2025年高考数学核心考点向量中的隐圆特训（学生版+解析）

第38讲向量中的隐圆

知识梳理

技巧一.向量极化恒等式推出的隐圆

乘积型：~PAPB=A

定理：平面内，若A,3为定点，且西・丽=2,则P的轨迹是以〃为圆心，为

半径的圆

证明：由丽•丽=彳，根据极化恒等式可知，PM2—；AB2=2,所以PM=[；AB2+2,

P的轨迹是以〃为圆心JA+^AB2为半径的圆.

技巧二.极化恒等式和型：PA2+PB-=A

定理：若A,B为定点,尸满足242+尸炉=彳,则尸的轨迹是以血中点M为圆心，

以"1,

\—1——为半径的圆。(4一]AB2>O)

L--AB2

证明：92+冏2=2[尸〃2+(；钻)2]=4,所以加=^——1——，即尸的轨迹是以AB

\A--AB2

中点M为圆心，11--------为半径的圆.

技巧三.定事方和型

mPA2+PB2=n

若为定点，,「牙+成郎二孔,则F的轨迹为圆.

mPA2+nPB2=2

证明：mPA2+PB2=〃nm[(x+c)2+y2]+[(x-c)2+y2]=n

=^>(m+l)(x2+y2)+2c(m-l)x+(m+l)c2-n=Q

2

222(m-l)cc(m+V)-n八

nx+y+—------x+--------——=0.

m+1m+1

技巧四.与向量模相关构成隐圆

坐标法妙解

必考题型全归纳

题型一：数量积隐圆

例1.（2024・上海松江•校考模拟预测）在中，AC=3,3C=4,/C=90。.尸为AABC所

在平面内的动点，且尸C=2,若苏=彳e+〃砺，则给出下面四个结论：

4

①几+〃的最小值为-二；②西•丽的最小值为-6；

3

③几+〃的最大值为:；④丽.丽的最大值为8.

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

例2.（2024•全国•高三专题练习）若正AABC的边长为4,尸为AABC所在平面内的动点，

且24=1,则而.定的取值范围是（）

A.[3,15]B.[9-2A/3,9+2^]

C.[9-373,9+373]D.叶4如,9+4我

例3.（2024.山东荷泽•高一统考期中）在中，AC=5,BC=12,NC=90。/为

△ABC所在平面内的动点，且PC=2,则西.方的取值范围是（）

A.[-22,26]B.[-26,22]C.[-30,22]D.[-22,30]

变式1.（2024•全国•高三专题练习）已知AABC是边长为4—的等边三角形，其中心为

O,尸为平面内一点，若OP=1,则可.而的最小值是

A.-11B.-6C.-3D.-15

变式2.（2024.北京.高三专题练习）"WC为等边三角形，且边长为2,则旃与前的夹

角大小为120。，若|前|=1,CE=EA，则而.而的最小值为.

变式3.（2024.全国•高三专题练习）已知圆Q：x2+V=16,点尸（1,2）,M、N为圆。上两个

不同的点，S.PMPN=O^PQ=PM+PN,则匹的最小值为.

题型二：平方和隐圆

例4.（2024•全国•高三专题练习）已知£,员工,2是单位向量，满足

a=a+2b,|m-c|2+\m-d\^=20,贝！J|c-2|的最大值为.

例5.（2024・上海•高三专题练习）已知平面向量可、而满足|向『+|而『=4,

I涵、2,设用=2期+序，则因e.

例6.（2024・江苏•高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点入（2,0）,3（0,2）,圆

C:（x-a）2+y2=l,若圆C上存在点使得。以则实数。的取值范围为

（）

A,[1,1+2回B.[1-2夜,1+20]

C.[1,1+20]D,[1-72,1+72]

变式4.（2024.江苏.高二专题练习）在平面直角坐标系x0v中，已知直线，：x+y+a=0与

点A（0,2）,若直线/上存在点M满足（。为坐标原点），则实数。的取值

范围是（）

A.A/5——ljB.[—5/5—1,5/5—1]

C.（-2A/2-1,2A/2-1）D.[-20-1,2五-1]

变式5.（2024•宁夏吴忠・高二吴忠中学校考阶段练习）设A（-2,0）,B（2,0）,。为坐标原

点，点尸满足图F+阀Me,若直线履-严6=0上存在点。使得々QO=,则实数

k的取值范围为（）

A.[-4X/2,4A/2]B,卜双-4夜]46+勾

变式6.（2024•江西吉安•高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆

C：（x+l『+y2=2,点A（2,0）,若圆C上存在点M,满足M4?+MO?<10,则点M的纵

坐标的取值范围是.

