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文档简介
2025年高考数学总复习《立体几何》专项测试卷及答案
(考试时间:120分钟;试卷满分:150分)
学校:姓名:班级:考号:
第I卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的。
1.在四面体A3CD中,ABLBC,AB=1,AD=CD=2应,BC=^,则四面体A3CD外接球的体积为()
A“n164-e32%
A.167rB.------C.327rD.
33
2.如图所示,在正方体-446。中,E为线段4G上的动点,则下列直线中与直线CE夹角为定值
A.直线ACB.直线4。
C.直线3。D.直线4A
3.若平面a截球。所得截面圆的面积为12兀,且球心。到平面a的距离为0,则球。的表面积为()
A.48无B.50KC.56兀D.64元
4.在三棱柱A3C-A耳C中,A41ABC,..ABC是等边三角形,D是棱的中点,E在棱BB}
上,且BE=34E.若AAi=2AB,则异面直线AC与DE所成角的余弦值是()
A回。而
A.-----D.---------
1020
L.-----U•---------
55
5.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角
圆锥,若直角圆锥底面圆的半径为1,则其内接正方体的棱长为()
A.72-1B.72+1C.2-72D.忘
6.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美.将正方体沿交
于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到的阿基米德多面体,如图所示.则该
多面体所在正方体的外接球表面积为()
C.8兀D.12九
7.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2兀,两圆锥的表面积分别为岳和邑,内切
S,5b.
球半径分别为乙和为.若寸=5,则7r的值是()
d2Zb2
A.竺B.巫C.亚D.痴
455
8.半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,如图所示的多面体ABCD-就是一个半
正多面体,其中四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形,其余八个面为等边三角形,己知该多面体的所
有棱长均为2,则平面ABCD与平面之间的距离为()
A.V2B.我C.—D.巫
22
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部
选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.如图,在正四棱柱ABCD-ABiGA中,AAl=2AB,尸为AA】的中点,。为4。上的动点,下列结论正
确的是()
A.若尸。〃平面ABCD,则4Q=;ACB.若尸。〃平面ABCD,则AQ=g4C
D.若尸。上平面尸班>,则AQ=:AC
C.若PQ工平面PfiD,则
10.关于空间向量,以下说法正确的是()
A.已知任意非零向量a=(乙,乂,4),/>=(0%/2),若ab,则,=""=/
X2%22
B.若对空间中任意一点。,^OP=yOA+^OB+^-OC,则P,C四点共面
632
C.设{。,九力是空间中的一组基底,则{。+6,6,4-耳也是空间的一组基底
13
D.若空间四个点P,A,8,C,PC=:E4+=P8,则A,民C三点共线
44
11.在等腰梯形ABCD中,点。1,。2,石分别为C2A民BC的中点,以O。?所
在直线为旋转轴,将梯形旋转180。得到一旋转体,则()
A.该旋转体的侧面积为6万
B.该旋转体的体积为△国
3
C.直线AE与旋转体的上底面所成角的正切值为逑
5
兀
D.该旋转体的外接球的表面积为27罟
12.如图1,矩形得BCG由正方形用A4A与AACG拼接而成.现将图形沿AA对折成直二面角,如图2.点
P(不与4,C重合)是线段上的一个动点,点E在线段上,点尸在线段4G上,且满足PELAB,
PF±AG,则()
41q
图i
BAC
A.PE=PF
2冗
C.N£7犷的最大值为三D.多面体CE4EP的体积为定值
第n卷
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16,且其侧面梯形的高为2岔,则该正四棱台的高
为.
14.如图,四边形ABCD是平行四边形,S是平面ABC。外一点,M为SC上一点,若81〃平面MD3,则
SM
~MC
15.在四棱锥尸-ABC。中,底面ABCD是正方形,PAL底面ABCD.若四棱锥P-ABCD的体积为9,且其
顶点均在球。上,则当球。的体积取得最小值时,AP=.
16.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定:多面体的顶点的曲
率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体
面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有
3个面角,每个面角是:,所以正四面体在每个顶点的曲率为2兀-3义;=兀,故其总曲率为4兀.根据曲率的
定义,正方体在每个顶点的曲率为,四棱锥的总曲率为.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
17.(10分)
如图,在直三棱柱ABC-A耳G中,AB=AC=A4,=2,/8AC=90,E,歹分别为CG,BC的中点.
