2025年高考数学二轮复习小题提升练15（学生版+解析）

2025年高考数学二轮复习小题提升练15

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.（2024•湖北•模拟预测）在复平面内，若三+1=:4,贝”对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（22-23高三上,贵州贵阳・期末）已知集合A=[a]2E+V。V2E+万,左ez1,

B=^ar|fei+-^<a<kn+^,k,贝I」（）

A.AcBB.BjAC.A=BD.AB=0

3.（2024・北京怀柔•模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式

建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积

为16兀，屋顶的体积为必叵兀，算得侧面展开图的圆心角约为（）

3

22

4.（2024•辽宁•二模）已知椭圆£'：++斗=1（。>6>0）与抛物线。：_/=2。吠0>0）在第一

象限的公共点为A,椭圆的左、右焦点分别为4,8，其中右焦点与抛物线的焦点重合，已

知NA耳&=30,则cos/AgK=（）

A布R布V6

A.D.C•\Jn.

3326

5.（2024・吉林白山•一模）2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨

教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨

教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两

男1女，则总的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

12

6.（2023高二下•浙江杭州•学业考试）若正数工，'满足一+一=1,则4/+/一16孙的最小

xy

值是（）

A.-108B.-100C.-99D.-96

7.（2023•江西吉安•一模）已知直线〃：x+my-3〃?-l=0与〃：〃zx-y-3"z+l=0相交于

点M,线段A3是圆C：（x+l『+（y+l）2=4的一条动弦，且k2石，则的最

小值为（）

A.6-4后B.3-0C.5+A/3D.亚-1

8.（23-24高三上•浙江•阶段练习）若3sin9+cos9=JHj,则=[,+司|一的的值

I8J

为（）

r12

A.—7B.—14C.—D.一

77

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分）

9.（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期中）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是

（）

A.若数列｛q｝为等比数列，且其前〃项的和5“=2"—+乙则r=-g

B.若数列｛%｝为等比数列，且%%+%%=6,则4=81

C.若数列｛q｝为等比数列，S“为前〃项和，则S“，S2n-Sn,又,-邑"，…成等比数列

D.若数列｛风｝为等差数列，24+3%=",则品，最小

10.（2024・甘肃定西•一模）已知函数〃x）=,-l|-a,g（x）=x2_4M+2-q,则（）

A.当g（x）有2个零点时，/（x）只有1个零点

B.当g（x）有3个零点时，只有1个零点

C.当有2个零点时，g（x）有2个零点

D.当有2个零点时，g（x）有4个零点

11.（22-23高二下•辽宁•阶段练习）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为JF,其准线/与

x轴交于点M（-LO）,过M的直线与C在第一象限内自下而上依次交于A8两点，过B作

BD口于D,则（）

A.C的方程为丁=2尤

B.当，A,尸三点共线时，忸4=3|AF|

C.\AF\+\BF\>2\MF\

D.当NMAF=90°时，忸D|=|"D|

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线

上）

12.（2024・天津南开•一模）已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1

号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装

有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入

与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，

第二次抽到1号球的概率为,第二次抽到3号球的概率为

13.（2024・天津和平•二模）过点（0,0）作曲线y=2%xeR）的切线，则切点的坐标

为.

14.（2024•全国•模拟预测）如图，在长方体48a>-A耳CQ中，AB=3,BC=CCt=2,

M,N分别为BC,CG的中点，点P在矩形BCGA内运动（包括边界），若A///平面

AMN,则4尸取最小值时，三棱锥尸-蛆台的体积为.

