2025年高考数学压轴训练11

2025年高考数学压轴训练11

一.选择题（共10小题）

2万

1.（2024•长沙模拟）在△ABC中，D为边BC上一点,NZMC=—，4）=4,AB=2BD,且△ADC的

3

面积为4百，则sinNABD=（）

A/15—A/151+A/3下-6n6+百

8844

――O/TT-

2.（2024•和平区二模）平面四边形ABCE＞中，AB=2,AC=2近，AC±AB,ZADC=—,则莅•福

3

的最小值为（）

A.-A/3B.-2A/3C.-1D.-2

3.（2024•江西一模）如图，正六边形的边长为2&,半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点”

在正六边形的边上运动，动点A,3在圆O上运动且关于圆心O对称，则砺•砺的取值范围为（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

4.（2024•新郑市校级一模）如图，为了测量某湿地A,5两点之间的距离，观察者找到在同一条直线上

的三点C,D,E.从。点测得NADC=67.5。，从C点测得NACD=45。，ZBCE=75°,从E点测得

NBEC=6O°.若测得DC=2若，CE=y/2（单位：百米），则A,3两点之间的距离为（）

A.A/6B.3C.272D.2拒

5.（2024•重庆模拟）已知|洒=百，|5|=1,a-b=0,\c+a\+\c-a\=4,d2-4b-d+3=0,贝

的最大值为（）

A,坦+1B,4C,坦+2D,卫

333

6.（2024•唐山二模）己知圆C:V+（y-3）2=4过点（0,4）的直线/与x轴交于点P,与圆C交于A,3两

点，则乔•（&5+函）的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,2]D.[0,2)

7.（2024•贵阳模拟）在钝角AABC中，C=~,AC=4,则3C的取值范围是（)

8.（2024•启东市校级模拟）已知点P在圆（％-1）2+丁=1上，点4的坐标为（_1,后）,。为原点，则前.Q

的取值范围是（）

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

9.（2024•湖北模拟）己知向量4，b,满足|洲=出|=|6-5],则万•（万+万）=（）

A.-a2B.-b-C.-（a+F）2D.-（a-F）2

2222

10.（2024•河北模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=3,6=2,N54C的

平分线4）的长为孚，则3c边上的高线AH的长等于（）

A44忘4石

333

多选题（共5小题）

11.（2024•湖北模拟）在AABC中，A,B,C所对的边为a,b,c,设边上的中点为A/,AABC的

面积为S,其中。=2若，b2+c2=24,下列选项正确的是（）

A.若4=工，贝|S=3j5B.S的最大值为3力

3

C.AM=3D.角A的最小值为工

3

rvir）

12.（2024•兰陵县模拟）定义运算P=mn-pq.在A4BC中，角A,B,。的对边分别为。，b,c,

qn

CLhc3

若a,6,c满足=0,则下列结论正确的是（）

a+c—b1

A.sinA+sinC=2sinB

B.A:C=1:2

C.角3的最大值为工

3

D.若asinA=4csinC,则AABC为钝角三角形

13.（2024•鲤城区校级模拟）如图，某旅游部门计划在湖中心。处建一游览亭，打造一条三角形。游

览路线.已知回，3c是扇岸上的两条甬路，ZABC=120°,BD=Q3km,BE=05km,/DQE=60。（观

光亭。视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），贝U（）

A.DE=O.lhn

B.当/DE0=45°时，DQ=^-hn

C.AD£Q面积的最大值为今》切？

D.游览路线OQ+QE最长为1.4物?

