2025年高考数学一轮复习：一元二次不等式与其他常见不等式解法（十大题型）（练习）解析版

第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法

目录

01模拟基础练...................................................................2

题型一：不含参数一元二次不等式的解法..........................................................2

题型二：含参数一元二次不等式的解法............................................................2

题型三：三个二次之间的关系....................................................................5

题型四：分式不等式以及高次不等式的解法........................................................6

题型五：绝对值不等式的解法....................................................................8

题型六：二次函数根的分布问题.................................................................10

题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题.......................................................12

题型八：解含参型绝对值不等式.................................................................16

题型九：解不等式组型求参数问题...............................................................17

题型十：不等式组整数解求参数问题.............................................................18

02重难创新练..................................................................20

03真题实战练..................................................................28

题型一：不含参数一元二次不等式的解法

1.（2024•上海崇明•二模）不等式x（x-l）<0的解为.

【答案】（0,1）

【解析】因为x（x-l）<0,所以Ovxvl.

故答案为：（0,1）

2.不等式一/_》+6>0的解集为（）

A.{x|-2<x<3}B.|x|-3<x<2}

C.{x|x<-2,或x>3}D.{x|x<-3,或x>2}

【答案】B

【解析】不等式可化为x2+x-6<0,解得-3<x<2.

故选：B.

题型二：含参数一元二次不等式的解法

3.（多选题）（2024•高三•浙江绍兴•期末）已知aeR,关于尤的一元二次不等式（依-2）（x+2）>0的

解集可能是（）

A.1x卜>2或*<-2}

C.2<x<—

【答案】ACD

【解析】当a=0时，(依一2)(X+2)=—2(%+2)>0=>x<—2；

当。〉0时，(ax—2)(%+2)=d%—2](x+2)>0nx>2或%<一2,故A正确;

kdj

当〃<0时，(ax_2)(x+2)=q(x--|(x+2),

若女2=-2na=-l,则解集为空集；

a

22

若一<-2=>-1<。<0,则不等式的解为：一<%<-2,故D正确；

aa

22

若一>-2=>〃<-1,则不等式的解为：-2<%<一,故C正确.

aa

故选：ACD

4.(多选题)对于给定的实数，，关于实数X的一元二次不等式(％-。)(兀-2)<0的解集可能为()

A.(—8,2)U(〃，+8)B.(一8,Q)U(2,+8)

C.(。,2)D.0

【答案】CD

【解析】当。<2时，此时解集为(。,2)；

当〃=2时，此时解集为0；

当〃>2时，此时解集为(2,〃)；

故选：CD.

5.已知f(x)=x2~(a+l)x+a.

(1)若y(x)>恒成立，求实数。的取值范围；

(2)求不等式/(x)>0的解集.

【解析】(1)=恒成立，

4

•**f(X)=X2—+++—>0对VxGR恒成立,

故A=(_a_l『_4(a+£|<0,化简得A=q(a—2)<0,解得0<a<2,

故实数。的取值范围(0,2).

(2)f(x)=x2~(a+l)x+a>Q,BP(x-a)(x-l)>0；

当。>1时，不等式的解为｛x[x<l或x>。｝,

当a<l时，不等式的解为｛x|x<。或了>1｝,

当a=l时，不等式的解为｛xlxwl｝.

6.若函数〃x)=or2+6x+4,

⑴若不等式/(x)<0的解集为&,4),求的值；

⑵当。=1时,求〃x)>0(bwR)的解集.

【解析】(1)因为一+法+4<0的解集为(；,4

所以。＞0且;2",解得。=2,6=-9.

