2025年高考数学第一轮复习：平面向量系数和（等和线、等值线）问题（高阶拓展、竞赛适用）（学生版+解析）

第04讲平面向量系数和（等和线、等值线）问题

（高阶拓展、竞赛适用）

（5类核心考点精讲精练）

平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。

平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。

近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，

往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共

线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数

形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用

知识讲解

如图，P为AAOB所在平面上一点，过O作直线///AB,由平面向量基本定理知:

存在使得0P=

下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和x+y的值

①若尸e/时，则射线OP与/无交点，由///AB知，存在实数；I,使得。P=

而AB=08—04,所以=—于是x+y=4U=0

②若尸史/时，

（i）如图1,当P在/右侧时，过P作CD//A6,交射线Q4,0B于C,D两点,则

\OCD~\OAB,不妨设AOCD与八。43的相似比为女

由P,C,。三点共线可知：存在2eH使得：

OP=WC+(1-2)OD=kWA+左(1—2)08

所以x+y=左2+左(1-2)=左

<ii)当P在/左侧时，射线0P的反向延长线与A5有交点，如图工作P关于。的对称点P,由(i)

的分析知：存在存在R使得：

OP'=WC+(1-=kWA+(1-2)OB

所以OP'=-kWA+-(1-2)(98

于是x+y=-kA+-k(l-A.)=-k

综合上面的讨论可知：图中0P用。A。3线性表示时，其系数和九+y只与两三角形的相似比有关。

我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。

因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过。作A3边的垂线

设点P在/'上的射影为P,直线/'交直线AB于点则I止除^(女的符号由点P的位置确定)，因

此只需求出|的范围便知x+y的范围

考点一、“x+y”或以+〃”型综合

典例引领

1.(全国•高考真题)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=^

AB+〃AD，则4+〃的最大值为

A.3B.2&C.75D.2

【答案】A

【法一：系数和】，分析：如图，

由平面向量基底等和线定理可知，当等和线/与圆相切时，2+〃最大，此时

AB+BE+EF

4+〃=竺—=3,故选A.

ABABAB

【法二：坐标法】详见解析版

2,（衡水中学二模）边长为2的正六边形A5CDE尸中，动圆。的半径为1,圆心在线段（含短点）上运

动，尸是圆。上及其内部的动点，设向量24尸=机43+〃24尸（根,〃£尺），则m+〃的取值范围是（）

A（l,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

分析:如图，设AP=〃?AB+/AF,由等和线结论，机+〃="=乙竺=2.此为相+〃的最小值;

ABAB

AH

同理，设4尸=根48+〃4/，由等和线结论,m+n==5.此为租+〃的最大值.

AB

综上可知工+几£[2,5].

1.在矩形ABCD中，AB=IAD=2,动点P在以点。为圆心且与相切的圆上,

若AP=AAB+,则之+〃的最大值为（）

A3B2>/2CV5D2

2.如图，正六边形ABCDEF,P是ACDE内（包括边界）的动

点，设AP=aA8+/AR（a,，eR）,则a+夕的取值范围是

3.如图在直角梯形A3CD中，AB//CD,AB±AD,AD=DC=1,AB=3,动点P在以C为圆心,

且与直线3。相切的圆内运动，^AP=aAD+BAB（a,/3eR）

则a+万的取值范围是

3.在，ABC中，A3=6,8c=8,ABJ.BC,M是.MC外接圆上一动点，AM=A.AB+juAC,则义+〃

的最大值是（）

54

A.1B.-C.-D.2

43

4.（22-23高三上•江苏苏州•阶段练习）在ABC中，AB=4,BC=3,C4=2,点P在该三角形的内切圆

上运动，若=+（加，几为实数）,则加+〃的最小值为（）

5174

A.—B.-C.—D.一

183189

5.（22-23高一下•广东珠海•期末）在ABC中，AB=1,AC=2,ZBAC=&）°,尸是.ABC的外接圆上的一

点，AP^mAB+nAC，则〃?+”的最大值是（）

31二

A.1B.-C.-D.&

考点二、“+”或“+”型综合

典例引领

1.已知。是cABC内一点，且。4+。8+OC=0,点M在:OBC内（不含边界），若AM=AAB+^AC，则

2+2〃的取值范围是

B.(1,2)

