2025年高考数学复习：圆的方程【八大题型】

专题8.3圆的方程【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1求圆的方程】.........................................................................3

【题型2二元二次方程表示圆的条件】...........................................................4

【题型3圆过定点问题】.......................................................................4

【题型4点与圆的位置关系的判断】.............................................................5

【题型5与圆有关的轨迹问题】................................................................5

【题型6与圆有关的对称问题】................................................................6

【题型7圆系方程1..................................................................................................................7

【题型8与圆有关的最值问题】................................................................7

►考情分析

1、圆的方程

考点要求真题统计考情分析

2022年全国乙卷（文数）：第

15题，5分

⑴理解确定圆的几何要

2022年全国甲卷（文数）：第从近几年的高考情况来看，高考对

素，在平面直角坐标系中，

14题，5分圆的方程的考查比较稳定，多以选择题、

掌握圆的标准方程与一般

2023年全国乙卷（文数）：第填空题的形式考查，难度不大；有时也

方程

11题，5分会与距离公式、圆锥曲线等结合考查，

⑵能根据圆的方程解决

2023年上海卷：第7题，5分复习时应熟练掌握圆的方程的求法，灵

一些简单的数学问题与实

2024年北京卷：第3题，4分活求解.

际问题

2024年天津卷：第12题，5

分

►知识梳理

【知识点1圆的定义和圆的方程】

1.圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆（定点为圆心,定长为半径）.

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

2.圆的标准方程

（1）圆的标准方程：方程（x—a）2+（y—b）2=-2&>o）叫作以点力为圆心，厂为半径的圆的标准方程.

（2）圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

（3）圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母（待定），因此

在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3.圆的一般方程

(1)方程产+y2+Dx+Ey+F=0(。？+£?—4尸>0)叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因

此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.

下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数Z),E,F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心卜彳,-彳)代入圆心所在的直线

方程，求待定系数。，E,F.

4.二元二次方程与圆的方程

(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,对比圆的一般方程x?

++DX+EY+F=Q

(。2+£2—4尸>0),我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的

方程.

(2)二元二次方程表示圆的条件：

A=C^0

B=0

二元二次方程//+3个+0,2+5+或+尸=0表示圆的条件是,7

用+(高一哈)

V

5.圆的参数方程

Y—(1—I—vCCSr7

圆(x—a)2+(y—b)2="(厂>0)的参数方程为彳ylblrsine，其中。为参数.

6.求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心5力)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a,6,r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出。，E,尸的值.

【知识点2点与圆的位置关系】

1.点与圆的位置关系

(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.

(2)圆A的标准方程为(x—a)2+"—6尸=一，圆心为/(a,6),半径为r(r>0)；圆A的一般方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0(Z>2+£2—4F>0).平面内一点Af(见,为).

位置关系判断方法

几何法代数法（标准方程）代数法（一般方程）

点在圆上\MA\=r(X0-4Z)2+Cyo-/?)2二产

Xo+yo+Dx0+Ey0+F=0

(xo-d)2+(yo-Z7)2〈产

点在圆内\MA\<r就+M+Dx0+Ey0+F<0

222

点在圆外\MA\>r(xo-a)+(yo-Z?)>r+?/o+Dx0+Ey0+F>0

【知识点3轨迹方程】

1.轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于

变量之间的方程.

（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定

义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）.

（2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹“与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.

2.求轨迹方程的步骤：

（1）建立适当的直角坐标系，用（x,y）表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标；

（2）列出关于的方程；

（3）把方程化为最简形式；

（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；

（5）作答.

【方法技巧与总结】

1.以A（xi,竺），8（物》2）为直径端点的圆的方程为a—尤1）（工一为2）+0—九）（了一了2）=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

►举一反三

【题型1求圆的方程】

【例1】（2024.辽宁大连.一模）过点（—1,1）和（1,3）,且圆心在x轴上的圆的方程为（）

A.%2+y2=4B.（%—2）2+y2=8

C.（x-I）2+y2=5D.（x-2）2+y2=10

【变式1-1]（2024.河南.模拟预测）圆心在射线y=WO）上，半径为5,且经过坐标原点的圆的方程

4

为（）.

