2025年高考数学一轮复习第二次月考卷3（测试范围：集合不等式函数+三角+导数+平面向量+复数）解析版

2025年高考一轮复习第二次月考卷03

（满分150分，考试用时120分钟）

测试范围：集合+不等式+函数+三角+导数+平面向量+复数

一、选择题

1.若集合/=]1—<()},B={x\2-x<}},则/门3=()

A.[1,2)B.[-1,0)C.(2,+8)D.(-8,0)

【答案】C

【分析】首先解分式不等式求出集合A,再化简集合3,最后根据交集的定义计算可得.

【解析】由7，一<Y0,等价于X（/2-x、）<0,解得X>2或x<0,

X

所以/---<{%[%<0或x>2},

又3={x12-xV1}={x|x21},

所以4C5=（2,+8）.

故选：C

2.设i是虚数单位，则复数z=（g-曰i>的共钝复数彳=（）

A1石.n1A/3.r1V3.n173.

A.---1---1B.-------1C.—H----1D.-------1

22222222

【答案】A

【分析】利用复数的乘方运算，结合共辗复数的意义求解即得.

【解析】复数z=d-3评=」-3i,所以』=」+0i.

222222

故选：A

3.已知:3为单位向量，且（4，小,G+3前则展工夹角的余弦值为（）

【答案】B

【分析】根据（4〉办,日+3小，得到（4〉加日+3小=0，将等式展开由平面向量数量积的定义即可得到

答案.

【解析】设：工的夹角为e,因为（4,2RG+3小，:工为单位向量，

所以（4不一办（1+33）=43?-3^2+11万了=4升11*lxlxcos0=1+11cos^=0,所以cos6=-1.

故选:B.

4.若。>0,b>0,。+26=3,则之+9的最小值为（）

ab

A.9B.18C.24D.27

【答案】A

【分析】利用基本不等式中“1〃的妙用即可求得最小值.

■不『■…口口工小一,口361/2、（36、1（6a6bd1f、16a6b）八

［解析］根据题思可得一+工=彳（〃+26）—+工=T3+^+——+12--15+2\/-7------=9；

ab3\abJ3<ba）3\ba

当且仅当华=色，即。=l,b=l时，等号成立；

ba

此时的最小值为9.

ab

故选：A.

5.若sin［a-1）=；,贝ljcos［：—2a］=（）

A_ZR4V2r4V2n7

9999

【答案】D

【分析】利用余弦函数奇偶性和二倍角余弦公式直接求解即可.

【解析】cos］：-2“=cosjtz=l-2sin2=l-2x［=（.

故选：D.

6.已知火箭在/时刻的速度为厂（。（单位：千米/秒），质量为机«）（单位：千克），满足%«）=%+wln奇

（“为常数），（、/分别为火箭初始速度和质量.假设一小型火箭初始质量%=1000千克，其中包含燃

料质量为500千克，初始速度为匕=0,经过4秒后的速度“匕）=2千米/秒，此时火箭质量机,）=800千克,

当火箭燃料耗尽时的速度大约为（）（ln2«0.69,ln5~1.61）.

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根据题意，得到2="ln之和/=〃ln2,结合对数的运算性质，即可求解.

【解析】由题意知，火箭在/时刻的速度为外。，质量为机⑺，满足忆0=

因为经过0秒后的速度「«)=2千米/秒，此时火箭质量加&)=800千克，

可得2=〃In黑="In1火箭耗尽燃料时速度为r=Mln^=Mln2,

8004500

ln2_21n22x0.69

两式相除得X=In5-21n2^~oW=.

4

故选：C.

7.若至少存在一条直线与曲线〃x)=2f+3和g(x)=3Tlnx«w0)均相切，贝腾的取值范围是()

A.[-4e,0)B.[2e,+oo)

C.(-4e,0)U(0,+oo)D.[-4e,0)U(0,+(»)

【答案】D

【分析】分别假设公切线的切点，然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交点即可.