题型三：定募方和隐圆

例7.（2024.湖南长沙•高一长沙一中校考期末）已知点A（-l,0）,3（2,0）,直线/：

质7-5k=0上存在点尸，使得如2+2尸52=9成立，则实数上的取值范围是.

例8.（2024•浙江•高三期末）已如平面向量入b，a，满足同=34，欠=2,忖=2,

b-c=2>则（a-®.（a-c）的最大值为（）

A.192币B.192C.48D.4石

例9.（2024.河北衡水.高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量4的夹角为

60°,向量Z满足^-（20+1）1+。=0,若对任意的/wR,记|2-百|的最小值为M,则

M的最大值为

A.工+立B.C.1+述D.1+73

2424

变式7.（2024.江苏.高三专题练习）已知Z，B是两个单位向量，与石，B共面的向量C满

足［2一（2+石）./+万.5=0,则同的最大值为（）

A.2V2B.2C•&D.1

变式8.（2024.浙江舟山.高一舟山中学校考阶段练习）已知％、b>工是平面向量，工是单

位向量•若4-4a-e+2e=0，&2—3b-e-\-2e=0,则J—2〃.3+2^2的最大值为

变式9.（2024・四川达州•高二四川省大竹中学校考期中）已知：，%,：是平面向量，：是

单位向量.若非零向量:与［的夹角为?77"，向量］满足/9_5：4+4=0,则T加f6的最小值是

变式10.（2024•全国•高三专题练习）已知平面向量入b,入配满足力人问=2恸，

c=a+b，|e|=l,若/-6、工+8=0,则的最大值是.

变式11.（2024.河南南阳.南阳中学校考模拟预测）已知「、力、「是平面向量，同=1,若非

零向量1与8的夹角为三，向量方满足斤-45心+3=0,则归-同的最小值是.

题型四：与向量模相关构成隐圆

例10.（2024・辽宁大连•大连二十四中校考模拟预测）已知Z,反工是平面内的三个单位向

量，^alb，贝雨+24+懈+25一24的最小值是.

例11.（2024・上海•高三专题练习）已知5、5、%、Z都是平面向量，且

\a\=\2a-b\=\5a-c\=\,若（a,△）=；■,贝1J|石-31+1c-7］的最小值为.

例12.（2024・上海金山•统考二模）已知13、2、2都是平面向量，且

\^=\2a-t\=\5a-^=},若=则斤@+*@的最小值为.

变式12.（2024・全国•高三专题练习）已知线段"N是圆C:（尤-1）2+;/=8的一条动弦，且

\MN\=2y/3,若点尸为直线2x+y+8=0上的任意一点，则|加+珂的最小值为

变式13.（2024・全国•高三专题练习）已知。为坐标原点，A,8在直线尤-〉-4=0上,

|明=2&,动点M满足|恻=则闾的最小值为.

变式14.（2024・全国•高三专题练习）已知是单位向量，7B=0.若向量工满足

\c-a-b\=\,贝！J121的最大值是.

变式15.（2024・新疆•高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习）己知是％、分是单位向

量，a-b=0,若向量"满足|"-£+在|=2,贝/2|的最大值为

变式16.（2024.全国•高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量

c满足（一）@-21）=0,则同的最大值是________.

变式17.（2024•全国•高三专题练习）已知平面向量仄及不满足：G与B的夹角为

g,伍V）.卜闷=0,同+同=2,记”是卜菖-司的最大值,则M的最小值是

变式18.（2024•全国•高三专题练习）已知向量Z，石满足|2Z+B|=3,欠=1,贝U

同+2,+目的最大值为.

