2025年高考数学二轮复习测试卷（江苏专用）

2025年高考数学二轮复习测试卷(江苏专用)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合A={1,2,3,4,5},且AB=B,则集合B可以是()

2x

A.{1,2,3,4}B.|x|x>1|C.|x|2>11D.1.r|log2(x-2)<21

【答案】C

【解析】因为&B=B,所以A=

A中集合{1,2,3,4}显然不合题意；

B中集合为卜,2>1}=q|彳<_1或x>1},也不合题意，

C中集合为{尤忙>1=2。}={小>0),满足题意，

D中集合为{x|log2(x-2)<2=log24}={尤］。<彳-2<4}={尤12cx<6},不合题意.

故选：C.

2.若1+i(i为虚数单位)是关于x的方程必+av+b=0(〃,/?£R)的一个根，则/?=()

A.0B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因为1+i(，为虚数单位)是关于1的方程f+QX+b=0(〃,b£R)的一个根，所以，1-i也是关于工

的方程f+QX+Z?=0(〃,/?GR)的一个根，

-Q=l+i+l-i=2

所以，由韦达定理得:

Z?=(l+i)(l-i)=2

所以,b=2.

故选：B

3.已知函数/（彳）=仙（公+0）（0<9<71）的图象关于直线./对称，则。的值为（）

,71_71_71_271

A.—B.一C.—D.—

12633

【答案】B

【解析】由题得：■/伍=±1，故W+9=E+*eZ）,而0<夕<无，所以夕=；

<07326

故选：B.

4.已知向量”，。满足何=4,恸=2,且〃在“上的投影向量为则cos（a,6）的值为（）

A.--B.《C.--D.-

2288

【答案】A

【解析】因为6在a上的投影向量为-1,所以|叫（4。%=-，

代入忖=4,W=2,化简得cos（a,»=-；.

故选：A.

22

5.过双曲线C：三-斗=1（a>0,b>0）的左焦点歹作C的其中一条渐近线的垂线/,垂足为/与

双曲线C的另一条渐近线交于点N,且MN+MP=0,则C的离心率为（

A.加C.6

【答案】B

【解析】因为MN+M^=0，即MB=MW,

所以点M为FN的中点,

又因为/_LRV,所以NFQW=ZNOM,

又因为/FOM=NF'ON,所以ZF0”=-

3

因为FM=b,FO-c,所以OM=a，

_c_F01

所以,一〃一。"一兀

cos—

3

故选：B.

6.如图，圆台的上、下底面半径分别为小4,且％+弓=12,半径为4的球与圆台的上、下底面及每条

母线均相切，则圆台的侧面积为()

【答案】D

【解析】如图所示，作出轴截面,

。1，。2分别为上下底面圆的圆心，M为侧面切点，。为内切球球心,

则。为JO?的中点，

OMlAB^O^OM=4,0}02=8,OtA=MA=^,0,8=MB=r2,

因为2/+々=12,所以4=12-2小

贝IjAB=M4+M8={+弓=12-弓

过点A作AG，。/,垂足为G,

则BG=0_弓=12-3耳，

在RtAABG中，由勾股定理得AG2+3G2=AB"

即82+(12—=(12-j,解得八=2或々=4,

因为所以6=2,4=8,故AB=10,

所以圆台的侧面积为兀X10X(2+8)=100TI.

故选：D.

7.在VA3C中，ZACB=120°,BC=2ACf。为VABC内一点，AD±CDfZBDC=120°,则tanZACD=

()

A.20B.述C.瓜D.B

22

【答案】B

【解析】在RtADC中，设ZTICD=e[o<e<万]，令AC=x(%>°),

则CB=2x，CD=xcosO,

在△5CD中，可得ZBCD=120。—8,ZCBD=G-60°,

BCCD

由正弦定理

sinZCDBsinZCBD

2x_xcosO_xcosO

得耳―sin(6—60。)-1./百~~

———sine/----cost/

222

4_1

所以百一1A&，

—tan6---

22

可得tan6=±8,即tanZACD='8.