2025年高考数学二轮复习小题提升练15

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.（2024•湖北•模拟预测）在复平面内，若2+1=鲁，贝!|z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（22-23高三上・贵州贵阳・期末）已知集合A=++

3=+：WtzWE+■，左ez1,则（）

A.A^BB.BeAC.A=BD.A'B^0

3.（2024・北京怀柔•模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式

建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积

为16兀，屋顶的体积为必好兀，算得侧面展开图的圆心角约为（）

3

4.（2024•辽宁•二模）已知椭圆石:二+3=1（a>6>0）与抛物线C:y2=2px（p>0）在第一

ab

象限的公共点为4椭圆的左、右焦点分别为小鸟，其中右焦点与抛物线的焦点重合，已

知NARF]=30,则cos乙48居=（）

A抬’R"C贬D卡

r\♦----D.-----U.U♦-----

3326

5.（2024・吉林白山•一模）2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨

教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨

教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两

男1女，则总的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

12

6.（2023高二下•浙江杭州•学业考试）若正数羽>满足一+—=1,则4/+y2—16孙的最小

xy

值是（）

A.一108B.-100C.-99D.-96

7.（2023•江西吉安•一模）已知直线//：尤+阳一3m一1=0与/2：如一'一3m+1=0相交于

点线段是圆C：（x+iy+（y+l）2=4的一条动弦，且|明=2百，则的最

小值为（）

A.6-472B.3->/2C.5+囱D.下一1

8.（23-24高三上•浙江•阶段练习）若3sin6+cose=W，贝U,血+g［一+四］的值

为（）

A.-7B.—14C.-D.-

77

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分）

9.（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期中）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是

（）

A.若数列｛%｝为等比数列，且其前"项的和5“=25+/,则f=

B.若数列｛。,｝为等比数列，且。2%+。3。6=6,贝I］%2%/=81

C.若数列｛风｝为等比数列，S”为前〃项和，则s“，s2n-s„,邑"-$2",...成等比数列

D.若数列｛%｝为等差数列，2q+34=S6,则/最小

10.（2024•甘肃定西•一模）已知函数〃到=,一1卜a,g（x）=/_4国+2-a,则（）

A.当g（x）有2个零点时，〃尤）只有1个零点

B.当g（x）有3个零点时，只有1个零点

C.当〃x）有2个零点时，g（x）有2个零点

D.当〃x）有2个零点时，g（x）有4个零点

11.（22-23高二下•辽宁•阶段练习）已知抛物线C:y2=2x（0>O）的焦点为/，其准线/与

x轴交于点M（-LO）,过用的直线与C在第一象限内自下而上依次交于A,2两点，过3作

BD口于D,则（）

A.C的方程为：/=2x

B.当。A尸三点共线时，|M|=3|A同

C.|AF|+|BF|>2|A/F|

D.当NMAF=90。时，\BD\=\MD\

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线

上）

12.（2024・天津南开•一模）已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1

号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装

有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入

与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，

第二次抽到1号球的概率为,第二次抽到3号球的概率为

13.（2024•天津和平二模）过点（0,0）作曲线y=2%xeR）的切线，则切点的坐标

为.

14.（2024・全国•模拟预测）如图，在长方体瓦G。］中，AB=3,BC=CQ=2,

M,N分别为BC,CG的中点，点P在矩形BCG用内运动（包括边界），若4尸〃平面

AMN,则4P取最小值时，三棱锥尸-叫台的体积为

参考答案:

题号12345678910

答案DACBBBABCDBD

题号11

答案BC

1.D

【分析】根据复数的四则运算可得z=l-i,结合复数的几何意义运算求解.

【详解】因为)=言=,可得z=l.i,

所以z对应的点为(1,-1),位于第四象限.

故选：D.

2.A

【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断.

【详解】当左=2〃,〃eZ时，B=^a|2/OT+^-<a<2rm+^,kez1=A,

当A=2〃+L〃eZ时，B=1a|2«7r+7r+^-<a<2〃兀+兀+1，左ez1,

所以A=3.

故选：A

3.C

【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧

长，再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧

面展开图的圆心角.

【详解】底面圆的面积为16兀，得底面圆的半径为厂=4,

所以底面圆周长为8无，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为/=8兀，

屋顶的体积为"兀，由工X16TI〃=%好兀得圆锥的高力=26，

所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形半径R=病彳=V20T16=6，

得侧面展开图扇形的圆心角约为a=：/=r8兀=4兀

AO3

故选：c.

