2025年高考数学复习重难点训练：三角函数（解析版）

高考仿真重难点训练04三角函数

一、选择题

1.下列角中与乃终边相同的角是（）

6

A.-30°B.-40°C.20°D.390°

【答案】D

【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到-9乃=-330。，结合终边相同角的表示，即可求解.

6

【解析】由角度制与弧度制的互化公式，可得%=-330。，

6

与角-330。终边相同的角的集合为4={a|a=-330。+h360。,k^Z},

令左=2,可得a=390°,

所以与角a=-330。终边相同的角是a=390。.

故选：D.

2.下列函数中，以2兀为周期,x=W为对称轴，且在上单调递增的函数是

B.y=2cosfx^

A.y=sin2x-yI+

C.y=2|sinx|+sinx

【答案】C

【分析】结合题意分别判断选项中三角函数的周期性、对称轴和单调性

【解析】A-.y=sinhx-^\,T=^-=^,故不满足周期为2万，故排除A

T=牛=〃令x+；=eZ、,

B:y=2cosIx+yI,2,

jrjr

即x=-]+bz■（左eZ）,当左=1时，尤=万为对称轴,

当xe[o,5时为单调减函数，故排除3

D-y=tanl|+^j,T=l=271,但是正切函数不具有对称轴，故排除O

综上，故选C

【点睛】本题考查了三角函数图像的周期性、对称性以及单调性，熟练运用三角函数知识来求出结果，属

于基础题

71

3.已知cosa+己则sina)+sin12a一巳)

3

46

AA.—10B.cD.-

99-t5

【答案】A

【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解.

二cosa+--cos2a+一

I6；I3；

110

2-

39

故选：A.

4.已知函数/(x)=2sin(。尤+0)(。>0,0<31)的部分图象如图所示，将函数/(x)的图象向左平移9个单位

0

长度后得到函数g(x)的图象，则在下列区间上函数g(x)单调递增的是()

【分析】由/(X)的图象，棱台三角函数的性质求得/■(尤)=2sin(2尤-攵，进而得到g(x)=2sin2x,结合正

弦型函数的性质，即可求解.

【解析】由函数〃x)的图象，可得？=寸，解得7=兀，所以0=2,

Sir5兀Sir

所以〃x)=2sin(2x+。)，又由/()=2sin(2x-+0)=2,即sin("+))=1,

12126

57rJr

可得---=—+2左兀，左£Z,即"=------1-2kn,kGZ,

623

因为|夕|〈兀，所以夕=-々，所以/（x）=2sin（2x-g）,

所以g（x）=2sin21x+—-=2sin2x,令一百+2EK2xW至+2如左EZ,

I6J3」22

兀71

尚毕得---\-kn<x<—+/ai,keZ,

44

所以函数g（无）的单调增区间是一E+左兀^^:+配,k^Z.

故选：C.

5.将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆.在漏斗下方纸板，板的中

间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，

这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像.它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随

时间f（横坐标）变化的情况.如图所示，已知一根长为/cm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动

时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s=2cos2,,其中g土980cm/s?,

兀。3,则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（）

【答案】C

【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式即可求解.

【解析】由s=2cos2

由函数的图象可知函数的周期为0.4,

0.16义980

,即/=心al7.4cm.

71-?-

故选：C.

6.已知函数了=$吊2、《-5|-;®>0）在区间上有且仅有3个零点，则实数0的取值范围是（

)

A.（2,4）B.（l，"C.f|,4D.（2,4]

【答案】C

【分析】根据二倍角公式得y=-2cos（2ox-1］+!，进而根据求方程得x=业或无=良/eZ,即可

列举出正的零点，列不等式即可求解.