(1)求异面直线\B与所所成角的余弦值;
(2)求点B]到平面AEF的距离;
(3)求平面AEF与平面AE8夹角的余弦值.
18.(12分)
Appp
如图,在四棱锥尸-ABCD中,底面A3CQ是平行四边形,E,尸分别为上的点,且生=2.
EBFD
AEB
⑴证明:AF〃平面PCE;
⑵若PDL平面438,E为A3的中点,PD=AD=CD,ZBAD=60°,求二面角尸一“一尸的正切值.
19.(12分)
如图,在五面体ABCDfF中,面ADE_L面ABC。,ZADC=90°,EFP^ABCD,AE=DE=DC=2,EF=1,
AB=3,二面角A-ZX7-尸的平面角为45.
⑴求证:CD〃面ABFE;
⑵点P在线段AE上,且AP=2PE,求二面角P-/C-3的平面角的余弦值.
20.(12分)
如图,是半球。的直径,AB=4,M,N是底面半圆弧A3上的两个三等分点,尸是半球面上一点,且
ZPON=60°.
(2)若点尸在底面圆内的射影恰在ON上,求直线尸河与平面上4B所成角的正弦值.
21.(12分)
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,且平面平面ABCD.O,E分别是BC,以的中
点,经过0,D,E三点的平面与棱尸B交于点尸,平面尸3Cc平面上4。=/,直线DE与直线/交于点G.
⑴求百的值;
⑵若PB=PC=CD=2,求多面体尸OCD跖的体积.
22.(12分)
无数次借着你的光,看到未曾见过的世界:国庆七十周年、建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼,“930
烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严-.171金帆合唱团,这绝不是一个抽象的名字,而是艰
辛与光耀的延展,当你想起他,应是四季人间,应是繁星璀璨!这是开学典礼中,我校金帆合唱团的颁奖
词,听后让人热血沸腾,让人心向往之.图1就是金帆排练厅,大家都亲切的称之为“六角楼”,其造型别致,
可以理解为一个正六棱柱(图2)由上底面各棱向内切割为正六棱台(图3),正六棱柱的侧棱D"交AR的
延长线于点经测量/与。"=12,且43=10.4耳=8«皿1220.2)
图I
图2
图3
(1)写出三条正六棱台的结构特征.
(2)“六角楼”一楼为办公区域,二楼为金帆排练厅,假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面,忽略墙壁厚度,
估算金帆排练厅对应几何体体积.(棱台体积公式:V=g/7(S+回+S))
(3)“小迷糊”站在“六角楼吓,陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说:“数学是理性的音乐,音乐是感性的数学.
学好数学方能更好的欣赏音乐,比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数
S(x)=sinx+gsin2x(xeR),你看这多美妙!”
“小迷糊”:”.....”
亲爱的同学们,快来帮“小迷糊”求一下S(x)的最大值吧.
参考答案
第I卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的。
1.在四面体ABCD中,AB_LBC,AB=l,AD=a)=2A/5,2C=小,则四面体ABCD外接球的体积为()
A“c16万—-32万
A.16%B.------C.32»D.------
33
【答案】D
【解析】
A
因为AB=l,BC=A/15,所以AC=JAB,+3C:=4.
又AD=CD=2。所以Ar>2+CC>2=AC2,故AD_LCD.
取AC的中点。,则。到四面体ABCD四个顶点的距离均为2,即四面体ABCD外接球的半径为2,则四而
体ABC。外接球的体积为47:r/23=D子TP.
33
故选:D.