A.%2+y2-8%—6y=0

B.%2+y2-6x—8y=0

C./+y2+版+6y=0

D.x2+y2+6x+8y=0

【变式1-2](2024•北京•模拟预测)圆心为(2,1)且和无轴相切的圆的方程是()

A.(%-2)2+(y-I)2=1B.(x+2)2+(y+l)2=1

C.(%-2)24-(y-l)2=5D.(x+2)2+(y+l)2=5

【变式1-3](2024.全国.模拟预测)在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于4,B,C,D四点，其中

4(一2,0),3(0,—3),点C在x轴正半轴上，点。在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形ABCD的面积为则圆E

的方程为()

A.x2+y2+x+—2

B.x2+y2—x+y=6

C.x2+y2—4x—y—12

D.x2+y2+|x+2y=3

【题型2二元二次方程表示圆的条件】

[例2](2024.贵州・模拟预测)已知曲线C的方程2/+2y2+4x+8y+F=0,贝『字<10”是“曲线C是圆”

的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-1](23-24高二下・上海・期中)方程/+丫2+4小x一2、+5爪=0表示圆的充要条件是()

A-；<m<1B-m>1C-m<lD.

2

【变式2-2](23-24高二上•福建厦门•期中)若aG{-2,-1,0,|,1},则方程/+y2+ax+2ay+2a+a-

1=0表示的圆的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【变式2-3](23-24高二上.广东•期末)已知方程/+丫2+2%-2(0/+2(1+4=0表示一个圆，则实数a取

值范围是()

A.(—8,-1]U[3,+8)B.[—1,3]

C.(-00,-1)U(3,+00)D.(-1,3)

【题型3圆过定点问题】

【例3】(23-24高二上•湖北荆州•期末)圆C:%2+y2+一2@一5二0恒过的定点为()

A.(-2,1),(2,-1)B.(-1,-2),(2,1)

C.(-1,-2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【变式3-1](23-24高二上•浙江温州•期中)点PQ,y)是直线2x+y-5=0上任意一点，。是坐标原点，则

以。P为直径的圆经过定点()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【变式3-2](2024高三・全国・专题练习)当机变化时，圆一+/+(机+2)x+y—2=0恒过定点.

【变式3-3](23-24高三上.上海徐汇・期末)已知二次函数/(无)=/+2久+6。eR)的图像与坐标轴有三

个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C,则圆C经过定点的坐标为(其坐标与b无关)

【题型4点与圆的位置关系的判断】

【例4】(2024.河北沧州.二模)若点4(2,1)在圆/+*一2nix—2y+5=0(m为常数)外，则实数m的

取值范围为()

A.(一8,2)B.(2,+oo)C.(一8,—2)D.(-2,4-oo)

【变式4-1](2024・甘肃定西•模拟预测)若点(2,1)在圆/+/一久+丫+a=o的外部，则。的取值范围是

()

A.&+8)B.(―8，E)C.(—4,0D.(-8,-4)U&+8)

【变式4-2](24-25高三上•广东•开学考试)“1<b<2”是“点B(0,b)在圆C:(%-I)2+(y-2)2=2内”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【变式4-3](2024高三.全国.专题练习)若点(2“，a+1)在圆/+(y—1户=5的内部，则实数。的取值范围

是()

A.{a\~l<a<l}

B.{a|0<a<l}

C.{a|a<—1或a>l}

D.{a|-l<a<0}

【题型5与圆有关的轨迹问题】

【例5X24-25高二上•上海・课后作业)点P(4,-2)与圆工2+*=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是()