【解析】由尸$出2"-。一；（0>0）可得了=-；<：05（28-；］+；,

1（c7lA1_（c7lA1_兀।兀”,r，

令A*—cos2coxH——0COSLCDX|二一二^2cox—i—F2左兀，左£Z,

2（3；413；233

所以x=（"+l）兀或工=竺，左eZ,

3。co

故函数的正零点从小到大排列为：学，…，

3（03G3①3co3G

要使在区间上有且仅有3个零点，需要满足学<g且察2］，解得,<oV4,

（2J3®23®23

故选：C

7.若“=log83/=0.1^,c=lMsin?2024），则下列大小关系正确的是（）

A.b<a<cB.c<b<a

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及正弦函数的性质，分别求得凡Ac的取值范围，即可求解.

【解析】由对数函数单调性，可得log8V§=；<bg83<log88=l,所以g<a<l；

厂由LL1

因为0<0.1£=仪;1所以。<6</<”1,

又因为0<sin22024<l,所以In［in?2024）<0,即c<0,所以c<b<a.

故选：B.

8.已知/'（x）=FmH:V2,若存在实数占«=1,2,3,4,5）,当王<工小（i=1,2,3,4）时，满足

Ie,x<u

5

■/'（占）=7'（%）=f（易）=/（匕）=/（工5），则2%/（国）的取值范围为（）

A.（一4,；B.（一44UH［一）

【答案】D

【分析】由函数性质，得％+三=1，匕+%=3,将问题转化为求（再+4）炉的取值范围，构造函数

g(x)=(x+4)e"(x<0),利用导数求函数g(x)的值域即可.

【解析】作出函数仆)《史o°K2的图象如图,

兀13兀3

当0«xV2时，0«7ixV2兀，由◎=—得％=—,由7LX=—可得％=—,

2222

由图可知，不<0,点(尤2，/(切)、(退,/口3))关于直线X=；对称，则%+%=1,

点卜4，/(匕))、(%,/(%))关于直线X=|对称，则匕+毛=3,

5

所以zx/(再)=(占+电+项+%+%)/a)=a+4)/(再)=(再+4)卜,

Z=1

令g(x)=(x+4)e",其中x<0,

g,(x)=(x+5)ex,当x<-5时，g'(x)<0,g(x)在(-8,-5)上单调递减,

当-5<x<0时，g'(x)>0,即函数g(x)在(-5,0)上单调递增，

所以，当x<0时，g(x)mm=g(-5)=-5，

当x<-4时，g(x)<0；当一4<x<0时，g(x)>0,则g(x)<g(O)=4,

所以的取值范围为-g,4；

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是利用正弦型函数的周期性和对称性，将问题转化为求函数

8(尤)=(尤+4户(工<0)的值域，求值域时，除函数的单调性外还要注意函数的取值特点.

二、多选题

9.下列化简正确的是()

A.若Oe11,"J,贝!!J-2sin("+6卜祖|*一9)=sine-cose

sin(-a)

B.=cosa

tan(360-a)

sin(7r-a)

C.----；-------Y=tana

cos(»+a)

cos(九一a)tan\-7i-a

D.=1

sin(2^--or

【答案】AB

【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系逐一证明即可.

.0

【解析】l-2sin(〃+6)sin=4-2sin0cos6=4sin：-cos。))=sin6-cos6,故A正确;

sin(-a)-sinacosa

故B正确;

tan(360。-a)一idnCcsmcc

sin(»—a)_sina

=—tancc,故C错误;

cos(7r+a)—cosa

cos(^--a)tan(-^--a)—-cosa・(-tana)_sina

=-1,故D错误;

sin(2%-a)-sina-sina

故选：AB

71

10.已知函数/(x)=cosCOX~\—(®>0),则()

4

A.若/(x)的图象向右平移;个单位长度后与/(x)的图象重合，则。的最小值为1

B.若/(x)的图象向左平移;个单位长度后得到函数y=sins的图象，则。的最小值为5

C.若函数|/(刈的最小正周期为:，则0=4

D.当o=l时，若/(x)的图象向右平移;个单位长度后得到函数g(x)的图象，则方程飙到+，0=1

有无穷多个解

【答案】BC

【分析】对于A,B,根据图象平移规则得到。的取值，再由左eZ,即可得到。的最值；对于C,根据函数

的最小正周期求解即可；对于D,先求出g(x)的解析式，再对方程进行换元化简，讨论即可得到方程解的

个数.