变式19.（2024•全国•高三专题练习）已知向量Z,瓦工满足

同=4,忖=2a,＜痴＞=7，伍-4（"-q=-1,贝!|卜-0|的最大值为.

变式20.（2024・全国•高三专题练习）设£,方为单位向量，则@的最大值是

第38讲向量中的隐圆

知识梳理

技巧一.向量极化恒等式推出的隐圆

乘积型：~PAPB=A

定理：平面内，若A,3为定点，且苏•丽=2,则P的轨迹是以〃为圆心，为

半径的圆

证明：由丽•丽=2,根据极化恒等式可知，PW=AB2=2,所以PM=,

P的轨迹是以〃为圆心,；AB2为半径的圆.

技巧二.极化恒等式和型：PA2+PB2=A

定理：若A,2为定点，P满足以2+尸82=彳,则尸的轨迹是以AB中点用为圆心，

L--AB2

V一1——为半径的圆。(4一；筋2>0)

L--AB2

证明：上42+冏2=2[尸〃2+(9钻)2]=4,所以加="——1——，即P的轨迹是以AB

\A--AB2

中点A/为圆心，J--------为半径的圆.

技巧三.定基方和型

mPA2+PB2=n

若A,B为定点，<PA2+mPB2=^,则p的轨迹为圆.

mPA2+nPB2=4

证明：mPA2+PB2=〃=>m[(x+c)2+^2]+[(x-cf+y2]=n

=^>(m+l)(x2+j2)+2c(m-l)x+(m+l)c2-n=0

222(m-Y)cc2(m+l)-n八

nx+y+—-------x+-------——=0.

m+1m+1

技巧四.与向量模相关构成隐圆

坐标法妙解

必考题型全归纳

题型一：数量积隐圆

例1.(2024・上海松江•校考模拟预测)在AMC中，AC=3,8C=4,/C=90。/为AABC所

在平面内的动点，且PC=2,若岳=4回+〃而，则给出下面四个结论：

4

①2+〃的最小值为-彳；②丽•丽的最小值为-6；

3

③九+〃的最大值为了；④丽.而的最大值为&

其中，正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】如图，以c为原点，C4CB所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系,

则C(0,0),A(3,0),B(0,4),

因为PC=2,所以设尸(2cosa2sin。)，贝I]

CP=(2cos42sin0),CA=(3,0),CB=(0,4)，

所以苏=ACA+]LICB=(32,4〃),

2-

—cos9=4

2cos6=3/1

所以,即《；(6为任意角),

2sin6=4〃

万sin8二〃

21

所以丸+〃=]COse+5sin。

43

=-|-cos6*+-sin6»

655

543

=—sin(e+°)(其中sin夕=_,cos°=_),

655

所以2+〃的最大值为3，最小值为一之，

66

所以①③错误,

因为阳=(3—2cos6,—2sin6),PB=(-2cos6,4—2sin9),

所以P3=-2cos0(3-2cos0)-2sin^(4-2sin0)

二4一(8sin夕+6cos0)

=4-10sin（6*+«）（其中sinc=M，cosc=y）

因为-10W-10sin（6>+a）<10,

所以一6V4-10sin（6»+（z）V14,

所以西•丽e[-6,14],

所以西•丽的最小值为-6,最大值为14,

所以②正确，④错误，

故选：A

例2.（2024•全国•高三专题练习）若正AABC的边长为4,P为AABC所在平面内的动点,

且厚=1,则丽.正的取值范围是（）

A.[3,15]B.[9-2A/3,9+2A/3]

C.[9-3G,9+3«]D.[9-4A^,9+4A/3]

【答案】D

【解析】由题知，

以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图,

则3（4,0）,C（2,2⑹,

由题意设尸（cossin。）（0<6><2K）,

则PB=（4一cos仇-sin。）,

PC=（2-cos仇2代-sin6）,

/.而・PC=（4-cos°）（2-cos6）-sinO（2指-sin6）

=9-6cos0—2\/3sin6=9-2x2ccos9+：sin6

=9-4病in（"3，

o<e<2兀,

兀，八兀7兀

:.—<0+—<—,

333

可得9一4瓜布[+酢[9一4疯9+4行）.