14.（2024•城厢区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点4（4,0）,8（0,2）,C（0,l）,。是线段。4

上的动点，点。与点尸关于直线8对称.则下列结论正确的是（）

yk

A.当CD//AB时，点P的坐标为Sg）

B.DP•砺的最大值为4

C.当点P在直线回上时，直线DP的方程为4x+3y-8=0

4

D.NQ4P正弦的最大值为一

5

15.（2024•香河县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,E是3c的中点，尸是。C上的

一点，且。产=2FC,则下列说法正确的是（）

91__,,__

A.AF=-AB+ADB.AF=-AB+ADC.AE-AF=28D.AEAF=32

33

三.填空题（共5小题）

16.（2024•泰安四模）在AABC中，a,6,c分别为内角A,B,C的对边，若asinB+Z7sinA=4csinAsinB,

且片一。2=4百，则AABC的面积为.

17.（2024•九龙坡区模拟）设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,已知

«sin-------=csinA,c=2.则。=；S的最大值为.

2------------

_3

18.（2024•和平区校级一模）如图，在AABC中，AB=2,AC=5,cosZCAB=-,。是边3c上一点，

5

ABD=2DC.^BP=-AD,记加=2福+〃就（4〃eR）,贝1]彳+〃=；若点P满足而与而共线，

19.（2024•浙江模拟）己知平面向量花石的夹角为，，方与商的夹角为30,\a\=l,a和方在5上的

投影为x,y,则x（y+sin。）的取值范围是.

20.（2024•东城区模拟）已知平面内点集4={[,P2,A中任意两个不同点之间的距离都

不相等.设集合B={PiPjIVme{l,2,〃}（〃[wi）,0<|）必I”Iptpm\,i=l,2,n],M={F>\PReB,

i=\,2,n}.给出以下四个结论：

①若71=2,贝!JA=A/；

②若〃为奇数，则A/A7；

③若〃为偶数，则人=加；

④若{W，耳耳，…，左耳}屋3，则左,5.

其中所有正确结论的序号是—.

四.解答题（共5小题）

21.（2024•长安区一模）AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设J%sinA=a（2+cos8）.

（1）求3；

（2）若AABC的面积等于g,求AABC的周长的最小值.

22.（2024•一模拟）己知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且/ID是3c边上的

高.(sinA-sinB)(a+b)=(c-亚b)sinC.

(1)求角A;

B

(2)^sin(B-C)=—,a=5,求AD.

10

23.(2024•江西一模)在AABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且AABC的面积为班,

点。是线段BC上靠近点3的一个三等分点，AD=1.

(1)若NADC=%,求c；

3

(2)若麻+4°2=11,求sin/fiAC的值.

24.(2024•曲靖模拟)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2ocosC—%.

(1)求A；

(2)线段上一点。满足诙=,交,|而|=|而|=1,求的长度.

4

25.(2024•回忆版)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知sinA+BcosA=2.

(1)求A；

(2)若a=2,\f2bsinC=csin2B,求△ABC周长.

2025年高考数学压轴训练11

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2024•长沙模拟）在△ABC中，。为边5。上一点，ZDAC=—,AD=4,AB=2BD,且△4X7的

3

面积为4石，则sinNABD=（）

A/15—^/1^+百布-布n百十6

A.------------LJ.------------L.----------LJ.-------

8844

【答案】A

【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算

【专题】数学运算；方程思想；数形结合法；解三角形

【分析】由已知，解得AC=4,得△"心为等腰三角形，在△ABD中，由正弦定理得sin/BAO=」，从

4

而得cos/A4£>=巫，再由两角差的正弦公式即可求得结论.

4

【解答】解：由题意，S△/Aiinjrc=-2xADxACxsinZDAC

=ix4xACx—=4>/3,解得AC=4,

22

所以△4X7为等腰三角形，

则乙M)C=工，故NAD3=3,

66

40BD

在△ABD中，由正弦定理得———=

sinZADBsinZBAD

2BDBD

nPnj_______________________得sinNHAZ)」,

、1~sinZBAD4

2

因为ZAP3=—,所以NR4D为锐角,

6

=-cos/BAD--sinZBAD=岳一6.

228

故选：A.

【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理的应用，属中档题.

