2025年高考数学分层练习（基础题）：三角函数与解三角形（50题）

三角函数与解三角形

一、单选题

1.已知点尸&-是角。终边上一点，则sin26=()

44-33

A.——B.—C.--D.-

5555

2.若。是第二象限角，3sin2a=tana,则tana=()

A.-75B.—@C.好

D.75

55

3.在下列四个函数中，以兀为最小正周期，且在区间［?兀］上单调递减的是()

A.^=|sinx|B.y=cosx

X

C.y=tanxD.y=cos—

2

.(71)

4.已知(2J贝Utana=()

=g，

cosa-sina

zB

A.2A/3+1B.C.D.1-73

32

5.在VA3C中，三个内角48,C所对边分别为a,b,c,/ACS的角平分线为CM交AB于/且a=2,6=石,

c=l,则线段CN=()

26

A.372+76B.3A/2-A/6C.2D.

r

6.已知sin(2x—g)=_g,则cos]

J-2xJ=()

A._BR色C..逅y[6

D.----D.

333~T

7.已知函数/(x)=2"一2一"+asinx+3,且/(m)=6,则/(一“)=()

A.-6B.-3C.0D..3

TT

8.己知VABC的角A,3,C的对边分别为a,6,c,若。=l,b+c=2,A=一,则sinB+sinC

4

A..B.逑

C.1D.后

23

9.若sir?。=cos。，则cos2。=()

A.百-3B.2-75C.A/5-2D.3-75

10.已知sin[a+g]=,贝ijsin，。-上、

1=(

10；

33_77

A.——B.—c.D.

4499

「，sin(a+/?)-,tana

11.已知.〉曾<=3，则，A=()

sm[a-p)tanp

A.-B.1c.2D.3

c।2b—c

12.己知VABC的内角A,B,C的对边分别是:a力,且人=3c,——=2,贝g--------------=（）

sinCsinB-smC

A.5B.4c.3D.1

2兀

13.在AABC中，内角A,民C的对边分别为a,b,c,NBAC=可,c=6,b=4,A/■为8C边上一点，且AB,

则■=()

D.还

A.3B.3A/3c

-12

14.在VABC中,AB=4,sinC=—,点。在线段AC上,AD=3,BD=M,则5C=()

3

A.3B.3>/3C.3A/5D.6

己知曲线y=e，+t皿在x=°处的切线的倾斜角为0,则义野

15.)

A.-3B.2C.3D.0

16.墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m,某摄像机在地面上拍摄这幅画.将画上端

一点A、下端一点2与摄像机连线的夹角称为视角（点4B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视

角称为最佳视角.若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的

正弦值为（）

A.-B.变C.立D.-

3333

17.已知函数"x）=sin,x-胃（。＞0）在04上满足则。的取值范围是（）

A.（0,2]B.（0,4]C.（0,6]D.（0,8]

18.若将函数、=0型的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移/个长度单位，则所得

2

到的曲线的解析式为（）

.（1兀）.C1C

A.j=sin—x——B.y=-sm2%C.y=-cos—xD.y=-cos2x

19.已知角。的顶点在坐标原点，始边与元轴的非负半轴重合，终边经过点夕(-3,-4),贝ijsin[e+]j=()

43「34

A.——B.--C.-D.-

5555

20.已知函数〃尤)=2gsin2xcos2%+sin42x-cosMx,则/(%)的最小正周期和最小值分别为()

A.一"\/3—1B.—,—2C.Ji,—A/3—1D.九,一2

22

21.VABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,且:必+上=1,则。为（

sinB+sinCa+c

,7t-兀-2兀c5兀

A.-B.—C.—D.—

6336

22.设P：0<a<l；q：关于x的方程瓜加+（：0牍=〃有实数解，则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

23.已知函数/(x)=2025cos(2x+gj,则/(：]=()

A.0B.-2025C.2025D.4050

24.在VA5c中，内角A,5,C所对的边分别为a,b,c,且满足/一/=,2一上隹儿，贝han2A=()

3

4o/y

A.-B.-*C.20D.2

54

25.已知过原点的直线/的倾斜角为a,若点打1,2)在直线/上，则cos2a-2sin20=()

A.1B.°11

C.--D.