2.已知,ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以为直径的半圆上.若AP=AAB+,则24+〃

的取值范围是

3.若点C在以P为圆心,6为半径的弧AB上，且PC=xPA+yPB，则2x+3y的取值范围为

4.设长方形ABCD的边长分别是4。=1,人3=2,点。是BCD内（含边界）的动点，设AP=xAB+yAD,

则x+2y的取值范围是

1.在矩形ABC。中，AB=1,AO=VLP为矩形内一点，且AP=g.若"=九45+〃4。（4〃€用，则2+①

的最大值为（）

.3痴3+73n娓+3及

2244

2.（2023•安徽淮南•一模）已知G是ABC的重心，过点G作直线与AB,AC交于点,且入河=依2,

AN=yAC,（x,y>0）,则3x+y的最小值是

3.已知。是AASC内一点，且。A+O2+OC=0,点加在AOBC内（不含边界），若AM=XAB+〃AC,则

彳+2〃的取值范围是

A.（1,|JB.（1,2）C.由）D.

4.（22-23高三上,江苏南通,开学考试）在ABC中，AB=3,AC=2,A=1,过ABC的外心O的直线（不

经过点A）分别交线段AB,AC于Q,E,且法=2送，AE=MAC,则"〃的取值范围是（）

11+4761311+4^23

AA.bD.

1851018'15

"14+3A/613「14+3新23-

Lr•L/.

18'1018'15

考点三、“/或”型综合

典例引领

JT

1.如图，已知。为锐角三角形ABC的外心,A=1■，且04=xOB+yOC,求2x—y的取值范围?

1.（2023・全国•高三专题练习）在矩形A8C。中，AB=1,AD=6,动点P在以点C为圆心且与B。相切的

UL1UUUULIU1U

圆上.若AP=XAB+〃AD，则2-〃的最小值为（）

A.73B.1C.-1D.-V3

考点四、"/或”/型综合

典例引领

1.（2023•浙江•高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB±AD,AB〃DC,AB=2,AD=Z）C=1,

图中圆弧所在圆的圆心为点C,半径为《，且点尸在图中阴影部分（包括边界）运动.若AP=xAB+yAC,

其中x,y£R,则4x-y的取值范围是（）

A」2,3+述〕B」2,3+好

4J2

2.（2022春•安徽六安•高三阶段练习）在直角梯形A3CD中，AB±AD,DCSAB,AD=DC=1,AB=2,E、

产分别为AB、BC的中点，点尸在以A为圆心，AO为半径的圆弧DE上变动，（如图所示），若

AP=AED+JLIAF,其中则24-〃的取值范围是.

-------K

1.（2023•四川•校联考三模）在直角梯形ABCD中，AB±AD,AD//BC,AB=BC=2AD=2,E,尸分

别为BC,。的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交54及其延长线于点M,N,点、P在MDN上

运动（如图）.若=+其中4,〃eR,贝口2-5〃的取值范围是

C.12应,2]D.卜20,20]

考点五、系数和（等和线）的综合应用

典例引领

1.如图所示，“BC中，AC=3,点/是8c的中点，点N在边AC上，且AN=2NC,AM与BN相交于点

P,且.PN=2PM,贝必ABC面积的最大值为

5.5.2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为"赵爽弦图".如图，

它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知=为线段的中点，设

p为中间小正方形EFGH内一点（不含边界）.若MP=^ME-MB，则X的取值范围为.