2.如图所示,在正方体ABC。-A耳GR中,E为线段4G上的动点,则下列直线中与直线CE夹角为定值
的直线为()
A.直线ACB,直线4。
C.直线3DD.直线AA
【答案】C
【解析】
设正方体的棱长为1,
如图,以。为原点,分别以n4,oc,。〃为%yz轴建立空间直角坐标系,
4(1,0,0),£>(0,0,0),C(0,l,0),8(1,1,0),A。,。』),
设xe[0,l],则CE=(l-x,x-l/),AC=(-1,1,0),4。=(一1,0,-1),8£>=(-1,-1,0),
AA=(0,0,-l),
uuruum
/uuruum-CEAC|2x-2|
cos(CE1,ACuur1i1iuUuUmP—/,不是定值,故A错;
CE,||AC《2(1-x)2+lx亚
uuruuir
CEA.D
I/UUTUULTyi一x-2|
uui11uuir,不是定值,故B错;
CE^D"(l-xp+lxE
uuruum
I/uuruum,CEBD
所以直线CE与直线3。所成角为F7T,故C正确;
cos(CE,BDUUI11UUUl=0,
CE\\BD
uiiruuir
/uuruua,CEAjA-1
cos(CE,A4lllll11LllllT,不是定值,故D错.
2
CE^2(1-x)+1x72
故选:C.
3.若平面。截球。所得截面圆的面积为12兀,且球心。到平面a的距离为及,则球。的表面积为()
A.48兀B.50KC.5671D.64兀
【答案】c
【解析】由平面a截球。所得截面圆的面积为1271,得此截面小圆半径r=2^3,而球心到此小圆距离d=①,
因此球。的半径尺,有我2=/+储=]4,
所以球。的表面积S=4TTR2=5671.
故选:C
4.在三棱柱ABC-A与G中,明,平面A3GABC是等边三角形,D是棱BC的中点,E在棱BB,
上,且BE=3BR若AA,=2AB,则异面直线AC与DE所成角的余弦值是()
一
【答案】B
【解析】取AB中点尸,连接DF,EF,
因为D是BC的中点,所以
即异面直线AC与DE所成角就是平面NED尸或补角,
假设AB=2,因为AABC是等边三角形,所以。尸=1,
因为3E=34E,A4,=2AB,
所以AA=4,BE=3,
因为平面ABC,则ABC-A4G为直三棱柱,
所以=EF=回,
在ZXDEF中,c"/m=型±竺工=竺±导
2DEDF2xV10x:
故异面直线AC与DE所成角余弦值为巫.
故选:B.
Bi
E
Q'、、、
5.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角
圆锥,若直角圆锥底面圆的半径为1,则其内接正方体的棱长为()
A.72-1B.近+1C.2-应D.V2
【答案】C
【解析】
s
沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面,如图所示,
由题知SEF为等腰直角三角形,OE=1,二SO=1,
设正方体的棱长CC'=VIx,
则==SN=1一行x,
则由,SNC与,S匿相似可得票二荒即:二中,
1
=72-1,所以正方体棱长为2-0.
故选:C.
6.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美.将正方体沿交
于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到的阿基米德多面体,如图所示.则该
多面体所在正方体的外接球表面积为()
A.167tB.9兀C.8兀D.127r
【答案】D
【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,截面三角形边长为友,
则原正方体棱长的一半为1,即多面体所在正方体的棱长为2,
可得正方体体对角线长26,外接球半径为后,
所以外接球表面积为4TIx(石尸=12TI.
故选:D.
7.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2兀,两圆锥的表面积分别为豆和S2,内切
S.5b,
球半径分别为4和2.若才万,贝嵋的值是()
A.里B.aC.亚D.加
455
【答案】C
【解析】两圆锥的母线长为/,甲圆锥底面半径为弓,乙圆锥底面半径为2,
9jrr?7r尸
由圆心角之和为2兀,得宁+宁=2兀,则/+4=/,
又3=无£+"[=:,即2/+2〃=51+5堀,将3+4=/代入,
S2Ttr2+兀々/2
所以2弓?+2石(石+弓)=5^+52(石+外,
21
即47-3和-10弓2=0,所以4=2々,从而/;=§/,r2^-l.
由圆锥内切球半径公式得,1=当=?"=也=止口匚,
与兀4+兀〃1+/r\+l
所以包=仁日,将4=3代入皋=1—,解得“二空I,同理可得优=1/,所以3=冬¥.
44+/32/2/+/156b25
33
故选:C.