4.B

【分析】结合图象，过点A作AA'垂直x=-c交于点A,作轴，交于点依据抛

物线的定义及勾股定理可求得相关线段的长度，进一步计算即可.

【详解】如图，依题可知，抛物线的准线方程为“=-，，

过点A作AAr垂直了=-c交于点A,

作轴，交于点

则ZA'AF=NAF[Fz=30,

设|前|=2〃，则|A闾=〃,|AA|=W,

则\AM\=\AF{\=n,\AF2\=|A4[=W1n,\FXM\=6n,

|M7S|«

所以cos/A&耳=

|A^-73^-T

【分析】根据特殊原元素先排列，4名男生、两名女生平均分组再排序的原则得出结果.

【详解】杨教授站中间，只有1种方法；

「202

四名男生分成两组放在两边方法数安A；；

A2

两名女生放在两边方法数A；,

「202

每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为N=*A；A；A；A；=432.

A?

故选：B.

6.B

12

【分析】由1+亍=1可得2%+丁=冲=冲之8,原式化为（孙『7―20孙，利用二次函数的性质

求解即可.

12/——

【详解】由一+—=1可得2%+丁=孙二孙之2[2xy=＞孙28,X=2,丁=4时等号成立，

xy

2

所以4兄2+,2_]6肛=（2x+y）2—20孙=（孙J—20xy=（xy—10）—100,

所以冲=10时，4x2+y2-i6xy的最小值是-100,

故选：B

7.A

【分析】根据直线所过定点和知ME-MF=0，由此得M轨迹是以G（2,2）为圆心，

0为半径的圆（不含点（3,3））,由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法求得

ICDM^L-结合向量数量积的运算律求得舷4-MB最小值.

【详解】由圆的方程知：圆心C（—半径r=2；

由乙：x+中y-3根一1=。得：（x-l）+w（y-3）=0,恒过定点E（L3）；

由4：〃吠_,_3根+1=0得：加（x_3）+0_y）=0,二4恒过定点/（3,1）；

由直线4,4方程可知：4-L4，:.MEVMF,即ME-MP=0，

设M（x,y）,则ME=（l-x,3-y）,MF=（3-x,l-y）,

.•.ME.MF=（l_x）（3_x）+（3_y）（l_y）=0,整理得：（x-2）2+（y-2）2=2,

即点M的轨迹是以G（2,2）为圆心，血为半径的圆，又直线4斜率存在，

二"点轨迹不包含（3,3）；

若点。为弦A3的中点，则MA+MB=2MD，位置关系如图:

连接CD,由|AB|=2,^3知：|CZ）|=’2?—=1,

则|Affi£n=\MC\mm-\CD\=\CG\-^2-y=J（2+行+（2+l1-72-1=272-1,

:.MAMB=[MD+DA^-[MD+DB^=Miy+^DA+DB^MD+DADB

=MD2-3>（2V2-1）2-3=6-4A/2（当M在（1,1）处取等号），

即AM•MB的最小值为6-4A/2.

故选：A.

8.B

【分析】先由三角函数平方关系结合已知求出sin。,cos。，从而求出tan，，再由

c兀

2tan—

tan?=1=-----□即可求出tan-,最后由两角和的正切公式代入表达式即可求解.

4Jan把8

8

【详解】一方面由题意3sin8+cos8=&6,且注意到sin2e+cos2e=l,

联立得lOsin?6»-6Msine+9=0,sin6=^^,cos6»=—

1010

所以tanO=£g=3,

COS，

c兀

2tan—

JrTT

另一方面不妨设龙=tanK>0,且tan：=l=8

兀

84l1-tan2—

8

所以有尤2+2x-l=0,解得x=-l+0或x=-l-0（舍去），即尤=tang=-l+应，

O

由两角和的正切公式有

tan[e+]tan，+x3+

=-7+5V2,

l-x-tan6>1-3（-1+A/2）（4-3V2）X（4+3A/2）

tan18+1]]

=-(7+5A/2)+7

所以tan[e+1,(7+5忘)

7-5及

=-(7+5&)+

(7+5⑹x(7-5⑹

=-7-5A/2+5>/2-7=-14.