555-y

26.函数〃x）=2限os?g-x）

-cos2x一石在0,^-上的值域为()

A.[-1,2]B.[-11]C.[1,2]D.卜2,2]

27.将函数"x)=sin"x+5j的图象向左平移2个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则。的值可能是

()

A.5B.8C.11D.13

28.若函数/(x)=sinGx+gcoss(0>0)图象的一个对称中心为点[,则口的最小值为()

A.—B.—C.2D.—

334

29.已知。£(0,兀)，sin6+cose=g,则下列结论不正确的是()

我色,兀337

A.B.tan6=——C.cos0——D.sin6—cose=一

455

二、多选题

31.如图是函数〃尤)=2sin(ox+e)/>0，M<3的部分图象，下列说法正确的是()

A.函数〃x)的周期是兀

B.点是函数图象的一个对称中心

C.直线x=毛型是函数图象的一条对称轴

D.将函数f(x)的图象向右平移g个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数

0

32.已知函数/(x)=2sin(2x-t],贝Ij()

■JT

A.的最小正周期为兀B.在0,-上单调递增

C.的图象关于直线苫=聿对称D.的图象关于点||,。)对称

33.已知函数〃x)=sin2x+2cos2],则正确的有()

A.〃尤）的最大值为0+1B.〃尤）的图象关于直线％=:对称

C.“X）的图象关于点（-白力对称D.『⑺在闱上单调递增

L44_

34.对于函数/（%）=|sin%|+|cosx|,下列正确的有（）

TT

A.〃尤）是偶函数B.在区间0,-单调递增

C.Ax）是周期函数且最小正周期为兀D./（》）的图象关于直线尤=］对称

35.下列说法正确的是（）

A.函数="T-2（。>0且。*1）的图象必过定点（1,-1）

2

B.方程log2（3x+l）=log2（X-3）的解集为{-1,4}

Ctan，"=T

D.角。终边上一点。的坐标是2a）,则cosa=屿

36.设VABC内角A,且C的对边分别为a,6,c,则下列条件能判定VABC是等腰三角形的是（）

A.acosA=bcosBB.asmB=bsinC

C.cos（A+C）=cosBD.c=2acosB

JTQ

37.在△ABC中，内角A氏C所对边分别为a*,c,若2=；,b1=^-ac,则下列说法正确的是（）

34

1229

A.sinA-sinC=-B.a~+c~=—ac

34

C.sin2A+sin2C——D.sinA+sinC=

122

38.对于VABC,有如下判断，其中正确的判断是（）

A.若cosA=cos3,则VABC为等腰三角形

B.若A>B,贝!|sinA>sin3

C.若b=8,c=10,8=60。，则符合条件的VABC有两个

D.若sin?A+sin"<sin?C，则VABC是钝角三角形

39.已知VABC中，角AB,C所对的边分别是a,4c且a=3,b=也,c=6,则下列结论正确的是（）

TT3

A.VABC是锐角三角形B.B=-C.VABC的面积为一D.AB的中线

42

长为6

40.己知角A,B,C是三角形A3C的三个内角，下列结论一定成立的有（）

A.sin（A+B）=sinCB.cos（A+^）=cosC

C.若sinAvsin/,则A<_8D.若sinB=cosA,则VABC是直角三角形

三、填空题

COS（27l-6Z）

41.若。为第三象限角，sin«=-|,则二-

（2）

2sina-cosa

42.已知。是第三象限的角，tan（7t+«）=2,则sintz=

sina+3cosa

2

43.VABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c.已知〃=3,c=2,cosA=-,贝lja=.

44.函数/■（x）=2sin［0x-］，0>O）的部分图象如图所示，贝1］。=.

45.已知$111（。+月）=285（。一/7）,tana+tan/?=—，则tana・tan；0=

46.在VABC中，若A=；，则（l—taaB）（l-tanC）的值为.

47.4知.：".=2,贝l]tan（2e-：]=_____.

smO+cos。k4J

2sin（7i-（7）+3cos—a

48.若角。满足tano=-l,则'【2J的值为.

cos（兀+a）

49.在VABC中，AB=1,BC=4,CA=J13,。为BC边上一点，且NADB=45。，则AO=

50.VABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若A=g,a=&,c=2,角A的平分线交BC于

D,则AD=

《三角函数与解三角形》参考答案

题号12345678910

答案AAABBBCDBA

题号11121314151617181920

答案CADCAADABB

题号21222324252627282930

答案BABCDADABD

题号31323334353637383940

答案ABABDACABDACBDACDABDBCAC

1.A

【分析】根据角。的终边经过某点的三角函数值及二倍角公式即可求解.

【解析】依题意可得tan6=—=-2

2sincos2tan。4

所以sin20=2sincos0=

sin20+cos201+tan205

故选：A.

2.A

【分析】由已知根据二倍角公式和同角三角函数的基本关系可得COS?a=，，由a是第二象限角，可得

6

sine=叵，即可求解.