8.半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,如图所示的多面体ABCD-£FGH就是一个半
正多面体,其中四边形ABCD和四边形屏68均为正方形,其余八个面为等边三角形,已知该多面体的所
有棱长均为2,则平面A3CD与平面EFGH之间的距离为()
A.&B.我C.fD.萼
【答案】B
【解析】分别取BCAD的中点M,N,连接MN,MG,NE,EG,
F
根据半正多面体的性质可知,四边形EGMN为等腰梯形;
根据题意可知BC±MN,BC±MG,
而建VMG=M,MN,MGu平面EGMN,
故平面EGMV,又3Cu平面ABCD,
故平面ABCD」平面EGMZV,则平面EFG77_L平面EGMN,
作MS_LEG,垂足为S,平面EFG4〕平面EGAW=EG,
MSu平面EGMV,故MS_L平面£FGH,
则梯形EGMN的高即为平面ABC。与平面EFGH之间的距离;
MG=2x—=瓜SG=2忘一2=0一1,
22
故MS=^MG--SG-=73-(72-1)2=7272=施,
即平面至仪)与平面EFGH之间的距离为双,
故选:B
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部
选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.如图,在正四棱柱ABC。-AgC.中,AAi=2AB,P为的中点,Q为上的动点,下列结论正
确的是()
A.若PQ〃平面ABC。,则AQ=;ACB.若PQ〃平面A3CD,则
C.若尸。工平面PSD,则AQ=;ACD.若P。/平面P6D,则AQ=gaC
【答案】BD
【解析】如图建立空间直角坐标系,令44t=2AB=2,则。(0,0,0),C(O,1,O),3(1,1,。),尸(1,0,1),4(1,0,2),
则DB=(I,I,O),L>P=(1,0,1),AC=(-LL-2),P4=(0,0,1),
,、n-DP=x+z=0/、
设平面尸瓦>的法向量为〃=(x,y,z),贝叫,取〃=(1,一1,一1),
n•DB=x+y=0
又平面ABC。的法向量可以为机=(0,0,1),
设AQ=X4C,2G[0,1],则尸。=尸4+4。=州+24。=(一441—24),
ULIU11|
若PQ〃平面A8CD,则尸Q_L机,即PQ.加=1—22=0,解得a=/,
即=故A错误,B正确;
若P。」平面色,贝IJPQ//明贝|J序=A,即(―Z41—2X)=.(LT-1),
-4=»A=—
31
所以4=T,解得[,即AQ=§AC,故C错误,D正确.
l-22=-tt=--
iI3
故选:BD
10.关于空间向量,以下说法正确的是()
A.已知任意非零向量4=(4乂,4),/>=(毛,%*2),若ab,则&=丛=,
X2%Z2
B.若对空间中任意一点。,有=++则P,A氏。四点共面
632
C.设{a,b,e}是空间中的一组基底,则{d+6,b,a-6}也是空间的一组基底
13
D.若空间四个点P,A,民C,PC=:PA+:PB,则A,B,C三点共线
44
【答案】BD
【解析】对于A:若〃6,贝1」2二工=幺,
了2%Z2
且无2,%,Z2H。,故A错误;
对于B,若对空间中任意一点。,
^OP^-OA+-OB+-OC,-+-+--1,
632632
\P,48,C四点共面,故B正确;
对于C,{a,b,c}是空间中的一组基底,
r1/r1/r
且人=](<7+6)—万(。一外,:.a+b,b,a-b共面,
不可以构成空间的一组基底,故C错误;
13
对于D,若空间四个点P,A,8,C,PC=-PA+-PB,
44
13
:+==1,A,B,C三点共线,故D正确.
44
故选:BD
11.在等腰梯形A3CD中,A8〃CD,AB=8C=3,8=1,点q,Q,E分别为CO,AB,BC的中点,以。所
在直线为旋转轴,将梯形旋转180。得到一旋转体,则()
A.该旋转体的侧面积为6万
B.该旋转体的体积为出
3
C.直线AE与旋转体的上底面所成角的正切值为逑
5
D.该旋转体的外接球的表面积为27詈兀
【答案】ACD
【解析】由题意可知,所得到的旋转体是圆台,如图.
因为AB=3,CD=1,
13
所以圆台的上、下底面的半径分别满足Z=1.
又BC=3,
所以该圆台的侧面积s=+为)•BC=d;+|[x3=6;r,所以A正确.
