2025届安徽省江南十校高三年级下册第一次联考（一模）数学试题（含答案）

姓名：座位号：

（在此卷上答题无效）

绝密★启用前

2025届安徽省“江南十校”联考

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.对于非空数集用s（M）表示M中所有元素之和.若非空集合M，此满足MuM=加且

M]C=0,则称Mi,此为"的一个划分.已知M=｛-2024,-11,-4,5,14,2025｝且

跖称为M的一个划分，则|S（M）I—的最大值为

A.2B.3C.5D.6

2.在平面四边形N3CO中，AB-BC=BC-DC=DC-AD=AD-AB,则平面四边形

ABCD的形状为

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.矩形或菱形

3.若关于x的方程（1—。，+。+。》+（1+石）=0有两个虚根，则实数力的取值范围为

A.（0,2）B.C.（2夜,+00）D.（«,2）U（2,+s）

4.若｛0,1｝为集合4=｛Igx,Igy,lg（x+（）｝的一个子集，贝中最大元素的最大值为

A.1B.1g11C.lg（5-2V6）D.lg（5+2巡）

5.已知在平面直角坐标系中，0（2,80）,。2（5,64）,。3（7,72）且圆。1、圆4、圆。3的半径

相等.直线/过。2且满足直线/一侧的三个圆各部分的总面积与另一侧的三个圆各部分的

总面积相等，则直线/的斜率为

A.24B.24或-24C.-4D.2

6.如图，D,瓦尸分别为△/BC边8C,上的点且线段4D,3E,CR交C

于4ABC内一点尸.已知PE=3,PA=PD=6,PB=9,CF=20,贝

△N3C的面积为

A.54B.60

C.108D.144

（第6题图）

数学试题第1页（共4页）

7.对于由1,3,5,7,9这五个数码构成的数，我们称1,9均各出现偶数次（均可以不出现）

的数为“好数”.则10位数中“好数”的个数为

A.226365B.881112C.1966165D.2470931

8.设为不等实数，则关于龙的方程（“-6）无2。24+（/_/）/023+…+Q2024_产24%+

（/。25—廿025）=0的实数根的个数至多为

A.1B.2C.1012D.2023

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得。分。

9.新时代10年，我国铁路总体技术水平迈入世界先进行列，在高铁建设反腐领域遥遥领

先.近日，某质检部门对分别对甲、乙两家公司负责的两处高铁建设工地中的橡胶弹性

垫层进行了抽检，测得10件样品的邵氏A型硬度值如下表所示（单位：度）.

样品编号12345678910

甲公司81777881868082848079

乙公司88857684748076878172

已知邵氏A型硬度值为80±5（度）的橡胶弹性垫层为符合高铁建设要求的材料,

且从正常途径采购的高铁用橡胶弹性垫层的邵氏A型硬度值（单位：度）服从正态分

布N（80,22）,则

喝n{ad-bcf（_«0.0500.0100.001

:r-（a+Z））（c+O（a+c）（fe+OVi-a+D+c+a）%3.8416.64510.828

若随机变〜NQ,,cr2）,贝！JPQi+«0.68,—2a<X</.t+2（f）«0.95.

