2025年高考数学总复习《立体几何》专项测试卷及答案

2025年高考数学总复习《立体几何》专项测试卷及答案

（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）

学校:姓名：班级：考号：

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.在四面体A3CD中，ABLBC,AB=1,AD=CD=2应,BC=^,则四面体A3CD外接球的体积为（）

A“n164-e32%

A.167rB.------C.327rD.

33

2.如图所示，在正方体-446。中，E为线段4G上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值

A.直线ACB.直线4。

C.直线3。D.直线4A

3.若平面a截球。所得截面圆的面积为12兀，且球心。到平面a的距离为0,则球。的表面积为（）

A.48无B.50KC.56兀D.64元

4.在三棱柱A3C-A耳C中，A41ABC,..ABC是等边三角形，D是棱的中点，E在棱BB}

上，且BE=34E.若AAi=2AB,则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（）

A回。而

A.-----D.---------

1020

L.-----U•---------

55

5.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角

圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1,则其内接正方体的棱长为（）

A.72-1B.72+1C.2-72D.忘

6.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交

于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该

多面体所在正方体的外接球表面积为（）

C.8兀D.12九

7.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，两圆锥的表面积分别为岳和邑，内切

S,5b.

球半径分别为乙和为.若寸=5,则7r的值是（）

d2Zb2

A.竺B.巫C.亚D.痴

455

8.半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体ABCD-就是一个半

正多面体，其中四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形,其余八个面为等边三角形，己知该多面体的所

有棱长均为2,则平面ABCD与平面之间的距离为（）

A.V2B.我C.—D.巫

22

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图，在正四棱柱ABCD-ABiGA中，AAl=2AB,尸为AA】的中点，。为4。上的动点，下列结论正

确的是（）

A.若尸。〃平面ABCD,则4Q=；ACB.若尸。〃平面ABCD,则AQ=g4C

D.若尸。上平面尸班>,则AQ=：AC

C.若PQ工平面PfiD,则

10.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.已知任意非零向量a=（乙,乂，4）,/>=（0％/2），若ab,则，=""=/

X2%22

B.若对空间中任意一点。，^OP=yOA+^OB+^-OC,则P,C四点共面

632

C.设｛。,九力是空间中的一组基底，则｛。+6,6,4-耳也是空间的一组基底

13

D.若空间四个点P,A,8,C,PC=：E4+=P8,则A,民C三点共线

44

11.在等腰梯形ABCD中，点。1,。2，石分别为C2A民BC的中点，以O。?所

在直线为旋转轴，将梯形旋转180。得到一旋转体，则（）

A.该旋转体的侧面积为6万

B.该旋转体的体积为△国

3

C.直线AE与旋转体的上底面所成角的正切值为逑

5

兀

D.该旋转体的外接球的表面积为27罟

12.如图1,矩形得BCG由正方形用A4A与AACG拼接而成.现将图形沿AA对折成直二面角，如图2.点

P（不与4,C重合）是线段上的一个动点，点E在线段上，点尸在线段4G上，且满足PELAB,

PF±AG,则（）

41q

图i

BAC

A.PE=PF

2冗

C.N£7犷的最大值为三D.多面体CE4EP的体积为定值

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16,且其侧面梯形的高为2岔，则该正四棱台的高

为.

14.如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABC。外一点，M为SC上一点，若81〃平面MD3,则

SM

~MC

15.在四棱锥尸-ABC。中，底面ABCD是正方形，PAL底面ABCD.若四棱锥P-ABCD的体积为9,且其

顶点均在球。上，则当球。的体积取得最小值时，AP=.

16.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲

率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体

面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有

3个面角，每个面角是:，所以正四面体在每个顶点的曲率为2兀-3义；=兀，故其总曲率为4兀.根据曲率的

定义，正方体在每个顶点的曲率为,四棱锥的总曲率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.（10分）

如图，在直三棱柱ABC-A耳G中，AB=AC=A4,=2,/8AC=90,E,歹分别为CG，BC的中点.