A.(x—4)2+(y+2)2=4B.(x+2)2+(y—I)2=1

C.O+4/+(y—2/=4D.(x-2)2+(y+I)2=1

【变式5-1]（23-24高二上•广东东莞•阶段练习）已知线段4B的端点B的坐标（4,3）,端点4在圆/+/=4

上运动，求线段4B的中点M的轨迹所围成图形的面积（）

A.4TTB.V2TTC.TTD.—

4

【变式5-2]（2024•山东淄博•一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量0A与0B关于x轴对称，向量a=

（0,1）,若满足瓦溟+机通=o的点A的轨迹为£,则（）

A.E是一条垂直于x轴的直线B.E是一个半径为1的圆

C.E是两条平行直线D.E是椭圆

【变式5-3]（2024•山东德州•三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距

离之比为常数k（k>0★41）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中,

4(一4,0),B(2,0),点M满足儒=2,则点M的轨迹方程为（）

A.(%+4)2+y2=16B.(%—4)2+y2=16

C.x2+(y+4)2=16D.%2+(y—4)2=16

【题型6与圆有关的对称问题】

【例6】（2024.浙江•模拟预测）圆C（%-1）2+（y—2）2=2关于直线％—y=0对称的圆的方程是（）

A.(%—I)2+(y+2)2=2B.(%+I)2+(y+2)2=2

C.(%-2)2+(y-I)2=2D.(%+2/+(y+=2

【变式6-1]⑵-24高二上•安徽黄山・期末）圆M:（%-2）2+（y-I）2=1与圆N关于直线％-y=。对称,

则圆N的方程为（）

A.(x+I)2+(y+2)2=1B.(%—2)2+(y+I)2=1

C.(%+2)2+(y+1)2=1D.(%-I)2+(y-2)2=1

【变式6-2](23-24高二下•云南昆明•阶段练习)已知圆+2+(y+1)2=1与圆可：(％-4)2+

(y+3)2=1关于直线,对称，贝加的方程为()

A.10%—4y—23=0B.10%+4y—23=0

C.2x—5y—7=0D.2%+5y+7=0

【变式6-3](2024•陕西宝鸡・一模)已知圆％2+丁2_2%+4y+4=0关于直线2a%—by—2=0(a>0,b>

0)对称，则ab的最大值为()

11

A.2B.1C.D.

24

【题型7圆系方程】

【例7】（23-24高二下•湖南长沙.阶段练习）过圆/+y2-x+y-2=0和久2+y2=5的交点，且圆心在

直线3x+4y-1=0上的圆的方程为（）

A.x2+y2+2x—2y-11=0B.%2+y2—2%+2y—11=0.

C.x2+y2—2x—2y-11=0D.x2+y2+2x+2y-11=0

【变式7-1］（2024高二・辽宁•学业考试）过圆式2+y2—2y-4=0与/+y2—4久+2y=0的交点，且圆

心在直线Z:2x+4y-l=。上的圆的方程是.

【变式7-2］（23-24高一下•江西九江.期中）经过两圆/+y2+6%—4=0和/+y2+6y—28=0的交点,

且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程为.

【变式7-3］（2。24高三下•全国•专题练习）求过圆：x2+y2—2x+2y+1=0与圆：x2+y2+4x—2y—4—

0的交点，圆心在直线：久一2y-5=0圆的方程.

【题型8与圆有关的最值问题】

【例8】（2024•西藏拉萨.二模）已知点M（3,—3）,N（3,0）,动点P在圆0:/+外=1上，则|PM|+1|PN|的

最小值为（）

人V145口V165八V145门V165

A.-------D.-----C.-----D•-------

3399

【变式8-1］（2024•河南•模拟预测）已知点PQ,y）在以原点。为圆心，半径r=b的圆上，则磊+会的

最小值为（）

A.-B.C.-D.1

999

【变式8-2］（2024.湖北黄石.三模）已知在等腰直角三角形4BC中，C4=CB=4,点M在以C为圆心、2

为半径的圆上，贝|JMB|川的最小值为（）

A.3A/5-2V2B.V17C.1+2V5D.2V5-1

【变式8-3］（2024・广西贵港•模拟预测）已知圆C：（%-2/+（y-2）2=4,直线Z：（m+2）x-my-4=0,

若/与圆C交于A,B两点，设坐标原点为O,则|0川+2|OB|的最大值为（）

A.4A/3B.6A/3C.4V15D.2A/30

►过关测试

一、单选题

1.(2024・吉林长春•三模)经过力(1,1),S(-l,1),C(0,2)三个点的圆的方程为()