A.甲公司使用的橡胶弹性垫层的邵氏A型硬度值的第80百分位数为82（度）

B.两公司使用的橡胶弹性垫层的邵氏A型硬度值的方差，甲公司的更小

C.乙公司未从正常途径采购高铁用橡胶弹性垫层

D.有90%的把握认为使用的橡胶弹性垫层是否合格与负责建设的公司有关

10.在平面直角坐标系中，称横纵坐标均为有理数的点为有理数点，则

A.圆龙2+_v2=3上存在有理数点

B.椭圆3/+4y2=12上存在无穷多个有理数点

C.曲线+3x+v2=0上不存在有理数点

D,曲线-必+/=17上存在有理数点

11.闭多面形是指由有限个平面多边形（不必为凸多边形，这些平面多边形称为该闭多面形

的面，它们的边和顶点分别称为该闭多面形的棱和顶点）拼合而成的几何体，其中这些

平面多边形的拼合方式满足：（1）每两个顶点可以由几何体的一些棱所组成的折线连接

起来；（2）任两个面或没有公共点，或恰有一个公共的顶点，或恰有一条公共的棱；（3）

每条棱都恰是几何体两个面的公共棱；（4）每个顶点都是锥形的顶点.对于有k个顶点，E

条棱，/个面的闭多面形尸，定义改尸）=%—E+尸，则X（P）可能为

A.-2B.1C.2D.4

数学试题第2页（共4页）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.电脑中有88个文件夹，小明同学每次会将文件随机存入其中的一个文件夹或以《的概率

丢失.现小明同学想要找一个文件，他已经找过了"(1<77<88)个不同的文件夹，但都

没有找到.则他在剩下未找过的文件夹中找到该文件的概率为.

13.计算：(sin36o+2sin72o+3sinl08o+---+10sin360°)2=.(用数字作答)

14.已知a,b,c为正实数且(a+6+c)g+,+1)=16,则(a?+/+c，)+3+的最大

值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出证明过程、文字说明或演算步骤。

15.(13分)

已知椭圆+1(。>6>0),「的长轴长为4,离心率为;.

(I)求r的方程；

(2)已知△N8C每条边都与r相切且△N8C面积为6,求点N的轨迹方程.

16.(15分)

。,4民C,J为空间中五点(。,4民C不共面)，若J满足=

则OJ为射线组0-43C的空间角平分线.

(1)证明：由一点引出的不共面的三条射线有且仅有一条空间角平分线；

(2)已知在三棱锥尸-48C中，射线组4P8C,8-PC4,C-/8的空间角平分线交于一点，

(i)证明：射线组P-N8C的空间角平分线为K7；

(ii)已知口=4,PB=PC=5,AB=AC=3,求8c.

17.(15分)

十九世纪60年代，数学家Wilhelm首次给出了严格的极限的定义：设函数/(%)及实

数xo满足/(%)在｛x[0<\x-x0\<ri，rleR+｝上有定义，若实数a满足网>0,勤〉0使得Vxe

｛x|0<|.r—x0|<S],\f(x)—a\<e,则/(x)在x()处的极限存在且为a,记作limf(x)=a.

(1)分别求limx,limsinx,lim—,lim---的值；

x—OX—OX->0%x—O%

(2)若函数/(x),g(x),/(x)的定义域均为R且limy=1,证明：lim厂(f(x))=lim/g(x))；

⑶已知对于实数Xo及在｛x|0<|x-殉|<〃,〃CR+｝上有定义的函数/(x),g(x),有

1_1_

lim(f(x)-g(x))=lim/(x)-limg(x),求lim°+»一。+2x”'的值.

X->X()X->0sinx

附：对于实数xo及在/=｛x|0V|x-xol<〃ER+｝上处处可导的函数/(x),g(x),若

呼1

且。则

lim/(%)=limg(x)=0VxG/,g(x)0,lim—=:z.

g(x)vhmg(x)

数学试题第3页(共4页)

18.（17分）

已知a为正无理数.设劭=[a],oq=—,a—[aj,a=—■—,­••,a=[a„],a=

a—a（）x2a]一1]nn+i

…，其中[x]表示不超出的最大整数.

an

（1）证明：可以写出无穷多项斯；

（2）定义运算㊉满足按照从右向左的顺序计算且1㊉，=如:㊉:㊉|=一，.已

yX+12342+—r

y3+；

知数列｛斯｝满足〃〃=劭+Y■㊉工㊉…㊉―），根据〃〃为均有理数，设期=冬（〃=

a\。2an%

1,2,…），其中%,%（"=1,2,…）为正整数且p”,■互素.

（i）证明：pnqn_2-qnpn_2=（-l）«a„（«>3）；

（ii）证明：|a—即|>|a="”+i|；

（iii）若正整数满足互素且卜―三<卜―外，试判断q与外的大小关系并说明理由.

