2025年高考数学压轴题分层练习：概率与统计（40题）

概率与统计

一、单选题

1.连续抛掷一枚质地均匀的骰子三次，依次记录向上的点数.记机为前两次点数的平均值，〃为三次点数的

平均值，则，〃与〃的差的绝对值不超过g的概率是（）

A.HB.工C.1D,1

271893

2.已知三棱锥a-4A4的侧棱长相等，且侧棱两两垂直.设p为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点A，A，A，A

的点，记。={d|d=|PA|/=l，2,3,4}.若集合。中有且只有2个元素，则符合条件的点P有（）个.

A.3B.6C.7D.10

3.信息端是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,L,小且尸（x=1）=pj＞。

（z=l,2,•■•,«）,tp,=l,定义X的信息嫡a（尤）=-t"1呜”，则下列判断中正确的是（）

Z=11=1

①若Pi=-（z=l,2,--«,n）,则H（x）=logn

n2

②若"（x）=0,贝心=1；

③若”=2,则当R=g时，"（x）取得最大值

④若n=2m,随机变量¥所有可能的取值为1,2,L,m,且P（Y=j）=Pj+%,“产1,2,…⑷），则H（X）＞H（Y）

A.①②B.②③C.①②④D.①②③④

4.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师

安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不

少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为亿，P2,且满足

目+0=g，每局之间相互独立.记甲、乙在〃轮训练中训练过关的轮数为X,若E（X）=16,则从期望的角

度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为（）

A.27B.24C.32D.28

5.李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3

个小球。和3个小球8,当发生有效碰撞时，匕上的计数器分别增加2计数和1计数，a,台球两两发生

有效碰撞的概率均为现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计

数为2,则李华一开始取出的三个球里，小球“个数的期望是（）个

A.1.2B.1.6C.1.8D.2

二、多选题

6.芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检

测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽

样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，8表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工

艺后，这款芯片的某项质量指标J服从正态分布N（5.40,0.052）,现从中随机抽取〃个，这M个芯片中恰有

m个的质量指标J位于区间（5.35,5.55），则下列说法正确的是（）（参考数据：尸〃-＜7卜0.6826,

尸（〃-3cr＜彳V〃+3b）q0.9974）

A.P（B）＞P（B|A）

B.P（A|B）＞P（A|B）

C.P（5.35＜^＜5.55）«0.84

D.P（m=45）取得最大值时，〃的估计值为54

7.某工厂对一条生产线上的产品A和B进行抽检.已知每轮抽到A产品的概率为尸（0〈尸＜1）,每轮抽检

中抽到B产品即停止.设进行足够多轮抽检后抽到A产品的件数与8产品的件数的比例为k,单轮抽检中抽

检的次数为羽则（）

A.若尸=；，则P（x=2）=；

B.当P=|时，尸（彳=4）取得最大值

]_pMpM

c.若一轮抽检中X的很大取值为M,=

（1—产）L—r

D.左+：23恒成立

8.已知在伯努利试验中，事件A发生的概率为。（。＜。＜1）,我们称将试验进行至事件A发生『次为止，试

验进行的次数X服从负二项分布，记作X~NB（r,p）,则下列说法正确的是（）

A.若*~即[1,£|,则p（x=Q=gj,左=1,2,3,…

B.若*~NB（r,p）,则尸=广，k=r,r+X,r+2,---

试卷第2页，共13页

C.若X~NB(r,p),Y-B(n,p),则P(XW〃)=P(Y2r)

D.若X~NB(r,p),则当左取不小于亍的最小正整数时，P(X=Z:)最大

9.信息赠常被用来作为一个系统的信息含量的量化指标，从而可以进一步用来作为系统方程优化的目标或

者参数选择的判据.在决策树的生成过程中，就使用了嫡来作为样本最优属性划分的判据.信息论之父克劳

德・香农给出的信息燧的三个性质：①单调性，发生概率越高的事件，其携带的信息量越低；②非负性，信

息焙可以看作为一种广度量，非负性是一种合理的必然；③累加性，即多随机事件同时发生存在的总不确

定性的量度是可以表示为各事件不确定性的量度的和.克劳德・香农从数学上严格证明了满足上述三个条件

的随机变量不确定性度量函数具有唯一形式H(X)=£log?£,令C=1,设随机变量X所有取值为1,

1=1

2,3,n,且尸(X=i)=月>0(i=l,2,3,...,〃)，£4=1,则下列说法正确的有()