--4=2=-

2a

(2)-.-0=1,f(x)=x2+bx+4,所以/'(x)>0,即炉+6元+4>0,

又A=E-16,

当△<(),即T<6<4时，/(%)>0的解集为R；

当A=0,即沙=±4时，若b=4,〃x)>0解集为｛小〜2｝,若6=7,/(了)>0解集为｛小#2｝；

当A〉。，即b<T或6>4时，/+灰+4=0的两根为工一0一''2-6,,且有不<々，

22-

此时，/(x)>0的解集为]x|x<_电或*>々+｛；-16,,

综上所述，当T<〃<4时，/(力>0的解集为R；

当匕=4,〃力>0解集为何无〜2｝,当b=~4,〃尤)>0解集为｛小#2｝；

当人<T或匕>4时，/(工)>0的解集为]尤卜<b或彳>.16

7.已知函数/(%)=炉+5«x+6(aeR).

⑴若〃x)<0的解集为何-3<x<6｝,求0,6的值;

(2)解关于x的不等式/(x)+4a2-6>0.

【解析】(1)因为/'("<0的解集为何-3Vx<珏，

可知X2+5ax+6=0的根为-3,6,

3+Z?=-5ci[ci=1

所以W/A,解得匕。，

[-3x8=6[b=-2

故a=1,b=—2.

(2)由〃%)+4。2—6>。，可知x?+5依+44>o,即(x+a)(九+4a)>0,

当a=0时，解得％w0；

当a〉0时，-4tz<-a,解得元>—a或％v-4a；

当〃<0时，-4a>-a,解得或

综上：当a=0时，不等式〃犬)+4/—6>。的解集为卜上。0｝；

当〃〉0时，不等式f(x)+4tz2—6>0的解集为词%>—a或％<—4〃｝；

当〃<0时，不等式%)+4〃2—6>0的解集为{%[x>—4a或x<—〃}.

题型三：三个二次之间的关系

8.关于X的不等式-3尤2+如+”>。的解集为{x|-l<x<2},则m+〃的值为（

)

【答案】C

【解析】因为不等式-：尤2+的+”>。的解集为{x~i<x<2},

所以-L2是方程-9+皿〃=。的两个实根,

17

——x(-l)+mx(-l)+n=O1

m=—

所以解得2.

12

——x2+2m+n=0n=l

I2

3

所以加+〃=一.

2

故选：C.

9.已知不等式依2+法一6<0的解集为{x|-3<x<2},贝I］不等式元2一次一2“20的解集为（）

A.1X|X<-2BJU>31B.卜|一1<尤<2}

C.3-24xW3}D.{x|尤4-1^x22}

【答案】D

【解析】不等式依2+法一6<0的解集为卜卜3Vx<2},贝|一3,2是方程依2+版一6=0的两个根，且。>0,

--=-3+2

a

于是解得a=1,6=1,则不等式V-6x—2。20为/-彳-220，

--=-3x2

a

解得XW—1或X22,所以不等式/一法-2020的解集为{xlxWT或无22}.

故选：D

10.（多选题）已知关于x的不等式加+加+/0的解集为{尤1尤4-3或x24},则以下选项正确的有（）

A.a>0

B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<T2}

C.a+b+c>0

D.不等式C%2_笈+々＜0的解集为卜|X＜或%

【答案】ABD

【解析】关于1的不等式62+法+。之0的解集为{%|%工一3或%24},

贝lj玉=-3和冗2=4是方程依2+加；+(:=0的二卞艮，且Q〉0

-3+4=--

a4>0

贝|J<〃〉0解之得■。=-。

c=-12a

-3x4=-

a

由Q〉0,可得选项A判断正确;

a>0

选项B：不等式乐+。〉0可化为

-ax-12a>0

解之得x＜-12,贝U不等式乐+c〉0解集为*1尤v—12}.判断正确；

选项C：〃+〃+。=。一。一12〃=一12々＜0.判断错误；

选项D：不等式cf—区+〃＜。可化为一12融2+办+々＜0,

即12%2一%一1＞0,解之得卜I%＜或%

则不等式小_法+”0的解集为卜［x＜］或x＞］.判断正确.

故选：ABD

题型四：分式不等式以及高次不等式的解法

x+2

11.的解集为

【答案】{x|-g＜x＜l}

【解析】由黑＞1,可得,一即三三°'

所以(%—1)(2%+1)<。,

解得

所以原不等式的解集为{x|-g＜x＜l}.