22

故选：B.

8.已知。＞0,beR,若关于x的不等式（6-2乂/+法一8”0在（0,+动恒成立.则。+§的最小值为（）

A.4B.46C.8D.8>/2

【答案】B

【解析】^/(x)=ar-2,g(x)=x2+Zzr-8.

由已知a＞0,〃尤）在（。,+⑹单调递增，

22

当0cxv—时，/（x）＜0；当工〉一时，/（x）＞0.

由g(尤)图象开口向上，g(o)=-8,可知方程g(x)=o有一正根一负根,

即函数g(X)在+8)有且仅有一个零点，且为异号零点；

由题意〃尤)g(x)z。，则当0<x<=时，g(x)<0；当尤>,时，gW>0.

所以2是方程炉+Z?x-8=0的根，则[2]+Z;x——8=0,即Z?=4Q—2,且〃>(),

a\ajaa

所以匕+3=4〃+2之2)4〃*2=4&,

aa\a

当且仅当4〃=—,Bpf-2时等号成立.

a[z7=o

4

则b+—的最小值是4近.

a

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知抛物线C:y2=4x,直线/：>=日-左与抛物线C交于P,。两点，分别过P,。两点作抛物线准线

的垂线尸河，QN,垂足分别是M,N,下列说法正确的是().

A.直线/过抛物线C的焦点

B.当k=1时，P,。两点横坐标的和为5

C.当％=1时，直线/截抛物线所得的弦长为8

D.以为直径的圆与直线/相切

【答案】ACD

【解析】由题意知抛物线C的交点坐标为(1,0),准线方程为x=T,直线/：y=履-左

过定点(1,0),所以直线过抛物线的焦点，故A正确；

y=x-1

当上=1时，直线的方程为联立)=4.消去》得，f—6x+1=0,

设尸(&y),Q(x2,y2),贝也+Z=6,所以P,。两点横坐标的和为6,故B错误；

由抛物线的定义可知，|尸。|=|尸河|+|。2=%+9+2=8,故C正确；

设线段产。的中点为E,贝U|ME|=；(|PM+|QM)=；|PQ|,所以以跖V为直径的圆与直线/相切，故D正确.

故选：ACD.

10.已知函数f(x),g(x)的定义域均为/,若存在函数P(x)=h;+>(>,6eR),使得函数*x)=/(x)-p(x),

G(x)=p(x)-g(x)在/上有尸，(x)<0,G'(x)<0,F(x)>0,G(x)>0恒成立，则称〃x),g(x)为一组“双

向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有()

A./(x)=x3,g(x)=«,Z=(l,+oo)

B.=g(x)=-e^,Z=(e,-H»)

e

C./(x)=sin%,g(%)=cosx,/=(7i,-Hx))

D/⑴=xl：x+l,=/=(1,-KO)

inxx

【答案】BD

【解析】由题意可矢口：F\x)=f\x)-k<Q,G'(x)=k-g'(x)<Q,

等价于f'(x)<3g'^)>k.

且产(x)=/(x)-Ax-6>0,G(无)=Ax+ZJ-g(x)>0,

等价于f(x)>"+6，g[x)<kx+b.