过点C,D分别作CG,AS于点G,DH±AB于点H,
则AH="G=G3=1,所以0”=dAD2—AH2=&—f=2夜,
故该圆台的体积V=,无(/+依+]).£)"=!兀化+』+2]X2A/5=^^,
3v'3(444)6
所以B错误.
易知圆台的上、下底面平行,
所以直线AE与圆台的上底面所成的角等于其与圆台的下底面所成的角.
过点E作于点M.易知NM4E为直线AE与下底面所成的角.
y,AM=AB-MB=AB--BG=3--=5-,EM=-CG=-DH=A/2,
22
八…EM近20
所以tanNM4E=^=w=亍,所以c正确.
2
设该圆台的外接球的半径为H,球心为O,OQ=皿加>0).
当点0在线段。。2上时,OO}=2y/2-m.由R=O3=OC,得+OO;=西仁+00;,即
g+m2=£+(2&一m),解得〃j=3f.
当点0在线段。。2的延长线上时,OOx=2y[2+m.由R=O3=OC,得+=gc?+OO;,即
化简,得4夜机=-6,此时机无解.
2
Q27
所以『+
T
则该旋转体的外接球的表面积S=471H2=4兀、==三,所以D正确.
o2
故选:ACD
12.如图1,矩形g3CG由正方形4区切与AACG拼接而亦现将图形沿4A对折成直二面角,如图2.点
P(不与瓦,C重合)是线段上的一个动点,点E在线段A8上,点b在线段AG上,且满足PELAfi,
尸尸,AC,则()
414q
图1
BAC
A.PE=PF
2兀
C.N£P尸的最大值为三D.多面体CE4EP的体积为定值
【答案】AC
【解析】设正方形片及里,AACC,的边长为1因为AB,AC,朋两两垂直,
以A为坐标原点,分别以AB,AC44,所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则
4(0,0,0),5(1,0,0),4(1,0,1),A(0,0,l),C(0,l,0),q(0,1,1),设。(x,%z),£(%o,O,O),F(O,yo,l),
由4尸=24C(o<2<i),且bE_L/W,PF_LAG,
y=l-x
(龙一1,y,z—1)=2(—1,1,—1)
z=x
可得d-z>(l,0,0)=0,解得<
(-x,j0-y,l-z)-(0,1,0)=0
y
即尸(x,1—%,元)(0<x<1),E(x,0,0),F(0,1—x,1),
对于A中,|PE|=7(l-x)2+x2,|PF|=7X2+(X-1)2,可得陛卜附,
即附=|叫所以A正确;
对于B中,由尸E-4C=2x—l,所以当且仅当尤=J时,PEB1C=0,
即尸E_LgC,所以B错误;
/\PEPFx2-x1、1
对于c中,因为C0.PPEF'P相F”网网一工
1-xX
当且仅当尤=g时等号成立,由NEPP为钝角,所以(PE,叫呜,g],
即NEW的最大值为三2兀,所以C正确;
对于D中,多面体CE4EP的体积V=%_AEC+/T“=!(V+X),非定值,所以D错误.故选:AC.
第n卷
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16,且其侧面梯形的高为2班,则该正四棱台的高
为.
【答案】2立
【解析】如图:在正四棱台钻8-瓦狈,召。,硒分别为侧面上的高以及棱台的高,
设棱台的上下底面的边长分别为a,b,贝}|4b-4a=16nb-a=4,
在等腰梯形池正中,EA=y]EQ2+AQ2=JEQ2+(=«2国+2?=4,
所以CM=EN=JAEZ—AN?=J42_[AC;EG]=卜一耳心。=2夜,
故棱台的高为2垃,
故答案为:20
14.如图,四边形A5CD是平行四边形,S是平面ABCD外一点,M为SC上一点,若曲〃平面则
SM
MC
【解析】连接AC交2£)于点。,连接OM,
因为四边形45co是平行四边形,所以。为AC的中点,
因为SA〃平面平面SAC|平面MDB=OAf,SAu平面SAC,
所以&V/OM,
所以M为SC的中点,
所以■"
故答案为:1.
15.在四棱锥尸-ASCD中,底面ABCD是正方形,上4,底面ABCD若四棱锥尸-ABCD的体积为9,且其
顶点均在球。上,则当球。的体积取得最小值时,AP=.