【解析】/'(x)=4x,g'(x)=-;，设公切线与曲线y=/(x)相切于点(±,2x；+3),与曲线y=g(x)相切于点

(x2,3-dnx2)(x2>0),

贝U切线方程分另|J为y=4/X_2x；+3,y=-—x+t+3-t1nx2,

-+3=/+3-/lux2(2),

一产

由①得X；=R,

代入②得t=8xflnx2-8xf.

令〃(x)=8x2lnx—8X2(X>0),

则/z'(x)=8x(2hu-l),

所以当0<x<y[e时,h(x)<0,当x〉Ve时，h(%)>0，

所以八(久)在区间(o,能)内单调递减，在区间(五,+e)内单调递增,

所以"OOmin="(/)=*,

又当Xf+oo时，

所以八(久)的值域为[-4e,+(»),

所以/的取值范围是[-4e,O)u(O,+s).

故选：D.

8.已知函数〃无)的定义域为[1,2],对定义域内任意的石应，当x产超时，都有，(幻-/安卜左卜-司，

则下列说法正确的是()

A.若/(x)=x2+无，贝！]左<10

B.若/(x)=，贝Qvawg

C.若〃1)=〃2),则|〃网)-"xjvg

D.函数了=/(x)和y=〃x)一质在[1,2]上有相同的单调性

【答案】C

【分析】根据函数不等式恒成立分别应用各个选项判断即可.

2

【解析】对于A：f{x}=x+x,|/(x1)-/(x2)|=|x^-x|+x1-x2|=|(x1-x2)(x1+x2+l)|=|x1-x2||x1+x2+l|,

因为玉广2e[l,2],所以|/(%)-〃々)|=|再-引|西+了2+1闫再一刃(西+乃+1)<6西一司，

因为|西一引>0,所以上>%+%+1恒成立，

又因为国不相等，所以先上5,A选项错误；

对于B：|/(西)-/(工2)|=g(片-引-(芯-引=(x/xj，X[+x)T4士-+^^+@-，

所以卜-引ga+z)-i<左忖一司恒成立，

所以后>0,又因为再,*2不相等,XJ,JC2e[l,2],

所以。(占+%)-1<k,

3^左<万(石+%2)<5*4=2左，k—1<—(X]+%2)—1<2k—1,

|^-1|<,|2左一1|4左，

所以一左(左一14左，一左W2左一1(左，

所以1w左，B选项错误；

2

对于C：因为再户2不相等，不妨设1<王<、2«2,

因为〃1)=/(2),

所以

2|/(X1)-/(X2)|=|/(X1)-/(1)+/(2)-/(X2)|+|/(X1)-/(X2)|

引/㈤-/⑴|+|〃2)-/(%)|+|/(占)-/(工2)|＜左(占-1)+左(2-工2)+左。-%)=人,

所以|/(石)-/(芍)|＜。，C选项正确，

对于D：不妨设［(X)在［1,2］上单调递增，任取七k2,满足1WX2＜±W2,

则〃西)＞小2),

因为|/(网)-〃X2)|〈后卜］|,

所以/(%)-/(%2)＜左(再一々),所以〃xj-g＜/(%)-生，

所以y=/(x)-丘单调递减，D选项错误.

故选：C.

【点睛】方法点睛：结合已知条件及函数单调性定义判断单调性，结合三角不等式判断绝对值不等式范围.

二、多选题

9.下列说法正确的是()

A.函数/(x)=log,(x-2)+2(°＞0且awl)的图象恒过定点(3,2)

B.若命题"曾€艮--办+。＞0"为真命题，则实数。的取值范围是［0,4］

C.将函数/(x)=sin(2x-/的图象向左平移1个单位后得到函数〉=sin2x的图象

D./'3=尤+皿2%-2的零点所在的一个区间为(1,2)

【答案】ACD

【分析】对A,根据对数函数的定义即可求解；对B,由二次函数的性质可判断；对C,根据三角函数的平

移原则即可判断；对D,根据函数单调性结合零点存在性定理即可判断.