2222

3.（2023•黑龙江哈尔滨•一模）如图，椭圆二+与=1（°＞。＞0）与双曲线工-与=1（加＞0,”＞0）有公共焦

abmn

点片（-c,0）,^（c,0）（c＞0）,椭圆的离心率为e一双曲线的离心率为eZ,点尸为两曲线的一个公共点，且

13

/单E=60。，则/+/=；/为△A耳尸鸟的内心，K/G三点共线，且GP•/尸=0，x轴上点A,3满足

AI=AIP.BG—GP,则外+4的最小值为

1.（2024高三•全国•专题练习）在.ABC中，三个内角分别为A,B,C,AB=4,AC=3,BC=2,H为ABC

的垂心.AH-xAB+yAC,则上=.

X

2.（22-23高二下•广东汕尾•期末）如图，在ABC中，点。在线段48上，且AO=；A8,E是CD的中点，

延长AE交于点H,点P为直线AH上一动点（不含点A）,且AP=XAB+〃AC（4〃eR）.若AB=4,

311

3.（20-21高一・江苏•课后作业）已知M8C中，CD=BC,EC=-AC,AF=-AB,若点P为四边形AEOF

523

内一点（不含边界）且DP=-；OC+xDE,则实数x的取值范围为.

IA.好题冲关

1.（2023高三・全国•专题练习）在正方形ABCD中，AC与8。交于点。，E为边BC上的动点（不含端点）,

21

AE=2,AC+pDO,贝！!7+—的最小值为.

2.（2023高三・全国・专题练习）如图，四边形0LBC是边长为1的正方形，点。在Q4的延长线上，且仞=1,

点尸是△BCD（含边界）的动点，设OP=XOC+〃OD,则几+〃的最大值为.

3.（22-23高一下•四川眉山•阶段练习）已知点G是4ABe的重心，过点G作直线分别与AB,AC两边相交于

点N两点（点M,N与点、B,C不重合），设A3=xAM,AC=yAN,则-+7的最小值为____-

x—1j-1

4.（2023高三・全国•专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,P为圆。上任一点，若

AP=xAB+yAC,则2x+2y的最大值为

5.（2023高三•全国•专题练习）如图，在」,ABC中，/为边BC上不同于B,C的任意一点，点N满足

UUULUUUUUU

AN=2NM.若4V=xAB+yAC>贝1J犬+9/的最小值为.

6.（22-23高一下•河南省直辖县级单位•阶段练习）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E,

使得DE=2CD.动点尸从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，AP=AAB+juAE.则

7.（23-24高三下•安徽•阶段练习）已知正方形ABCD的边长为2,中心为。，四个半圆的圆心均为正方形

ABCD各边的中点（如图），若尸在BC上，且AP=XAB+〃AD,则几+〃的最大值为.

8.（23-24高一下•天津•期中）如图，在，ABC中，A。=；A&AE=gAC,C£）与BE交于点尸,A6=2,

AC=3,APBC=l,则/.浅的值为;过点尸的直线/分别交AB,AC于点设AM=〃ZAB,

AN=nAC（机>0,〃>0）,则m+2n的最小值为.

9.（21-22高三上•河南郑州•阶段练习）如图，在扇形中，ZAOB=UO°,04=03=2,点〃为。3的

中点，点P为曲边4WB区域内任一点（含边界），若。尸=加。4+“。加，则〃?+〃的最大值为.

OMB

10.（22-23高三下•上海宝山•开学考试）如图所示，ZBAC=y,圆M与AB,AC分别相切于点，E,

点尸是圆M及其内部任意一点，AP=xAD+yAE（x,ye7?）,则2元+3y的取值范围是

11.（2024高三下・全国・专题练习）如图,平面内有三个向量04，。8,0。，其中诙,。8=120,OA,OC=30,

且网=倒=1,|。4=2石，^OC=mOA+nOB^则/篦+〃=.

12.（22-23高二上•上海宝山•阶段练习）设点尸在以A为圆心，半径为1的圆弧8c上运动（包含8、C两

2

个端点），ZBAC=-TT,且AP=xAB+yAC,则x+y+孙的取值范围为.

