2025高考数学二轮模拟冲刺卷（新八省）（试卷+答案解析）

2025年高考数学第二次模拟考试

高三数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.设集合A={-1,0,1,2,3},3={xwN|3—2x>0},则4口8=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}c-WD.{2，卦

上到对应的点位于（

2.在复平面内，）

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知平面向量a与B的夹角为60。,。=（2,0）,且=1,则。+2同=()

A.石B.2A/3C.4D.12

4.袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个.在第一

次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（）

A.0.25B.0.4C.0.5D.0.6

5.已知双曲线C的两个焦点为原，F2,尸为C上一点，|「耳|=|斗月|,N尸耳耳=30。，则C的离心率为（）

A四+百N1+A/2+A/3„1+272„1+2石

A.------D.---------C.------D,------

2222

6.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为〃三角垛〃.其最上层

有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（）

A.210B.220C.230D.240

7.已知四面体ABCD的各顶点均在球0的球面上，平面ABC±平面BCD,AB=BC=AC=CD=2,BCLCD,

则球。的表面积为()

167rC28〃

A.-----B.87rC.-----D.127r

33

8.已知函数丁=3加"@+2)是定义域为R的偶函数,fi/(x+l)=/(7-x),当xe［0,2］时，

〃x)=4cos［；j,贝iJ/(l)+/(2)+〃3)+…+〃2025)=()

A.2上B.2A/2C.254D.2025

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列函数既是奇函数，又是增函数的是()

A.y(x)=x|x|B./(x)=|liu|

C.=D./(x)=^-^-

v72V+2v7T

10.已知椭圆江+工=1,A,2为左右两个顶点，片,F?为左右两个焦点，。为原点，P为椭圆上一点,

96

则().

772

A.kpA'kpB=--

8.|「耳卜|巡|的范围是［3,9］

C.若直线/过点F?与椭圆交于M,N,则》”=2+百

D.若cos/耳Pg=|,则|PO|=早

11.点P是棱长为1的正方体ABCD-44GR的表面上一个动点，则下列结论中正确的()

A.当P在平面上运动时，四棱锥P-AB与4的体积发生变化.

IT1T

B.当尸在线段AC上运动时，2尸与AG所成角的取值范围是

C.若尸是A圈的中点，当P在底面A5CD上运动，且满足尸尸//平面802时，PP长度的最小值是如

D.使直线"与平面ABC。所成的角为45。的点P的轨迹长度为20+兀

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

+a10

12.在等比数列｛。“｝中，若q=2,a35=>则％=.

13.设一组样本数据占,马,…，占。的平均值是1,且尤;，好，…,说的平均值是3,则数据玉,当,…，占。的方差

是.

x3+3x2—2,x<0,

14.已知〃尤)=Inx若函数g(x)=/(x)-根有两个零点，则加的取值范围为______.

-----,x>0,

、了

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且竺g=吧91空

csin3+sinA

⑴求角B；

(2)若VABC为锐角三角形，AC=2,。是线段AC的中点，求3。的长的取值范围.

16.(15分)在三棱锥P-ABC中，侧面PAC是边长为2的等边三角形，AB=42,PB=2,ZABC.

2

⑴求证：平面PAC_L平面ABC；

(2)求平面与平面PAC的夹角的余弦值.

17.(15分)某市对高三年级学生进行数学学能检测(简称检测)，现随机抽取了1600名学生的检测结果

等级(“良好以下”或“良好及以上”)进行分析，并制成下图所示的列联表.

良好以下良好及以上合计

男8001100

女100

合计12001600

(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关;

(2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩

进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好

及以上”的人数为。求孑的分布列和数学期望E(f).

附表及公式:

pg>fc0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

其中片=n(ad-bc')

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d.

18.(17分)已知函数/(x)=ln(x—l)—依+2,acR.

⑴讨论了(%)的单调性；

⑵证明：！+!+…+二(心2且"N*)

352n—123

1一2

(3)若对任意无＞0,都有〃x+l)21--恒成立，求实数。的取值范围.

x

19.（17分）已知抛物线r:丁=2盾（P>0）的焦点为上任意一点尸到F的距离与到点£（2,0）的距离之

和的最小值为3.