2.（2024•和平区二模）平面四边形ABCD中，AB=2,AC=2代，ACYAB,ZADC=—,则布•福

3

的最小值为（）

A.-A/3B.-2A/3C.-1D.-2

【答案】D

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】综合法；数学运算；转化思想；平面向量及应用

【分析】由已知，得A,B,C,。四点共圆，从而判断点。的轨迹是以AC为弦，圆周角为生的劣弧

3

（不含A,C两点），根据数量积的几何意义，得出结论.

【解答】解：由AB=2,AC=2拒,AC±AB,

可得tanZABC=^=5故NA2C=工，

AB3

又NA£>C=—,所以NADC+Z4BC=;r,

3

以3c为直径作圆，则A,B,C,。四点共圆，

如图所示，故点。的轨迹是以AC为弦，圆周角为竺的劣弧（不含A,C两点），

3

则而•通=|莅通|<05/841）=21而|<05/34。，

又|而l-cos/BA。表示而在通上的投影数量，

由图可知，|而|-cos/BAOe[-1,0),

故而•通..-2（此时点。在劣弧AC的中点位置）,

即通•通的最小值为-2.

故选：D.

D

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题.

3.（2024•江西一模）如图，正六边形的边长为20,半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M

在正六边形的边上运动，动点A,3在圆。上运动且关于圆心O对称，则必•砺的取值范围为（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

【答案】B

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】数学运算；整体思想；平面向量及应用；综合法

【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得加・丽=|历『-I,再由|屈|的范围，即可得

到结果.

【解答】解：由题意可得：J^MB=(^+C^(Md+OB)=(Md+OA)(Md-OA)

=|MO|2-|OA|2=|MO|2-1,

当OM与正六边形的边垂直时，I诙?|,“加=n，

当点M运动到正六边形的顶点时，I荻1s=20,

所以|砺后[而,2点],

lUlJ|Md|2e[6,8],

^MA-MB=（\MO^-l）e[5,7].

故选：B.

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题.

4.（2024•新郑市校级一模）如图，为了测量某湿地A,3两点之间的距离，观察者找到在同一条直线上

的三点C,D,E.从。点测得NADC=67.5。，从C点测得NACD=45。，ZBCE=15°,从E点测得

=60°.若测得DC=2B，CE=y/2（单位：百米），则A,3两点之间的距离为（）

A.A/6B.3C.2>/2D.2拒

【答案】B

【考点】解三角形

【专题】解三角形；转化法；数学运算；转化思想

【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解.

【解答】解：在中，ZACD=45°,ZADC=61.5°,DC=2也,

则ZDAC=180°-45°-67.5°=67.5°,AC=DC=2后

在△3CE中，ZBCE=75°,ZBEC=G0°,CE=0,

则ZEBC=180°-75°一60°=45°,

..CEBC

sinNEBCsin/BEC

&X也

BC=CE2EC=^^=G

sinZEBC屈

T

在△A5c中，AC=243,BC=拒,=180°-ZACD-ZBCE=60°,

贝ijAB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=9,解得AB=3,

故A,3两点之间的距离为3百米.

故选：B.

【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

5.（2024•重庆模拟）已知|那=百，|5|=1,a-b=0,|c+a|+|c-a|=4,d2-4b-d+3=0,则|<-2|

的最大值为（）

A,巫+1B,4C.坦+2D,卫

333

【答案】A

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算

【分析】由题意首先得出I忑为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换

为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.