【解析】对于A,令工一2=1,解得x=3,y=2,

所以f(x)=log,(x-2)+2(。＞0,。w1)恒过定点(3,2),故选项A正确;

对于B,因为VXER,%2_办+〃>(),为真命题，则Q2-4Q<O,解得0<Q<4,故B错误；

对于C,函数/(x)=sin(2x-j的图象向左平移5个单位后得到函数g(x)=si“2[+曰-弓=sin2x的图

象，故C正确；

对于D,因为y=x-2)=log2X在(0,+oo)上均单调递增，

则/(x)=x+log2x-2在(0,-Ko)上单调递增,

又/(1)=-1<0,/(2)=1<0,则根据零点存在性定理知其零点所在的一个区间为(1,2),故D正确.

故选：ACD

2jr

10.已知V/3C的三边长分别为2,3,近。为V/3C内一点，ZAOB=ZBOC=ZCOA=y

OA=a,OB=b,OC=c,则

A.|a-/)|+|^-c|+1=6

B.a-b+b-C+c-a=-3

c.同+同+同=晒

D.^a+b+c|=1

【答案】BCD

【分析】假设/B=2,/C=3,3C=",然后根据向量的运算及余弦定理、三角形面积公式计算即可.

［解析】对于A,B叫+|”q+p_司=悭|+."卜|4C卜升J7,故A错误;

对于B,不妨设AB=2,AC=3,BC=a,

222

①六…工田h斤门.AB+AC-BC1

由余弦7E理可知cosA=---------------=一，故/

2义ABxAC2

71

c1-3百

“BC232

设同=2,

贝|展3+鼠1+亍.之二盯COSg+y2cosg+zxcos

"y=_,3+yz+zx),

1.2711.2无3百

又因为S,„=S.+S+S=-xysm—H—yzsin--1—zxsin——----,

^ADrCAAOnBR£^DR(nJCrAC(JA?)3

23232

故孙+yz+zx=6,所以小B+己］=一3,故B正确；

27r

对于C,由余弦定理可知，AB2=x2+y2—2xycos=x2+y2+xy=4,

+z2+j?z=9,z2+x2+zx=7,

2

故％2+y2+z2+—(A7+.PZ+ZX)=10,|«|+|+|?|=x+y+z=yj(x+y+z)

yjx2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=^10+-1x6=V19,故C正确;

对于D,a+b+c^=+y2+z2-xy-yz-zx=《=1,故D正确.

故选：BCD.

11.已知〃〉g,且x=|log2同,y=|k)g2〃+l|,z=2log215+1,则()

A.若x=y,则〃>[

2

B.若》=了，则皿+〃的最大值为近

C.若x=y=z,贝I]加”+2加2-4m+1=0

3

D.若x=)=z,则〃2_2〃H—>0

4

【答案】ACD

【分析】选项A,根据条件得到RogZ加口log2（2〃）|,利用歹=log?x的性质，即可求解；选项B,根据条件,

利用基本不等式，即可求解；选项C,根据条件，得到logzIW+H〉。，从而有

-log,m=21og2{~+^\=log,f-+—Y,得到■1■=（二+，］,即可求解；选项D,利用N=z,得

12）\22m）冽（22m）

/、22

2n=\—+n\=-+—+n2<—+n2,即可求解.

（21424

【解析】对于选项A,由'=丁得，|1082加|=此2及+1|=睡2（2〃）|,又m<2n,可得”2〃=1,

所以〃二」一，又0<冽<1,所以〃〉工，故选项A正确；

2m2

对于选项B,易知，m>0,«>0,所以加+〃224^7=收，当且仅当加=〃=1时取等号，所以选项B错误;

对于选项C,由选项A知〃=」->），所以依+加=2+°->1,得到1吗（2+小〉0,

2m2222m<2J

所以-log2冽=21og2+〃］=log2+］，所以!+），整理得冽4+2加2—4加+1=0,所以选

项C正确;

对于选项D,由V=z得到，2n=(-+n\=-+-+n2<-+n2,^n2-2n+->0,所以选项D正确.