19.（17分）

在博弈论中，如果一个游戏满足：（1）游戏有两个人参与，二者轮流做出决策，双方均

知道游戏的完整信息；（2）任意一个游戏者在某一确定状态可以做出的决策集合只与当前的

状态有关，而与游戏者无关；（3）游戏中的同一个状态不可能多次抵达，游戏以玩家无法行

动为结束，且游戏一定会在有限步后以非平局结束.则称该游戏为公平组合游戏.

现有两堆石子，每堆分别有。颗和b颗石子，其中凡6为正整数且“WA甲和乙准备用这

两堆石子做游戏，规则如下：（1）甲和乙轮流进行游戏，将一定数量的石子取出；（2）每人

每次可以从两堆石子中同时取出相同数量的石子（不多于较少一堆石子的数量）或从任意

一堆石子取出任意多只石子（均不可以不取）；（3）最先使两堆石子均没有石子的人获胜，

游戏结束.

（1）试说明该游戏为公平组合游戏；

（2）称游戏中最先行动的游戏者为先手，已知公平组合游戏中的任一状态都能确定为先手有

必胜策略的状态（记作P状态）或先手无必胜策略的状态（记作N状态）这两种状态中

的一个，用（私"）表示两堆石子分别有加颗和"颗石子的状态，试分别判断（1,2）,（6,7）为

P状态还是N状态并说明理由；

（3）试判断当a,6满足何种数量关系时甲作为先手无必胜策略并说明理由.

附：若均为正无理数且1+-=1,P=｛[MX]In6N*）,Q=\\ny\\n6N*],则Pfl0=

xy

。且PUQ=N*,其中国表示不超过x的最大整数.

数学试题第4页（共4页）

2025届安徽省“江南十校”联考

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，选对得5分，选错得0分.

序号12345678

答案DBABCABD

答案解析：

-1+Z1.

1.解析：因为z=」一=里±。=所以z=1,故三的虚部为-工，故选D.

1-z22222

2.解析：因为/=｛x|》2—x—2<0}={x|—1<X<2}，B={xe7V|0^x<2}={0,1,2),

所以/。5=｛0』｝,故选B.

3.解析：直线2x—>+1=0的斜率为2,5=(1,2)是直线的一个方向向量，由。〃〃，得2m—1=0,

所以加=,，故选A.

2

4.解析：因为｛%｝为等差数列，所以几=1""；%5)=15%=120,得私=8,则"=4・/=8,

故q=2,所以4=仇-42=25,1。8/6=-5,故选B.

37T

5.解析：由三角函数的定义知，tana=20，设动点尸以Z为起点沿圆周逆时针转动彳弧长到达

助•7T,、(71A

点5时转过的角度为九则/=q=—,所以tan®二tan(a+y+2hi)=tan|^cif+—J=

OA4

tana+1272+19+4\/2,,

--------=-------=---------,keZ,故选rC.

1-tancr1-2V27

Itaney1-+5

6.解析：设/片厚层=。，贝！1318=9,由cos28=

bl+(tan^)2]+(与2b?+c?13

2

9b2=4c2,所以4c2=9(02一/),整理得e2===2,所以e=^5,故选A.

a55

第1页共10页

4G、t»、11ln(tz+l)+lnaln(a2+a)/八

7.解析：由题可知，在(0,+oo)上/'(x)=---+---------=———-----=---------—w0，

xmaxln(«+1)xmam{a+1)xmam^a+1)

Inf/j2+fIna>0

因为a〉0且awl,所以ln(a+l)〉O,则叫“"上0,当，，2、八时，。不存在；当

Ina[ln(a-+a)WO

Ina<0_i+A/s-1+A/s-1+A/s

I/2、、八时，」)，经检验a=—"2不符合题意，故。1).故选B.

〔ln(cf+a)》OL222

3i

8.解析：由x+3y=x3y2,x>0,y>0,得一+—=x2y,

^y

所以(3+2)2=二+二+竺=乂+±(工+3)=斗+±->>=二+4/22A=12,

xyxyxyxyyxxyx

当且仅当3=4/,即x=Y6,逅二2石时成立,所以3+2的最小值为2百，故选D.