故答案为：⑴一如飙

Y—2

12.(2024•高三•福建•期中)不等式七二W0的解集是______.

x+4

【答案】{尤|-4<无42}

【解析】原不等式等价于(尤-2)(尤+4)40,且x+4/O,

解之得-4<xW2.

故答案为：{x\-4<x<2}

13.不等式(炉-2x-3)(x?+4x+4)<0的解集是()

A.或x>3}B.{x|-l<x<2或2Vx<3}

C.{x|-l<x<3}D.{x|-2<x<3}

【答案】C

【解析】(f-2x-3)(x2+4x+4)<0o(x-3)(x+l)(x+2)2<0,

当x=-2时，不等式显然不成立；

当』2时，(尤+2)2>0,所以原不等式o(x-3)(x+l)<0,

解得-l<x<3.

综上，原不等式的解集为{x|-l<x<3}.

故选：C

14.不等式的解集是()

X2-2X-3

A.(—8,_1)3(1,2)°(3,+8)B.(-1,1)0(2,3)

C.(-l,l)u(l,2)D.(1,2)u(2,3)

【答案】B

【解析】

由。3彳+2<0,得(%-1)(%-2)

x-2x-3(x+l)(x-3)，

等价于(尤-1)(尤-2)(x-3)(x+l)<0,

由穿根法可得不等式的解集为(-U)。(2,3).

故选：B

9x—1

15-不等式的解集是一

【答案】｛%1-2<%<-耳｝

o_1Oy_171

【解析】不等式r化为：1--^4<0,即r:^<0,因止匕。+2)(3%+1)<0,解得—2<%<—彳,

3x+l3x+l3x+l3

2r-11

所以不等式^~；〉1的解集是｛幻-2<%<-力

3x+l3

故答案为：｛x\-2<x<-^]

4

⑹不等式."的解集为一

【答案】卜卜

47-6x

【解析】由1>3,可得>0,

2x-l

i7

此不等式等价于（2x-l）（6x-7）<0,解之得：<x<：

26

故不等式3>3的解集为[拈<x<?

2x-l[2o

故答案为：

17.不等式x+二<4的解集为.

【答案】（Y,—1）U（1，2）

【解析】由^+-^<4移项通分，得二一。2<0,即（xf2）<0,

X+lx+1x+1

不等式等价于（X—1）（X—2）（x+l）<0,

所以不等式的解集为（—,T）U（1，2）.

故答案为：（Y）,-1）U（1，2）.

题型五：绝对值不等式的解法

18.（2024•高三•上海•期中）不等式Ix+l|>3的解集是.

【答案】（-«>,-4）口（2,+8）

【解析】不等式9+1]>3等价于（x+iy>9,BPX2+2X-8>0,解得X<—4或X>2,

所以不等式Ix+l|>3的解集是（---4）u（2,+与.

故答案为：（-孔-4）口（2,+8）

19.（2024•高三•上海闵行•期中）不等式（|尤|+2乂|尤|-3）<0的解集是（用区间表示）

【答案】[—3,3]

【解析】因为国+2>0恒成立，

所以由（国+2）（同一3）W0可得国—340,即因43,

解得一3VxV3,

故答案为：[-3,3]

20.（2024•高三•全国•课后作业）不等式的解集为.

【答案】（9,0）5。」）

【解析】当2%-1>0,即时，不等式为x（2x-l）<x,解得g<x<l,

此时不等式解集为

当2x—1<0,即尤wg时，不等式为x（l—2x）<x,解得且xwO,

此时不等式解集为（-.

综上所述，不等式x\2x-]\<x的解集为（-8,0）5。,1）.

故答案为：（ro,o）5°D

21.（2024•高三•上海静安•期中）不等式忖-1|>3的解集为.