A.(尤+1)2+(y—=2B.(%—1)2+(y—1)2=2

C.x2+(y—l)2=1D.%2+(y+l)2=1

2.(2024•浙江•一模)圆C:/+y2—2x+4y=。的圆心。坐标和半径「分别为()

A.C(l,-2),r=V5B.C(l,-2),r=5

C.C(-l,2),r=V5D.C(-l,2),r=5

3.(2024•江西•模拟预测)若点(1,1)在圆久2+y2一久一a=0的外部，则。的取值范围为()

A.(-B.(],1)C.(—co,1)D.(1,+oo)

4.(2024•陕西铜川•三模)已知圆。:(久一。)2+0—6)2=1经过点4(3,4),则其圆心到原点的距离的最大

值为()

A.4B.5C.6D.7

5.(2024.河南信阳•模拟预测)已知圆O：x2+y2=2,点A(m,n)和点B(p,q)在圆0上，满足mp+nq=—l,

则m+n+p+q最大值为()

A.V2B.2C.2V2D.4V2

6.(23-24高二上•广西玉林•期末)若直线I在无轴、y轴上的截距相等，且直线1将圆/+*一2尤+句=0的

周长平分，则直线/的方程为()

A.x+y+1=0B.x+y-1=0

C.x+y+1=0或2x+y=0D.久+y—1=0或2x+y=0

7.(2024・四川成都•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点M(2,0),直线/:y=k(x-2)+1,点M关于直

线/的对称点为N,则A0MN面积的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

8.(23-24高三上•辽宁大连•阶段练习)已知圆G：(x-2)2+(y—3/=1,圆C2：(%-3)2+(y—4)2=9,

M,N分别是圆G，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为()

A.5V2-2B.V17-1C.6+2/D.5&—4

二、多选题

9.(2024・广西•模拟预测)若点P(1,O)在圆C:%2+y2+2x—4y+m=0的外部，则m的取值可能为1)

A.-3B.1C.4D.7

10.(2024•山西临汾•三模)已知民尸是以C(l,2)为圆心，或为半径的圆上任意两点，且满足CE1CF,P是

EF的中点，若存在关于(3,0)对称的4B两点，满足万•丽=0,则线段长度的可能值为()

A.3B.4C.5D.6

11.(2024•辽宁丹东•模拟预测)已知曲线E:7+丫2一2团一2旧=0,贝|()

A.曲线E围成图形面积为8+4兀

B.曲线E的长度为4近兀

C.曲线E上任意一点到原点的最小距离为2

D.曲线E上任意两点间最大距离4位

三、填空题

12.(2024•湖南邵阳•三模)写出满足“点(3,-2)在圆/+*一2久+4y+机=0外部”的一个7n的值：m=

13.(2024.贵州毕节・三模)已知直线x+ty-5=0,直线G：垃一y-3t+2=0,%与6相交于点A，

则点A的轨迹方程为.

14.(2024・天津河西.模拟预测)已知点4为圆C:(x-?n)2+(y-m-1)2=2上一点，点8(3,0),当m变化

时线段AB长度的最小值为.

四、解答题

15.(2024・广东深圳•模拟预测)已知过点(1,0)的动直线/与圆6：久2+>2-4x=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆G的圆心坐标；

(2)求线段的中点M的轨迹C的方程.

16.(23-24高二上.湖南永州•期末)△ABC的顶点是4(0,0),B(-l,-1),C(3,l).

(1)求边力B上的高所在直线的方程；

(2)求过点A,B,C的圆方程.