6

.sincc

【解析】由3sin2a=tan。得6sinacosa=-------

cosa

因为sinawO,所以cos?a=!，

6

因为。是第二象限角，所以cosa=-逅,

6

grpi.^30

所以sina=-----，

6

sinaq

所以tana=------=一。5.

cos。

故选：A.

3.A

【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可.

【解析】对A：对A：y=Mnx|的图象是由y=sinx的图象将x轴下方的图象关于r轴对称上去,

工轴及工轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示:

答案第7页，共18页

2

>

3兀-兀■匹1。匹兀3兀2兀

T2-1：2x

-Z~2

则y=Mnx|的最小正周期为兀，且在(手兀上单调递减，故A正确;

对B：y=cosx的最小正周期为2兀，故B错误；

对c：y=tanx的最小正周期为兀，但是在(右，上单调递增，故C错误;

2K_

对D：y=cos5的最小正周期为丁二，故D错误.

22

故选：A.

4.B

【分析】利用诱导公式结合齐次式问题分析求解即可.

【解析】因为sm匕+cj©Osa1二6,解得tana=l-3.

cosa—sinacosa-sina1-tancr

故选：B.

5.B

【分析】由余弦定理求出44cB=?,再由4ACB=SAACM+S.BCM代入三角形的面积公式即可得出答案.

O

，丽士G士工用r/日/.cna2+b2-c24+3-15/3

【斛析】由余弦定理可得：cosZACB=----------=---尸——=——,

2ab2xJ3x22

因为ZACBe(O,7T),所以ZAC8=:

71

因为CM为4CB的角平分线，所以NACM=/BCM==,

71.(7171、.717171.71V6-V2

——=sin-----=sin—cos----cos—sin—=--------

12U6J46464

所以SMCB=^^ACM+S/CM，

蛆UX&2XL=LX5CM.巫-母+=x2.CM乖-6，

222424

可得：CM=3A/2-A/6.

故选：B.

6.B

答案第8页，共18页

【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可.

【解析】因为sin[2x—=—

贝ljcos-2xj=cos(2x-

「(c5兀)71

=cosLI2x---6-+J—2j

.5叫—石

=­sin2x----=—.

I6J3

故选：B.

7.C

【分析】计算得/(-附+/(附=6即可得到.

【角军析】因为/(加)=6,f(rri)=2m-2~m+asinm+3,

mm

设/(-m)=2--2-asmm+3=t,

则/(-m)+f(m)=2~m一2"—Qsinm+3+2机一2~m+asinm+3=6=t+6,解得t=Q.

故选：C.

8.D

【分析】应用正弦定理计算求解.

IT

【解析】因为。=l,b+c=2,A=:，

4

12

由正弦定理.：+c得V2sinB+sinC,

sinAsinB+sinC—

2

所以sinB+sinC=A/2.

故选：D.

9.B

【分析】根据同角三角函数基本关系求出cos。的值，再根据二倍角公式求出COS29即可.

【解析】因为sin2e=cos6=l-cos?。，所以3$。=避~~-.

2

又因为cos2夕=2cos2。-1=2-75.

故选：B.

答案第9页，共18页

10.A

【分析】利用换元法结合三角函数的二倍角公式求解即可.

【解析】令£+1=力则a=sin/=¥，2”亲=21一3-卡=2"：

sin12■一=-cos2/=-^l-2sin2^=2sin2^-l=2x-1=一拼.

故选：A.

11.C

【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可.

【解析】由于sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin4，sin(a-4)=sinacos4—cosasin；0,

那么sincrcos/?+coscrsin/?=3sinacos6一3cosasin/,

).八八.cJana_

4coscrsinp=zsintrcosp,贝U------=2,

tan/7

故选：C.

12.A

【分析】根据正弦定理即可求解.

hchr

【解析】由正弦定理，^—=^—=2,于是sin5=z，sinC=%,结合办=3~

sinBsinC22

2b—c_2b-c_4b-2c_4.3c-2c_5

于是sinB-sinC^_£b-c3c-c.

2~2

故选：A

13.D

【分析】由S/BCUSAMM+SAAMC即可求解;

【解析】

根据题意得ZCAM=与一g=丁，

326

则,x6x4sin，^=L-6,AM-sin—+—•4-AM-sin—,解得AM=之叵.

2322262

故选：D

14.C

答案第10页，共18页

【分析】利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系得到sinA=巫，再利用正弦定理求解边长即可.

4

【解析】在中，因为AB=4,AD=3,BD=M,

所以由余弦定理可得cosA=4'+3=_L,

2x4x34

而Ae(0,兀)，贝|sinA>0,由同角三角函数的基本关系得sinA=巫，

4

4BC

在VABC中，由正弦定理可得逅一逅，解得5。=36，故C正确.