【答案】（一8,-2）^（4,+8）

【解析】原不等式可整理为x-l>3或龙解得无>4或x<-2.

故答案为：（T°,-ZWA+ao）.

22.（2024•上海浦东新•三模）不等式卜+2|+卜-2归4的解集是.

【答案】[-2,2]

【解析】当》<-2时，-x-2+2rV4,解得x»-2,此时解集为空集，

当-24x42时，x+2+2-x<4,即4«4,符合要求，此时解集为[-2,2],

当X>2时，x+2+x-2<4,解得尤42,此时解集为空集，

综上：不等式的解集为[-2,2].

故答案为：[-2,2]

题型六：二次函数根的分布问题

23.若关于x的方程/一2or+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数解，则。的取值范围是()

一0°,_1)1>1(1,+00)

C.一0°,U(T+00)D.

【答案】A

【解析】令g(x)=d_2依+。+2,因为方程尤2—2办+4+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数解,

A>0A=4/_4(Q+2)>0

—2<a<1—2<。<1,6.

所以即，，角牛得一?<〃<_1,

g(-2)>0,4+4。+a+2>05

方⑴>。1—2Q+a+2>0

所以〃的取值范围是\

故选：A.

24.关于龙的方程加+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根占,三，且％<1<々，那么。的取值范围是(

222

A.—<QV—B.a〉一

755

22

C.Q<—D.-----<Q<0

711

【答案】D

【解析】当a=0时，依2+(a+2)x+9a=。即为2x=0,不符合题意；

故a片0,+(a+2)x+9a=0即为x~+[1—)x+9=0,

令y=x2+(1+2]x+9,

由于关于x的方程加+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根占,马,且不<1<々，

贝！|丫=冰2+(。+2)工+9。与彳轴有两个交点，且分布在1的两侧，

故x=l时，y<0,即l+(l+2]xl+9<0,解得2<一"，故一2<“<0,

故选：D

25.关于x的一元二次方程(加-2卜2+(2m+1卜+利-2=0有两个不相等的正实数根，则加的取值范围是(

A.m>—

4

—<m<2

4

——<m<2

2

机>一且mw2

4

【答案】B

【解析】根据题意可知；加-2w0=mw2,

2m+1八3

由韦达定理可得-------->0,解得=<相<2,

m-2

A=（2/?J+1）2-4（/72-2）2>0

故选：B

26.关于x的方程f_4g+2m+6=0至少有一个负根的充要条件是（）

33、

A.m>—B.m<-\C.加之一或加«—1D.m

22

【答案】B

【解析】当方程没有根时，A=16m2-8m-24<0,即2病一机-3<0,

3

解得一1<相<5；

A=16m2-8m-24>0

当方程有根，且根都不为负根时，%+%=4加20,

%%=2根+6>0

3

解得机

综上，m>-\,

即关于x的方程％之一4如；+2根+6=0没有一个负根时，m>—1,

所以关于x的方程f一4如+2机+6=0至少有一个负根的充要条件是机<-1,

故选:B.

1+9=。有两个不相等的实数根公々且玉<1<々，那么。的取值范围是（

222

—00,—

7555

【答案】D

A=1+-|-36>0

【解析】设/(X)=Y+[1+：]X+9,2

a)-

则，角毕得：77<a<0f

/(l)=ll+j<0

即0的取值范围为

故选：D.

28.关于x的方程Y+lm-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数机的取值范围是()

A.口目B.MC.小］D.［詈］邛一27

122J(23j\_2)(23」I

【答案】D

【解析】方程V+(加一2)犬+2m-1=0对应的二次函数设为：f(x)=x2+(m-2)x+2m-l

因为方程/+(优-2口+2〃?-1=0恰有一根属于(0,1),则需要满足：

1o

①/(0卜/(1)<0,(2〃1)(3〃?—2)<0,解得：

②函数〃x)刚好经过点(0,0)或者(1,0),另一个零点属于(0,1),

把点(0,0)代入/(x)=f+(M—2)X+2机一1,解得：/77=1,

333

此时方程为灯-5尤=。，两根为o,万，而万武o,i),不合题意，舍去

把点(1,0)代入/(力=/+(〃7-2)3+2〃2-1,解得：〃?=§,

止匕时方程为3f-4x+l=0,两根为1,而ge(O,l),故符合题意；

③函数与x轴只有一个交点，A=(m-2)2-8m+4=0,解得加=6±2夜,

经检验，当m=6-2近时满足方程恰有一根在区间(0,1)内;