故选：D

例3.（2024.山东荷泽•高一统考期中）在AASC中，AC=5,BC=12,NC=9（r.P为

△ABC所在平面内的动点，且PC=2,则可.而的取值范围是（）

A.[-22,26]B.[-26,22]C.[-30,22]D.[-22,30]

【答案】D

【解析】在RtAABC中，以直角顶点C为原点，射线CB,G4分别为x,y轴非负半轴，建立

平面直角坐标系，如图，

令角。（aeR）的始边为射线CB,终边经过点尸，由|尸。=2,得尸（2cos62sine）,而

B(12,0),A(0,5),

于是AP=(2cosa,2sintz-5),BP=(2cosa-12,2sina),

因此AP2P=2cosc(2cosa-12)+2sina(2sina-5)=4-2(5sina+12cosa)

12

=4-26sin(a+°),其中锐角。由tane=不确定，

显然一1<sin(a+cp)<1,则一22<4-26sin((z+^>)<30,

所以西•丽的取值范围是[-22,30].

故选：D

变式1.(2024•全国•高三专题练习)已知"LBC是边长为4—的等边三角形，其中心为

O,尸为平面内一点，若。尸=1,则丽.丽的最小值是

A.-11B.-6C.-3D.-15

【答案】A

【解析】作出图像如下图所示，取A3的中点为。，则OD=4gx且x』=2,因为

23

OP=1,则P在以。为圆心，以1为半径的圆上，

则可加：(川珂.丽-哂卜珂一(AW

=尸£>2_12•又尸。为圆。上的点尸到

44

。的距离，贝"％„=2-1=1,

丽・丽的最小值为-n.

故选：A.

变式2.(2024・北京.高三专题练习)为等边三角形，且边长为2,则荏与阮的夹

角大小为120。，若|而|=1,CE=EA，则赤.而的最小值为.

【答案】-3-V3

【解析】因为AABC是边长为2的等边三角形，且厘=丽，则E为AC的中点，故

BEVAC,

以点3为坐标原点，而、国分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标

系，

则A(后1)、E(50)、5(0,0),设点O(cos6,sin。)，

B£=(V3,0),A5=(cos6»-5/3,sin6»-l),

所以，AS,BE=V3(COS0-V3)>-A/3-3,当且仅当cos，=-l时，等号成立,

因此，莅.砺的最小值为-豆-3.

故答案为：-百-3.

变式3.(2024.全国•高三专题练习)已知圆。：必+/=16,点尸(1,2),M、N为圆。上两个

不同的点，且丽.丽=0若而=而+丽，则匹的最小值为.

【答案】3A/3-A/5/->/5+3A/3

【解析】解法1：如图，因为两.丽=0,所以故四边形™QN为矩形，

设MN的中点为S,连接。S,则OSLMN,

所以时=|0河「_陷2=16-|MS|2,

又APMN为直角三角形，所以网=网,故|0S「=16-|PS「①,

设S(X,y),贝IJ由①可得/+/=16-[G-叶+0-4],

整理得：(支-j+(>T)2=?，

从而点S的轨迹为以为圆心，,为半径的圆，

显然点尸在该圆内部，所以附皿产孚_|PT|=孚-李,

因为国=2阀，所以园,「3百-6；

解法2：如图，因为丽.丽=0,所以PM_LRV,

故四边形PMQN为矩形,由矩形性质，|。闾2+3「=|0"+|0如,

所以16+16=5+|。2「，从而|09=36，

故。点的轨迹是以。为圆心，36为半径的圆，

显然点尸在该圆内，所以阿血「3百-|。尸卜3百一百.

故答案为：3布-布.