(1)求异面直线\B与所所成角的余弦值；

(2)求点B］到平面AEF的距离；

(3)求平面AEF与平面AE8夹角的余弦值.

18.(12分)

Appp

如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CQ是平行四边形，E,尸分别为上的点，且生=2.

EBFD

AEB

⑴证明：AF〃平面PCE；

⑵若PDL平面438,E为A3的中点，PD=AD=CD,ZBAD=60°,求二面角尸一“一尸的正切值.

19.（12分）

如图，在五面体ABCDfF中，面ADE_L面ABC。，ZADC=90°,EFP^ABCD,AE=DE=DC=2,EF=1,

AB=3,二面角A-ZX7-尸的平面角为45.

⑴求证：CD〃面ABFE；

⑵点P在线段AE上，且AP=2PE,求二面角P-/C-3的平面角的余弦值.

20.（12分）

如图，是半球。的直径，AB=4,M,N是底面半圆弧A3上的两个三等分点，尸是半球面上一点，且

ZPON=60°.

（2）若点尸在底面圆内的射影恰在ON上，求直线尸河与平面上4B所成角的正弦值.

21.（12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，且平面平面ABCD.O,E分别是BC,以的中

点，经过0,D,E三点的平面与棱尸B交于点尸，平面尸3Cc平面上4。=/,直线DE与直线/交于点G.

⑴求百的值；

⑵若PB=PC=CD=2,求多面体尸OCD跖的体积.

22.（12分）

无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年、建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930

烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严-.171金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰

辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖

词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，

可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3）,正六棱柱的侧棱D"交AR的

延长线于点经测量/与。"=12,且43=10.4耳=8«皿1220.2）

图I

图2

图3

(1)写出三条正六棱台的结构特征.

(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，

估算金帆排练厅对应几何体体积.(棱台体积公式：V=g/7(S+回+S))

(3)“小迷糊”站在“六角楼吓，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.

学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数

S(x)=sinx+gsin2x(xeR),你看这多美妙!”

“小迷糊”：”.....”

亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下S(x)的最大值吧.

参考答案

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.在四面体ABCD中，AB_LBC,AB=l,AD=a)=2A/5,2C=小，则四面体ABCD外接球的体积为()

A“c16万—-32万

A.16%B.------C.32»D.------

33

【答案】D

【解析】

A

因为AB=l,BC=A/15,所以AC=JAB，+3C：=4.

又AD=CD=2。所以Ar>2+CC>2=AC2,故AD_LCD.

取AC的中点。，则。到四面体ABCD四个顶点的距离均为2,即四面体ABCD外接球的半径为2,则四而

体ABC。外接球的体积为47:r/23=D子TP.

33

故选：D.

2.如图所示，在正方体ABC。-A耳GR中，E为线段4G上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值

的直线为（）

A.直线ACB,直线4。

C.直线3DD.直线AA

【答案】C

【解析】

设正方体的棱长为1,

如图，以。为原点，分别以n4,oc,。〃为％yz轴建立空间直角坐标系,

4(1,0,0),£>(0,0,0),C(0,l,0),8(1,1,0),A。，。』)，

设xe[0,l],则CE=(l-x,x-l/)，AC=(-1,1,0),4。=(一1,0,-1),8£>=(-1,-1,0),

AA=(0,0,-l),

uuruum

/uuruum-CEAC|2x-2|

cos(CE1,ACuur1i1iuUuUmP—/，不是定值，故A错;

CE,||AC《2(1-x)2+lx亚

uuruuir

CEA.D

I/UUTUULTyi一x-2|

uui11uuir,不是定值，故B错;

CE^D"(l-xp+lxE

uuruum

I/uuruum,CEBD

所以直线CE与直线3。所成角为F7T，故C正确;

cos(CE,BDUUI11UUUl=0,

CE\\BD

uiiruuir

/uuruua，CEAjA-1

cos(CE,A4lllll11LllllT,不是定值，故D错.