综上：实数机的取值范围为［d^{6-277)

故选：D

题型七：一元二次不等式恒(能)成立问题

29.若不等式(a—2)尤2+2.-2)无-4<0对一切xeR恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(—oo,2]B.[—2,2]

C.(-2,2]D.(F-2)

【答案】C

【解析】当a—2=0,即。=2时，不等式为T<0对一切xeR恒成立.

a—2<0

当4X2时，需满足

A=4(a-2)2+16(iz-2)<0,

a—2<0

即。-2+4>。'解得一2<°<2-

综上可知，实数a的取值范围是（-2,2].

故选：C

3。.若不等式?Na对一切X'。恒成立,则实数0的取值范围为（）

A.H，0]B.H，0)C.[0,4]D.(0,4]

【答案】A

【解析】不等式?2即尔恒成立,

当。=0时，不等式为-1V0恒成立,

4<0

当awO时，有A=/+4a<。，解得TV"。，

综合得实数。的取值范围为[T,0].

故选：A.

31.（2024•浙江•模拟预测）若不等式乙2+信一6）尤+2>0的解为全体实数，则实数左的取值范围是（

A.2<^<18B.-18<k<-2

C.2<左<18D.0<k<2

【答案】C

【解析】当上=0时，不等式履?+（左-6）X+2>O可化为-6尤+2>0,显然不合题意;

当左W0时，因为小+（左-6卜+2>0的解为全体实数,

k>0

所以△=("6)2-妹X2<。'解得2<女<18；

综上：2<左<18.

故选：C.

32.Vxe(2,-H»),尤疗+3加恒成立，则实数小的取值范围是

x-2

【答案】（-4,1）

【解析】Vxe(2,+a>),x+^—=(x-2)+^—+2>2./(x-2)--'―+2=4,

X—2X—2yx—2

当且仅当》-2=」，即x=3时，等号成立，

x-2

故4>病+3m,解得—4<m<1,

故实数机的取值范围是(-4,1).

故答案为：(-4」)

33.关于x的不等式苏-2尤+1<0在(0,2］上有解，则实数“的取值范围是.

【答案】(-8』

【解析】由不等式62-2X+1V0以及xe(O,2］可得aV学，

依题意可知徽［"二］,xe(O,2］即可，

\%7max

7r—1〜

令>=—^―,xe(0,2］,

又y=H=_(i-lY+1,由尤式0,2］可得［，+/］，

XV)x\_1J

利用二次函数性质可知y111ax=-(1-1『+1=1，即可得

即实数。的取值范围是(口』.

故答案为：(―」］

34.已知/'(力=3彳2-6*-5(*€口)函数.

⑴求不等式〃x)>4的解集；

⑵设函数g(x)=/(x)-4元?+〃凡若存在xeR,使得g(x)>0,求实数m的取值范围；

⑶若对任意的ae［1,2］,关于x的不等式“BwV-Qa+GN+a+b在区间［1,3］上恒成立，求实数匕的取值

范围.