1,2J4244

故选：ACD.

三、填空题

12."函数/(x)=«%2-sinx是奇函数"的充要条件是实数。=

【答案】0

【分析】结合三角函数奇偶性、幕函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.

【解析】若函数"x)=ax2-sinx是奇函数,

贝!J当且仅当/(x)=ax?—sinx=-[a(-x『一sin(—x)]=—/(-X),

也就是2"2=0恒成立，从而只能Q=0.

故答案为：0.

1-LY

13.已知/(x)=1+10gli产，则不等式〃2工-1)+〃2幻<2的解集为.

【答案】(0,；)

【分析】先求出函数的定义域，保证/(2x-l),/(2x)有意义，再代入函数解不等式即可.

【解析】•・•〃x)jl+log11g.•产>0,解得所以〃尤)的定义域为(一1,1),

1-xl-x

将〃x)=1+log,产代入f(2x-1)+/(2x)<2,

1—X

,口y12%1+2%小

得1+log*T——+1+log,——<2,

2-2xl-2x

2xl+2x

即10g；2x+bgFx<0'

-1<2X-1<1

2x(l+2x)

即log严E<o=log/，则j-1<2X<1解得

2x(l+2x)

0<-——^-<1

(2-2x)(l-2x)

所以不等式的解集为

故答案为：［o,^.

Ix+l,x<0、

14.已知/（X）=<„c，若/（再）=/（工2）=/（工3），再<%2<%3,贝1]211+3、2+2、3的最大值为______.

[cosx,0cx<2兀一

【答案】6-2+等

6

【分析】设/'（七）=/（马）=/（七）=乙作出y=/（x）和V=f的图象，数形结合得出

-2<x[<0<x2<n<x3<2兀，由余弦函数图象的对称性得出々+工3=2兀，结合国+1=cosx2得出

2西+3%+2%3=2cos%2+%2-2+4兀（0<x2<71）,构造函数g（x）=2cosx+x-2（0<x<兀）,利用导数求出最大

值即可求解.

【解析】设/■（项）=/@2）=/（W）=，，贝1]北（-1,1）,“X）的图象如图所示，

即v=/（x）的图象与v=，的图象有3个交点，横坐标依次为再,％2/3，且-2<芭<0<%2<兀<%3<2兀,

由余弦函数图象的性质可知，%+工3=2兀，

所以2再+3X2+2X3=2再+%+2+工3）=2再+&+4兀，

又因为再+1=cosx2,所以2再+x2=2COSX2一2（0<々<兀），

令g(x)-2cosx+x-2(0<x<7i),

则g'(x)=l-2sinx,令g<x)=l—2sinx=0,解得％=工或学，

66

当Xe(0时，g'(x)>0,g(x)在单调递增，

当xe俣将)时，g'(x)<0,於)在W单调递减，

当xe1,71]时，g(x)>0,g(x)在C单调递增，

又因为g(n)=兀-4<0,8]]=行-2+e>0,

所以gCOmax=81)=痒2+.,

以2再+3%2+2%3=2再+%+4兀(y/3—2+—\~4TC=A/S-2J~---,

66

故答案为：V3-2+^^.

6

四、解答题

15.VN8C的内角43,C所对的边分别为。也c,已知厘=sm（/一8）.

csinC

（1）求A；

（2）若NA4C的角平分线与BC交于点。,NO=2,NC=2VJ，求a+c.

【答案】（1）/=1.

（2）a+c=3+V3

【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解;

（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解.

【解析】（1）依题意，由正弦定理可得sinCT—=sin（Nd）

sinCsinC

所以sinC—sin5=sin（4—8）,

又sinC=sin[兀一+5)]=sin(/+B),

所以sinB=sin(4+5)-sin(力-8)=2cosZsinS,

因为Be(Om),所以sin^wO,所以cos/=；,

又/€（0,兀），所以/='

（2）解法一：如图，由题意得，S^Mn+S^ACD=S^ABC,

[71

—fe-csin—,即b=2c,

23

又b=AC=2所以c=g\

所以。2=/+/一2&ccos—=9,即a=3,

3

所以a+c=3+g.