2

CE^2(1-x)+1x72

故选：C.

3.若平面。截球。所得截面圆的面积为12兀，且球心。到平面a的距离为及，则球。的表面积为（）

A.48兀B.50KC.5671D.64兀

【答案】c

【解析】由平面a截球。所得截面圆的面积为1271,得此截面小圆半径r=2^3,而球心到此小圆距离d=①,

因此球。的半径尺,有我2=/+储=]4,

所以球。的表面积S=4TTR2=5671.

故选：C

4.在三棱柱ABC-A与G中，明，平面A3GABC是等边三角形，D是棱BC的中点，E在棱BB,

上，且BE=3BR若AA,=2AB,则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（）

一

【答案】B

【解析】取AB中点尸，连接DF,EF,

因为D是BC的中点，所以

即异面直线AC与DE所成角就是平面NED尸或补角,

假设AB=2,因为AABC是等边三角形，所以。尸=1,

因为3E=34E,A4,=2AB,

所以AA=4,BE=3,

因为平面ABC,则ABC-A4G为直三棱柱，

所以=EF=回,

在ZXDEF中，c"/m=型±竺工=竺±导

2DEDF2xV10x：

故异面直线AC与DE所成角余弦值为巫.

故选：B.

Bi

E

Q'、、、

5.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角

圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1,则其内接正方体的棱长为（）

A.72-1B.近+1C.2-应D.V2

【答案】C

【解析】

s

沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，如图所示,

由题知SEF为等腰直角三角形，OE=1,二SO=1,

设正方体的棱长CC'=VIx，

则==SN=1一行x，

则由,SNC与,S匿相似可得票二荒即：二中,

1

=72-1,所以正方体棱长为2-0.

故选：C.

6.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交

于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该

多面体所在正方体的外接球表面积为（）

A.167tB.9兀C.8兀D.127r

【答案】D

【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为友,

则原正方体棱长的一半为1,即多面体所在正方体的棱长为2,

可得正方体体对角线长26，外接球半径为后，

所以外接球表面积为4TIx（石尸=12TI.

故选：D.

7.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，两圆锥的表面积分别为豆和S2,内切

S.5b,

球半径分别为4和2.若才万，贝嵋的值是（）

A.里B.aC.亚D.加

455

【答案】C

【解析】两圆锥的母线长为/,甲圆锥底面半径为弓，乙圆锥底面半径为2，

9jrr?7r尸

由圆心角之和为2兀，得宁+宁=2兀，则/+4=/,

又3=无£+"[=：，即2/+2〃=51+5堀，将3+4=/代入，

S2Ttr2+兀々/2

所以2弓?+2石（石+弓）=5^+52（石+外,

21

即47-3和-10弓2=0,所以4=2々，从而/；=§/,r2^-l.

由圆锥内切球半径公式得，1=当=?"=也=止口匚,

与兀4+兀〃1+/r\+l

所以包=仁日，将4=3代入皋=1—，解得“二空I,同理可得优=1/,所以3=冬¥.

44+/32/2/+/156b25

33

故选：C.

8.半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体ABCD-£FGH就是一个半

正多面体，其中四边形ABCD和四边形屏68均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所

有棱长均为2,则平面A3CD与平面EFGH之间的距离为（）

A.&B.我C.fD.萼

【答案】B

【解析】分别取BCAD的中点M,N,连接MN,MG,NE,EG,

F

根据半正多面体的性质可知，四边形EGMN为等腰梯形；

根据题意可知BC±MN,BC±MG,

而建VMG=M,MN,MGu平面EGMN,

故平面EGMV,又3Cu平面ABCD,

故平面ABCD」平面EGMZV,则平面EFG77_L平面EGMN,

作MS_LEG,垂足为S,平面EFG4〕平面EGAW=EG,

MSu平面EGMV,故MS_L平面£FGH,

则梯形EGMN的高即为平面ABC。与平面EFGH之间的距离;