【解答】解：如图所示:

不妨设m=次=(若,0),B=砺=(0,1),反=(m,n\砺=(p,4),A(-区0),

满足I刈=5|5|=1，a-b=0,

X|c+a|+|c-a|=4,即«m+6¥+/+而〃一后+/=4=2卜>2c=2//仁川，

由椭圆的定义可知点C在以A1，A为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，

a=2,c=b=yja1—c2=,4-3=1,

所以该椭圆方程为三+丁=1，

4

而22-45•才+3=0,即p2+«2-44+3=0,即/+(<?-2)2=1,

这表明了点。在圆炉+(,-2)2=1上面运动，其中点E(0,2)为圆心，/=1为半径，

又|3-2|=|反-而|=|CD|,,|CE|+|ED|=|CE|+1,等号成立当且仅当C,D,E三点共线，

故只需求|CE|的最大值即可，

因为点。土+丁=1在椭圆上面运动，所以不妨设C(2cosO,sin。)，

4'

所以|CE|=^4COS20+(sin0-2)2=^4(1-sired)+sirrO-4sin6*+4=J-3s加-4sin。+8,

-47

所以当sin6=-----------=——且。，D,石三点共线时，

2x(-3)3

\c-d\W最大值|CE\inax+1=J-3x(-,)2-4x(-g)+8=+1.

故选：A.

【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

6.(2024•唐山二模)已知圆C:尤2+(y-3>=4过点(0,4)的直线/与x轴交于点尸，与圆C交于A,8两

点，则CP・(C5+函的取值范围是()

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,2]D.[0,2)

【答案】D

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】方程思想；直线与圆；分类讨论；数学运算；综合法

【分析】当直线/斜率不存在时，求出点A,B、C的坐标，直接计算即可；当/斜率存在时，设/:>=自+4,

设A(%,%)、B(X2,y2),联立直线与圆的方程，结合韦达定理表示出。•(瓦+国)关于左的表达式,

由函数的性质即可求解其范围.

【解答】解：设A(玉，%)、8(无2，％)，,••圆C：/+(y-3)2=4,，C(0,3).

①当直线/斜率不存在时，贝lJ/:x=O,

x=O时，0。+(y-3)2=4,y—3=±2,y=3±2,

设%<%，yi=1>%=5，；.4(0,1)、5(0,5),

与x轴交于(0,0),.-.P(0,0),

.­.CP=(0,-3)>CA=(0,-2)>CB=(0,2),

CP-(CA+CB)=(0,-3).(0+0,-2+2)=0；

②当/斜率存在时，设/:>=履+4,

左=0时，/:y=4与x轴无交点，，不符题意.

44

左时，y=0时，0=fcr+4n%=——，/.P(——,0),

kk

联立F，="+4,消去y得(公+1)无2+2代一3=0,

[尤~+(>-3)2=4

2k—3

1'k2+lk2+l

—.4—.——.

CP=(一一,-3),CA=(X1，%-3),CB=(x,%-3),

k2

CP(CA+CB)=CPCA+CPCB

44

=一小-3j,+9--X-3y+9

KK-22

4

=—(玉+%)—3(AX)+4+kx?+4)+18

k2

4

=—(3kH—)(玉+/)—6

4—7k

=_(3左+_)(一^)_6

kk2+l

6左2+8-6F+8-6(Jt2+l)

=TL=一门一

_2

=F7I,

2

■：k^Q,:.k2>0,.-.fc2+1>1,0<———<2,

k2+l

0<CP(CA+CB)<2,

^±.CP-(CA+CB)=Q^0<CP-(CA+CB)<2,

0„CP(CA+CB)<2.

则回・（而+屈）的取值范围为［0,2）.

故选：D.

【点评】本题考查了向量的数量积运算，考查了直线与圆的位置关系，考查了方程思想及分类讨论思想,

属于中档题.

7.（2024•贵阳模拟）在钝角AABC中，C=?AC=4,则3c的取值范围是（）

【答案】C

【考点】解三角形；正弦定理

【专题】解三角形；整体思想；综合法；数学运算

【分析】利用正弦定理、两角差的正弦公式和正切函数的性质求解即可.