Z=1

A.〃=1时，H(X)=O

B.〃=2时，若则"(X)的值随着A的增大而增大

C.若［=鸟=/，Pm=2Pk(kN2,kwN),则坦x)=2-与

D.若〃=2加，随机变量y的所有可能取值为1,2,…，a且

尸(y=>)=尸(X=X)+尸(X=2/n+l—力，(/=1,2,…,m),^ljH(X)<H(Y)

io.在探究m+切”的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数

的一些规律，我们称这个表为杨辉三角(如图1),小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将(l+x+x»的

展开式按X的升累排列，将各项系数列表如下(如图2)：

(a+b)1.......11(1+x+x2)1.......111

(a+b)2.......121(1+x+x2)2.......12321

(a+b)3.......1331(1+x+x2)3.......1367631

(a+b)4.......14641(1+x+x2)4.......14101619161041

图1图2

上表图2中第”行的第相个数用表示，即(l+x+/)”展开式中无，"的系数为D；,则()

A.D；=15

2n(n+l)

B.D=

C.D：：；=+D：+(l<Zr<2n-l,^eN,)

=

D.O2024C2024—D2024c2024+D2024c2024—152024^2024^2024^2024°

三、填空题

H.一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只.现从口袋中先后有放

回地取球2”次且每次取1只球，X表示2〃次取球中取到红球的次数，当X为奇数时，Y=X；

当X为偶数时，Y=o,则X的数学期望为（用力表示），y的数学期望为（用W表示）.

12.不断地抛掷一枚硬币，若连续出现2次正面向上，则甲获胜，游戏结束；若累计出现4次正面向上，

且未出现连续2次正面向上，则乙获胜，游戏结束；若连续2次正面向上和累计4次正面向上同时发生了，

则甲乙平局，游戏结束.在没有发生平局的条件下，乙获胜的概率为—.

13.某校高三1班10名同学、高三2班20名同学、高三3班10名同学参加“强国有我”演讲比赛，采用随

机抽签的方式确定出场顺序，每位同学依次出场，记“高三1班全部学生完成比赛后，高三2班和高三3班

都有学生尚未完成比赛”为事件A,则事件A发生的概率为.

14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办

公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他

1?

不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为不下雨的概率均为且与过去情况相互独立.现在两

把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为.

15.已知甲、乙两个不透明的箱子中分别装有3个黑球和2个白球（球之间除颜色外无差异），现规定从甲

箱中任取1球放入乙箱，摇匀后再从乙箱中任取1球放入甲箱称为1次操作.若已知3次操作后，甲箱中仍有3个

黑球，则其第1次操作后甲箱中仍有3个黑球的概率为：；设第3次操作后甲箱中黑球个数为X,

则E（X）=.

16.编号为1,2,3,4的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记机表示前两个球号码的平均数，记〃表

示三个球号码的平均数，则m与"之差的绝对值不超过0.2的概率是.

17.在一定的环境下，某种食品的保质期为正整数X,根据统计数据，它近似满足以下规律：对任意正整

数”，保质期恰好为”的该食品在所有保质期不小于”的该食品中的占比为10%.记该食品的保质期为〃为事

件4,该食品的保质期不小于〃为事件则尸（与）=,尸（4"5）=.

18.某高中高二（1）班10名学生、高二（2）班10名学生、高二（3）班20名学生参加“少年强则国强”

演讲比赛，比赛采用随机抽签的方式确定出场顺序，每位学生依次出场.记“高二（1）班全部学生完成比

赛后,高二（2）班和高二（3）班都有学生尚未完成比赛”为事件A,则事件A发生的概率为.

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19.某校高三年级有w(〃>2,"wN*)个班，每个班均有5+30)人,第1k(左=1,2,3,…个班中有6+10)个

女生，余下的为男生.在这"个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的

Q

概率是否，贝!!"=.

20.在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格0出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边(如第1

次运动，机器人可以运动到2,Q2,2或2)•若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则

运动2025次后机器人“成功”的概率为.

