2025届吉林省白城市某中学高三一模数学试题（含答案解析）

2025届吉林省白城市第一中学高三一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

氏+2a+etc,20S,i

1.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且一l--=—'则”=（）

CIQICZ/r11DQ

A.-B.-C.—D.-

76114

2.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12,底面圆的半径等于4,一只小虫从圆

锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为（）

A.12A/3B.16C.24D.24囱

3.若复数z满足z（3+4i）=5（其中i是虚数单位），则目=（）

A.1B.2C.5D.—

4.单位圆。：/+;/=1上有两个动点Ngy?）,且满足&w+x%=g，贝1J

网+%+%+丫2的取值范围为（）

A.^A/2—l,>/2+1JB.|^A/3—1,A/3+1J

C.[也向D.[-访冈

5.从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问

题中，下列说法错误的是（）

A.总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩

B.样本是指1000名学生的数学成绩

C.样本量指的是1000名学生

D.个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩

6.已知圆C:尤2+V-2x=0,过圆C外一点尸作圆的两条切线，切点分别为4氏三角形小

的面积为走，则尸C的长为()

12

A.也B.这C.6D.2

33

7.若数列｛%｝的前〃项和S,满足S,=〃2+〃+3,则()

A.数列｛%｝为等差数列

B.数列｛4｝为递增数列

C.S4-S2,S6-S4,1-$6不为等差数列

q17

D.a,+、的最小值为］

n2

8.设i为虚数单位，aeR,若Q+i)(l+ai)是纯虚数，则。=()

A.2B.-2C.1D.-1

二、多选题

9.已知随机变量X,Y,其中y=3X+l,已知随机变量X的分布列如下表

X12345

13

Pmn

10510

若矶X)=3,则()

A.m=^B.«=1C.E(r)=10D.0(7)=21

10.已知双曲线C:2-方=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳(一G。),巴(G。)，直线

/:反+殴-秘=。与C相交于点M,与C的一条渐近线相交于点N,C的离心率为e,则()

A.若NF\LNF,,则e=2B.若吗，5，则e=2后

C.若|峭|=2|吟|,则《=忘D.^\MF,\>5\MF2\,则勿应

11.若｛%｝是公比为q(#0)的等比数列，记S“为｛%｝的前〃项和，则下列说法正确的是()

A.若％>0,0<q<l,则｛q｝为递减数列

试卷第2页，共4页

B.若可则｛4｝为递增数列

C.若4>0,贝电+熊〉？*

71，、

D.若勿=一,则也｝是等比数列

an

三、填空题

12.函数丫=(*+5)0+2)->_1)的最小值为_________.

X+1

%+%2

13.等比数列｛〃“｝的公比为4,其通项为凡,如果(.+%乂i+g3)=>,则4=;数列

｛(-1)"+log2^)的前5项和为.

14.某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动，高一100人中

女生占高二60人中女生占:，则从中抽取1人恰好是女生的概率为____.

54

四、解答题

15.在VABC中，CD为边上的高，已知AC+3C=AB+CD.

C

(1)若AB=2CD,求tan耳的值；

(2)若=k>0,求tanC的最小值及tanC取最小值时上的值.

16.在数列｛%｝中，a；+l+2a„+1=anan+2+an+an+2,且6=2,g=5.

⑴证明：数列｛%+斗是等比数列；

(2)求数列｛为｝的前〃项和S”.

17.已知函数/(x)=e*+cosx-2.

⑴设r(x)为〃x)的导函数，求/'⑺在[0,+8)上的最小值；

⑵令g(x)=/(x)-办(acR),证明：当时，在-],01上g(x)<0.

18.已知函数/(%)=6£-。111(*+1)，8(*)=$以一%,其中aeR.

⑴证明：当xe[0,4w)时,g(x)<0；

⑵若无>0时，/(X)有极小值，求实数。的取值范围;

(3)对任意的xe[0,兀].2〃x)2g，(x)+2恒成立，求实数。的取值范围.