717171con7i71

【解析】对于A项，因为/X--=cos(0X--+—=coscox-----+-=cos①X4—

4444

所以-*3JeZ,即。一h又。>。，所以。的最小值为8,故A项错误;

71710)7171

对于B项，因为/卜+：=cos。x+_+一=COSCOX+—F—=sin奴,

44I44

〃，冗7T7T

所以---1——...F2k7i,ksZ,即g=—3+8左，keZ,又G>0,所以刃的最小值为—3+8=5,故B项正

442

确.

对于C项，因为函数［〃x）|的最小正周期是/■（%）的最小正周期的一半，所以/'（X）的最小正周期为所以

2717T

解得0=4,故C项正确.

CD2

7171兀

对于D项，当。=1时，/（x）=cosX+-，所以g(x)=/cosX---1"一=cosx,方程

44

11

|g(x)|+=|cosx|+二|cosx卜」一=1

g(附cos|x|COSX

令cosx=f,则W+Ll,Ze[-l,o)u(o,l],当/e[T,0)时,-t+-=l,即<+”1=0,所以仁士2叵(舍)

tt2

或上士立

（舍）;

2

当时，，+1=1,即/-+1=0,无解.

1

综上，|g(x)|+=1无解，故D项错误.

g(W)

故选：BC.

11.已知/(%)=同11%|85%+511121,则()

/（X）的图象关于点U，oJ对称

A.

B./（无）的值域为-£3

C.了（可在区间（0,50）上有33个零点

3

D.若方程/卜）=^在（0/）（/>0）有4个不同的解%（i=l,2,3,4）,其中为〈尤,+］（/=1,2,3）,

55TI85兀1

贝U再+'2+%3+、4+，的取值范围是12,12J1

【答案】AB

【分析】根据题意可得〃兀-x）=-〃x）,从而可对A判断；由题意可得了（X+2兀）=〃x）,则2兀为/（X）的

一个周期,不妨讨论［0,2可内的值域情况,从而可对B判断;令〃x）=0,可得sin尤=0或cosx=0,即x=

4Qir49TT

(左eZ),从而可对C判断；根据/x)=:分情况讨论得到等＜/4等，网+X2+鼻+尤4=5兀，从而可对

41212

D判断.

【解析】对A：由

/(TI-X)=|sin(K-x)|cos(K-x)+sin2(n-x)=|sinx\x(-cosx)-(sin2x)=-|sinx\cosx-sin2x=-/(无)，