17.(23-24高二上•湖北十堰•期末)已知直线I:尤+2y+3=0,圆C:久2+y2-2刀-6y—6=0.

(1)求与1垂直的C的直径所在直线a的一般式方程；

(2)若圆E与C关于直线1对称，求E的标准方程.

18.(23-24高二上•山东济南・期末)已知圆心为C的圆经过。(0,0),力(0,2遍)两点，且圆心C在直线=V3x

上.

(1)求圆C的标准方程；

⑵点尸在圆C上运动，求出。『+|P*2的取值范围.

19.(23-24高二上•湖南•期末)已知四边形4BCD的三个顶点力(1,0),B(3,-2),C(4,-l).

(1)求过A,B,C三点的圆的方程.

(2)设线段2B上靠近点A的三等分点为E,过£的直线/平分四边形4BCD的面积.若四边形4BCD为平行四

边形，求直线/的方程.

专题8.3圆的方程【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1求圆的方程】.............................................................................3

【题型2二元二次方程表示圆的条件】..............................................................4

【题型3圆过定点问题】..........................................................................4

【题型4点与圆的位置关系的判断】................................................................5

【题型5与圆有关的轨迹问题】....................................................................5

【题型6与圆有关的对称问题】....................................................................6

【题型7圆系方程】...............................................................................7

【题型8与圆有关的最值问题】....................................................................7

►考情分析

1、圆的方程

考点要求真题统计考情分析

2022年全国乙卷（文数）：第

15题，5分

⑴理解确定圆的几何要

2022年全国甲卷（文数）：第从近几年的高考情况来看，高考对

素，在平面直角坐标系中，

14题，5分圆的方程的考查比较稳定，多以选择题、

掌握圆的标准方程与一般

2023年全国乙卷（文数）:第填空题的形式考查，难度不大；有时也

方程

11题，5分会与距离公式、圆锥曲线等结合考查，

⑵能根据圆的方程解决

2023年上海卷：第7题，5分复习时应熟练掌握圆的方程的求法，灵

一些简单的数学问题与实

2024年北京卷：第3题，4分活求解.

际问题

2024年天津卷：第12题，5

分

►知识梳理

【知识点1圆的定义和圆的方程】

1.圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆（定点为圆心，定长为半径）.

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

2.圆的标准方程

（1）圆的标准方程：方程小一0）2+3—6）2=.2（r>0）叫作以点（。,切为圆心，厂为半径的圆的标准方程.

（2）圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此

在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3.圆的一般方程

(1)方程/+V+.+的；+尸=0(。2+£2—4/>0)叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因

此在一般条件下，只要己知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.

下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D,E,F；

②己知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心卜-白)代入圆心所在的直线

方程，求待定系数。，E,F.

4.二元二次方程与圆的方程

(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程//+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,对比圆的一般方程—+y2+Dx+Ey+F=0

(£>2+£2-4F>0),我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的

方程.

(2)二元二次方程表示圆的条件：

|A=C丰Q

D-A

二元二次方程//+员:/+02+m+口+尸=。表示圆的条件是:2/\2

第+(常-哈"

5.圆的参数方程

圆(x—〃/+⑺一6尸="(»0)的参数方程为<，其中6为参数.

6.求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a力)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a,6,r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于DE,尸的方程组，进而求出E,尸的值.

【知识点2点与圆的位置关系】

1.点与圆的位置关系

(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.

⑵圆A的标准方程为(x—a)2+(y—6)2=/,圆心为/(a,6),半径为厂。>0)；圆A的一般方程为

X?+必+。x+4+产=0（。2+£2-4尸>0）.平面内一点.

判断方法

位置关系

几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)

点在圆上\MA\=r(xo-d)2+(yo-/7)2二产

xS+yo+Dx0+Ey0+F=0

2+(yo-b)2<产

点在圆内\MA\<r(xo-a)+?/o+DXQ+Ey。+F<0

2+(yo-b)2>/

点在圆外\MA\>r(xo-a)xo+yo+Dx0+Ey0+F>0

【知识点3轨迹方程】

1.轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于

变量羽〉之间的方程.