MG=2x—=瓜SG=2忘一2=0一1,

22

故MS=^MG--SG-=73-（72-1）2=7272=施，

即平面至仪）与平面EFGH之间的距离为双,

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图，在正四棱柱ABC。-AgC.中，AAi=2AB,P为的中点，Q为上的动点，下列结论正

确的是（）

A.若PQ〃平面ABC。，则AQ=；ACB.若PQ〃平面A3CD,则

C.若尸。工平面PSD,则AQ=；ACD.若P。/平面P6D,则AQ=gaC

【答案】BD

【解析】如图建立空间直角坐标系，令44t=2AB=2,则。（0,0,0）,C（O,1,O）,3（1,1,。），尸（1,0,1）,4（1,0,2）,

则DB=（I,I,O）,L>P=（1,0,1）,AC=（-LL-2）,P4=（0,0,1）,

,、n-DP=x+z=0/、

设平面尸瓦>的法向量为〃=（x,y,z）,贝叫,取〃=（1,一1,一1）,

n•DB=x+y=0

又平面ABC。的法向量可以为机=（0,0,1）,

设AQ=X4C,2G[0,1],则尸。=尸4+4。=州+24。=（一441—24）,

ULIU11|

若PQ〃平面A8CD,则尸Q_L机，即PQ.加=1—22=0，解得a=/,

即=故A错误，B正确；

若P。」平面色，贝IJPQ//明贝|J序=A,即（―Z41—2X）=.（LT-1）,

-4=»A=—

31

所以4=T,解得[,即AQ=§AC,故C错误，D正确.

l-22=-tt=--

iI3

故选：BD

10.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.已知任意非零向量4=（4乂，4）,/>=（毛，％*2），若ab,则&=丛=，

X2%Z2

B.若对空间中任意一点。，有=++则P,A氏。四点共面

632

C.设｛a,b,e｝是空间中的一组基底，则｛d+6,b,a-6｝也是空间的一组基底

13

D.若空间四个点P,A,民C,PC=：PA+：PB,则A,B,C三点共线

44

【答案】BD

【解析】对于A：若〃6,贝1」2二工=幺，

了2%Z2

且无2，%，Z2H。，故A错误；

对于B,若对空间中任意一点。，

^OP^-OA+-OB+-OC,-+-+--1,

632632

\P,48,C四点共面，故B正确；

对于C,｛a,b,c｝是空间中的一组基底，

r1/r1/r

且人=］（＜7+6）—万（。一外,：.a+b,b,a-b共面，

不可以构成空间的一组基底，故C错误；

13

对于D,若空间四个点P,A,8,C,PC=-PA+-PB,

44

13

:+==1,A,B,C三点共线，故D正确.

44

故选：BD

11.在等腰梯形A3CD中，A8〃CD,AB=8C=3,8=1,点q,Q，E分别为CO,AB,BC的中点，以。所

在直线为旋转轴，将梯形旋转180。得到一旋转体，则（）

A.该旋转体的侧面积为6万

B.该旋转体的体积为出

3

C.直线AE与旋转体的上底面所成角的正切值为逑

5

D.该旋转体的外接球的表面积为27詈兀

【答案】ACD

【解析】由题意可知，所得到的旋转体是圆台，如图.

因为AB=3,CD=1,

13

所以圆台的上、下底面的半径分别满足Z=1.

又BC=3,

所以该圆台的侧面积s=+为）•BC=d；+|[x3=6;r，所以A正确.

过点C,D分别作CG，AS于点G,DH±AB于点H，

则AH="G=G3=1,所以0”=dAD2—AH2=&—f=2夜，

故该圆台的体积V=,无（/+依+]）.£）"=!兀化+』+2]X2A/5=^^,

3v'3（444）6

所以B错误.

易知圆台的上、下底面平行，

所以直线AE与圆台的上底面所成的角等于其与圆台的下底面所成的角.