故选：B.

9.CD

【分析】求出力的值判断A；利用等比数列的性质计算判断B；举例说明判断C；求出4与

公差d的关系判断D.

【详解】对于A,由5“=2"-+乙=S,=l+t,a2=S2-S,=l,a3=S3-S2=2,数列{%}

为等比数列,

则2(1+7)=1,解得/=_；,经验证符合题意，A正确;

对于B,等比数列｛q｝中，由。2%+。3。6=6,得。2%=。3%=3,则

axa2a34=(//)，=81,B正确;

对于C,等比数列｛%｝的公比4=-1,〃为偶数时，S“=0,Sn,S2n-S„,邑“-邑”，…不

成等比数列，C错误；

对于D,设等差数列｛%｝的公差为d,由2q+34=S6，得2q+3q+64=6%+15”，

整理得q+9d=0,当d<0时，S"没有最小值，D错误.

故选：CD

10.BD

【分析】将问题转化为>=|2:1|,〉=/-4国+2与〉=4的图象交点问题，结合图象，逐

一分析各选项中。的取值范围，从而得解.

【详解】令/㈤=0,g(x)=0,得忙一』=Q,%2一4国+2=Q,

利用指数函数与二次函数的性质作出y=[2，T，y=/T|H+2的大致图象，如图所示,

由图可知，当g(x)有2个零点时，。=-2或a>2,

此时“X)无零点或只有1个零点，故A错误；

当g(x)有3个零点时，°=2,此时只有1个零点，故B正确；

当“X)有2个零点时，此时g(x)有4个零点.故C错误，D正确.

故选：BD.

11.BC

【分析】根据准线与x轴的交点求出抛物线的解析式，通过分析即可得出正确选项.

【详解】由题意，

在=2px(p>0)中，准线/与x轴交于点Af(-L0)

0-y=-L解得：P=2,

回抛物线的方程为C：V=4x,A项错误；

设的方程为彳=冲一1,4(玉,%)(玉>0,%>0),B(x2,y2)(x2>0,y2>0),

x=my-1,

联立得y2-4my+4=0,

/=4尤，

则A=16m2-4x4>0,即疗>1,%+%=4加,%%=4，

由题意可知，D(-1,J2),F(1,0),

当A,P三点共线时，当一r=',

-1-1xi-1

式=生=4汴

贝U4一%一4一2,解得％=生,

V)3

则％=26，

代入C的方程可知，A&,年］，川3,26），

根据抛物线的定义可知|AF|=；+l=g，忸司=3+1=4,

^\\BF\=3|AF|,8项正确；

由定义可知，

叫+忸司=占+%+2=”+5+2=；［（必+%）2-2X%］+2=4疗,

团疗>1,\MF\^2,

^]\AF\+\BF\>2\MF\,C项正确;

当NMAF=90°时，

则AM.AF=（-1—菁,_%）•（）.—玉,_必）=-1+x^+yf=—1+4^=0,

解得西=—2+石（负值舍去），才=4卜2+君）,

则3=24石-2，

222

由％%=4,贝1%=

7^-2A/5-2

=2）拈-2x（3+⑹,①

回%+%

假设|BD|=］MD|,则加=1,则%+%=4,

显然不符合①，所以D项错误.

故选：BC.

1,11

12.-0.5——

248

【分析】根据题意，先求出在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率；记

第一次抽到第i号球的事件分别为41=1,2,3）,记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件

分别为耳［=1,2,3）,第二次抽到3号球为事件8,再利用全概率公式求解即可.