【解答】解：由正弦定理得空」

sinAsinBsinB

../5兀

.44sin(------B)cosB+——sinB)1

所以8c=3A=--6—

-----------2-=4(—+

sinBsinBsinB2tanB

因为钝角AABC中，C=-

6

〃A57r八

—<A=--B<TI

26

当3为锐角时，,得0<B<三,则0<tan8V括,

713

0<B<-

2

则一+走>马回，所以2C=4(^^+

2tanB232tanB

71

—<B<71r-

当3为钝角时，2，得叁<B<江,贝han3<-组，

5%万263

0<A=------B<—

[62

贝I]o<—5—+—<—,所以0<BC=4(—5—+—)<2A/3；

2tan5222tan32

综上：BCe(0,2^)|J(~^,+oo).

故选：C.

【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式，同角基本关系的应用，属于中档题.

8.(2024•启东市校级模拟)已知点尸在圆(了-讲+丁=1上，点A的坐标为(-1,"),。为原点，则通•市5

的取值范围是()

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

【答案】D

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】转化思想；转化法；数学运算；平面向量及应用；直线与圆；数学建模

【分析】设P(x,y)，利用平面数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可求得荷•丽的取值范围.

【解答】解：设尸(x,y)，由图可知，荷与Q夹角为锐角，故

又加=(1,-A),Q=(x+l,y-®

贝1|荷•丽=x-回+4,

令t=1"一:+4],则t为点尸(羽y)至！]直线X一也y+4=0的距离,

圆心C(l,0)至!J直线X—括y+4=0的距离d=2,

2

所以故而•9e[3,7].

22

故选：D.

【点评】本题考查平面向量数量积，考查直线和圆的位置关系，属中档题.

9.(2024•湖北模拟)已知向量万，b,满足|。|=出|=除-5|,则无(4+5)=()

A.-a2B.-b2C.」(商+5)2D.-(a-S)2

2222

【答案】C

【考点】平面向量的数量积运算

【专题】综合法；逻辑推理；数学运算；平面向量及应用；转化思想；计算题

【分析】根据已知条件可得向量。石的夹角为60。，a-b=-\a^,再利用数量积运算可得解.

2

【解答】解：由|引=出|=|4-5|,可得向量2石的夹角为60。，

「

1.a•b=1-_I2aI，

2

一一1一1一1一3

a-(a+b)=a2+a-b=—a2+a-b+—b~=—(a+b')2=—a2.

2222

故选：C.

【点评】本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档

题.

10.(2024•河北模拟)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,若c=3,6=2,44c的

平分线相＞的长为孚，则3c边上的高线的长等于()

A右

A4R4/2„.n4

333

【答案】B

【考点】三角形中的几何计算；余弦定理

【专题】数学运算；综合法；解三角形；转化思想；计算题

【分析】由SMC=S谢+S4cB可得cosa的值，进而可求得cos2tz、sin2cz的值，结合余弦定理可得a,

由等面积法S△MC=—2feesin2a=—2a-\AH\可求得|AH\.

【解答】解：由题意知，设44Z)=NC4D=a,

则NR4C=2c,如图所示，

A

B

DC

=lxx^sin«lx2x^sin«

—QQ可得」x3x2sin2a3+

由S8e一丁0ACD

ABA22525

整理得3sin2a=2而sina，BPsin<z(3cosa-^6)=0,

又因为sinawO,

所以cosa=^~，

3

所以cos2a=2cos2a-1=-,

3

所以sin2a=^1-cos1la=,

3

在△ABC中，由余弦定理得/=32+22-2又3义28$2«=13—4=9,

所以a=3,

由兀we=g历sin2aIAHI，可得gx3x2x半=gx3|AH|,解得|AH|=乎.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思

想，属于中档题.