【解析】(1)由〃x)>4,得3/一6X一5>4，

即廿-2“-3>0,解得x<—l或x>3,

所以不等式的解集为｛x|x<-l或x>3｝；

(2)由题可知g(%)=f(x)-4x2+mx=3x2-6x-5-4x2+«u=-x2+(m-6)x-5,

若存在xeR,使得g(尤)>0,

则不等式—%2+(m-6卜-5>0的解集非空，

则A=(租-6)2-20>0,

解得m>6+2下或加<6-2^/5,

所以实数加的取值范围是｛加机>6+2上或加<6-26｝；

(3)对任意的关于x的不等式/⑺vd-(2a+6)x+a+人在区间［1,3］上恒成立,

等价于对于任意的ae［L2］,不等式2d+2办-(a+〃+5)V0在区间［1,3］上恒成立，

令〃(%)=2尤2+2tix-(a+b+5),对称轴尤二一］,

由ae［l,2］,可知一］€-1,--,

所以力⑴在区间［1,3］单调递增，坂幻1mx=力⑶=5a-6+13,

所以只要当。41,2］时，5a—b+1340恒成立即可，

即当ae［l,2］时，人之5。+13恒成立，

所以此(5“+13)岫=23.

所以实数6的取值范围是［23,+“).

35.(2024•高三•山东滨州•期末)若不等式/一6+4^0对任意xe［l,3］恒成立，则实数。的取值范围

是()

(13~1

A.［0,4］B.(-a),4］C.ID.(-oo,5］

【答案】B

【解析】不等式/一收+420对任意x«l,可恒成立，则V尤目1,3］,aVx+3成立，

4I44

而x+—22jx・一=4,当且仅当冗=一，即％=2时取等号，因此

所以实数。的取值范围是(t,4］.

故选：B

36.若对于任意xw卜FW+1］,都有9+”比-1<0成立，则实数m的取值范围是()

2

C.——,0D.

【答案】B

【解析】由题意，对于也£［根，根+1］者B有/(%)=炉+如一1<0成立,

f(m)=m2+m2-1<0万

\,、/、2/、，解得：----<m<0,

/(m+1)=(m+1)+<02

即实数用的取值范围是一学,。.

故选：B.

37.（2024•高三•辽宁铁岭•期中）已知V]£[1,2],V）/G[2,3],y2-xy-rwc2<0,则实数机的取值范围

是（）

A.[4,+oo）B.[0,+8）C.[6,+oo）D.[8,+co）

【答案】C

【解析】因为ye[2,3],则1e1,1,所以a

又/一冲-〃叱2wo,可得加2[上]一2,令r=2«i,3],

2

则原题意等价于Vre[l,3],m>t-t，即加42TL，

=当”3时，y=»T取到最大值为"=9-3=6,

所以实数机的取值范围是[6,内）.

故选：C

题型八：解含参型绝对值不等式

38.（2024•高三•上海浦东新•期中）关于x的不等式|x-a|+|x-2|之。的解集为R,则实数“的取值范

围是•

【答案】（F」]

[解析]令«—4=0,上一2|=0,得尤=a,尤=2,

由绝对值的几何意义知，

|x-a|+|x-2|表示数轴上的数2对应的点到原点的距离与数。对应的点到原点的距离之和，

则一a]+|x一N|（x一ci）一（无一2）|=卜—,

即忖一同+,一：的最小值为|”2|,又不等式,一4+«_2|加的解集为R,

所以不等式（卜-4+卜-2|焉在R上恒成立，

有心一禁。，

当a40时，显然成立，

当。>0时，有（0-2）2/,解得0<qWl,

即实数a的取值范围为（-8再.

故答案为：（-力』

39.若存在实数x使得不等式|x+l|+|x-a区3成立，则实数。的取值范围是.

【答案】[T,2]

【解析】因为|尤+1+,-。|/x+1)-=当且仅当(x+l)(x-a)WO时，等号成立,

由题意可得|。+1归3,解得

所以实数。的取值范围是[T,2].

故答案为：[T,2].

题型九：解不等式组型求参数问题

v~~_AyI3<0

2,八的解集是关于1的不等式%2—3%+〃<0的

{X-6x+8o<0

解集的子集，则实数。的取值范围为()

A.a<0B.a<0C.a<-\D.a<-2

【答案】A

fr2-4r+3<0

【解析】24on-解得：x«2,3),因为x«2,3)是不等式x2-3x+a<。的解集的子集，故

lx—OX+o<0

/(2)<0

“x)=f-3i要满足：/(3)<0,解得：fl<0,

A>0

故选：A

41.已知关于x的不等式组14狂2+2》+人42有唯一实数解，则实数上的取值集合是.