13.（19-20高一上•黑龙江牡丹江•期末）如图，扇形的半径为1,圆心角/A4c=120。，点P在弧BC上运

动，AP=xAB+yAC,则3x+y的最大值为.

14.（22-230高三上•浙江台州,期末）如图，已知正方形ABCD,点E,F分别为线段BC,CD上的动点，且

\BE]=2\CF\,^AC=xAE+yAF（x,yeR）,则x+y的最大值为.

15.（22-23高三・浙江•阶段练习）已知+耳=卜4=1,AB与AC所成角为60。，点尸满足|AP-AC|W1,若

AP=xAB+yAC,则％+V的最大值为.

->1f

16.（22-23高一下•重庆万州•期中）如图，在ABC中，8O=]BC,点E在线段上移动（不含端点），

丸1

若危=彳6+〃/,则方+三的取值范围是—•

17.（21-22高三下•浙江杭州•阶段练习）已知正三角形ABC的边长为2,£）是边BC的中点，动点尸满足|P。区1,

S.AP=xAB+yAC,其中无+>21,则2元+y的最大值为.

18.（22-23高一下•湖北孝感•期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作

序时，介绍了“勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中

间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小

等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设+〃/，若AO=3AF，则几-〃的值为.

19.（23-24高三上•陕西汉中•阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能

给人以美感，激发学生对数学的兴趣.如图，在菱形ABCO中，^ABC=12O,AB=2,以菱形ABC。的四条

边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若。尸=XD4+〃DC,则几+〃的最大值

为.

20.（23-24高一下•安徽宿州•期中）由三角形内心的定义可得：若点。为4ABe内心，则存在实数2,使得

x+y的最大值为

第04讲平面向量系数和（等和线、等值线）问题

（高阶拓展、竞赛适用）

（5类核心考点精讲精练）

平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。

平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。

近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，

往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共

线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数

形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用

知识讲解

如图，P为AAOB所在平面上一点，过O作直线///AB,由平面向量基本定理知:

存在x,yeR,使得OP=xOA+yOB

下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和x+y的值

①若Pe/时，则射线OP与/无交点，由///AB知，存在实数X,使得。P=

AB=OB-OA,所以OP=,于是x+y=2-2=0

②若尸史/时，

（i）如图1,当P在/右侧时，过尸作CD//A6,交射线Q4,05于两点，则

AOCD-AOAB,不妨设AOCD与AQ4B的相似比为女

由P,C,。三点共线可知：存在4eH使得：

OP=AOC+(1-2)OD=kWA+左(1—2)06

所以x+y=左2+左(1-2)=左

<ii)当P在/左侧时，射线0P的反向延长线与A3有交点，如图工作。关于。的对称点P,由(i)

的分析知：存在存在aeH使得：

OP'=WC+(1-2)OD=kWA+(1-MOB

所以OP'=-kWA+-(1-2)(98

于是x+y=-kA+-k(l-A)=-k

综合上面的讨论可知：图中OP用。4。3线性表示时，其系数和x+y只与两三角形的相似比有关。

我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。

因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过。作A5边的垂线

设点尸在/'上的射影为P,直线/'交直线AB于点则出1=(左的符号由点P的位置确定)，因

此只需求出|的范围便知x+y的范围

考点一、“x+y”或以+〃”型综合

典例引领

1.(全国高考真题)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=2

AB+〃AD，则几+〃的最大值为

A.3B.272C.y/5D.2

【答案】A

【法一：系数和】

分析：如图，

由平面向量基底等和线定理可知，当等和线/与圆相切时，4+〃最大，此时

,AFAB+BE+EF

A+LI=----=------------------

ABABAB

故选A.

【法二：坐标法】

【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.