对于选项A：因为〃彳)=%3,/=(l,+8),则尸(同=3/在/内的值域为(3,+8),

可知不存在ZeR,使得((无)<左恒成立，不符合“双向奔赴”函数，故A错误；

对于选项B：因为/=(e,+8),

对于"x)==l,则,(力=_(1)’<0,可知〃无)在(e,+向内单调递减，

ee无

且当X趋近于+8时，/(X)趋近于0,可知〃尤)>。；

对于g(x)=-e-x,则g"(x)=>0且g(x)=-0<0,

可知当k=6=0,满足题意，

所以符合“双向奔赴”函数，故B正确；

对于选项C：因为/(%)>依+6,g(x)<kx+b,则〃x)>g(x),

对于/'（x）=sinx,g（尤）=cosx,/=（兀,+8）,

取特值/（2兀）=sin27V=0,g（2兀）=cos2n=1,可知/（2兀）<g（2兀）,

不合题意，即不符合“双向奔赴”函数，故C错误；

对于选项D：因为/（x）=x1x+l,g（x）=_r-L,/=（l,+x）,

In%x

\xlnx+l1,1[八

对于/（%）=----------=%+——，止匕时x>l,lnx>。，

InxIn%

可得〃无）=尤+」>无，且/（无）=1一下

Inxxinx

iii

对于g（%）=x—，止匕时x>1,—>0,-7->0,

可得g（%）=%<%，g'（%）=l+=>1，

XX

可知当《=L>=0,满足题意，

所以符合“双向奔赴”函数，故D正确；

故选：BD.

11.从地球观察，太阳在公转时会围绕着北极星旋转.某苏州地区（经纬度约12（TE,31°N）的地理兴趣小

组探究此现象时，在平坦的地面上垂直竖起一根标杆，光在宇宙中的弯曲效应可忽略不计，则杆影可能的

轨迹是（）

A.半圆形B.双曲线C.直线D.椭圆

【答案】BC

【解析】根据题意可知，杆影可能的轨迹即太阳的视运动轨迹.

为了得到太阳投影轨迹的表达式，首先先建立竿测影时的观测站坐标系，

再计算太阳每个瞬间在天球（与地球同球心，并具有相同的自转轴，半径无限大的球体）上的位置和观测

平面上的投影，为投影轨迹的整体推导做好单点公式计算.

苏州地区位于3/N,即太阳周年回归运动范围（23°26^~0°~23°26（8）以北，全年太阳在正午时分位于该地

的正南方.

设地理兴趣小组所在的观测地的右手正交坐标系O-XYZ,立测竿处为原点。，

令q,e；,e3分别是坐标轴X,RZ的单位矢量，正南为X轴，正东为F轴，向上为Z轴（如下图）.

那么当测竿指向天顶（杆的正上方）时，其太阳投影在XY平面上.

结合苏州的纬度位置可知，正午时投影指向正北.

Z1

图中立竿测影观测站右手坐标系，黄色点为观测站的位置，纬度为〃；

x轴指向正南，y轴指向正东，z轴指向天顶；

贯穿地球南北极的蓝色轴为地轴，从地心出发的红色轴与观测站的y轴平行，是以存在如坐标系描述的互余

赤经差计算方式.

球面三角形中，若已知两边弧角。涉和夹角/,求对边的弧角C的大小，

由球面三角边的余弦定理可得：cosc=cosacosb+sinasinbcosy(1)

由天文知识可知，赤经差(赤经差是指在天球赤道坐标系统中，

两个天体之间的赤经之差.赤经是描述天体在天球赤道上的位置的一个坐标值，

类似于地球上的经度.赤经差用于确定两个天体之间的相对位置)是绕天轴(地轴的无限延伸)的二面角，

TTTT

于是有以下替换关系：〃—>耳一-Q-—>C,/—>/(2)

如果天球上相同赤经的A5两点，赤纬分别为，点B绕天轴旋转/弧度到达。点，

令AC两点间大圆弧角为。，那么：cosc=sinasinZ?+cos«cosbcos/(3)

TT

如果太阳直射点纬度为。，那么周日视运动即以地心为原点，围绕地轴以的夹角做圆周运动.

