思路】

利用对数函数和指数函数，幕函数的性质求解.

【解答过程】ve<3<7T,a=loge7T>log37r=b>log33=1,即a>b>1,

a=InTT=c=V^ln2=ln2诉,

下面比较(S?)2与2近的大小，构造函数y=%2与y=2X,

由指数函数y=2%与幕函数y=/的图像与单调性可知，

当%6(0,2)时，x2<2X；当%G(2,4)时,x2>2X

由％=乃€(0,2),故<2后，故In兀<ln2诉，即aVc,

所以b<a<c,

故选：A.

【变式6-1](2023•江西赣州•二模)若log?%=log4y=logszV-1,则()

A.3%<4y<5zB.4y<3%<5zC.4y<5z<3%D.5z<4y<3x

【解题思路】设log3%=log4y=logsz=znV-1,得到％=3，y=4，z=5血，画出图象，数形结合得到

答案.

mmm

【解答过程】令log?%