题型二：平方和隐圆

例4.(2024•全国•高三专题练习)已知£,反工,2是单位向量，满足

a_Lb,m=a+2b,\m-c^+1m-J|2=20,则|c-2]的最大值为

【答案】半

【解析】依题意，£方可为与x轴、y轴同向的单位向量，设

商二(1,0),石=(0,l),c=(cosx,sinx),J=(cosy,siny)

m=(l,2),.e.|m—c|2+|m—J|2=20=(COSx—l)2+(sinx—2)2+(cosy—l)2+(sinj—2)2

化简得：4=cosx+2sinx+cosy+2siny

运用辅助角公式得:4=0sin(x+0)+逐sin(y+0),tan0二一10,四

4

=sin(x+0)+sin(y+0)=2sin.+、+3cos――-

忑

x—y2

cos___——_______________

即得：2氐in(亨+#，

cos2-%--—--y-______1______>1

故25sin2[t^+,5;

c-d={(cosx-cosyj+(sinx-siny『=j2-2cos(x-y)=4-4cos

故答案为：w

例5.（2024・上海•高三专题练习）已知平面向量可、而满足国『+|两『=4,

|揄=2,设用=2期+浑，则由e

3娓+叵

【答案】

2，2

【解析】因为画2=府+网丁网H而「一2布.丽=2且图H而1=4,所以

PAPB=1-

又因为国+痛（=网2+阀2+2丽.丽=6,所以国+而卜指；

由网2=1通-研=|丽一丽|2=2,所以|丽_•=&；

Q1

根据定=2两+丽=］（而+而）+］（丽一丽）可知：

||PA+PB|--||PA-PB||<|PC|<||PA+PB|+||PA-PB|,

左端取等号时：三点共线且P在线段A3外且尸靠近8点；右端取等号时，P,A,B

三点共线且P在线段AB外且P靠近A点，

所以39后〈巧卜39庭,所以田e3。旦3祈产

故答案为：土丁,*也.

例6.(2024•江苏•高二专题练习)在平面直角坐标系中，已知点4(2,0),3(0,2),圆

C:(x-a)2+y2=l,若圆C上存在点使得|以4「+|向「=%,则实数。的取值范围为

()

A,[1,1+2©B.[1-20,1+20]

C.[1,1+2©D.[1-72,1+72]

【答案】B

【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.

设M(x,y),则(x-2>+_/+%2+(y-2>=12,

所以(1)2+(>-1)2=4,

所以点M的轨迹是一个圆D,

由题得圆C和圆D相交或相切，

所以IVJa-qp+fV3,

所以l-2&WaWl+25/L

故选：B

变式4.(2024.江苏.高二专题练习)在平面直角坐标系中，已知直线/：*+'+。=。与

点A(0,2),若直线/上存在点M满足|M4「+|MO『=i0(。为坐标原点)，则实数。的取值

范围是()

A.(-布-1,布B.[―A/5—1,^5—1]

C.卜20-1,2拒-1)D.[-2A/2-1,2A/2-1]

【答案】D

【解析】设-4)，

,/直线/：x+y+“=0与点A(0,2),直线I上存在点M满足1MA『+|MO|2=10,

・・%2+(%+.)+%2+(—x—a—2)=10,

整理，得4/+2（2。+2卜+片+（。+2）2_10=0①,

•..直线/上存在点M,满足

方程①有解，

A>0,

解得：-272-1<a<2V2-l

故选D.

变式5.（2024.宁夏吴忠.高二吴忠中学校考阶段练习）设A（-2,0）,B（2,0）,。为坐标原

点，点尸满足忸A『+电"16,若直线履-y+6=0上存在点0使得NPQO=,则实数

上的取值范围为（）

【答案】C

【解析】设尸（刘y）,

•.•向2+|PB|2<16,

（x+2）~+y1+（x—2）~+y2„16,即x?+y2„4.

•・•点尸的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面.

若直线区-，+6=0上存在点。使得/月。。二丁,

6

则P。为圆炉+产=4的切线时ZPQO最大，

OP21,,

.,sinZP2O=__=_Bp|oe|„4.

,6.

・,.圆心到直线区-y+6=0的距离d=4,

k„-—.

22

故选：c.

变式6.（2024.江西吉安•高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系尤Oy中，已知圆

C：（x+iy+y2=2,点A（2,0）,若圆C上存在点满足跖^+板2＜期，则点M的纵

坐标的取值范围是.