四、解答题

21.设A是一个整数集，若A，4,…,4,是A的子集，且4=4口4口…口4“，4cA=0,j<m,

且iwj,则称集合A，4,…，4,是集合A的一个划分.定义，MeN*,正整数上使集合

A={M,M+1,M+2,L,M+4划分成A，4,4,且使A，4，4中各集合的所有元素之和都相等，称

为M划分.

(1)求必划分;

(2)证明：集合A={1,2,L,2025}可以蛆划分；

(3)若河=2?3V左eN*,集合A能划分的概率为鼻，证明：匕<g.

22.有A,B,C,D,E,F,G,7/八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三

轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知3~〃这七名运

动员互相对决时彼此间的获胜概率均为;，A运动员与其它运动员对决时，A获胜的概率为每场对决

23

没有平局，且结果相互独立.

冠军

决赛I----------------L----------------

半决赛I————-1

预赛Lirirnrn

①②③④⑤⑥⑦⑧

(1)求这八名运动员各自获得冠军的概率；

(2)求8与A对决过且最后获得冠军的概率；

(3)求8与C对决过且最后获得冠军的概率.

23.口袋中有大小相同、质地均匀的3个白球和3个黄球.甲乙两人进行摸球游戏，规则如下：每次摸2个

球，观察颜色后放回，若颜色相同时，则摸球人继续摸球；否则由对方摸球.第一次由甲开始摸球，记第〃

次由甲摸的概率是匕.

⑴求鸟,A；

(2)证明：数列｛匕-；>是等比数列，并求匕.

24.通过抛掷骰子产生随机数列｛%｝,具体产生方式为:若第左代=1,2,3,…㈤次抛掷得到点数4=1,2,3,4,5,6),

则g=i.记数列｛%｝的前n项和为S“,X”为S,除以4的余数.

(1)若〃=2,求S?=4的概率；

(2)若〃=2,比较尸侬2=0)与尸(X?=3)的大小,说明理由；

4li0

(3)若”=20,设(x+尤?+尤3+尤+X，+a，')=Z?o+bxx+b2x"H-----1-Z>120x,试确定该展开式中各项系数与事件

SLj(jeN+l7-<120)的联系，并求X20=0的概率.

25.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中(的人计

划只参观黄鹤楼，另外|■的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若

既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分.假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，

视频率为概率.

(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)从游客中随机抽取“人记这w人的合计得分恰为”+1分的概率为匕，求以;

i=l

(3)从游客中随机抽取若干人逐个统计,记这些人的合计得分出现“分的概率为%,求数列｛%｝的通项公式.

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26.某校高一学生共有500人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期

中考试之后统计得到了如下平均作业时长n与学业成绩m的数据表：

平均作业时长W（单位：小时）[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)[2.5,3)[3,3.5)

学业成绩优秀：90<77/<10011437435

学业成绩不优秀：0W〃zW90136137102187

（1）填写如下2x2歹U联表，试判断：是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小

于3小时有关？

时长”2<n<3其他总计

优秀

不优秀

总计

⑵常用”3同=

尸国力表示在事件A发生的条件下事件8发生的优势，在统计中称为似然比.已知该校

高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%,现从所有高一学生中任选一人，A表示“选到的是男生”，B表

示“选到的学生成绩优秀”，若“叫A）=0.2,求P（A）.

n(ad-bc)2

附：Z2,P(Z2>3,841)»0.05.

(o+b)(c+d)(q+c)(0+d)

27.（1）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康帮，活力无限”健身打卡活动.公司统计了开展活

动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数.统计结果如下:

月份X12345

身体指标明显改善人数y33026020014090

若身体指标明显改善人数丫与月份变量x（月份变量x依次为L2,3,4,5,…）具有线性相关关系，请预测第6

个月身体指标明显改善的大约有多少人?

（2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了X、KZ三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组,

该组都可向另外两组发起竞赛，首先由x组先发起竞赛，挑战丫组、z组的概率均为若X组挑战y组,

则下次竞赛发起权在y组.若竞赛发起权在y组，则挑战x组、z组的概率分别为:和J；若竞赛发起权在

44

Z组，则挑战X组、y组的概率分别为3和:；

①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在y组的次数M的分布列与数学期望；

②定义：已知数列｛4｝,若对于任意给定的正数£(不论它多么小)，总存在正整数N。，使得当〃〉乂时,

A|<£(A是一个确定的实数)，则称数列｛%｝为“聚点数列”，A称为数列｛%｝的聚点.经过〃次竞赛后，

竞赛发起权在X组的概率为凡，证明数列｛4｝为“聚点数列”，并求出聚点A的值.附：回归方程9=浪+3中

斜率和截距的最小二乘估计公式分别为A=上匕————=号------，a=y-bx.