19.在三棱锥A-3CD中，瓦H分别是线段4氏">的中点，尸,3分别是线段。民。。上的

点，且空==求证:

BFDG2

(1)四边形EFGH是梯形;

(2)ACERGH三条直线相交于同一点.

试卷第4页，共4页

《2025届吉林省白城市第一中学高三一模数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DACDCBDCACACD

题号11

答案ABD

1.D

+2a+a.20a.5

【分析】由一l--=77-利用等差数列的性质可得­^=77,再由求和公式可得结

a3+a611%+411

果.

%+2%+42a+2a74420

【详解】因为5

。3+4〃3+&〃3+。611

a,

所以七

11

S.,1la,_5

可得

4（4+4）4,

故选：D.

【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式，意在考查学生灵活运用数

学知识解答问题的能力，属于中档题.

2.A

【分析】可先求出侧面展开扇形的圆心角，利用余弦定理即可求出.

【详解】如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为6,

97T

则由题可得2万x4=129,则。=看，

在MAPOP中，OP=OP=12,

则小虫爬行的最短路程为PP,=J122+122-2X12X12X=12互

故选：A.

3.C

【分析】先通过复数的除法运算算出复数，再求出模即可.

答案第1页，共13页

22

【详解】2=京=]（3-4i）=3-4i,.-.|2|=^3+（-4）=5.

故选：C.

4.D

【分析】由题意得/MON=；,进一步设M（cos，,sin。），^^cos^+^,sin^+^l

。40,2兀），从而将%+%+%+%表示成与。有关的三角函数，进一步即可求解.

【详解】连接OM，ON,因为玉%+%%=：，即OM-ON=],则NMON=T.

不妨设M（cos6,sin。）,A^^cos,sin,6>G[0,2TI）,

则%+/+y+%=cose+cos+；）+sine+sin+g]

6+33-yj3.口rr（A/6+A/2A/6—^/2.

=-----cos〃H-------sinc/=Vo---------cosaH---------sin〃

22I44J

=布（sincos6+cossin"sin,

故-«<xl+x2+yl+y2<46.

故选：D.

5.C

【分析】根据总体、样本、样本容量和个体的定义直接判断选项即可.

【详解】总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，A正确；

样本是指1000名学生的数学成绩，B正确；

样本量是1000,C错误；

个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，D正确.

故选：C

6.B

【分析】根据已知条件设/APC=。，得Sv=；|PA『sin2a=\,在Rt"PC中，|上4|用

——1表示，由此得到关于。的方程，三角恒等变换化简解得。==71,即可在Rt^APC中求解

tana3

PC.

【详解】因为C：x2+y2-2尤=0可化为（x一l）2+y2=l,

答案第2页，共13页

设ZAPC=a,S^PAB=；|PA『sin2a,

三角形APC直角三角形，4c=90°,|C4|=1,

所以|PA|=—所以！——sin2a=

tana2tana12

即112sina・cosa所以一^tana_

2tan2asin2cr+cos2a12tanal+tan2cr12

整理可得：tan3«+tana-473=0,(tana-V3)(tan2a+^tana+4)=0

tan2a+y/3tana+4>0,所以tana-g=0,

解得tancif=6，"£，所以0=];

因此在RtAAPC中，|PC|=」一=2".

sina3

故选：B

7.D

5,n=l

【分析】降次作差即可得到%=c、.，根据等差数列的定义即可判断A,根据数列单

[2n,n>2

调性即可判B,求出相关值即可判断C,利用对勾函数的性质即可判断D.