所以ygx)+〃x)=o,则/(x)的图象关于go)对称，故A正确；

对B：由/(x)=|sinx|cosx+sin2x=|sinx|cosx+2sinxcosx,

因为/(x+2冗)=|sin(x+2K)|cos(x+2TI)+sin(2x+4TI)=|sinx|cosx+2sin2x=f(x),所以/(%)的一个周期为

2兀,

不妨讨论[0,2兀]一个周期的值域情况，

TT

当OWxW—,止匕时sin%20,cos%20,

2

113

贝U/(x)=|sinx|cosx+sin2x=—sinxcosx+sin2x=—sin2x+sin2x=—sin2x,

jr3

因为xe0,-,所以2xe[0,Ti],则sin2xe[0,1],则/(x)e0,-；

兀

当一＜%«兀，止匕时sin%20,cosxW0,

2

113

贝I/(x)=M11x|cosx+sin2x=—sinxcosx+sin2x=—sin2x+sin2x=—sin2x,

因为•，兀，所以2%£(兀,2兀],则sin2x£[-l,o],则-1,0,

3兀

当兀一,止匕时sinxV0,cosx«0,

2

贝Uf(%)-|sinx|cosx+sin2x=-sinxcosx+sin2x=-；sin2x+sin2x=gsin2x,

因为》相无号,所以2xe(2%3可，JJlJsin2xe[0,l],则0,；,

3兀

当一＜x＜2K,止匕时sinxW0,cosx＞0,

2

则f(x)=|sinx|cosx+sin2x=-sinxcosx+sin2x=-Jsin2x+sin2x=：sin2x,

因为X£(g,27i,所以2x«3兀,4兀],贝心吊2%£[一1,0],则-p0,

综上所述/(x)£,故B正确；

对c：/（x）=cosX（|sinx|+2sinx）,令/（x）=0得sinx=0或cosx=0,可得x=1■左兀（左EZ）,

417r177T

所以辞<50,子>50,所以〃x）在（0,50）上有31个零点，故C错误；

「33-

对D：〃x）是以2兀为周期的周期函数，当工€（0,兀]时〃x）e,

则〃⑼=；在（0,可上有2个实根为，莅，且再与马关于x=《对称，所以玉+马=];

当XC（兀,2可时/'（x）e,则/（尤）=^在（兀,2句上没有实根，

则〃m=；在（2无,3可上有2个实根与，x4,且无3与X,关于，对称，且马+匕=£,

LIC兀C5兀

且X[=2兀H---,%二2兀H----,

12412

「]]13

当xe（3兀,4兀]时f（x）e,则〃x）=,在（兀,2兀]上没有实根,

当xe（47t,5可时，“X”、有2个实根，但〃x）只需有4个零点，

29兀49兀

所以---<t<----,又因为%+%+冬+工4=5兀，

1212

（89兀109兀

所以西+Z+X3+X4+/的取值范围是詈，疗，故D错误，

故选：AB.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法:

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

三、填空题

12.已知点/（1,2）,将。/绕坐标原点。逆时针旋转;至。4'，则点H的横坐标为________

4

【答案】一变/-3收

22

【分析】根据三角函数的定义求解即可.

【解析】设点H的坐标为（%））,则04=04=不，

设A为。终边上的一点，贝ljsina=2^5,cosa=，

55

贝！|cos（a+火）=^^（cosc-sina）=—^^--^=,解得x=-包，

4210V52

故答案为：-1.

2

13.已知函数/（x）=sin（0x+0），＞O,|9|＜?・直线与曲线＞=/（x）的两个交点42如图所示，若

\AB\=^,且〃x）在区间詈］上单调递减，则。=；（P=.

【分析】根据7（x）=］和|/同=：,可构造方程求得。，并确定为半个周期，根据正弦函数单

调性可构造方程组求得。.

【解析】设/（&,%）,3（%2，%），

兀C7

①/+(P=—+2KH

由/(x)=¥得::(左eZ),

3兀C7

G)X2+(P=-+2KR

又同=4_再=a，~4^=~2f解得：④二2,

此时/⑺的最小正周期7=。兀,

11兀5兀5兀1171

方=:，/（x）在区间上单调递减,

1212

571―11jr

:.x=——和工二詈分别为了（X）单调递减区间的起点和终点,

12

/5KHTC15兀1171)

当XE\A2，~V2时，2x+（pe厂干+",

5兀兀C7

---(P——F2kjt

2小eZ),.•.0=—巴+2析(壮Z),又时〈生71

(D=——

11兀3兀八7323

----+0=——+2E

I6"2

综上所述：3=2,。=-1.

兀

故答案为：2；

3

14.已知函数/（x）=2sin（s+o）[0>O,[d<|J,对于任意的xeR,+

/（x）+/g-x]=O,且函数〃x）在区间,木,0]上单调递增，则0的值为.

【答案】3

【分析】根据函数仆）在区间上单调递增得到0的大致取值范围，再根据小+总=/后-》

/（彳）+/1方-工]=0得到函数/（可图象的对称性，利用正弦函数的图象与性质分情况求解。的值并验证,

即可得解.