一之x；_nx2

Z=1Z=1

28.在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以g的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位

长度，机器人每次经过-2或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件｛4｝表示“机器人的

前"次移动均未向雷达发送信息”.

⑴求尸(4),尸(4)；

(2)已知①②两个结论：①尸(4+2%)<：②设｛X“｝(〃eN*)是一列无穷个事件，若存在正数N,对于任意

的“均有t>(X,)<N,则“｛X“｝中只有有限个事件同时发生”的概率为1.

Z=1

⑴证明：1>(4,)<3事件；“雷达会收到信息”的概率为1；

i=l

(ii)求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率.

29.正四面体A-38某个顶点处有一粒子Q,粒子。的运动规律如下：粒子。每经过一个时间单位，有;

的概率仍停留在原顶点，也有可能沿着棱从原顶点移动到另外的顶点，而且移动到另外三个顶点的任何一

个都是等可能的.已知在时刻f=0时，粒子。在顶点A处，若在时刻7=〃时，粒子。在顶点A处记为事件4,

记此时事件4发生的概率为Pn(A).

⑴求0(A)；

⑵求p„(A),并判断数列｛4(A)｝的单调性；

⑶记〃=P.(A)4+I(A),求证：—+

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30.某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选

4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰.

⑴若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为X,求X的分布列并计算甲进入

决赛的概率.

(2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二

等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同

学答对每道题目的概率均为。(0＜。＜1),且每次答题相互独立.

(i)记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为/(0),求的最大值；

(ii)某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时P的取值范

围.

31.信息熠是信息论中的一个重要概念.设随机变量X的所有可能取值为1,2,…，〃且

P(X=0=A＞0(Z=1,2,...,«),fp,=1,定义X的信息嫡“(X)=工p,1暇Pi.

i=lz=l

⑴证明：当且仅当〃=1时，H(X)=0；

⑵若〃=3,且如「“=旦(左=1,2),比较“(X)与1的大小；

(3)重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没

有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为X,求“(X).

32.如图，某兴趣小组在坐标纸网格中设计了一款跳棋游戏.规则如下：游戏参与者以0(0,0)为出发点，每

掷一次均匀硬币，若掷出正面，则沿小正方形的对角线向右上方移动一格；若掷出反面，则沿小正方形的

(1)求甲走完第3步后，到达点A(3,-l)的概率；

(2)若甲向右上方走一步得5分，向右下方走一步得0分，当他走完第4步后，得分为X,求X的分布列及

数学期望；

⑶甲和乙都从0(0,0)出发,走到点3(5,1)的位置，设走完第i步后，甲位于点片(与/)，乙位于点耳(44),

其中14*5且i€N*.若对任意1viv5且他N*都有〜2珥,则认为甲获胜，求甲获胜的概率.

33.随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标

系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位.且向四个方向移动的概率均为:•例

如在1秒末，粒子会等可能地出现在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)四点处

(1)设粒子在第2秒末移动到点(羽田记刈的取值为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(x)；

⑵记第〃秒末粒子回到原点的概率为P“.

①求。2，。4；

②已知£(C)2=G“，求P2”.

k=0

34.信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有0或1两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，

往往需要经过多重加密，若48是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密

时信息中字节会等可能的变为。或1，且0,1之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中。或1发生

变化的概率为0,若A,B的初始状态为0,1或1,0,记通过两次加密后A,2中含有字节1的个数为X.

(1)若两次加密后的A，2中字节1的个数为2,且。=g，求48通过第一次加密后字节1的个数为2的概

率；

(2)若一条信息有〃5>1,〃€?4*)种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为亿，P2，P3,

L,Pn,则称"=/(。1)+〃。2)+…(其中/(x)=Tlog2X)为这条信息的信息廊试求A,2通过

两次加密后字节1的个数为X的信息嫡a；

(3)将一个字节为0的信息通过第二次加密，当字节变为1时停止，否则重复通过第二次加密直至字节变为

1,设停止加密时该字节通过第二次加密的次数为y(y=i,2,3,证明：£(r)<1.