解法二：如图，A/CD中，因为/O=2,/C=2/,NC4D=2，

由余弦定理得，CD1=22+(2百彳-2x2x2V3COS-=4,

6

7T

所以CZ)==2,所以。=/C4D=—,

6

__jr

所以5=兀-4-。=5，

所以a=ZJCOS—=3,c=/>sin—=>/3,

66

所以a+c=3+g.

16.已知函数/(x)=^——mlnx+2x,meR.

x

⑴若曲线>=/(x)在X=1处的切线与直线>=2x相互垂直，求加的值；

(2)若冽=2,求函数/(%)的极值.

【答案】(1)/»=|;

(2)极小值e+2,无极大值.

【分析】(1)求出函数〃x)的导数，利用导数的几何意义及给定直线列式计算即得.

(2)把加=2代入，利用导数求出函数的极值.

【解析】(1)函数=I-Rtu+2x,求导得l(x)='(\T)一二+2,贝/'⑴=一〃?+2,

XXX

依题意，(一机+2)x2=T,所以机=2.

2

(2)当加=2时，函数/(x)=^--21nx+2x的定义域为(0,内)，

求导得/'(X)=、(xT)_1+2=e+2?xT),

XXX

当0<x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0,

因此函数〃x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以函数/(x)在x=1处取得极小值e+2,无极大值.

17.太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太

阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中.已知在一定条件下，入射光功率密度P=?(£为入射光能

量且E>0,5为入射光入射有效面积)，电池板转换效率〈100%)与入射光功率密度。成反比，且比例

系数为:

（1）若左=2,S=1.5平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式；

⑵现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量/=Q+ET,锂离子蓄电池

的放电量/=四+贮.设S21,左>1,给定不同的0,请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应

该选择哪种蓄电池？

注：①蓄电池电能储存量。=7E；

②当S,k,0一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好.

【答案】⑴。=,3

E

⑵答案见解析

【分析】（1）利用题目所给公式及数据计算即可得;

（2）用S,k,。表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得.

kkSkS

【解析】（I）Q=rj-E=-E=--E=—,

pEE

7Y1S3_

若左=2,S=1.5平方米，则0

E~E

（2）由。=2,即后=装，

EQ

铅酸蓄电池的放电量为：/1=。+/一|=。+/,

kS

锂离子蓄电池的放电量为：/2=J0+©=J0+

0（1+⑹应（庶+左S）

贝=2+义_

12kskSkS

也（1+左S）-（底+裕）

kS

令也（1+LS）-（J店+处）=0,可得Q=，叵±竺

-k2S2+ZkS+\

(k2S2+2kS4kS+kS)

即。e---r-;----------，+0°时，A>A,此时应选择铅酸蓄电池,

Ik2S2+2.kS+lJ

fk2S2+2kSy[kS+kSy

22

当QekS+2kS+]时，A</2,此时应选择锂离子蓄电池,

1

当0=Ns：芈巫+小时,/1=72,两种电池都可以.

左W+2左s+i

18.已知函数/(x)=sinx,g(x)=-^l.

(1)求函数尸(x)=2[/(X)]2-3/(|X|)+1的值域；

⑵设函数G(x)=/(x)+lnx,证明：了=G(尤)有且只有一个零点/，且g[/(x())]＞史；

【答案】

_O_

(2)证明见解析

【分析】(1)依题意可得尸(x)=2sin?x-3sin国+1,首先判断尸⑺的奇偶性，再利用换元法求出函数在xW0

时的取值范围，结合偶函数的性质得解.

(2)结合零点的存在性定理分类讨论可证y=g(x)有且只有一个零点；结合零点性质与单调性放缩可得

8]/(%)]=8n％)＞言.