【解析】设函数/（司的最小正周期为T,因为函数/（x）在区间b^,0j上单调递增,

所以。一（一专14,得生浒,因此0<八10・

V10）2CD5

由小+口=）1117知/（X）的图象关于直线“哈对称，

由/（x）+/\-x1=0知/（X）的图象关于点匕,0卜寸称.

①由；*=：+尢7（勺eZ）,得7=3"）,即2兀2兀

3+12匕(D

解得①=3+12左]（左[£Z）,又0<GW10,故口=3,

当0=3时，所以/（x）=2sin（3x+e）,贝I]25也（3*^1+0]=±2,即sin1；+—=±1,又冏柠，所以°=:，

故/（x）=2sin（3x+J<3X+B<%满足函数小）在区间[-看,o[上单调递增；

②由十ll=I+5心"），得7=工化叼，即高

]L4yIJ.乙冷2yIA/儿？Ccz

解得①=9+12左2（左2£Z）,又0<0W10,故°=9,

当。=9时，所以/（x）=2sin（9x+9）,贝I]2sin[9x^1+e]=±2,

即sin[^+e）=±l,又忸|<5，求得"=-1,故/（》）=2$击,-：）,

因为一等不满足函数/（x）在区间1-《,（））上单调递增，

故@=3.

故答案为：3.

【点睛】关键点睛：本题解题关键是根据+/（x）+/@T=0得到函数/（X）图象

关于直线X="对称，关于点go1对称.利用正弦函数的图象与性质分弓-力卜什代冈和

ITTT

彳-石=彳+427(左2€2)两种情况讨论，求解。的值并验证.

四、解答题

15.已知tan(?+aj=2,tan£=g,

(1)求tana的值；

sin(a+，)-2sinacos/?

(2)求的值.

2sinasin/?+cos(a+/?)

【答案】⑴(2)

【分析】(1)根据两角差的正切公式可求得tana的值；(2)利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得到

tan(^-a),再用两角差的正切公式展开代值进去计算即可.

【解析】(1),•・tan[?+a)=2,

71

tan一■btana

—4-----------=2,

兀

1-tan—tana

4

1+tana,1

-----------=2,解A7得ZRtan。=彳.

1-tana3

sin(a+P)-2sinacos0sinacos/?+cosasin—2sinacosf3

2sinasin尸+cos(a+/?)2sinasin/?+cosacos/?-sinasin(3

_cosasin(3-sinacos/3

cosacos/3+sinasin(5

sin(/?-a)

cos(jff-a)

=tan(/7-cr)

(2)

tanp-tana

1+tanptana

11

l1+-Ix-l

23

£

7

16.已知函数/(x)=sinxcosx-V3cos2x+-^-.

(1)求函数y=/(x)的最小正周期和单调区间;

⑵若关于X的方程/(无)-%=0在xe上有两个不同的实数解，求实数加的取值范围.

【答案】(1)最小正周期7=兀；单调递增区间为ht-^,kn+^(keZ)；单调递减区间为

75兀711〃

kTl-\---，既H----(左eZ).

1212

【分析】(1)利用降幕公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区

间；

(2)由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数〃?的取值范围.

【解析】(1)/(x)=sinxcosx-\^cos2x+^-=^sin2x-^-cos2x=sin|2x

则函数y=〃x)的最小正周期7=技=兀；

令2左兀一5W2x-gW24兀+^■(左£Z),解得加一3«%W左兀+^■(左£Z),

可得函数歹=/(x)的单调递增区间为kTi--,kTi+—(keZ\

1212v7

令2ATT+-^-<2x-y<2kn+^-[keZ),解得kn+—<x<kn+^^-(kGZ),

1212v7

,5兀j1l^r/77、

可得因数＞=/(')的单调递减区间为KTlH---,KTlH----A：GZ

1212v7

(2)由⑴可知，xe「O用时，y=f(x)在后]上单调递增，在泮:上单调递减,

当xe0噌,2x-ye-由-半增大到1,

当xe卷谓，2x-ye由1减小到Yi,

_122J3|_23」2

若关于X的方程/(x)-切=0在xe上有两个不同的实数解，则实数用的取值范围为一,1

_1」2

17.已知函数/(x)=2sinxcosx-2AAsin3+6.