【答案】3
【解析】如下图所示,设四棱锥P-ABCD底面边长为。,则该四棱锥的体积/_ABCD=g/•尸4=9,
所以尸4=可;设四棱锥P-ABCD的外接球半径为R,
a
通过构造长方体可知满足P^+AB1+AD1=4R2■
即4店=2/=2/+729。;
令/(a)=2a2+729。7,〃e(0,+co),贝!]/(。)=4(a-7294一1,令/(a)=0,即°=3;
当ae(0,3),广(a)<0,ae(3,+«),/(«)>°,
所以,/⑷=2/+729/在(0,3)上单调递减,在(3,+8)上单调递增;即函数/⑷在。=3处取最小值,此
27
时外接球的半径最小,体积最小;所以"=3,PA=—=3.
a'
故答案为:3
16.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定:多面体的顶点的曲
率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体
面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有
3个面角,每个面角是所以正四面体在每个顶点的曲率为2兀-3、1=兀,故其总曲率为47r.根据曲率的
定义,正方体在每个顶点的曲率为,四棱锥的总曲率为.
【答案】471
22
TTTT
【解析】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为27r-3x===;
由定义可得多面体的总曲率=2万x顶点数-各面内角和,
因为四棱锥有5个顶点,5个面,分别为4个三角形和1个四边形,
所以任意四棱锥的总曲率为27rx5-(71x4+271x1)=4兀.
故答案为:—;471.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
17.(10分)
如图,在直三棱柱ABC-Agq中,A3=AC=AA=2,/A4C=9。,瓦厂分别为CC1,BC的中点.
(1)求异面直线与所所成角的余弦值;
(2)求点Bx到平面AEF的距离;
(3)求平面AEF与平面&EB夹角的余弦值.
【解析】(1)由题意可知A'AC,9两两垂直,如图所示建立空间直角坐标系,
则4(0,0,2),3(2,0,0),E(0,2,1),尸(1,1,0),
即43=(2,0,-2),EF=(1,-1,-1),
1t八bA.BEF4而
所以c°2'小网声=门=丁’
即异面直线与E尸所成角的余弦值为远;
3
(2)由上易知的=(2,0,2),AE=(0,2,1),AF=(l,l,0),
ri-AE=2y+z=0
设面AEF的一个法向量为〃=(x,y,z),则有v
n♦AF=x+y=0
取V=T=%=1,Z=2,即〃=(1,-1,2),
所以点用到平面AEF的距离为1=
(3)由上可知A5=(2,0,-2),AE=(0,2,-1),
m・A[B=2a-2c=0
设面的一个法向量为机=(a,6,c),则有,
m-AjE=2b-c=0
取C=2=6=1,Q=2,gpm=(2,l,2),
设平面皿与平面AEB夹角为a,
m-n55A/6
贝[|COSa=|cOS777,77|=
\m\-\n\3"IT
即平面3与平面AEB夹角的余弦值名色.
18
18.(12分)
AFPF
如图,在四棱锥人钻。中,底面是平行四边形,E,分别为阴阳上的点“且商=而
⑴证明:AF//平面PCE;
⑵若平面ABC2E为的中点,PD=AD=CD,ZBAD=60°,求二面角P-CE—歹的正切值.
【解析】(1)证明:如图,在CD上取一点G,使得CG=AE,连接AG,FG,CE,
因为底面ABCD是平行四边形,所以CD=A5,所以3E=DG,
因为CG〃/IE,CG=AE,所以四边形AECG是平行四边形,所以AG//CE,
因为CEu平面PEC,AGu平面PEC,所以AG//平面PEC,
又因为茨AP=p'p,所以CG照=PF=,所以FG//PC,
EHrDL)CJrD
因为尸Cu平面PEC,PGu平面PEC,所以FG//平面PEC,
又因为FGcAG=G,人3,43(=平面出6,所以平面E4G〃平面PEC,
因为AFu平面PEC,所以Af7/平面尸CE.