【详解】当〃之2时，=S〃一S〃_]=*+“+3—（〃一1）—（〃一1）—3=（2〃-1）+1=2〃，

当"T时'["，•'•%=/壮2

对于A：4=5不满足a“=2〃，故A不正确;

对于B：4=5>%=4,故B不正确;

对于C：S4-S2=%+%=14,S6-S4=a6+a5=22,S8-S6=a8+a7=30,三项可构成等

差数列，且公差为8,,故C不正确；

对于D：当〃=1时，Q〃+字=2£=1。，

n

当〃22时，an+—=2n+"+"+3=3〃+3+1,

nnn

根据对勾函数的性质知y=J+1在心2时单调递增，

317q17

则当〃=2时，3〃+—+1有最小值丁<10,故。“+"的最小值为彳.故D正确.

n2n2

答案第3页，共13页

故选：D.

8.C

【分析】根据复数的乘法运算化简复数，进而根据纯虚数列出关系式即可求解.

【详解】•••（l+i）（l+«i）=l-a+（l+a）i是纯虚数

「・1—。=0,且1+awO，故a=l

故选：C

9.AC

【分析】由分布列的性质和期望公式求出机〃可判断ABC；由方差公式可判断D.

1132

【详解】由机+历+,+〃+历=1可得：m+n=—@,

又因为政T）=石（3X+1）=3双X）+l=10,故C正确.

所以（）冽+13

EX=2x:+3x—+4〃+5x—=3,

510

713

则机+4〃=仿②，所以由①②可得：n=—,m=^,故A正确，B错误;

£＞（X）=（1-3）2X—+（2-3）2X—+（3-3）2X-+（4-3）2X—+（5-3）2X—

v710v710v75v710v710

=4XA+1X±+1X±+4XA=13

10101010y

13117

£＞（y）=£»（3X+l）=9D（X）=9xy=—,故D错误.

故选：AC.

10.ACD

【分析】根据题意分析可知：直线/与双曲线C的一条渐近线平行，求点等］.对于A：

根据向量垂直分析运算；对于B：可得W%|=26,|A*|=2a,结合双曲线的定义运算求解;

对于C：可知M为|叫|的中点，则M［不用J，代入双曲线方程运算求解；对于D：结合

「2_〃2a22

余弦定理可得四司==吆上J,进而列式求解即可.

2。2。

【详解】由题意可知：双曲线C的渐近线为耳（-c,0），B（c,0）,y=±1X,

答案第4页，共13页

b

因为直线/的斜率k=—,则直线/与双曲线。的一条渐近线平行,

a

hah

可知ZNOF=ZNFO,tanZNOF=—,cosZNFO=—,sinZNFO=-,

222a2c2c

b

y=­x

联立方程a

bx+ay-bc=0

对于选项A：因为不=怦，手I，研=[-]噌,

V22aJv22aJ

若…，则取加=与+答一小叵”=。'

解得。2=4/，即C=2a,所以e=£=2,故A正确;

a

对于选项B：若MF、_LMF?,贝！||岫|=山月卜in/A^O=%,|Aff^=^8|cosNA^O=2a,

S.\MFt\-\MF2\=2b-2a=2a,可得2=2,

所以e=£=Jl+(21=非,故B错误;

3cbe।

对于选项C：若|意|=2|吗可知M为的中点，可得M

田2但丫

且〃在双曲线C上，贝吐4){4a),

«2b2

即三-£=1，解得彳=2,所以e=£=0，故C正确;

16〃16〃aQ

对于选项D：因为|吗|一|叫|=2%^\MF\=\MF^+2a,

22

国用『+W刃2TM■4c+\MF2^-(2a+\MF2\)_a

且cosZNF2O=即

2闺用用4C-\MF2\~c

解得阿国二?,1党|=”

答案第5页，共13页

若|岫|25|皿I，即3a2+c,5"。）解得£42,

2a2aa

所以e=£<虚，故D正确；

a

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：L椭圆、双曲线离心率（离心率范围）的求法

求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或

不等关系，然后把6用。，c代换，求e的值.

2.焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结

合起来.

11.ABD

【分析】根据递增，递减数列的定义即可判断AB正确，利用特殊数列可知C错误，根据等

比数列的定义可知D正确.