7T

(1)若xe0,-时，切＜/(x)恒成立，求实数机的取值范围；

⑵将函数7'⑺的图象的横坐标缩小为原来的;，纵坐标不变，再将其向右平移B个单位，得到函数g(x)的

20

图象.若xe[O,f],函数g(x)有且仅有4个零点，求实数f的取值范围.

【答案】(1)(-8,1)

,、「5兀13兀)

【分析】(1)利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值,

即可得到答案；

(2)根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结合,

就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.

【解析】(1)S/(.^)-2sinxcosx-2V3sin2x+y/3=sin2x+V§cos2x=2sin[2x+,

、r,八7T.__7C7T5兀

当0,—时，可得+，

_4」3|_36_

当2x+g=*即V时,取得最小值2sin年=1,

3646

因为xe0,：时，机＜/(x)恒成立，所以根＜1,

即实数加的取值范围为(一叫1).

(2)由/(x)=2sin12x+m图象的横坐标缩小为原来的9可得：7=2sin^4x+^j,

再将其向右平移今，可得：了=2疝4口一。|+g=2sin(4x-1,

即函数g(x)=2sin-

因为xe[(V],所以4x-：e,在给定区间的正弦函数的零点是x=0,私2兀,3兀,

再由函数g(尤)有且仅有4个零点，则满足3兀W4/-1•＜4兀，

解5得兀〈1詈371，所以实数f的取值范围57113兀

612~69~12

18.筒车亦称“水转筒车"，是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边.水激轮转，浸在水中的小

筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田.某乡间有一筒车，其最高点

到水面的距离为6m,筒车直径为8m,设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水

筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要24s,如图，盛水筒/(视为质点)的初始位置距水面的

距离为4m.

(1)盛水筒/经过fs后距离水面的高度为〃(单位：m),求筒车转动一周的过程中，/?关于/的函数〃=/(f)

的解析式;

⑵盛水筒8（视为质点）与盛水筒4相邻，设盛水筒5在盛水筒/的顺时针方向相邻处，求盛水筒8与盛

水筒/的高度差的最大值（结果用含兀的代数式表示），及此时对应的

0+(p0-(p八(p-\-0(p-0、

(参考公式：sinsin^=2cos-sincos3~cos(p=2s\n-------sin--------)

22"22

兀兀

【答案】⑴〃=4sin(―+2,，£[0,24]

Izn

(2)8sin^m,t=11.5或Z=23.5.

【解析】

解：（1）以筒车转轮的中心。为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系.

设〃=Afsin设什夕)+N,，£[0,24].

由题意知，2M=8,M+N=6,

N=2,即〃=4sin(①/+夕)+2.

当％=0时，％=4sin夕+2=4,解得sin夕=：,结合图象初始位置可知

...?:跑二2%。=缶

taI工

7171

综上，〃=4sin(―+2,[0,24].

IZn

jrjr

（2）经过，s后/距离水面的高度/z=4sin（石方+工）+2.

Izn

由题意知乙4。5=鲨=泉所以经过fs后5距离水面的高度力z=4sin(有—工)+2,则盛水筒5与

兀717L7L

盛水筒/的高度差为//=|〃一/|=4|sin(TTR+T)—sin(百£一百)I，

IznIzIz

工1m0+(P0—(0兀7171兀7171

利用sin8—sin°=2cos------sin-----7/=4sin(-z+7)—sin(—/——)=8sin-cos(—r

T771z61717X1z

7t兀兀

+五）I，当行/+五=也，kez,

1兀

即，=—三+12左，左£Z时，7/取最大值8sin-（m）.

2