(2)当E为A3中点,PD=AD=CD,ZBAD60°,易知。E_LCE),歹为尸。中点,
又因为阳,平面A3CD,所以。E,DC,QP两两垂直,
则以。为坐标原点,。£,。。,。「所在直线为兑%2轴建立空间直角坐标系,如(1)图,
设尸D=AD=CD=2,则C(0,2,0),网也,0,0),F(0,0,1),尸(0,0,2),
所以CE=(出,-2,0),FE=(6,0,-l),P£=(V3,0,-2).
设平面PCE的一个法向量为机=(x,y,z),
m-CE=y/3x-2y=0_/\
则L,令x=2g,得加=2^,3,6,
m-FE=V3x-z=0''
设平面PCE的一个法向量为〃=(a,6,c),
n-CE=\[3a-26=0
则令x=20得〃=(2迅,3,3),
n-PE=6a-2z=0
/\m-n12+9+1813
所以8sHM=丽=
故二面角P-CE-F的正弦值为Jl-"?=誓^,
V190V190
回
所以正切值为噜一空.
A/190
故二面角P-CE-F的正切值为叵.
13
19.(12分)
如图,在五面体ABCDE尸中,面ADEJ_面ABC£>,ZADC=90°,ABCD,AE=DE=DC=2,EF=l,
AB=3,二面角A-DC-尸的平面角为45.
⑴求证:CD〃面ABFE;
⑵点尸在线段AE上,且AP=2PE,求二面角P-FT-B的平面角的余弦值.
【解析】(1)面A5CD,
又EFu面CDEF,面ABCDO面CDEF=CD,
:.CD//EF.
又CDU面ABFE,EFu面ABFE,
:.CD〃面ABFE;
(2)取AD中点0,BC中点连结0E,OM.
•.,面ADEL面ABCD,交线为AO,
CDu面ABC。,ZADC=90°,CDADE.
ZADE是二面角A-DC-尸的平面角.即ZADE=45°.
EFP^ABCD,
又Ebu面ABFE,面ABCDc面ABbE=AB,
AB//EF.
CD〃AB.又AB片CD,.•.四边形ABC。是梯形.
OM是梯形ABCD的中位线.OM〃CD.ON_L面ADE.
":AE=DE,。是AD中点,OELAD.
以。为原点,0A,OM,0E为轴如图建立空间直角坐标系。-孙z,则
A(V2,0,0),网也3,0),D(-72,0,0),衣2,0),网0,0,0),尸(0,1,立),
A£=(-72,0,V2),CB=(2A/2,1,0),CF=(h网,FA=(^2-1,-^2),
由AP=|AE,FP=JR4+AP=(V2,-1,-A/2)+|(-^,0,^)=^,-1,-^J
设面PCV的一个法向量为加=(占,乂,4),由相_1_尸产,1nLeF,得
<L「,取乂=e,得X]=2,Z]=-1,・,•加=(2,垃,一1).
以-&4=0、7
设面5c厂的一个法向量为九=(X2,%,Z2),由〃,C3,nLCF,得
,取为=20,得%2=-1,Z2=3,n=
二面角2-尸。-3的平面角的余弦值为-恒
42
P个t-
\/D
20.(12分)
如图,48是半球。的直径,43=4,M,N是底面半圆弧AS上的两个三等分点,P是半球面上一点,且
ZPON=60°.
MN
(1)证明:P3_L平面244:
(2)若点P在底面圆内的射影恰在QV上,求直线与平面9所成角的正弦值.
【解析】(1)连接OM,MN,BM,因为M,N是底面半圆弧A8上的两个三等分点,
所以有NMON=NNO3=60。,又因为OM=ON=OB=2,
所以MON,NO3都为正三角形,
所以MN=NB=BO=OM,四边形OMNB是菱形,
记ON与的交点为。,。为ON和的中点,
因为ZPON=60°,OP=ON,
所以三角形OPN为正三角形,
所以PQ=6=;BM,所以
因为尸是半球面上一点,A8是半球。的直径,所以依_LB4,
因为尸McF4=尸,PM,PAu平面RUf,
所以P5_L平面上4M.
(2)因为点尸在底面圆内的射影恰在ON上,
由(1)知。为ON的中点,OPN为正三角形,所以PQLCW,
所以PQ2底面ABM,
因为四边形OM四是菱形,所以MB
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