【答案】|^^,1+V2>

【解析】若左=0,不等式组度fcv2+2x+/2可化为：掇蚁2,不满足条件

若左>0,则若不等式组瓒辰?+2工+左2,也於=2时，满足条件

4k

解得：k=\+近

若上<0,则若不等式组喷任2+2X+左2,竺n=l时，满足条件

解得：k=T

故答案为:,1+垃

42.若不等式组.."的解集是R,则。的取值范围是___

axyx-1）<1

【答案】[一0,0]

尤2-2ax+2>0

【解析】因为不等式组（।的解集是R,

ax[x-l）<1

所以，不等式/-26+220和依（xT）<l对任意实数x恒成立。

由不等式f-2or+220对任意实数x恒成立可得（-24-4x2VO,即a2-2<0,解得-04a40;

/、fQ=0

由不等式办（X-1）<1对任意实数X恒成立，即不等式办2一办一1<0对任意实数X恒成立，所以_]<0或

L、2八八，解得a=0或-4<”0,所以-4<a?0故答案为：[-四,o]

43.已知q&c均为实数，若存在反c使得关于x的不等式组0</+法+（?<1的解集为（0,1）,贝i]a的取值范

围是•

【答案】（T4）

【解析】当"=0时，例如6=-1,。=1,则0<—x+l<l不等式的解集为（0』），符合题意；

当a>0时，由题意可知：二次函数丫=62+灰+。的对称轴为x=g,开口向上，

所以％=0时，c=l,尤=1时，a+Z?+c=l,x=工时，—a+—b+c>0,

242

联立解得：0<a<4；

当a<0时，由题意可知：二次函数>="2+云+。的对称轴为尤=；,开口向下，

所以％=0时，c=0,x=l时，〃+Z?+c=O,x=—时，—a+—b+c<l,

242

联立解得：-4v〃v0；

综上所述：〃的取值范围是（T,4）.

故答案为：（-4,4）.

题型十：不等式组整数解求参数问题

44.（多选题）已知左eZ,若关于x的不等式V-》<依尤-1）只有一个整数解，贝味的可能取值有（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】AD

【解析】关于X的不等式Y-x<-x-l)即X?-伏+l)x+左<0,

即—左）vO,

当左=1时，（x-l）（x-Q＜0即（尤-1）2＜0,解集为空集，不合题意；

当上＞1时，（X—l）（x—左）＜。的解满足1＜无＜上，

要使得关于X的不等式/-无＜左（》-1）只有一个整数解，需2＜上43,

由于左©Z,故左=3；

当左＜1时，（彳一D（x—左）＜0的解满足上＜x＜1,

要使得关于X的不等式无2一尤＜以彳一1）只有一个整数解，需-1V左＜0,

由于％eZ,故左=-1,

综合得上的可能取值-1,3,

故选：AD

45.（2024•高三•北京•开学考试）关于x的不等式/-（4+1卜+。＜0的解集中至多包含1个整数，写

出满足条件的一个。的取值范围_______.

【答案】[T3]

【解析】关于％的不等式x2-（a+l）x+a＜0可化为。-1）。一“）＜。，

当a＞\时，解不等式得l＜x＜a,

当a＜1时，解不等式得a＜x＜\,

因为不等式的解集中至多包含1个整数，

所以1＜。？3或

当。=1时，不等式的解集为0,也满足题意；

所以a的取值范围是[-1,3].

故答案为:[-L3].