过点E作于点M.易知NM4E为直线AE与下底面所成的角.

y,AM=AB-MB=AB--BG=3--=5-,EM=-CG=-DH=A/2,

22

八…EM近20

所以tanNM4E=^=w=亍，所以c正确.

2

设该圆台的外接球的半径为H，球心为O,OQ=皿加＞0）.

当点0在线段。。2上时，OO}=2y/2-m.由R=O3=OC,得+OO；=西仁+00；,即

g+m2=£+（2&一m）,解得〃j=3f.

当点0在线段。。2的延长线上时，OOx=2y[2+m.由R=O3=OC,得+=gc?+OO；,即

化简，得4夜机=-6，此时机无解.

2

Q27

所以『+

T

则该旋转体的外接球的表面积S=471H2=4兀、==三，所以D正确.

o2

故选：ACD

12.如图1,矩形g3CG由正方形4区切与AACG拼接而亦现将图形沿4A对折成直二面角，如图2.点

P（不与瓦,C重合）是线段上的一个动点，点E在线段A8上，点b在线段AG上，且满足PELAfi,

尸尸，AC，则（）

414q

图1

BAC

A.PE=PF

2兀

C.N£P尸的最大值为三D.多面体CE4EP的体积为定值

【答案】AC

【解析】设正方形片及里，AACC,的边长为1因为AB,AC,朋两两垂直,

以A为坐标原点，分别以AB,AC44,所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则

4(0,0,0),5(1,0,0),4(1,0,1),A(0,0，l)，C(0,l,0),q(0,1,1),设。(x,%z),£(%o,O,O),F(O,yo,l),

由4尸=24C(o<2<i),且bE_L/W,PF_LAG，

y=l-x

(龙一1,y,z—1)=2(—1,1,—1)

z=x

可得d-z>(l,0,0)=0,解得<

(-x,j0-y,l-z)-(0,1,0)=0

y

即尸(x,1—%,元)(0<x<1),E(x,0,0),F(0,1—x,1),

对于A中，|PE|=7(l-x)2+x2,|PF|=7X2+(X-1)2,可得陛卜附,

即附=|叫所以A正确;

对于B中，由尸E-4C=2x—l,所以当且仅当尤=J时，PEB1C=0,

即尸E_LgC,所以B错误；

/\PEPFx2-x1、1

对于c中，因为C0.PPEF'P相F”网网一工

1-xX

当且仅当尤=g时等号成立，由NEPP为钝角，所以（PE,叫呜,g],

即NEW的最大值为三2兀，所以C正确；

对于D中，多面体CE4EP的体积V=%_AEC+/T“=!（V+X），非定值，所以D错误.故选：AC.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16,且其侧面梯形的高为2班，则该正四棱台的高

为.

【答案】2立

【解析】如图：在正四棱台钻8-瓦狈,召。,硒分别为侧面上的高以及棱台的高,

设棱台的上下底面的边长分别为a,b,贝｝|4b-4a=16nb-a=4,

在等腰梯形池正中，EA=y]EQ2+AQ2=JEQ2+(=«2国+2?=4,

所以CM=EN=JAEZ—AN?=J42_[AC；EG]=卜一耳心。=2夜,

故棱台的高为2垃,

故答案为：20

14.如图，四边形A5CD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC上一点，若曲〃平面则

SM

MC

【解析】连接AC交2£）于点。，连接OM,

因为四边形45co是平行四边形，所以。为AC的中点,

因为SA〃平面平面SAC|平面MDB=OAf,SAu平面SAC,

所以&V/OM,

所以M为SC的中点,

所以■"

故答案为：1.

15.在四棱锥尸-ASCD中，底面ABCD是正方形，上4,底面ABCD若四棱锥尸-ABCD的体积为9,且其

顶点均在球。上，则当球。的体积取得最小值时，AP=.