当与观测点的经度差为x时，令太阳方向与观测点的x,y,z三个坐标轴的夹角分别为弘氏7,

则观测站到太阳的单位矢量为：d=cosaei+cos万％(4)

应用(2)式时参数系列可得如下的对应关系：

xf,y—>(/7,0,0,5―彳］，z—>(/,乙。,丸)

根据球面三角边的余弦定理的等价公式(3),代入上述对应关系，

则有：cosa=sini//cos^cosA-cosi//sin(/)(5),

cos，=cos。sinX(6),

cosy=cosi//cos^cosA+sini//sin(7),

令测竿投影p与测竿矢量而分别为：p=xex+ye2,h=he3(8),

由于太阳距离地球距离较远，其光线可近似视作平行的直射光线,

从杆顶到投影点的指向：q=p-h=xex+ye2-he3（9）,

x=y=h

与太阳方向矢量）平行则有:

cosacos夕cos/

A-”，­//(sin11/cosd)cos2-cost/sin(6)

解特投影坐f标：x=一_cos.cos0cos/l+sin.sin0(10),

"cos。sin4

y=一(11),

cos-cos6cosX+sin〃sin(/)

即立杆测影的太阳投影坐标表达式.

对立竿测影坐标计算公式（10）、（11）,要得到这些坐标点ay）的整体曲线方程,

其关键在于消除2这个与时间相关参数，让投影轨迹只用测竿长度、观测站和太阳直射点的纬度来表示.

,(hcos-xsini//)sin(b

由（10）式可得:cosZ=---------------------------—

(hcos〃一xsin〃)cos0

再由（11）式并使用上式结果，可得:

sin4—y(cos〃cos°cos/L+sin〃sin°)

/zcos^

通过三角恒等式cos2A+sin2九=1,代入时角正余弦的计算式,

则有：(〃cos〃一;rsin〃)~sin?sin。0=(/zcos"+xsin〃)~cos2°，

两边同时加上：（/7cos"+xsin"）~sin2。,

化简可得：（X?+9+后卜in?0=（xcos0+/zsin"）2（12）,

即立竿见影时在观测平面上的太阳投影的轨迹公式.

苏州地区位于31H因此可以将”=31。乂。=23。260~23。265代入式（12）中，得到双曲线型的太阳投

影（如下左图）.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知/（尤）是奇函数，且当x<0时，/（》）=-y.若"112）=16,贝lja=

【答案】-4

【解析】因为/(x)是奇函数，且当尤>0时,-x<0,则/(x)=-/(-%)=e-口.

又因为ln2e(0,l),/(In2)=16,

所以厂-2=16,将其化成对数式，-aln2=lnl6=41n2,解得口=4

故答案为：-4.

13.已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球，两个袋子均不透明，其中的小

球除颜色外完全一致.现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色，则将取出的2个球全部放入甲袋中，

若2个球不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响，按上述方法重复操作两次后，

乙袋中恰有4个小球的概率是.

【答案】*

【解析】若两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色；

若第一次取球均取到红球，其概率为=

565

第一次取球后甲袋中有4个红球和2个白球，乙袋有1个红球和4个白球，

4194?

第二次取到同色球概率为+=

OJO33

此时乙袋中恰有4个小球的概率是1玄2=U2；

若第一次取球均取到白球，其概率为=74=4

5615

第一次取球后甲袋中有3个红球和3个白球，乙袋有2个红球和3个白球，

第二次取到同色球概率为939331;

oJoJ2

412

此时乙袋中恰有4个小球的概率是不'吴尚；

所以乙袋中恰有4个小球的概率是

故答案为：!|.

14.已知函数设曲线y=/(x)在第一象限内的部分为£,过。点作斜率为1的直线交£于用，

X

过4点作斜率为t的直线交无轴于A，再过A点作斜率为1的直线交E于鸟，过鸟点作斜率为-1的直线

交x轴于4,…，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示.给出下列四个结论：

①的长为停；

②点A的坐标为（2百,0）;

③△&B3A3与A3B4A4的面积之比是(6-0):(2-6)；

④在直线x=5与y轴之间有6个三角形.