%22-3xj

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

序号91011

答案ABABDACD

9.解析：对于A选项，由数据国,工2,…，4的方差为1及B=2毛+4知，数据%…,稣的方差为

22xl=4'故A选项正确;

对于B选项，由数据国,々,…,4的平均数为10及%=2毛+4可知，数据y1,y2,---,y6的平均数

>=2x10+4=24,所以数据国,工2,…，天，乂，>2,…,％，的平均数为-----......=17,故B选项

正确；

对于C选项，在数据国,马，…，/中增加一个数据10,因为原数据的平均数为10,故新样本的平均数

仍为10,而方差等于:]£(西—10『+(10—IO)?=yx6<l,故C选项错误；

对于D选项，取数据9,9,10,10,10,12,则加=〃，故D选项错误.故选AB.

10.解析：对于A选项，因为45=3CD=12G，40=8,所以圆台的高力=标乙"1了=4,

所以「=；兀.4•[(2J§)2+2行•66+(6向2]=208兀，故A选项正确；

如图，将圆台补成圆锥，顶点记为T,底面圆的圆心记为0,则对于B选项，当母线和轴0T所在的

第2页共10页

平面与平面ABCD垂直时，母线所在直线与平面ABCD所

7T

成的角最大，且最大值为一，故B选项正确；

3

对于C选项，因为cosN7BO=逋=且，

82

7127171

所以NTBO=—,则//必=兀-2/7B。=——，所以当两条母线所在直线的夹角为一时，截面面

IJT1JT

积最大，且(S截面)max=5x1225,5—5x42sin^=64,故C选项错误；

对于D选项，如图，在梯形4BCD中，连接CE并延长交氏4的延长线于点连接收交底面圆于

点N,则ACV为截面与底面圆的交线.

由坐=警=2,得/尸=2收0尸=8技

所以tan/OME="=皆=3,则交线FNM

OM6G3

AW=2x6g-05/0叱=^^,故D选项正确.故选ABD.

5

11.解析：因为函数/(x)是R上的偶函数，所以/(-x)=/(x),则［/(-x)r=/'(x)，又g(x)是/(x)

的导函数，所以-g(-x)=g(x),故g(x)是奇函数且g(0)=0；由/(3-x)+/(x)=l,两边同时

3

求导可得-g(3-x)+g(x)=0,故g(x)的图象关于直线x=-对称.

因为g(x+6)=g(-x-3)=-g(x+3)=-g(-x)=g(x),故C选项正确；

对于A选项,因为g(2025)=g(337x6+3)=g(3)=g(0)=0,故A选项正确;

对于B选项,例如函数/(%)=|^05恭+；,此时gg)wg；

对于D选项，由/(3-x)+/(x)=l及/(%)是偶函数，得/(x-3)+/(x)=l,所以

/(x)=—/(x—3)+l,/(x+3)=—/(x)+l,即/(x+6)=—/(x+3)+l=/(x),所以周期T=6,

62025

故Z/(〃)=3,则Z/(〃)=337x3+l—1=1011，故D选项正确.故选ACD.

n=ln=l

第3页共10页

三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.

12j=2ex-e解析：因为V=（x+l）e1所以曲线在点（l,e）处切线的斜率左=2e,则切线方程为

y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.

13.5解析：由题意，不妨设P（2,0）,则/（2,—0）,记。（1,0）,则直线PQ的方程为｝；=后（》—1），

x-2,\/2_p+2=0

直线x=2关于直线尸。的对称直线必为x—2岳+2=0，由＜,消去x得

---1---=1

184

5y2-4V2j-2=0，因为%＞,乃；=_2,所以也，则-==冉!=5.

5j5r2S△班B网

14.26解析：（方法一）（1）“百位”拨动3枚算珠：300、700.

（2）“百位”拨动2枚算珠：210、250、201、205；610、650、601、605.

（3）“百位”拨动1枚算珠：120、102、160、106、111、151、115、155；

520、502、560、506、511、551、515、555.