_77币

【答案】

【解析】解析：设M（尤,y）,

因为跖干+"02＜io,所以（无一2），;/+%2+,2410,

化简得/+〉2-2彳一340,

则圆Cf+/+2彳-1=0与圆C'：f+y2-2%-3=0有公共点,

将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x=-g

代入*+丫2一2》-340可得一立4”且，

22

故答案为：一^y^~■

题型三：定幕方和隐圆

例7.（2024•湖南长沙•高一长沙一中校考期末）已知点A（-LO）,5（2,0）,直线/：

H-y-5左=0上存在点尸，使得尸4+2依2=9成立，则实数上的取值范围是

715y/15

【答案】一/,后

【解析】由题意得：直线/：＞=左（*-5）,

因此直线/经过定点（5,0）；

设点P坐标为（%，%）;,••B42+2PB2=9，

222

年+(x0+1)+2y0+2(%+2)=9

化简得：-2%=0,

因此点〃为V+y2-2x=0与直线/：y=口彳-5）的交点.

所以应当满足圆心（L0）到直线的距离小于等于半径

.1

••C

解得—*昌

故答案为尢e［-吟，吟］

例8.（2024•浙江•高三期末）已如平面向量入b，a，满足同=3』，欠=2,口=2,

B-c=2>则（4—B）.（“—c）—［（a——c）］的最大值为（）

A.1926B.192C.48D.4右

【答案】B

【解析】如下图所示，作砺=£,OB=b，OC=c，取BC的中点。，连接0。，

以点。为圆心，口为半径作圆。，

COSZBOC=COS<S,C>=T^=1)­.■Q<ZBOC<7V,:.ZBOC=-,

M-H23

所以，ABOC为等边三角形，

•。为2C的中点，ODL3C,所以，ABOC的底边2C上的高为|西=2sing=G

11UULUUUULL___________1_____k

a—b=OA—OB=BA，a-c=OA-OC=CA，

所以，仅_,倒_+而总=通./=画.[/＜：05/班0,

所以，"耳«_蕾—矶2二网2.国2_（网网cosNBAcj

=（阿口用sinN朋C『=（2-J，

由圆的几何性质可知，当A、。、。三点共线且。为线段AD上的点时，

AABC的面积取得最大值，此时，AABC的底边3C上的高力取最大值，即

幻ax=|而H闻=，则（S&BC）加=；X2X4g=4若，

因此，（0-石）.（a-c）-的最大值为4*1代）=192.

故选：B.

例9.（2024•河北衡水•高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量最的夹角为

60°,向量"满足^-（24+0£+,=0，若对任意的feR，记|"-居"I的最小值为〃，则

M的最大值为

A.L走B.C.1+述D.1+73

2424

【答案】A

【解析】由忑2一（2.+力1+，=0推出，2/+。]=_』+包&L=J_,所以

'，2（21244

下一出产=:，如图，忑终点的轨迹是以J为半径的圆，设至=耳，OB=e2,OC=c，

22/

OD=te[,所以IE-招I表示8的距离，显然当CD，。1时1^-q1最小，M的最大值为圆

心到Q4的距离加半径，即=L与1160。+1=2叵，

max224

故选：A

变式7.（2024.江苏.高三专题练习）已知£,B是两个单位向量，与£,5共面的向量才满

&c2-（a+b）-c+a-b=0,则同的最大值为（）

A.2A/2B.2C.V2D.1

【答案】C

【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得(e-彷，G-B),设

DA=a,DC=b,DC=c,

则6-汗=近，c-b=BC,则点C在以AB为直径的圆。周上运动，由图知：当

时，LDCRQCI，^ZADC=0,利用三角函数求同的最值.由^一(G+B).1万.5=0得：

(c-a)-(c-b)=0,BP(c-a)1.(c—b),

设DA=a,DC=b,DC=c,

贝(]c-b=BC,

则点C在以A8为直径的圆。上运动，

由图知：当DCLA2时，|。（7囹。。|,

设ZADC3

则|DC|=|DOI+1AO|=sin0+cos9=A/2sinf+

jr

所以当。=］时，LDC|取最大值行，

故选：C.