其中，正确结论的序号是

【答案】②④

【解析】由可得—（u）,A（2,0）

y=x

由y=（可得与（1+应,&_1）,4（2a,0）,

>=尤-2

所以阊闵=J（1一可+（夜一=2-亚,故①错误

由<一1可得用（石+0,0）,A（273,0）,故②正确

y=x-2y/2

由可得见（2+括,2-君），4（4,0）

y=x—2^3

所以S.4=g（26-2忘）（6-0）=（石-

5^4A=1（4-2A/3）（2-V3）=（2-V3）\故③错误

同理可求3（26,0），4（2#,0），4（2々,0）

因为2«<5<2近，所以共有6个三角形，故④正确

故答案为：②④

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

已知ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,J=L&cosC+«cosB-c=0.

⑴判断「ABC的形状；

（2）若匕=4,且A3c的面积为46，求角3.

【解析】（1）由正弦定理，bcosC+acosB-c-0

=sin3cosC+sinAcosB—sin（A+B）=sinBcosC—cosAsinB=O,

因Be（0,兀），则sin3>0,cosC=cosAnC=A,则。ABC为等腰三角形；

（2）由（1）设等腰三角形两腰，即c,a为x,

则由图结合勾股定理可得，边b对应的高为左万=VZZ，

则2A炉N=4后nx=4,即MC为等边三角形，则角8为土

如图，在多面体ABCDFE中，平面ABCD,平面尸CD_L平面ABCD,AB//CD,AB±AD,FCD

为等腰直角三角形，且C/人DF,AD=CD=2AB=2AE.

（1）证明：防〃平面ADE.

⑵求平面BEF与平面DEF的夹角的余弦值.

【解析】（1）取C。的中点。，连接OB,OF.

因为PCD为等腰直角三角形，且CFADF,所以。'LCD.

又平面CDP_L平面ABCD,平面CDPc平面AfiCD=CD,所以OP_L平面ABCD.

因为4E_L平面A3CD,。尸u平面ABCD,所以O尸〃AE.

又OFU平面ADE,AEu平面ADE,所以。尸〃平面ADE.

因为CD=2AB,所以AB=OD,又OD/74

所以四边形ABOD为平行四边形，则OB〃AD.

因为030平面AT＞E,AOu平面ADE,所以03〃平面ADE.

又OBcOF=O,。氏。尸u平面。引"所以平面。射〃平面ADE.

因为BFu平面所以BF〃平面ADE.

(2)由题可知AB,AD,AE两两垂直，故以A为坐标原点，AB,AD,AE所在直线分别为*轴、＞

轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=1,则5。,0,0),£>(0,2,0),矶0,0,1),尸(1,2,1),

BE=(-1,0,1),EF=(1,2,0),DE=(0,-2,1).

设平面BEF的法向量为克=(占,必,4),

BE-m=0,—Xy+Z]—0,

则由＜

EFm=0,X]+2yl=0,

令X=l,得〃?=(一2,1,-2).

设平面DEF的法向量为A=(9，%，Z2)，

DE-n=0,f-2y?+z9=0,

则由得rIn

令%=1,得“=(-2,1,2).

/m-n11

所以COS(〃Z,")=m|,则平面8印与平面DEF的夹角的余弦值为g.

17.(15分)

22

已知椭圆卬：3+方=1(。>6>0)的左、右焦点分别为瓦，招，点P在椭圆卬上，尸到卬的焦点的最

大距离为3+2后，\PFt\+\PF2\=^c.

(1)求椭圆W的标准方程；

11O

(2)若9尸耳・尸6+32=0,判断点P与曲线尤2-丁=翳的位置关系；

一Q

(3)若椭圆W的右顶点为C,经过点(1,0)的直线与卬交于AB两点，VABC的面积为:，求直线A3的

方程.

【解析】(1)因为尸到W的焦点的最大距离为3+20，

所以。+。=3+2应，

又|尸图+|尸阊=o,所以2a=3fc,

即0=述.，所以a+述a=3+2&,解得。=3,所以c=2&,

所以Z>2="-C2=9-8=1,

所以椭圆W的标准方程为y+/=l.