则符合条件的三位整数的个数为26.

（方法二）同一个档上拨动1枚算珠有梁上拨动一珠、梁下拨动一珠两种情况；

同一个档上拨动2枚算珠有梁上拨动一珠梁下拨动一珠、梁下拨动两珠两种情况；

同一个档上拨动3枚算珠有梁上拨动一珠梁下拨动两珠、梁下拨动三珠两种情况；

故符合条件的不同三位整数的情况为：三个档各拨动一珠，共C；GG=8个；一个档拨动一珠、

个档拨动两珠，共4C；C；=16个；一个档拨动三珠，共C；=2个，则符合条件的三位整数的个数为

26.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

解：（1）两次摸球，摸出的小球号码i,j的所有情况共=9种，............1分

其中，满足，+/＞，•）的情形有：

7=1时，/=1,2,3；，=2时，/=1；1=3时，j=l,共5种情况，........4分

则4Z）=：；

5分

（2）X可能的取值为0,1,2,3,6分

C\C\C\,_124

p(x=o)=C\C\C\-45-15：

204

_CGC_459

第4页共10页

_11

p(x=2)=

45

…”器O

10分

所以X的分布列为：

X0123

44112

P

1594545

11分

^X=0x—+lx-+2x—+3x—=—13分

159454515

16.(15分)

解：(1)当a=2时，/(x)=l-2sinx-cos2x=2sin2x-2sinx1分

由ff(x)=4sinxcosx-2cosx=4cosx(sinx-=0,xe(0,7i)

ZR71715兀

倚%]二%，二5，、3=3分

因此，当X变化时，/'（x）,/（x）的变化情况如下表所示:

(吟71(巴-)71驾5兀5兀

X（-7~，兀）

6626~66

/'（X）—0+0—0+

/（X）单调递减单调递增0单调递减单调递增

71

所以当X二万时，/（X）有极大值，并且极大值为=0.6分

(2)g(x)=f(x)-f(^-+x)=l-asinx-cos2x-\\-asin(x)-cos2(x)]

二-asinx-cos2x+acosx-cos2x

=a(cosx-sinx)-2cos2x

=(cosx-sinx)[a-2(sinx+cosx)]

兀a

当xe[0,?r]时，由g(x)=0,得》=—或sinx+cosx=—,…”9分

42

其中sinx+cosx=V^sin(x+：)且x+£e[:，苧],所以sinx+cosxe[—l,正],10分

第5页共10页

zy

当口<一2或4>2行时，方程sinx+cosx=,无实数解，此时函数g(x)只有一个零点；

JT

当a=2后时，方程g(x)=O只有一解且为x=i，此时函数g(x)只有一个零点；

当2伞<2四时，方程sinx+cosx=］有两个不同的解且均不等于方，此时函数g(x)有三个零点;

H7T

当-2Wa<2时，方程sinx+cosx=—有一个解且不等于一，此时函数g(x)有两个零点.………14分

24

综上：当a<-2或磋2拒时，函数g(x)只有一个零点;

当2Q<2后时，函数g(x)有三个零点；

当-2Wa<2时，函数g(x)有两个零点.........15分

17.(15分)