变式8.(2024.浙江舟山.高一舟山中学校考阶段练习)已知Z、B、2是平面向量，工是单

位向量.若7-47工+2/=0，矿―3祇工+2/=0，则7—27B+2^的最大值为

【答案】7

【解析】因为14£."+2二=0,则卜-2#=2,即

因为片_3加工+27=0，即倒一可.e一2m=0,

作OA=a，OB—b>OE=e<OC=2e>贝!J，-2e|=|CA|=,

色-4仅-2")=丽.函=0,则EB_LCB,

固定点E,则E为。C的中点，则点B在以线段CE为直径的圆。上,

点A在以点C为圆心，血为半径的圆C上，如下图所示：

/一2£0+2片=口一单+F=网2+烟2=(回|++倒2,

设ZBCE=O,则函=cos。，

因为|院卜2,OB2=(CB-CO)2=CB2-2|CB|-|cd|cos(9+CO2=4-3cos261,

i^a~-2a-b+2b<(|BC|+A/2^+|(?B|=(COS6+0)+4-3COS20

=-2cos20+2A/2cos0+6=-2cos"*]+7<7,

当cos。=玄时，等号成立，即7_27后+42的最大值为7.

故答案为：7.

变式9.(2024・四川达州•高二四川省大竹中学校考期中)已知:，1,：是平面向量，：是

.TTOff

单位向量.若非零向量;;与W的夹角为(，向量了满足/_5：3+4=0,则ai的最小值是

【答案]包

4

【解析】由*_5H+4=0得,（。一4e）.（b-e）=0,

故（。一4e）_L（A—e），或〃=e或匕=4e，

设&=06B=。以。为原点，次的方向为了轴正方向，建立如图所示坐标系,

则A。，。），令C（4,0）,幅二二盛,日一晨二5,

由（。一40）_1（6—£），或人=e或匕=4e，

53

得5点在以（5,0）为圆心，I为半径的圆上，

又非零向量：与：的夹角为（，则设，的起点为原点，则终点在不含端点的两条射线

y=土班兀，（x>0）上，

则a-b的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心（；,0）到直线

的距离减去半径，不妨以y=A为例，

则a-b的最小值为8x|35二-6

22~4

故答案为：506

4

变式10.（2024・全国•高三专题练习）已知平面向量入加、入配满足加同=2W，

"=Z+卜|=1,若-62."+8=0，则c,e-]C的最大值是.

【答案】3M-7

6

【解析】因为6£"+8=0，即7―67工+97=1，可得p—3a=1,

设e=(l,O),a=(x,y),贝!]〃-36=(兀一3,丁)，则(％-3)2+,2=晨

Ix=3+cos0一/、

设jy—sing，则a=(3+cosasin<9),

sin。3+cos。sin。3+cos。

因为日口=2愀，则人=或人=

22~2~2

「八sin。3.八cos。

因为Z=£+B，贝北=3+cos8------,—+sin0d------或

222

「八sin83.八cos0

3+cos8+-----,——+sm〃------

222

2

=：或(相—3)2+_5

令c=(m,*,贝!J(m—3)=一,

4

2

35

根据对称性,可只考虑（机-3）2+n

24

上一一1-21/22、13

由十几2

——c=m——33Vm+n7=——3+“

记点"3,5）、8c、P（m,n）,则lABkJbd=~2~,俨川='

所以，|而卜国+祠.网一网卜非,

当且仅当点M为线段48与圆"-3）2+.-|[=（的交点时，等号成立，

_一]—2"3V2-V53

所以，c-e——c+3」+—

3312；434

3710-7

―_6―

故答案为：3M-7

变式1L（2024•河南南阳・南阳中学校考模拟预测）己知三、力、£是平面向量，同1,若非

零向量日与Z的夹角为三，向量B满足庐-4“+3=0,则卜-同的最小值是

【答案】V3-1/-1+V3

【解析】设日=(%y),e二(1,0)3=(兀,〃)，则由］得

a-e=\a\^e\cos^,x=-^ylx2+y2,可得y=土括x,

由庐一4。•5+3=0得病+*一4m+3=0,(m-2)2+n2=1,

因此，-Z?|=y/(x-m)2+(y-n)2表示圆(冽-2)2+*=i上的点(根,〃)到直线,=±J琵上的

点(x,y)的距离；

故其最小值为圆心(2,0)到直线y=土底的距离d=手=6减去半径1,即班-1.