35.甲乙两人各有张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别有数字1,3,5,21,

乙的卡片上分别标有数字2,4,6,…，2”.两人进行〃轮比赛，在每轮比赛两人各自从自己持有的卡片中

随机选择一张，并比较所选卡片上的数字大小，数字大的得1分，数字小的得0分，然后各自弃置此轮所

选卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用设〃轮比赛后甲的总得分为X.

(1)当〃=2,3,4,5时，请写出八轮比赛后X的分布列(不需要计算过程.不需要列表)：

(2)设数列｛〃“｝满足：==P(X=〃一2)(九之2),且已知。6=57,%=120,a8=247,a9=502.

n\

试卷第10页，共13页

(i)当时，请你直接猜想。,与。用，的递推关系式(不要推理过程，直接给出答案)；

(ii)结合(i)中的递推关系，请你求出"轮比赛后甲的总得分X不低于2的概率.

36.一盒子中共有7个大小质地相同的球，其中4个1号球，3个2号球.从盒子中一次随机取出两个球,

如果取出的球是2号球，则将它放回盒子中；如果取出的球是1号球，则不放回盒子中，另补一个2号球

放入袋中.重复进行上述操作”次后，盒子中所有球的号码之和记为

(1)(为何值的概率最大？

(2)求随机变量心的分布列；

(3)求随机变量Tn的数学期望召(北)关于n的表达式.

37.继2023年电子竞技首次作为正式竞赛项目登上杭州亚运会舞台后，2024年国际奥委会宣布首届奥林

匹克电子竞技运动会将于2025年在沙特阿拉伯王国举办.这意味着电子竞技作为虚拟体育正式成为奥运

会项目的一部分.为迎接电子竞技行业这一里程碑式的时刻，甲、乙两俱乐部计划按照现今体育比赛中的

赛制举办友谊赛.在体育比赛中有两种常见赛制：一种是(2〃-1)局”胜制，例如一场比赛有5局，率先胜

3局一方获胜，本场比赛结束；另一种是(2〃+1)局〃+1胜制，例如一场比赛有7局，率先胜4局一方获胜,

本场比赛结束.

⑴若采用5局3胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的

概率为0.9.已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了mQweN*)场比赛，试自行绘制2x2列联表，并根

据小概率值a=0.010的独立性检验，来推断赛制是否对甲队获胜的场数有影响；

(2)设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为p(0<p<；),且每局比赛都能决出胜负，没有平同：①若两俱乐

部采用5局3胜制比赛，记事件A：“甲俱乐部只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”，事件“两

俱乐部赛满5局，甲俱乐部至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明：P(A)=P(B)；

②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制，约定比赛规则为：共进行2"局，赢得局数大于n局的俱乐部

获胜.若甲俱乐部每局比赛获胜的概率试判断进行几局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，并说明

O

理由.

a0.100.050.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

附：*=,"八,、〃八,其中M=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

38.马尔可夫链是因俄国数学家安德烈・马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第”+1次状态的概

率分布只跟第1次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每

餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，己知他

第一天选择米饭套餐的概率为苫，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为前一天

34

选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为如此往复.

(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；

(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为P„；

①证明：］勺-|｝为等比数列;

②当“22时，匕《机恒成立，求加取值范围.

39.卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“逐一检测”或“混采检测”(随机地按启人一组平均分成〃组，然

后将各组％个人的血样混合再化验.如果混管血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混管血样呈阳性,

说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次).已知某种病毒性疾病在某地的患病

该地患病总人数

率(患病率=)为。.

该地总人数

(1)当左=5时，已知某组混管血样呈阳性，且这5人中只有1人患病.

(i)将该组每个人的血液逐个化验，直到查出患病人员为止.用X表示所需化验次数，求X的期望;

(ii)先从该组中取3人的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这3人的血液再逐个化验，直到查出患病人

员；若不呈阳性，则对剩下的2人再逐个化验，直到查出患病人员.用y表示所需化验次数，求y的期望;

⑵已知某次“混采检测”的血样总数为20000,p=2.5%,k>10,记检验总次数为Z,当E(Z)W1OOOO时,

求k的最大值.(参考公式及数据：nCl=mC^(l<n<m),£制1-打尸*=1,lnO.975«-0.0253,

i=0

ln2®0.6931,ln3«1.0986,ln5®1.6094,Inll®2.3979)

40.生物研究工作中，统计鸟类主要是研究鸟类种群数量和分布规律，其中固定半径样点法是一种常见的

统计方法，即记录以观测者为圆心的一定半径范围内所有鸟类个体，然后用鸟类统计数和样点总面积来计

算鸟类密度的数量统计方法.