—.多选题（共5小题）

H.（2024•湖北模拟）在AABC中，A,B,C所对的边为a,b,c,设BC边上的中点为A1,AA5c的

面积为S,其中。=2能，b2+c2=24,下列选项正确的是（）

A.若4=工，贝|S=3』B.S的最大值为3/

3

C.AM=3D.角A的最小值为工

3

【答案】ABC

【考点】正弦定理

【专题】转化思想；计算题；数学运算；解三角形；综合法

【分析】对于A,由余弦定理可求历的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

对于3,由已知利用基本不等式可求得公,,12,进而根据三角形的面积公式即可求解.

对于C,由题意可得2荀7=福+工，两边平方，利用平面向量数量积的运算，余弦定理即可求解.

对于。，利用基本不等式可求得6G,12,利用余弦定理可求cosA.!,结合范围Ae（0/）,利用余弦函数

2

的性质即可求解.

22

【解答】解：对于A,若4=%，a=2^3,b+c=24,

3

由余弦定理4=b2+c2-2bccosA，可得12=/+c?—be=24—匕c,可得历=12,

所以AABC的面积为5=!反5苗4=工*12*9=34，故A正确；

222

对于3,因为24=62+。2..2历，可得物;,12,当且仅当6=c=2退时等号成立，止匕时a=6=c，可得A=工，

3

所以AABC的面积为S=U6csinA,」xl2x走=34，故3正确；

222

对于C,因为3c边上的中点为M,可得2加=荏+/，

所以两边平方，可得4初2=荏2+/2+2福・/，

____,Z.22_2

可得41AM|2=c2+/?2+2bccosA=c2+b2+2bc----------------=2(Z?2+c2)-tz2=2x24-12=36,解得

2bc

IAM|=3,故C正确；

对于。，因为24=/+C2..26C,可得Z?C”12,当且仅当Z?=c=20时等号成立,

所以*4=二三24-12_1

,2x12-2

因为Ae（O,%）,可得Ae（O,-J,

3

所以A的最大值为工，故。错误.

3

故选：ABC.

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，平面向量数量积的运算以及余弦函

数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

mD

12.（2024•兰陵县模拟）定义运算P=mn-pq.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

qn

a+b+c3

若a,b,c满足，=0,则下列结论正确的是（）

a+c-b1

A.sinA+sinC=2sinB

B.A:C=1:2

C.角8的最大值为生

3

D.若asinA=4csinC,则AABC为钝角三角形

【答案】ACD

【考点】行列式；正弦定理；解三角形

【专题】解三角形；整体思想；数学运算；综合法

【分析】由新定义运算得a+c=»,对于选项A：由正弦定理边化角后知sinA+sinC=2sinB正确；对于

选项3：可举反例进行判断；对于选项C：结合余弦定理及基本不等式，可求得cosB.!,可知C正确;

2

对于选项。：结合条件可得计算cosA即可判断出A为钝角.

〃+Z?+c3

【解答】解：由=0可知(a+b+c)-3(a+c-Z?)=0,

a+c-b1

整理可知a+c=2〃，

由正弦定理可知：sinA+sinC=2sinB,

即选项A正确；

因为A=3=C=工满足a+c=2b9

3

但不满足A:C=1:2,

即选项6不正确；

22/〃+。、2

Q+C—(----)2।2\c

a2+c2-b22_3(。+c)-2ac6ac—lac__1

由cosB=(当且仅当a=c时取“=)，

2aclacSacSac2

又b<B<7l，

所以3的最大值为工，

3

即选项C正确；

由<2sinA=4csin。可得片=4c2,

解得a=2c9

又a+c=2〃，

74

从而可得c=—=—b9a为最大边,

33

则<0.(0㈤,

2庆2bxgb)4

即角A为钝角，

即选项O正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了正弦定理，重点考查了余弦定理及基本不等式的应用，属中档题.