故答案为：A/3-I

题型四：与向量模相关构成隐圆

例10.(2024・辽宁大连.大连二十四中校考模拟预测)已知Z石工是平面内的三个单位向

量，^alb，则口+2［+|32+23—2《的最小值是.

【答案】26

【解析】•.•及£］均为单位向量且4；•不妨设a=。,0),5=(0,1),e=(x,y)且

x2+y2=l,

:.a+2c—（^2x+l,2y^,3a+2^-2c=（3-2x,2-2y）,

二.区+2石+桓+25-=J（2x+l『+4y2+^（3-2%）2+（2-2y）2

=2［卜曰+y2+1X~l)+()；~1)2

.・・B+2石+桓+2方-2目的几何意义表示的是点(x,y)到和(|,1)两点的距离之和的

2倍,

点在单位圆内，点］川在单位圆外,

则点(x,y)到［-川和［|1J两点的距离之和的最小值即为、;，o］和(1,1)两点间距离,

所求最小值为2（0-1）2=2技

故答案为：2石.

例11.（2024.上海.高三专题练习）已知£、石、人，都是平面向量，且

\a\=\2a-b\=\5a-c\=},若=则|B-d|+1c-d|的最小值为

【答案】A/29-2

【解析】

作图，a=OA，贝122=砺，5a=OC>

因为|2万-同=1,所以石起点在原点，终点在以8为圆心，1为半径的圆上；

同理，|5万-4=1,所以"起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，

所以|后-2|+|工-7|的最小值则为（忸。|+|8|）皿-2,

因为@4=?,忸q=忸割，当B',D,C三点共线时，

（\BD\+\CD\lm=\B'C\=4^=4^，所以（忸0+|。|）皿一2=4_2.

故答案为：729-2.

例12.（2024・上海金山•统考二模）已知£、B、入万都是平面向量，且

问=悔一.=忸一q=i,若G，2）=3，则忸_1+*@的最小值为.

【答案】技一2/-2+亚

【解析】如图，设次=2d，OM^5a，OB=b，OC=c>历=2,

则点3在以A为圆心，以1为半径的圆上，点C在以M为圆心，以1为半径的圆上,

所以忸_4+*1卜国+国计词-1+|网-1=网+1西-2,

作点A关于射线ON对称的点G,贝I”而卜网，且NGOA=g,

所以网+|而闫两=（4+25=厉（当且仅当点GQM三点共线时取等号）

所以忸-2|+'-@的最小值为亚-2，

故答案为：A/29-2.

变式12.（2024.全国•高三专题练习）已知线段MV是圆C:（x-l）2+y2=8的一条动弦，且

\MN\=2^/3,若点尸为直线2x+y+8=0上的任意一点，则|两+所|的最小值为

【答案】26

【解析】如图，P为直线2x+y+8=0上的任意一点,

过圆心C作CDLMV,连接尸£>,由|肱V|=26,

可得|CD|==A/5)

^\PM+PN\=2|PD|>2(|PC|-|CD|),当C,尸,O共线时取等号,

又。是MN的中点，所以C尸人肱V,

所以口。小=工”.

贝I］止匕时|W+«V|=2|PD|=2A/5,

；网+码的最小值为26.

故答案为：2出

变式13.（2024・全国•高三专题练习）已知。为坐标原点，A,8在直线尤-y-4=0上,

\AB\=2s/2,动点M满足1M=则闾的最小值为.

【答案】述/:0

33

【解析】设M（龙,）卜4（毛,％）,3（苍,%）,

因为|AB|=2&,所以|48『=（网-々）2+（%-%）2=8,

M\,,

因为血面=2,所以|肱41「7=4眼同19，

22

（%-玉）2+（y-“）2=4（x-x2）+4（y-y2）,