【详解】在等比数列中，an+｛-an=an（q~^,

当4>0,0<4<1时，显然有4（4-1）<0,故数列为递减数列，故A正确;

当％<0,0<夕<1,显然有凡（q-l）>0,故｛4｝为递增数列，故B正确;

若等比数列｛叫满足4=1,则S’+熊=1。%，2&=10%，，贝',故C不正确;

设等比数列｛%｝的公比为以470）,若勿=,，则等='=L所以也,｝是等比数歹U,

an"nan+iq

公比为,，故D正确；

q

故选：ABD.

12.9

【分析】由题意得x+l>0,原函数表达式可化为关于x+1的表达式，分离常数，转化为可

利用基本不等式求最值的问题，即可得答案.

【详解】因为x>T,贝iJx+l>0,

厂+7x+10(x+1)~+5(x+1)+4

所以y=----------=-——-——-——--

x+lX+1

4I4~

二(X+1)+——+5>2J(x+l)----+5=9,

x+1vx+1

答案第6页，共13页

4

当且仅当x+l=—；即％=1时等号成立，

已知函数的最小值为9.

故答案为：9.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分

母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题.

13.；或2-16或14

【分析】利用给定条件，结合等比数列通项列出方程，求解方程得4;分类求出

｛(-l)"+log24"｝的通项,再求出前5项和.

【详解】等比数歹地,｝的公比为",由肃—『得瑞照

整理得2/一5«+2=0,所以4=：或4=2；

当q时，(一l)"+log2/=(-l)"-”，数列｛(-l)"+log24"｝的前5项和为

-1+(-1-2-3-4-5)=-16,

当4=2时,(-ir+log2^=(-ir+«,数列｛(-1)”+七2力的前5项和为

-1+(1+2+3+4+5)=14,

所以数列｛(-1)"+1海力的前5项和为-吐或14.

故答案为：；或2；-16或14

14.—

32

【分析】根据条件概率公式即可求解.

【详解】用4可分别表示取的一人是来自高一和高二，B表示抽取一个恰好是女生，则由已

知可知：P(A)=粤=：,尸口)=黑=,,且尸(叫A)=。,尸(8区)=

160816081514

所以尸(2)=尸网尸但可+可用尸作团］义|+|义：=||

21

故答案为：—

C4

15.(1)tan—=-

答案第7页，共13页

（2）tanC的最小值为y24,此时k的值为3|

【分析】（1）由余弦定理可以得到cosC与边之间关系，结合第一问的条件利用等面积法既可

以求得；（2）参照第一问的解法，再结合第一问的结论，可以求得tan］的取值范围，再利用

二倍角公式即可求得.

【详解】（1）设。，b,c分别为角A,B,C所对的边，CD=h,则a+b=c+/z.

在VABC中，由余弦定理得

c°sc/+〃一一+

2ab2ab2ablab

1+cosC/z2+2ch=iA.

由—absinC=—c/z^ab=—所以-------=----+---

sinCsinC2ch2c

因为钻=2处所以0°,于是吠=1+（T

万2sin一cos一

.C??sinC_4

而tan彳二----「

22cos2-1+cosC5

2

।I_i___h_—_____1___

（2）法一：由（1）知，2cC.

tan—

2

如图，在VABC中，过B作AB的垂线EB,且使EB=2/z,

贝!!CE=CB=a，则AC+CE=〃+Z?NAE=Jc?+4/?,

即（c+/z）02，+4/，所以A7

14

于是即:Vtang<l

tany42

_2

令函数1=乏，%e（O,l）,则尸匚在（0,1）上单调递增,

1—XX

X

C3

2tan-2x—24

所以tanC=--------2->-^=此时

故所求tanC的最小值为9日4，此时人的值为3

答案第8页，共13页

E

法二：由S=—absinC=—ch=—c(a+b-c],

222'7

得sinA+sinB-sinC=sinA•sinB,即sinA+sinB-sin(A+5)=sinA-sinB,

1-cosA1-cosBAB

化简得----------+-------=--1--,BPtan—+tan—=1,

sinAsinB22

AB、2

ftan+tan

A22

因为tan,〉。，tan—>0,所以0<tan—•tan—W——,

22224

7

C1

tan——==11-tan—A•tan—>—33C

于是2AB224,即一Wtan—<1

tan—+—42

22

2

鼻，则

令函数y=xe(O,l),尸匚^在（0,1）上单调递增,

C

2tan—2x-

o24

所以tanC=------>--——43

2y,止匕时％二,.