【解析】(1)因为/(x)=sinx,

所以/⑺=-3/(附+1=Zsir?x-3sin国+1,

贝！|F(-X)=2sin2(-x)-3sin+1=2sin2x-3sin忖+1=b(x),

所以尸(x)为偶函数，

当xNO时尸(x)=2sin2x-3sinx+1,

令/=sinx,贝令机(f)=2/-3/+1,Ze[-l,l],

加(t)=2/-3，+l=21-|J又加(1)=0,m(-l)=6,

所以机«)e-：,6,

|_o

即当x20时尸(x)e-1,6,根据偶函数关于J轴对称，所以当xWO时尸(尤)e-1,6,

综上可得尸(x)€-J,6.

(2)因为G(x)=/(x)+lnx=sinx+lnx,

当时，函数y=lnx与函数y=sin尤均在上单调递增，

故y=G（x）在（0,£|上单调递增，

又=-1+sin—<0,G（l）=O+sinl=sinl>0,

故V=G（x）存在唯一零点X。eU,

当工£—,7i时，j/=Inx>0,=sinx>0,故G（x）〉O,

当工£（兀,+8）时，j/=Inx>In7i>1,j；=sinx>-l,故G（x）〉O,

故当xw|>+00卜寸，y=G（x）无零点，

综上所述，V=G（x）有且只有一个零点，且该零点

由上可知/,且有G（xo）=lnxo+sinxo=O,

则sinx0=-Inx0,

—+1

即g[/（%）]=g（sinx°）=g（_ln%）=,+]=号—

e°-1_L_iIfIf

%

由函数y=-l+2在区间上单调递增，

1-x<eJ

故8[/（尤。）]=8何吨）=_1+匕>_1+二1=鲁

nxi—XQ]1e—i-

e

【点睛】关键点睛：本题二问关键在于借助零点的存在性定理判定〉=G（x）有且只有一个零点，借助零点

得到G（Xo）=ln尤o+sinx。=0,将g["/）]=g（sinx（））转化为g（-lnxo）,结合函数单调性，得到

g[/（xo）]=g（sinx（,）>y.

19.阅读以下材料：

①设/'（无）为函数/'（x）的导函数.若/'（无）在区间D单调递增；则称〃尤）为区。上的凹函数；若/'（X）在区

间。上单调递减，则称/卜）为区间。上的凸函数.

②平面直角坐标系中的点P称为函数/（x）的"切点”，当且仅当过点P恰好能作曲线y=/（x）的左条切线,

其中左eN.

(1)已知函数/(x)=ox4+x3-3(2fl+lk-x+3.

(i)当aWO时，讨论/(x)的凹凸性；

(ii)当a=0时，点P在V轴右侧且为/'(x)的"3切点”，求点P的集合；

⑵已知函数g(x)=xe，，点。在y轴左侧且为g(x)的"3切点”，写出点。的集合(不需要写出求解过程).

f[x>l[0<x<l]

【答案】(1)(i)答案见解析；(ii)(X/)/.以「a或3222”"

![4-4x<y<x^-3x-x+3-3尤’-x+3<y<4-4尤J

[xWY[-4<x<-2f-2<x<0]

(2)点。的集合为｛(3)|匚/或x+4或1x+4J

<Ixe<j<0xe<”...-----<y<xe\

'IeIeJ

【分析】(1)(i)利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数/(%)的单调性，可得其凹凸性;

(ii)根据”切点〃的定义，由切点个数转化成方程根的个数即可得出点尸的集合；

(2)根据函数g(%)=xe'利用"切点〃的定义，得出单调性即可得出结论.

【解析】(1)因为/3=办4+/_3(2+1,2_工+3,

所以/'(%)-4。/+3——6(2。+1)%-1,

令〃(%)=4a/+3%2-6(2a+l)x-l,

所以=IZQX?+6x-6(勿+1)=6QQX+2Q+1.

(i)当a=0时，力'(x)=6(x-l),令/z'(x)20,解得xNl；

令〃(x)V0,解得x«l；

故/(x)为区间［1,+8)上的凹函数，为区间(-吗1］上的凸函数；

当一!<a<0时，令〃(耳20,解得

令〃(x)V0,解得x41或xN