T丁

故选：C

15.A

【分析】求导，由导数的几何意义得到。，再结合同角三角商的关系即可求解；

【解析】Vyr=ex+—、-,・,•曲线>=©"+121比在尤=0处的切线的斜率为2,即tan9=2.

cosX

.l+sin2^(sin9+cos6)2sin+cos0tan^+1.

\-/r===-3,

cos2^(cos9+sing(cos6-sin9)cos6-sing1-tan。

故选：A

16.A

【分析】根据题意建立几何模型，求解正弦值最大转化成求解正切值最大，结合基本不等式求解最大值即

可.

【解析】

如图所示：NACB最佳视角，且NAC8e10,当/ACB最大时，sin/AC3最大,

tanZACD-tan/BCD

且tanZACB最大，又tanZACB=tan(ZACD-/BCD)

1+tanZAC£>xtan/BCD

21

又设OC=羽所以tan/ACD=—,tanZBCD=—,

xx

21£

tanZACD-tan/BCD_xx_x_1<1_V2

1+tanZACDxtanZBCD,,21222夜4

i—x-1——x-\—

XXXX

答案第11页，共18页

当且仅当尤=2,尤=夜时取等号，

X

sinZACBA/2

此时，cosZACB-4,sinZACB>0,

sin2ZACB+cos2ZACB=1

解得：sinZACB=1.

故选：A.

17.D

【分析】先求出s-g等-g],再结合正弦函数的图象性质可得J〈竿Jvg,即可得解.

o|_oooj6666

・A73_Lr*.[八兀)—t„—F/口兀兀G)TL兀

【解析】由XW0)—,且。>0,可得口工一工£--—，

oJoLooo

.„/\1t兀〃?兀7T,7兀_

由于-彳，则一;<二---<—,可rZ得c30<oV8.

26666

故选：D

18.A

【分析】根据三角函数图象变换以求得正确答案.

【解析】函数y=sin%的图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到y=sin；x,

再将图象向右平移|■个长度单位得到片sin；Hsin()[.

故选：A

19.B

【分析】利用三角函数的定义求出cos。，再由诱导公式计算可得.

-33

【解析】因为角。的终边经过点「(TV),所以cos"j_sy+u=”,

所以sin,+5]=cosO=_g.

故选：B

20.B

【分析】利用三角恒等变换得到〃x)=2sin(4x-胃，利用T=怖求出最小正周期，整体法求出最小值.

【解析】/(X)=\/3sin4x+(sin?2x+cos?2%)(sin?2%-cos22%)

=V3sin4x-cos4x=2sin4x--,

答案第12页，共18页

故“X)的最小正周期为中=5

TTJIJTI

当4x——=----F2kii,kGZ,即冗=----+—E,左$Z时，

62122

/(X)取得最小值，最小值为-2.

故选：B

21.B

【分析】根据正弦定理把条件式.「江「+上=1，化为=+—也=1，整理后利用余弦定理可求得所

sinB+sinCa+cb+ca+c

求角的余弦值，从而求角.

【解析】由正弦定理和-----------1-----=1,可得——二]

sinB+sinCa+ca+c

所以/+々c+/+be=ab+ac+Z?c+/,所以。2+/_。2="，

由余弦定理，可得cosC=，+"-U=L因为O<c<7t,所以C=E.

lab23

故选：B.

22.A

【分析】先结合辅助角公式及正弦函数性质求出4对应的范围，然后结合充分必要条件的定义即可判断.

【解析】因为瓜inx+cosx=a,所以6sim:+cosx=2sine[―2,2],即—2<a<2.

因为p:O<a<l,q:—2<a<2

所以由"可以推出q,由q不可以推出P,所以P是q的充分不必要条件.

故选：A.

23.B

【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解.

【解析】因为〃无)=2025cos(2x+幻，

则广(x)=-4050sin(2x+鼻，

故广J=-4050sin[]+弓]=一4050cos三=-2025.

故选:B.

24.C

【分析】利用余弦定理求出cosA,即可求出tanA,再由二倍角公式计算可得.

【解析】因为/-bi-友be,所以b-%友A，

答案第13页，共18页

由余弦定理得cosA==立,

2bc3

A£（°,兀），:.sinA=A/1—cos2A=且,

3，

23

2tanA2

sinAy/2m.rtan2A==2V2

/.tanA=-------=——，贝U1—tan2A、2

cosA21-

I2J

故选：c.

25.D

【分析】根据三角函数定义可得sinacosc,结合二倍角公式求结论.