(2)由⑴知椭圆W的方程为>r=1,

所以由一2衣0),马(2忘,0).

因为9尸片.尸耳+32=0,设尸(x,y),

fV

—+V=1

所以9■

9(-272-x,-y)•(272-x,_y)+32=0

31

T

所以

9尤2+9/-40=0

(3)当直线A8斜率不存在时，|4固=乎，

则以.=：|42,(3-1)='逑*2=逑，不符合题意;

ZAADC2II\/233

当直线AB斜率存在时，设直线A8的斜率为M左20）,

因为直线AB经过点（1,。），

所以直线AB的方程为〉=左（*一1）=丘一人,

联立〈至+V=1,消去,得（然2+1）^-18^2X+%2-9=0,

y=kx—k

由于直线过椭圆内的点，故必有A>0,

设4（石,乂），B（x2,y2）,由韦达定理得士+尤2=1），a

9k+1

所以[A3]="2+1.J（%1+n2）2—4冗1%2

2

〃

=J/+1•18

9〃+1

因为C为椭圆的右顶点，所以C（3,0）,

由点到直线的距离公式得点C到直线y=履-左的距离为」饕,

收+1

所以YABC的面积为；・6病W・坐号-=6弋+,

29H+17^+19r+1

因为VABC的面积为■!，所以=，

5%2+15

o

整理得71/—62/—9=0,所以公=1,或产=-五（舍去），

所以％=±1,

所以直线AB的方程为y=*_]或y=_x+L

18.（17分）

已知函数/(%)=In------+m(x-l)

2-x

(1)判断曲线y=/(尤)是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明；

(2)若/(x)在定义域内单调递增，求加的取值范围；

(2Y)X2+1

⑶若函数g(无)=八一;■|+〃2・一■有两个零点国,々，证明：>e2.

yi1J-X十J.

【解析】(l)令士>°，等价于x(2—x)>0,解得0<x<2,

可知的定义域为(0,2),

丫2_Y

因为/(x)+/(2_%)=ln------Fm(x—l)+ln-------Fm(l—x)=0,

2-xx

可知“X)具有中心对称，对称中心为点(1,0),

显然f(x)不为常函数，可知/(x)不具有轴对称，

所以y=/(x)具有中心对称，对称中心为点(1,0).

(2)因为/(x)=In————I-m(%—1)=Inx—In(2—x)+zn(x-1),

2—%

112

贝1J/'(%)=—+------+m=---------+m,

x2-x2x-x

若y(x)在定义域内单调递增，则ro)>o在(0,2)内恒成立，

又因为x«0,2),则当且仅当x=l时，等号成立，

2

可得了'(X)=-------+m>2+m>0,解得机2-2,

2x-x

所以加的取值范围为［-2,+8).

2x

/人,口工+f/\J2%)x2+11i(2x八x2+11

(3)由题后可得：gM=f\-----+m-------=Inxr+—+m\--1+m------=\nx+mx,

<x+l)x+1.2x(x+1)x+1

x+1

2x

令0<-----<2,解得x>0,

x+1

可知g(x)=lnx+/m:,x>0,

令g(%)=lnx+mx=0,贝卜加=12^,

构建尸(司=处，尤>0,贝I)尸(司=上坐，

XX

令尸'(x)>0,解得0<x<e；令尸(x)<0,解得了>e；

可知"无)在(O,e)内单调递增，在(e,+巧内单调递减，则尸(同4尸鱼)=3,

且当X趋近于0时，F(%)趋近于-8,当X趋近于+8时，F(%)趋近于0,

若函数g(%)有两个零点石，%，可知V=一机与V=/⑺有两个交点，

则0<-m<—,即--<m<0；

ee

In再+mx=0Inx-In%]

又因为{两式相减可得一相=2

Inx2+nvc2=0

三+l]ln三

两式相加可得In%+In/=-相伍+9）=（%+々）（1眸-1哼）=国