1一tan一3'

21-

故所求tanC的最小值为2三4，此时发的值为全3

16.（1）证明见解析

⑵3-2"-〃-3

-4,+1

【分析】（1）将。3+2%+|=〃同+2+。“+见+2变形并求出工，根据等比中项法即可得证；

（2）根据（1）可求出｛《｝的通项，再利用分组求和结合等比数列的前"项和公式求解即可.

【详解】（1）证明：因为。3+2an+1-anan+2+4+%+2,

答案第9页，共13页

所以(%+1+1)2=(4+1)(。“+2+1),

目口%+i+1=凡+2+1

艮1)11.

a〃+lan+\+1

因为4=2,%=5,所以％+1=3,2+1=6,

所以数列｛«„+1｝是以3为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)知，a„+1=3-2"-',

所以4=3-2修-1,

而z3(1-2")

所以S”=-------------n=3-2"-n—3-

"1-2

17.(1)1

(2)证明见解析

【分析】(1)通过判断了'(x)的正负得到广⑺在[0,+A)上的单调性，再利用单调性求出最

小值即可；

(2)因为g(x)=e*+cosx-ox-2(awR),则g'(x)=e*—sin尤一a2e*]]—1+,令

夕。)='等(-gv尤＜0),求导，通过分析夕(x)的正负，得到9(x)的单调性，从而得出夕⑴

的最值及g(x)的正负，即可得到g(x)的单调性和最值，从而得证.

【详解】(1)由题意知/'(%)=©"-5111%(%20),

令h(x)=e%-sinx,贝ljh\x)=ex-cos%,

xx

因为当X£[0,+oo)时，e>l,cosx<l,BP/z\x)=e-cosx>0,

所以/i(x)即f\x)在。+8)上单调递增，

所以/'(%)在。+到上的最小值为f(0)=1.

(2)由题意知g(x)=e"+cosx-以一2(QER),又因为

所以，(%)=ex-sinx-iz>ex-sinx-1=exH-+S^nXj,

答案第10页，共13页

A/、1+sinx.兀/八、

令夕(%)=———(--<x<0),

^2cos^x+^-j-1

贝!)，/、cosx-sinx-1

夕⑴=-一---------?

因为无£一1°1，所以％+所以cos(x+')2

L2J4L44J42

因此9'(x)N0Mx)在-今,。［上单调递增，

所以当xe-］,()］时，0(x)<p(O)=l,所以g'(x)>0,

所以gG)在-：。［上单调递增，所以g(x)<g(0)=0,

即当aWl时，在一万,。［上g(x)<。.

18.(1)证明见详解

⑵(L+co)

⑶(-8』

【分析】(1)求导，利用导数判断g(x)的单调性，结合单调性分析证明；

(2)求导，令Mx)=(x+l)e-a,x>0,利用导数分析可知网力在(0,+")内单调递增，分

类讨论〃(0)=1-。的符号，进而分析/(x)的极值，即可得结果；

(3)构建*x)=2/(x)-g'(x)-2,分析可知原题意等价于打x)N0对任意xe［0,可恒成立,

根据端点效应可得,并代入检验说明其充分性即可.

【详解】(1)因为g(x)=sinx-x,则g，(x)=cosx—1V0对任意xw［0,+oo)恒成立，

可知g(无)在［。,+e)内单调递减，则g(X)Wg(0)=0,

所以当xe［0,+(»)时，g(x)V0.

(2)因为/(x)=