13.(2024•鲤城区校级模拟)如图，某旅游部门计划在湖中心。处建一游览亭，打造一条三角形。EQ游

览路线.己知他，3c是扇岸上的两条甬路，ZABC=12Q°,BD=03km,BE=0.5km,/£>QE=60。(观

光亭。视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计)，贝U()

A.DE=O.lhn

B.当N£)EQ=45。时，DQ=^~km

C.ADE。面积的最大值为喏加2

D.游览路线DQ+QE最长为1.46〃

【答案】ACD

【考点】正弦定理；解三角形；三角形中的几何计算

【专题】综合法；数学运算；转化思想；解三角形

【分析】A中，在SBE中，由余弦定理可得上的值，判断出A的真假；3中，由正弦定理可得。。的

值,判断出B的真假；C中，在NDQE中，由余弦定理及基本不等式可得QE的最大值,进而求出ADEQ

的面积的最大值，判断出C的真假；。中，ADQE中，由余弦定理可得。Q+QE的最大值，判断出。的

真假.

【解答】解：A中，在AD3E中，ZDBE=ZABC=120°,BD=0.3hn,BE0.5km,

由余弦定理可得DE=yjBD2+BE2-2BD-B£cosl20°=jo.09+0.25-2x0.3x0.5x(-1)=0.75z,所以A正

确；

3中，因为NDQE=60。，DE=0.7,若NDEQ=45。时,

叵

DQDE口"八八sinZ.DEQn„977#,

由正弦定理可得即DQ=--------xO.l=^x—=—^km,所以3不正确;

sinZDEQsinZDQEsinNDQE1030

T

C中，在ADQE中，由余弦定理可得DE?=QD2+QE2-2QD-QECOSZDQE..QD-QE,当且仅当。D=QE

时取等号，

4Q

所以QD.QE,,£>E2=0.49=—,

100

所以SM)QE=—QD-QEsinADQE„—x----x-^―=—^—km~,所以C正确;

^QE221002400

。中，在ADQE中，由余弦定理可得。序=QD2+QE2-2QO-QECOSZDQE=(QD+QE)2-3QO-QE,

所以（QD+QEf=DE2+3QDQE,,DE2+3•（变答马？，当且仅当。£=QD时取等号,

所以（QD+QE）；,4DE"BPQD+QE„2DE=2x0.7=lAkm,所以。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查正弦定理，余弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题.

14.（2024•城厢区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点4（4,0）,8（0,2）,C（0,l）,。是线段。4

上的动点，点。与点尸关于直线CD对称.则下列结论正确的是（）

A.当CD//AB时，点P的坐标为（$令

B.的最大值为4

C.当点P在直线3上时，直线DP的方程为4x+3y-8=0

4

D.NQ4P正弦的最大值为-

5

【答案】ABC

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；与直线关于点、直线对称的直线方程

【专题】平面向量及应用；对应思想；数学运算；综合法

【分析】由题可得点P在以C为圆心，半径为1的圆上，设./POB=9,则尸（25吊外05仇28$2。），可依

次判断A,B,C选项，对。，当直线"与圆C相切时，NQ4P正弦的最大，列式计算可求解判断.

由题意可得点P在以C为圆心，半径为1的圆上，

设ZPOB=0,0<3<—,贝ijP（2sin6cose,2cos26）,

2

对于A,当CD//AB时，可得NPOB=6=NaLB,

sin0=—,cos6=2叵，此时点P的坐标为（上»）,故A正确;

5555

对于5,OP-OA=2sinxcosx4=4sin2^„4,当且仅当6=工时等号成立，故5正确；

4

对于C,当点尸在直线上时，可得ZPOB=e=NOAB,此时点P的坐标为,

直线。P与圆（?:*+（尸1）2=1相切，所以％=--—=所以直线上的方程为4尤+3y-8=0,故C正

kcp3

确；

对于。，当直线心与圆C相切时，NO4P正弦的最大，设直线AP的斜率为左，则直线”的方程为

y=k（x-4）,

有］=,+4幻,解得左=gptanzOAP=—,从而可得sin/OAP=§,

VFTi151517

所以NQ4P正弦的最大值为色，故O