46.若关于x的不等式（〃2+1卜+加＜0的解集中恰有三个整数，则实数比的取值范围为（）

A.[―3,—2）＜J（4,5]B.[-2,-l）u（4,5]C.（-3,1）—（4,5）D.[—3,5]

【答案】A

【解析】原不等式可化为（XT）（X7〃）＜0,

当勿＞1时，得此时解集中的整数为2,3,4,则4＜〃?（5；

当加＜1时，得此时解集中的整数为-2,-1,0,则-3W〃?＜-2,

综上所述，加的取值范围是[-3,-2）u（4,5].

故选：A

匐2

重难创新练

1.（2024•广东•一模）已知a,6,ceR且则+法+<；>0的解集为｛可无31卜'是“a+b+c=0”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意，二次不等式依2+bx+c>0的解集为｛x|xwl｝,

a>0

b

贝I」等价于｛---=1，Wfla=c>0,Z?=—2a,即〃+Z?+c=0,

2a

A=b2-4ac=0

当〃+Z?+c=0时，不能推出a=c>0/=-2〃，

所以“改2+匕无+c>0的解集为#1—是“a+。+C=0”的充分不必要条件,

故选：A

2.（2024•甘肃张掖•模拟预测）不等式卜2-3彳<2-2》的解集是（）

,5-M］、

D.

【答案】C

【解析】当％2一3%之0,即或％工。时，

不等式,2—3耳<2—2》等价于％2_3元<2-2%,即/_尤_2<0,

解得-l<x<2,所以一1<X40；

当Y-3X<0,即0<x<3时，不等式,2-3乂<2-2x等价于不等式3X_/<2_2X,即Y-5X+2>0,

解得、子或所以。。〈手

综上,不等式产-3耳<2—2尤的解集是

故选：C.

3.在区间［0,5］内随机取一个实数。，则关于x的不等式d+（2-a）x-2a<0仅有2个整数解的概率为（）

【答案】C

【解析】根据题意可得不等式V+(2-a)x-2a<0等价于(x+2)(x-fl)<0；

因为。c[0,5],所以不等式的解集为(-2,a)；

依题意可得区间(-2,a)内仅有两个整数，即包含-1,0两个整数，可得0<aWl；

1-01

由几何概型概率公式可得其概率为p=--=-.

5—05

故选：C

4.(2024•全国•模拟预测)定义：若集合A2满足存在awA且且存在且

则称集合AB为嵌套集合.已知集合4=同2工-尤2Vo且％屋+},B={x\x2-(3a+l)x+2a2+2a<o],若集

合AB为嵌套集合，则实数〃的取值范围为()

A.(2,3)B.(一8,1)C.(1⑶D.(1,2)

【答案】A

【解析】因为AQ8N0,所有

由Z'-Ywo,得2，4/，

如图，作出函数>=r,〉=2,的图象,

由图可知,不等式2—x2V0(x>0)的解集为[2,4],

所以4=①已一/<0且xeR+}=[2,4],

由尤2-(3a+l)x+2/+2a<0,得(x-2a)[x-(a+l)]<0,

当2a=a+l,即a=l时，则8=0,不符题意；

当即々>1时，则5=(a+l,2a),

由得〃+1>2,

a>1

根据嵌套集合得定义可得。+1<4,解得2<，<3；

2〃〉4

当2〃VQ+1,即avl时，则5=（2a,a+l）,

由avl,得2。<2,

a<\

根据嵌套集合得定义可得。+1<4,无解，

。+1>2

综上所述，实数。的取值范围为（2,3）.

故选：A.

5.（2024•辽宁鞍山•二模）已知当%>。时，不等式：/一郎+16>0恒成立，则实数加的取值范围是（）

A.（-8,8）B.（一8,8]C.（一08）D.（8,+oo）

【答案】C

【角军析】当x>0时，由J?—mx+i6>0得机<X+3，

x

因x>0,故尤限道=8,当且仅当即x=4时等号成立，

xVxx

因当x>0时，«i<x+3恒成立，得加<8,

X

故选：C

6.（2024•陕西咸阳•模拟预测）已知命题"：任意xeg,2,使log；x-m.log?x-3V