设A（0,l）,3（0,0）,C（2,0）,0（2,l）,P（x,y）,

24

易得圆的半径7=不，即圆C的方程是（x-2）9-+y2=g,

/、/、/、UUUUL1UUUIU

AP=（x,j-l）,AB=（O,-l）,AD=（2,O）,若满足=

x=2ux无

则[,n=-^=\-y,所以；L+〃=q_y+l,

y—1=-X22

设z=57+l,即y+l-=O,点P（x,y）在圆口-2）2+/=[上,

X<2

所以圆心（2,0）到直线]-y+l-z=O的距离dWr,即[1-—石，解得lVz43,

卜1

所以z的最大值是3,即几+〃的最大值是3,故选A.

【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数

乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式，再通过向量的运算来解决.

2,（衡水中学二模）边长为2的正六边形ABCD跖中，动圆。的半径为1,圆心在线段（含短点）上运

动,尸是圆。上及其内部的动点，设向量=+R）,则根+〃的取值范围是（）

A（l,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

A（Z74R

分析:如图，设AP="?AB+〃AE,由等和线结论，m+〃="=上‘=2.此为加+〃的最小值;

ABAB

AH

同理，设AP="?AB+〃AE,由等和线结论，m+n=——=5.此为m+〃的最大值.

AB

综上可ftlm+ne[2,5].

4.在矩形ABCD中，AB^1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与相切的圆上,

若AP=AAB+/JAD,则的最大值为（）

A3B2^/2C45D2

解：如图所示：

过A作的垂线，垂足为H,则AH=C5=C户=〃，当瓦GP三点共线时，高线最长，即

（"〃）max=—=3

r

5.如图，正六边形A5CDEF,尸是ACDE内（包括边界）的动

点，设=+则。+尸的取值范围是

解：连接3fA。因为正六边形ABCDEF,由对称性知道

BF±AD,AD±EC,设3/与A£>交于点G,CE与AD交于点H,

当尸在CE上时，AP在AD上射影最小为AH；

当P与。重合时，AP在A。上射影最大为A。；

\AH\\AP\

则<a+/3<

|AG||AG|

Y

则3<。+/7<4

6.如图在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB±AD,AD=DC=1,AB=3,动点P在以。为圆心,

且与直线BD相切的圆内运动，设AP=aAD+j3AB(a,j3eR)

则。+，的取值范围是

解：设圆C与直线3。相切于点E,过A作于G,作直线///。8,且直线/与圆C相切与产，

连EF,则所过圆心，且EFLBD,由图可知，对圆C内任意一点尸

AP在直线AG上的射影长度d满足：|AG|<d<|AG|+1EF|,

又"叫""刃=金，|EF|=2|EC|=2|CD|sinZABD=於

।\DB\V10VW

35

所以］——<d<,——

vioVio

而a+=所以1<。+尸<g

3.在ABC中，AB=6,BC=8fABIBC.M是，ABC外接圆上一动点，若+则X+4

的最大值是()

54

A.1B.—C.—D.2

43

【答案】C

【解析】以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M的坐标为(5cose,5sind),

1o94

由AM=XA2+//AC(5cos0+5,5sin6»)=A(y,y)+〃(10,0),

.•.X+〃="n(，+0)+］可得利用正弦函数的图像及性质即得解.

62

【详解】以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,

B

设M的坐标为(5cosa5sin。)，过点8作轴

42418

sinA=—,AB=6BD=ABsinA=一,AD=ABcosA=—

555

7724

:.OD=AO-AD=-:.B(——,—)

555

iQ24

又A(-5,0),5(5,0)/.=y),AC=(10,0),AP=(5cos6+5,5sin0)