(1)统计人员发现某鸟类在A区域经常出没，为了估计此类鸟的数量，采取固定半径样点法，其中鸟类密度

试卷第12页，共13页

（单位：只/平方米）的计算公式为P=q，P-.鸟类密度，T-.所有样点记录鸟类数量的平均数，S：每个

样点区域面积，已知A区域的总面积为1.256x105平方米，每个记录的样点区域半径为25米，样点数为10

个，统计如下表

样点编号12345678910

鸟类数量20211920182022252015

试估计A区域内该鸟类的总数量？（结果保留整数）参考数据：兀。3.14.

⑵在A区域采取（1）中方法统计时发现该鸟类有两个品种，分别记为I种和H种.由于（1）中每个样点

记录的该鸟数量较少，统计人员重新在A区域随机捕获了50只该鸟，再将捕获的鸟全部放回，作为一次试

验结果.记第i次试验中I种的数目为随机变量X,（i=1,2,3,…,10）.设该区域中I种的数目为II种的数

目为N.

（i）求在第1次试验中随机变量X1的分布列;

（ii）假设每一次试验均相互独立.统计人员完成所有试验后，得到X,的实际取值分别为%1=1,2,3,…,10）,

其平均值〃=10,方差/=0.77.记随机变量X=而XX-采用〃和/分别代替期望EX和方差。（X）,

1Ui=i

试给出N的估计值（结果保留整数）.

参考公式：从含/件次品的N件产品中，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取〃件，设抽取的〃件产

品中次品数为X,如果采取有放回抽样，则方差D（X）=R（l-gJ；如果采取不放回抽样，则方差为

r＞（X）=一"）•随机变量x与y满足E（x+y）=E（x）+.若随机变量x与y相互独立,

则。（乂+卜）=。（*）+。（丫）.

《概率与统计》参考答案

题号12345678910

答案ADDABBCADACDABCBCD

1.A

【分析】根据题意，分析得max{2,2c-2}4a+64min{2c+2,12},再分类讨论c不同取值得到所有满足的样

本点个数，从而利用古典概型的概率公式即可得解.

【解析】连续抛掷一枚骰子3次，共有63=216个样本点，

设三次记录的点数依次为〃，b,c,则帆一川=+；+c

gp|«+Z?-2c|<2,贝|J2c—24a+bW2c+2,又2Wa+bW12,

贝!]max{2,2c—2}Wa+6〈min{2c+2,12},

易知（。㈤不同的取值情况共有6x6=36种，

当c=l时，满足2MO+644的样本点有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,共3+2+1=6个；

同理，当c=2时，满足2Wa+bW6的样本点有5+4+3+2+1=15个；

当c=3时，满足4Wa+6W8的样本点有4+5+5+4+3+2=23个；

当c=4时，满足6<a+6W10的样本点有2+3+4+5+5+4=23个；

当c=5时，满足8的样本点有0+1+2+3+4+5=15个；

当c=6时，满足10«々+。《12的样本点有（4,6）,（5,5）,（5,6）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共1+2+3=6个;

上但4k+且2x（6+15+23）11

故所求概率为P=------------=—.

21627

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用绝对值不等式的解法分析得的不等关系，从而得解.

2.D

【分析】设4=|，弭分P到两个顶点的距离。一样，到另外两个顶点的距离b一样，且。工6,和P到其中

三个顶点的距离c一样，到另一个顶点的距离为e,且ewe,两种情况，结合对称性，列举出满足题设的所

有尸点，即可得答案.