(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定

义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).

(2)求轨迹方程时，一要区分“轨迹“与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.

2.求轨迹方程的步骤：

(1)建立适当的直角坐标系，用(尤,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；

(2)列出关于的方程；

(3)把方程化为最简形式；

(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；

(5)作答.

【方法技巧与总结】

1.以A(xi,yi),8(x2,m)为直径端点的圆的方程为(x—X))(x—x2)+(y—1)(y—珀=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

►举一反三

【题型1求圆的方程】

【例1】(2024•辽宁大连•一模)过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为()

A.x2+y2=4B.(x—2)2+y2=8

C.(%—I)2+y2=5D.(x—2)2+y2=10

【解题思路】借助待定系数法计算即可得.

【解答过程】令该圆圆心为(a,0),半径为r,则该圆方程为(x—a)2+y2=产,

则有｛(―1—a)2+1=r2解得1;蔡u，

(1-a)2+9=r2

故该圆方程为(X—2)2+y2=10.

故选：D.

【变式1-1](2024.河南.模拟预测)圆心在射线y=；x(xW0)上,半径为5,且经过坐标原点的圆的方程

4

为().

A.%2+y2-8%—6y=0

B.%2+y2-6%—8y=0

C.%2+y2+8x+6y=0

D.x2+y2+6%+8y=0

【解题思路】根据圆心在射线上，设出圆心坐标，利用圆心到原点距离等于半径求得圆心坐标，即可求出

圆的方程.

【解答过程】因为圆心在射线丫=；%(支〈0)上，故设圆心为(a,：a)(aW0),

又半径为5,且经过坐标原点，所以J(a)2+(fa)?=5,解得a=-4或a=4(舍去)，

即圆的圆心坐标为(—4,一3),则圆的方程为(x+4)2+。+3尸=25,

即/+y2+舐+6y=0.

故选：C.

【变式1-2](2024.北京.模拟预测)圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()

A.(%—2>+(y—I)2=1B.(x+2)2+(y+I)2=1

C.(x-2)2+(y—1)2=5D.(x+2)2+(y+I)2=5

【解题思路】由题意先求出圆的半径，再根据圆心坐标，求得它的标准方程.

【解答过程】解：圆心为(2,1)且和x轴相切的圆，它的半径为1,

故它的的方程是(％-2/+(y—1)2=1,

故选：A.

【变式1-3](2024.全国.模拟预测)在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于4B,C,D四点，其中

A(—2,0),B(0,—3),点C在x轴正半轴上，点。在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形A8CD的面积为良，则圆E

的方程为()

A.+y2+汽+(y=2

B.x2+y2—x+y=6

C.x2+y2—4%—y=12

D.x2+y2++2y—3

【解题思路】根据题意几何条件分别求出C、D坐标，然后求出圆心E坐标及半径r,从而求解.

【解答过程】设C（c,0）,D（0,d）（c>0,d>0）,则SBCD=：（c+2）（d+3）=§.

又因为。4•0C=2c=OB♦。。=3d,解得c=3,d=2（负值舍去），

因此圆心E&—习,产=甘，圆石的方程为卜—丁+（丫+丁=热

即/-x+y2+y=6,故B正确.

故选:B.

【题型2二元二次方程表示圆的条件】

【例2】（2024.贵州・模拟预测）己知曲线C的方程27+2y2+4x+8y+F=0,则“F<10”是“曲线C是圆”

的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.

【解答过程】2/+2y2+4x+8y+F=0,即/+y2+2x+4y+|=0,

...曲线C是圆=22+42-4-|>0«F<10,：.^<10"是“F<10”的必要不充分条件.

故选：A.