，§）+〃（1。，0）

AM=AAB+juAC(5cos+5,5sin3)=

/.//=—cos0——sin,2=——sin。

28224

/.X+4=—cos0+—sin0+—=—sin（0+^）+—

23262

514

当Sm（6+0）=l时，（2+"）max=z+3=1

023

故选:c

【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图像和性质，以及直角三角形问题，

考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

4.（22-23高三上•江苏苏州•阶段练习）在ABC中，AB=4,BC=3,6=2,点尸在该三角形的内切圆

上运动，AP=mAB+nAC（加，〃为实数），则加+〃的最小值为（）

51-74

A.—B.—C.—D.一

183189

【答案】B

网

【分析】由AP=加4?+nAC可得“卡〃-T~mnT，再结合余弦定理，面积公式可求出cosA、

-----AB+-----AC

\m-\-nm+nJ

sinA、BC边上高力,内切圆半径r,最后根据平行线等比关系即可求解.

mrii

【详解】AP=mAB+nAC=(m+n)——AB+——AC,由P在内切圆上,

m+nm+n)

,,m+n=网

故

\m+nm+n

假设一^AB+—=由于—^—+—^=1,AP=(m+n]AE,

m+nm+nm+nm+n

AP

则加+〃=^,且E为5C上一点，A,P,石三点共线，

AE

由平行线等比关系可得，要使m+〃，即,尸|与,目之间的比例最小，则「在内切圆的最高点，如图所示,

AB2+AC2-BC211

由cosA-

2ABAC16

因为sinA>0,所以sinA=^E5,

16

设BC边上高为〃，内切圆半径为广,

由S.="8.AC.sinA=gBC./2=：r(A8+AC+BC),

所以/2=巫，r=叵,

26

可得根+〃的最小值为h-一2r!=1

n3

故选：B.

网

【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到〃'+"-「：nY，令

----AB+-----AC

\m+nm+nJ

vnn

——AB+——AC=AE,观察到分母的系数相加为1,则可得到E为BC上一点，再结合平行线等比关系

m+nm+n

以及图象可得到比例最小的具体位置

5.（22-23高一下•广东珠海•期末）在ABC中，AB=l,AC=2,44c=60。，P是ABC的外接圆上的一

点，AP=mAB+nAC＜则"?+”的最大值是（）

31L

A.1B.—C.-D.布

2/

【答案】B

【分析】利用余弦定理与勾股定理得&ABC是直角三角形，进而可以建立直角坐标系，根据点的坐标得向量

的坐标，由向量的坐标运算可得加+〃的表达式，进而利用三角函数求最值即可.

【详解】因为在ABC中，AB=1,AC=2,ZSAC=60°,

由余弦定理得=AB2+AC2_2AB.AC.cos/AC=l+4-2xlx2xcos60°=3,

所以BC=g,贝l|A"+be?=AC?,所以AB1BC,

故以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

易得A(1,O),C(_1,0),B(；，¥),则AB=-1,y-,AC=(-2,0),

设尸的坐标为(cose,sin0),则AP=(cos夕—1,sin0),

又AP=mAB+nAC，

所以(cos8—1,sin6)二根(一；，^^]+〃(-2,0)=,

cosc/-l=-------2n_

2行_2百

则I—fp?m-------sine,

*zj，33

sm8=——m

2

二匚I、IV5.nini.，八吟I,1i3

fy\以机+〃=—sin3—cos0H—=sin0—H—<1H—=一,

222161222

当且仅当sin,-。=1时，等号成立，即机+〃的最大值为|.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，利用向量的线性运算法则得到相，”的关系式，从而

利用三角函数的性质得解.

考点二、—X+W或“加+””型综合

典例目阚

5.己知。是‘ABC内一点，且。4+08+OC=0,点〃在“0BC内（不含边界），若AM=AAB+〃就，则

4+2〃的取值范围是

B.(l,2)

【答案】B

【解析】因为。是「ABC内一点，且。4+。8+。。=0,所以。为cABC的重心

M在，OBC内(不含边界)，且当"与。重合时,4+2〃最小，

2「1111

此时AM=/lAB+〃AC=§x-(AB+AC)=-AB+-AC

所以2=；,〃=；,即4+2〃=1

当M与C重合时,2+2//最大，此时AM=AC

所以2=0,〃=1,即2+2〃=2

因为用在cOBC内且不含边界

所以取开区间，即2+2〃e(1,2).