【答案】3

【解析】如下图所示，设四棱锥P-ABCD底面边长为。，则该四棱锥的体积/_ABCD=g/•尸4=9,

所以尸4=可；设四棱锥P-ABCD的外接球半径为R,

a

通过构造长方体可知满足P^+AB1+AD1=4R2■

即4店=2/=2/+729。;

令/(a)=2a2+729。7,〃e(0,+co),贝!]/(。)=4(a-7294一1,令/(a)=0,即°=3；

当ae(0,3),广(a)<0,ae(3,+«),/(«)>°，

所以,/⑷=2/+729/在(0,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增；即函数/⑷在。=3处取最小值,此

27

时外接球的半径最小，体积最小；所以"=3,PA=—=3.

a'

故答案为：3

16.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲

率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体

面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有

3个面角，每个面角是所以正四面体在每个顶点的曲率为2兀-3、1=兀，故其总曲率为47r.根据曲率的

定义，正方体在每个顶点的曲率为,四棱锥的总曲率为.

【答案】471

22

TTTT

【解析】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为27r-3x===；

由定义可得多面体的总曲率=2万x顶点数-各面内角和，

因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，

所以任意四棱锥的总曲率为27rx5-(71x4+271x1)=4兀.

故答案为：—；471.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(10分)

如图，在直三棱柱ABC-Agq中，A3=AC=AA=2,/A4C=9。，瓦厂分别为CC1,BC的中点.

(1)求异面直线与所所成角的余弦值；

(2)求点Bx到平面AEF的距离；

(3)求平面AEF与平面&EB夹角的余弦值.

【解析】(1)由题意可知A'AC,9两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系,

则4(0,0,2),3(2,0,0),E(0,2,1),尸(1,1,0),

即43=(2,0,-2),EF=(1,-1,-1),

1t八bA.BEF4而

所以c°2'小网声=门=丁’

即异面直线与E尸所成角的余弦值为远；

3

(2)由上易知的=(2,0,2),AE=(0,2,1),AF=(l,l,0),

ri-AE=2y+z=0

设面AEF的一个法向量为〃=(x,y,z),则有v

n♦AF=x+y=0

取V=T=%=1,Z=2,即〃=(1,-1,2),

所以点用到平面AEF的距离为1=

（3）由上可知A5=（2,0,-2）,AE=（0,2,-1）,

m・A[B=2a-2c=0

设面的一个法向量为机=（a,6,c）,则有，

m-AjE=2b-c=0

取C=2=6=1,Q=2,gpm=（2,l,2）,

设平面皿与平面AEB夹角为a,

m-n55A/6

贝[|COSa=|cOS777,77|=

\m\-\n\3"IT

即平面3与平面AEB夹角的余弦值名色.

18

18.（12分）

AFPF

如图,在四棱锥人钻。中,底面是平行四边形,E，分别为阴阳上的点“且商=而

⑴证明：AF//平面PCE；

⑵若平面ABC2E为的中点，PD=AD=CD,ZBAD=60°,求二面角P-CE—歹的正切值.

【解析】（1）证明：如图，在CD上取一点G,使得CG=AE,连接AG,FG,CE,

因为底面ABCD是平行四边形，所以CD=A5,所以3E=DG,

因为CG〃/IE,CG=AE,所以四边形AECG是平行四边形，所以AG//CE,

因为CEu平面PEC,AGu平面PEC,所以AG//平面PEC,

又因为茨AP=p'p,所以CG照=PF=,所以FG//PC,

EHrDL）CJrD

因为尸Cu平面PEC,PGu平面PEC,所以FG//平面PEC,

又因为FGcAG=G,人3,43（=平面出6,所以平面E4G〃平面PEC,

因为AFu平面PEC,所以Af7/平面尸CE.

(2)当E为A3中点，PD=AD=CD,ZBAD60°,易知。E_LCE),歹为尸。中点，

又因为阳，平面A3CD,所以。E,DC,QP两两垂直，

则以。为坐标原点，。£,。。,。「所在直线为兑％2轴建立空间直角坐标系，如(1)图,

设尸D=AD=CD=2,则C(0,2,0),网也,0,0),F(0,0,1),尸(0,0,2),

所以CE=(出,-2,0),FE=(6,0,-l),P£=(V3,0,-2).