【解析】设4=|，科情况如下：

①尸到两个顶点的距离。一样，到另外两个顶点的距离b一样，且

由4，4，4,4具有对称性，不妨讨论4=〃，4=4,

答案第14页，共49页

满足题意的尸应同时在线段AAQAA3的中垂线面和三棱锥表面上,

即为其中垂面交线与三棱锥表面的交点，如图几鸟两点,

同理，4=4，d3=14和4=&，%=4也各有2个满足题意的尸点，故共6个；

②尸到其中三个顶点的距离C一样，到另一个顶点的距离为e,且ewe,

若尸到4,4的距离一样，即4=&=〃，则P为过△444外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图A和

A（舍）；

若P到A和4,&,4中的两个距离一样，由4,4,&,4具有对称性,

不妨讨论4=4=痣，则尸为过△4A4外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图舄,

同理，4=43=“4和4=%=〃也各有1个满足题意的P点，共4个;

综上，共有10个满足题意的点.

故选：D

【点睛】关键点点睛：依据题意将问题分成尸到两个顶点的距离“一样，到另外两个顶点的距离人一样，且

答案第15页，共49页

awb,和P到其中三个顶点的距离。一样，到另一个顶点的距离为e,且ewe两类为关键.

3.D

【分析】对于①，计算出“(%)=-〃♦匕og2'=log2〃；对于②，由O<P,<1得到化log2P,<。，故H(x)>0,与

nn

H(x)=O矛盾，②正确；对于③，若〃=2,则Pi+P2=l，"(尤)=-[pJogzPi+(1-Pi)」og2(l-口)]，构造函数

/(P)=-[plog2P+(l-P)log2(l-P)]，Ovpvl,求导得到其单调性，得到当p=g时/(P)最大，故③正确；对

loPlm0

于④，表达出"(F),作差得到H(y)-H(x)=Alog2—B—+0210g2---+---+P2m§2<,

A+PimP2+P2*lPl,n+Pl

故H(x)>H(y),得到④正确.

1»1111

【解析】①若口=—1=1,2,…，则H(x)=-Z-log2-=TTog2-=log2〃，故①正确；

②假设“22,因为尸(X=i)=p,>0(i=l,2,…,〃)，£R=1,所以。<p,<1,

Z=1

1O0

所以p,log2R<0G=1,2,…,〃)，所以H(x)=-^A§2A>,

1=1

这与H(x)=0矛盾，所以假设不成立，

而当〃=1时，易得H(x)=0,所以〃=1,故②正确；

③若n=2,则Pi+P2=1,

H(x)=-(pjlog2Pi+p2log2p2)=-[Alog2A+(l-/?,)-log2(l-pj],

设/(。)=一[。1。82〃+(1-。)1鸣(1一。)]，Ovpvl,

「1一1]夕

则/(，)二-10g/7+^«----10g(l-j7)+(l-/7)--—-=-lOg--,

2pin22(1-p)ln2\21-p

令r(p)<o,得丁匕>1,解得:<p<i,此时函数单调递减，

1-P2

令/(P)>O,。(舌<1，解得。<P<；,此时函数/X。)单调递增，

所以当p=；时f(p)最大，所以当口时，"(%)取得最大值，故③正确；

④由题意知，P(Y=1)=A+p2m,P(Y=2)=p1+p2m_l,P(y=3)=p3+p2m_2,P(Y=m)=pm+pm+1,

•1•W)=-[(A+P2,“)bg2(Pi+PG+…+(R“+P,”+i)log式Pm+口“+1)]，

又H(X)=-(p,log2pi+p210g2p2+---+pmlog2pm+---+p2mlog2p2m),

H(Y)-H(X)=Pllog2-星—+p210g2———+…+P2m^g2P2m

Pl+PimPl+P2,n-1Pim+Pl

答案第16页，共49页

又一^<1,——<1,L,上一<1,

P1+P2”，Pz+PlXPl+P2m

：.H(Y)-H(X)<0,：.H(X)>H(Y),故④正确.

综上，正确说法的序号为①②③④，

故选：D.

【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：

(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用

书上的概念.

4.A

【分析】先求得每一轮训练过关的概率，利用二项分布的期望列方程，结合基本不等式以及二次函数的性

质求得正确答案.

【解析】设每一轮训练过关的概率为P,

则P=P；A+XC；X凸X(1-)+/XC；XRX(1-口)

=+2。|0(跖+。2)=-3p；H+2"必X[=-3p；区+1Pl。2，

0<p42J=1，当且仅当p[=幺=|时等号成立.

«4

函数y=-3d+]无的开口向上，对称轴为x=§,

所以0<-3p；p；+§。也，

12312⑼