解：(1)如图，取。£的中点尸，连接收，人不，因为",N分别是棱40,£C的中点，

所以MFIIAE,NFIICD,又ABHCD,所以NF〃/团………1分

因为MFHAE,敏(/平面/£口平面A4E，

所以“〃平面氏4£,..........................3分

同理可知,NFH平面BAE,...........................4分

因为“ECINE=/，所以平面上行N〃平面

又上Wu平面〃FN,所以上W〃平面/BE..........6分

(2)证法1：连接取。C的中点G,连接4G,

因为且Z8=LCD=I,ABLBC,所以ZGLG。，DG=1,

2

又//。。=60°，所以4。=2,故△ZOC为等边三角形，所以CW_L=6,

因为△/£>£为等边三角形，所以DE=2,EM=C,MEVAD,.................8分

在△«)£中，CE2DC2+DE2-2DC-DE-cosZCDE=4+4-2x2x2x-=6,

4

所以002+旌2=C£2,所以NCME=90°，即

所以ME,"C两两互相垂直,10分

以M为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系，则

第6页共10页

c（o,o,V3）,£（o,V3,o）,r＞（i,o,o）,4-1,0,0）,由

4B=3DC，得5（—T，0,母），

反=（o,—G,百），丽=（—I，—G,告），设平面

BCE的一个法向量为〃=（x/,z）,

-y/3y+y/l>z=0

n-EC=O

则由＜

n-EB=0

V3grp,-,A/3

令Z=1,则y=1,X=>所以〃=(一--,1,1).13分

取平面4D£的一个法向量加=（0,0,1）,记平面BCE与平面4D£的夹角为。，则

/、m-nJ2I所

cos6=cos(m,n)=一==--,即平面8CE与平面40£夹角的余弦值为—.……15分

'/m\\n77

证法2:如图，延长。民以相交于点。，连接£。，同解法1

证得CW面Q£Q,.............10分

过点M作"”，£。，垂足为〃，连接C8,因为

EQ±MH,EQ±CM,MH^MC=M,

所以£QL平面CM”,

所以EQLCH,所以NAZHC为二面角。—£Q—C的平面角...................13分

因为MQ=3,ME=也,由EQ?=旌2+上@2,得EQ=25

由S4MEQ=；ME.MQ=；EQ-MH,得=j,又CM=g，所以8=叵,所以

2222

cosZMHC=—=即平面BCE与平面40£夹角的余弦值为回...........15分

CH77

第7页共10页

18.（17分）

解：（1）因为—血）2—1/+（^+&）2=2，由双曲线的定义知点G的轨迹是以（0,、历），

（0,—J5）为焦点的双曲线的下支，其中2a=2,c=J5,则"2=02_/=1，所以点G

的轨迹方程为产_/=1（”0）............3分

V

（2）①证明：设4>1，乃）,5（马j2），由V=4y,知了=5,所以抛物线在Z点处的切线方程为

y-yt=y（x-X1）,又x，=4%,所以占工一2了一2%=0,设点P的坐标为（Xo/o），由切线过

点P,得占%一？%）—2%=0,..........5分

同理可知，由8点处切线过点P,得马%—2%-2%=0,

所以直线48的方程为与x—2y—2%=0..................7分

因为〃/45,所以直线/的斜率左=右3=&,又因为直线/的斜率左="，所以X°=Xo.

22

x2=4y

联立〈，消去V得—9—2/、+4%=0,因为/是弦的中点，所以

卜、-2尸2%=0为

工时=五产=%，所以X0=x“=Xo,即P,Q,M三点共线.........10分

222

②因为V。=2=7，所以直线/的方程为y—?=T（x—/），即2x°x—4y—x；=0,联立

y2-x2=l,消去x得（4x：-16）必—8xQ-x：-4x：=0,由题意知方程有两个不等的负根.

...........12分

4%Q-16^0

A=64x：+16（xj-4）（x：+4x：）〉0

所以|<0，.............14分

4片-16

-Xp-4Xg

4君-16

解得2遍-2<x：<4,..............16分

所以1。*=坨+1=J+le（浮1，2）................17分

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19.（17分）

._______aQ

解：（1）①因为对任意〃eN*，=a“M都成立,且氏〉0,所以二"=3,则数列｛%｝是

anan+l

等比数列，又2S〃+]=S〃+2,2S〃=S〃_]+2522/£N*）,作差整理得

2。〃+]=£N*）,所以公比又由2s2=百+2,得2（。]+g4）=a1+2,

解得％=1,所以数列｛4｝通项公式为。〃=§）〃1...........4分

②由①知明二,即：1,—,—,—,—,

224816

设数列｛〃｝的首项4=（工）"1,公比为（!）:其中也keN*,

22

（;严（：）小1

则数列｛bn｝的各项和等于2,所以上一W—,6分

1-夕1-甘15

又因为0<1—（；了<1,