设平面PCE的一个法向量为机=(x,y,z),

m-CE=y/3x-2y=0_/\

则L,令x=2g,得加=2^,3,6,

m-FE=V3x-z=0''

设平面PCE的一个法向量为〃=(a,6,c),

n-CE=\[3a-26=0

则令x=20得〃=（2迅,3,3）,

n-PE=6a-2z=0

/\m-n12+9+1813

所以8sHM=丽=

故二面角P-CE-F的正弦值为Jl-"？=誓^,

V190V190

回

所以正切值为噜一空.

A/190

故二面角P-CE-F的正切值为叵.

13

19.（12分）

如图，在五面体ABCDE尸中，面ADEJ_面ABC£>,ZADC=90°,ABCD,AE=DE=DC=2,EF=l,

AB=3,二面角A-DC-尸的平面角为45.

⑴求证：CD〃面ABFE；

⑵点尸在线段AE上，且AP=2PE,求二面角P-FT-B的平面角的余弦值.

【解析】(1)面A5CD,

又EFu面CDEF,面ABCDO面CDEF=CD,

：.CD//EF.

又CDU面ABFE,EFu面ABFE,

：.CD〃面ABFE；

(2)取AD中点0,BC中点连结0E,OM.

•.,面ADEL面ABCD,交线为AO,

CDu面ABC。，ZADC=90°,CDADE.

ZADE是二面角A-DC-尸的平面角.即ZADE=45°.

EFP^ABCD,

又Ebu面ABFE，面ABCDc面ABbE=AB,

AB//EF.

CD〃AB.又AB片CD,.•.四边形ABC。是梯形.

OM是梯形ABCD的中位线.OM〃CD.ON_L面ADE.

"：AE=DE,。是AD中点，OELAD.

以。为原点，0A,OM,0E为轴如图建立空间直角坐标系。-孙z,则

A(V2,0,0),网也3,0),D(-72,0,0),衣2,0),网0,0,0),尸(0,1,立),

A£=(-72,0,V2),CB=(2A/2,1,0),CF=(h网,FA=(^2-1,-^2),

由AP=|AE,FP=JR4+AP=(V2,-1,-A/2)+|(-^,0,^)=^,-1,-^J

设面PCV的一个法向量为加=(占,乂，4),由相_1_尸产，1nLeF，得

<L「，取乂=e，得X]=2,Z]=-1,・,•加=(2,垃,一1).

以-&4=0、7

设面5c厂的一个法向量为九=（X2，%，Z2），由〃，C3，nLCF，得

，取为=20,得％2=-1，Z2=3,n=

二面角2-尸。-3的平面角的余弦值为-恒

42

P个t-

\/D

20.（12分）

如图，48是半球。的直径，43=4,M,N是底面半圆弧AS上的两个三等分点，P是半球面上一点，且

ZPON=60°.

MN

（1）证明：P3_L平面244：

（2）若点P在底面圆内的射影恰在QV上，求直线与平面9所成角的正弦值.

【解析】（1）连接OM,MN,BM,因为M,N是底面半圆弧A8上的两个三等分点,

所以有NMON=NNO3=60。，又因为OM=ON=OB=2,

所以MON,NO3都为正三角形，

所以MN=NB=BO=OM,四边形OMNB是菱形,

记ON与的交点为。，。为ON和的中点,

因为ZPON=60°,OP=ON,

所以三角形OPN为正三角形，

所以PQ=6=；BM,所以

因为尸是半球面上一点，A8是半球。的直径，所以依_LB4,

因为尸McF4=尸，PM,PAu平面RUf,

所以P5_L平面上4M.

（2）因为点尸在底面圆内的射影恰在ON上，

由（1）知。为ON的中点，OPN为正三角形,所以PQLCW,

所以PQ2底面ABM,

因为四边形OM四是菱形，所以MB