【变式2-1]（23-24高二下•上海•期中）方程/+必+-2y+5爪=0表示圆的充要条件是（）

A.-<m<1B.m>1C.m<-D.ni〈工或m>1

444

【解题思路】根据圆的一般式方程的充要条件为。2+E-4F>0,代入运算求解即可.

【解答过程】由题意可得：（4m）24-4-20m>0,解得mV：或

所以方程/+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是m<1或m>1.

故选：D.

【变式2-2]⑵-24高二上•福建厦门•期中）若aE{-2,1],则方程％2+y2+ax+2ay+2a2+a-

1=0表示的圆的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数Q的取值范围，即可判断.

【解答过程】若方程久2+y2+Q%+2ay+2G2+a—1=0表示圆，

则小+(2a)2—4(2Q2+Q-1)=-3a2—4a+4>0n(3a—2)(a+2)V0,

解得一2<a<|,

又aG{-2,-1,0,[,1},所以a=-1或a=0,

即程％2+y2+。％+2ay+2a2+a—1=0表示的圆的个数为2.

故选：B.

【变式2-3](23-24高二上.广东.期末)已知方程/+、2+2%-2。丫+2。+4=0表示一个圆，则实数a取

值范围是()

A.(—8,-1]U[3,+8)B.[—1,3]

C.(-00,-1)U(3,+00)D.(一1,3)

【解题思路】根据方程表示圆的条件可得结果.

【解答过程】因为方程％2+y2+2%-2ay+2a+4=0表示一个圆，

所以+(-2ct)2—4x(2a+4)>0,

即小—2a—3>0,所以a>3或a<—1,

故选：C.

【题型3圆过定点问题】

【例3】(23-24高二上.湖北荆州.期末)圆。:汽2+y2+一2即一5二o恒过的定点为()

A.(-2,1),(2,-1)B.(-1,-2),(2,1)

C.(-1,-2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.

【解答过程】圆C:/+y2+ax—2ay—5=0的方程化为a(%—2y)+(x24-y2—5)=0,

心;罡上得葭端

故圆C恒过定点(—2,—1),(2,1).

故选：D.

【变式3-1](23-24高二上•浙江温州•期中)点PQ,y)是直线2x+y-5=0上任意一点，。是坐标原点，则

以。P为直径的圆经过定点()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【解题思路】设点P(t,5-2t),求出以OP为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.

【解答过程】设点PQ,5—2t),则线段OP的中点为等)，

圆M的半径为|0M|=叵H药！=渔与巫至，

742

所以，以0P为直径为圆的方程为卜_£)2+(y_受)2=5产.2：t+25,

即％2+y2—tx+(2t—5)y=0,BP(%2+y2—5y)+t(2y—x)=0,

由工工二。，解明Mil

因此，以。P为直径的圆经过定点坐标为(0,0)、(2,1).

故选：D.

【变式3-2](2024高三・全国・专题练习)当机变化时，圆/+>2+(机+2)x+y—2=0恒过定点—

(0,—2)和(0,1).

【解题思路】根据题意，进行求解即可.

【解答过程】方程•x2+y2+(m+2)x+y—2=0可化为(V+V+Zx+y—2)+〃?x=0.

由产+必+2%m-2=0,得,

所以定点坐标是(0,-2)和(0,1).

故答案为：(0,-2)和(0,1).

【变式3-3](23-24高三上•上海徐汇・期末)已知二次函数/(久)=/+2%+6(xeR)的图像与坐标轴有三

个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C,则圆C经过定点的坐标为(0,1)和(—2,1)(其坐标与b无关)

【解题思路】设出/(乃的图象与坐标轴的三个交点坐标，再设出圆的一般方程，把三点坐标代入圆方程，

求出系数，得圆的方程(含有b),分析此方程可得圆所过定点.

【解答过程】二次函数“X)=%2+2%+b(x6R)的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为

M(m,0),N(n,0),B(0,b~),易知b中0,几满足m+=-2,mn,m2+2m+b=0,n2+2n+b=0,

设圆C方程为/+y2+Dx