6.己知二ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以5c为直径的半圆上.若AP=2AB+,则22+〃

的取值范围是

答案：造

_2_

【解析】如图，取AB中点为。,

AP=2AB+juAC=2AAD+/JAC

显然，当P与C重合时,22+//取最小值1.

将平行移动至与（。相切处，

P为切点时,22+〃取最大值.

延长P0交于G,易知OG=Ob=EP=」.

2

FFAP5

由等和线及平行截割定理,——=2,——=-.

FPAE2

所以22+〃的最大值为g.

故24+〃的取值范围是1,1.

7.若点C在以P为圆心,6为半径的弧A3上，且尸C=xPA+yPB2x+3y的取值范围为

【解析】令PC=(2x+3y)PD,

则PD=--—PA+—-—PB,

2%+3y2x+3y

2x

即PD=PA,+3ypB

2%+3y2x+3y

一1一一1一

其中2=5PAp与=~PB-

由于在JAB中,|班|=3,|咫|=2,幺尸4=120°,

且点D在线段A4上（含端点4,4），

因此|9|麴|K4j,其中P8是边4片上的高.

=（PBi-PAH=PB[+PAl-2P5i=19

可得|4可=灰.

Spg=卜|P41•sin4P4=；同4HP"I

可得IPH1=之叵.

19

所以，豆豆麴J|PD|3.

19

再由PC=(2x+3y)P。

8.设长方形ABCD的边长分别是A。=1,A3=2,点P是BCD内（含边界）的动点，设AP=xAB+yAD,

则x+2y的取值范围是

解:如图，取AD中点瓦则

AP=xAB-{-2yAE,

此时的等和线为平行于BE的直线显然，当点P与点B重合时,x+2y最小为1,当点P与C重合时,x+2y最

大，

上,CFBCc

由于——=——=2,

AFAE

所以A把T=3,

AF

AC

于是尤+2y的最大值为空=3,

AF

所以x+2y的取值范围是[1,3].

1.在矩形A8CD中，⑷5=1,AO=G，P为矩形内一点，且AP=¥.若AP=XAB+〃AD（2,则力+也〃

的最大值为（）

3V6C3+A/3Da+3®

A.-R

22,4,4

【答案】B

【分析】可根据条件画出图形，根据图形设/P4E=。，目.OW，WTT],则AP又可用AB,A。表示为:

7V3〃

Z=——costf

AP=­cos3AB+-sin3AD.所以根据平面向量基本定理得到：<j,所以

22

〃=一sinO

2+^3//=^-(cos(9+sin^)=^-sinf^+^,sin(e+?)最大值为1,所以丸+石口的最大值为^.

JT

【详解】如图，设/巳钻=凡o<0<-,

6A

则……/vsin061.

cos0AB+—AD=-cos0AB+-sin0AD'

7322

y.AP=AAB+juAD；

，A=——拒COSUA

.2

••1;

1.八

u=­sinu

I2

4+6〃=乎(cose+sing)=^-sin^+^<；

；/+瓦的最大值为手.

故选B.

【点睛】考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数sinx的最大值，以及平面向量基本定理.

2.(2023•安徽淮南•一模)已知G是aABC的重心，过点G作直线MV与AB,AC交于点林N,且4W=工好,

AN=yAC,(x,y>0),则3x+y的最小值是

87542,-

A.-B.-C.-D.-+-V3

32233

【答案】D

【分析】首先根据M,G,N三点共线得到AG=rA〃+(l-f)AN,也就是AG=fxAB+(l-r)yAC,再利用

uiiriuumiuurii

=+得到二厂3,最后利用基本不等式求3…的最小值.

因为M,G,N三点共线，^AG=tAM+(l-t)AN,因为疯=xAB,AN=yAC,所以AG=fxAB+(lT)yAC,

uuriuumiumrii\\

又G为重心，i^AG=-AB+-AC,而AB,AC不共线，所以江=£