【解析】由题意知，点?(1,2)到原点的距离为百,

21

由三角函数定义可得=菰,。=

sina80耳

11

所以cos2a-2sin2a=cos2a-3sin2«=-

故选：D.

26.A

【分析】利用三角恒等变换化简得到"x)=2sin[2尤qj,整体法得到jrSir

G7，—,结合图象求出函

666

数值域.

1+cos--2x

12.

【解析】4)=2限。-cos2x-^3=2^3x-cos2x-\/3

2

=石cosI-2xI-cos2x=6sin2x-cos2x=2sin12%一J,

6

jryr兀

当0,—时，2元——G,i^2sin|2x--^U[-l,2],

266OOk067

故”力的值域为[-1,"

故选：A

27.D

【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出。=6左+1/EZ,得到答案.

71171.am

【解析】依题意，得g(X)=sinCD\Xd—H—=sinCOXH-+---^-J为偶函数,

636

则处+火=也+工，即。=64+1,左cZ,

632

答案第14页，共18页

当k=2时，口=13,D正确，其他选项均不正确.

故选：D.

28.A

【分析】应用辅助角公式得，(x)=2sin(s+T，根据对称中心及。>0求参数范围，即可得答案.

【解析】由题设/(x)=2sin10x+：j,

因为H=2sin]|•。+[=0,

TTTT2

所以一切H—=ku,贝!]啰=2左,kqZ.

233

4

因为。〉0,所以口之耳.

故选：A.

29.B

【分析】利用平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.

11?4

【解析】由sinO+cos%两边平方得l+2sin%os。——"-三,

由于夕£(0㈤，所以sine>0,cos8v0,所以我已兀｝

249

贝!Jsin。-cos。>0,(sincos0)=1-2sin^cos,

…7

所以sin6-cos8=M,

sin0+cos6=—

由；5解得sine=14,cos6=—E3

sin0-cos03°

I5

sin。4

所以tan夕=

cos。3

所以ACD选项正确，B选项错误.

故选：B

30.D

【分析】由偶函数的性质和特殊值/(0)>0可得.

【解析】“X)的定义域为R,〃T)=兰可=半二=八H,

e+ee+e

则/(X)为偶函数，图象关于，轴对称，故排除AC,

答案第15页，共18页

又/(0)=等=；>0,排除B,只有D符合，

故选：D.

31.AB

【分析】根据函数图象求出。、。，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.

【解析】由图可得与==4=9所以7=兀，则7="=兀，解得。=2,

2362(O

即函数f(x)的最小正周期是兀，故A正确；

又/(m]=2sin[g+e]=2,所以g+e=1+2E,%eZ,所以y=；+2E,keZ,

<37326

因为所以*=弓，

所以/(x)=2sin]2x+。，

又/Ht)=2sin|2x||+T=2sin7i=0,所以点是函数〃x)图象的一个对称中心，故B正确；

日生/2025rc.(2025TT吟.兀月

因为-4~r2sinl-2-+%J=2c°s%=，

所以直线x=当型不是函数/(x)图象的一条对称轴，故C错误；

将函数〃x)的图象向右平移2个单位得到y=2sin[2[.J+£=2sin12尤-胃，

显然y=2sin[2x-e)为非奇非偶函数，故D错误.

故选：AB

32.ABD

【分析】根据给定的函数解析式，结合正弦函数的性质，逐项判断作答.

Ojr

【解析】对于A,f(x)的最小正周期为7=1=兀，故A正确；

fJTIT*TTJTIT

对于B,1••xe0,：,:.2x--e----,由y=sin尤的单调性可知，/(x)在0,-上单调递增，故B正

_4Jo|_63J4_

确；

对于C,将x=!代入解析式得了(m〕=2sin(2xJ-J1=2sin[=l,

6<66J6

所以尤=9不是“X)的对称轴，故C错误；

6

对于D,当》=合时，/W=2sinf2x-^-^=0,所以〃x)的图象关于信,。[对称，故D正确.

故选：ABD.

答案第16页，共18页

33.AC

【分析】先根据二倍角公式化简函数表达式，然后结合正弦函数的性质逐一分析每个选项.

【解析1/（尤）=sin2x+2cos2%=sin2x+2x1+c;s2x_$也2尤+cos2x+1

=01^^sin2x+^^cos2x+1=VZsin^2x++1,

A：,.,sin（2x+：Je[-1,1],\/（x）的最大值为0+1,二A正确.

B：,/；]=0sin号+1=2,结合A选项/'（x）在x=火没有取到最值，

（4）44

JT

\〃无）的图象不关于直线X对称，，B错误.

C：当x=-1时，J^=V2sinO+l=l,\/（x）的图象关于点（一手1卜寸称，，C正确.