⑴求抛物线r的标准方程；

⑵已知过点E的直线4，与：T分别交于点AC与点B,。，延长AB,DC交于点Q,线段AC与3。的中点分别

为M,N.

①证明：点Q在定直线上；

②若直线直线。“，ON的斜率分别为左次2,求左色的取值范围.

2025年高考数学第二次模拟考试

高三数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.设集合A={-1,0,1,2,3},3={xwN|3—2x>0},则4口8=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.{2,3}

【答案】B

【分析】根据题意，求得8={0,1},结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】由集合8={xeN|3-2x>0}={0,l},

又因为A={-l,0,l,2,3},可得4口3={。，1}.

故选：B.

2.在复平面内，心对应的点位于（）

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

［答案］D

【舞析】利用复数的模长公式、除法运算法则及几何意义计算即可.

【详解】易知|l—2i|=jF+（_2）2=卮所以^^二（丹;争,

4I"I［4I--1IJJ

即匕型对应的点为（乎,-呼］，位于第四象限.

2+i155J

故选：D

3.已知平面向量4与1的夹角为60。为=（2,0）,问=1,则|花+2同=（）

A.不B.273C.4D.12

【答案】B

【解析】由题得同=2,无B=同归卜0$60。=2><1*!=1,

所以M+2可=2方）2=J万2+4）2+4万・5=A/4+4+4=2A.故选：B.

4.袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个.在第一

次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（）

A.0.25B.0.4C.0.5D.0.6

【答案】B

【分析】分别设事件“第一次取得白球”和“第二次取得红球“，由条件概率计算公式求解即可求解.

【详解】设第一次取得白球为事件4第二次取得红球为事件

所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为：

4X2

%[4）=需=舞=|=0.4.

I）6X5

故选：B.

5.已知双曲线C的两个焦点为耳，F2,P为C上一点,|幽|=|耳心|,/尸耳玛=30。，则C的离心率为（）

4A/2+73„1+72+A/3„l+2y/2„1+2万

2222

【解析】如图，取线段%的中点连接耳加，

因为|刊"=|月么|,NP耳8=30。，所以N£PM=75。，且用欣_LP/"

所以cos/耳PM==cos（45°+30°）="一五,

设1PMi=（#-0）左，则IP4|=44，

c2c\FlF21\PFX|4k

所以C的禺心率e=—=丁=―=~।DU।=~~<-

a2a|尸耳|-1尸g|\PFl\-\PF2\4k-2（16-gk

_2_a_&（&+1+我_叔丁+1+我_1+应+）

-S®「邑"@一（夜+1）2_3-2式-2

故选：B.

6.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层

有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（）

A.210B.220C.230D.240

【答案】A

【分析】依据规律找出每一层小球数构成的数列的递推关系，利用累加法求出通项，从而求出第20项即可.

【详解】设第〃层的小球个数为依次构成数列{%},由题:4=1*%=3g=6,4=10…

从而有规律：=n（n>2,n&N+）

九(九+1)

以a“=q+一％)+(。3-—)=1+2+3+…，+九=(«>2,MeN+）所以

-2~

20x21

=210.

2

即第20层有210个小球,

故选：A.

7.已知四面体A8CD的各顶点均在球。的球面上，平面ABC上平面=AC=CD=2,BCLCD,

则球。的表面积为（）

16%287r

兀万

B.3亍D.12

【答案】C

【分析】先找融。和△38的外接圆的圆心，过圆心分别作两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点

就是球心.

【详解】如图，取BC的中点为E,2。的中点为尸，所以尸为△BCD的外心，

连接AE,EF,设AASC的外心为G,

因为AB=3C=AC=2,即AABC为等边三角形，

所以点G在AE上，且设球心为。，连接OG,OF,

则OG_L平面ABC,。尸，平面BCD,

因为平面ABC上平面8c。，所以OG_LO/，

因为“LBC为等边三角形，E为BC的中点，所以AE18C,

因为平面ABC上平面BCD,平面ABCc平面BCD=BC,AEu面ABC,

所以AE_L平面BCD,则AE〃。P，又£Fu平面BCD,所以AE_LEF,

同理1平面ABC,所以EF〃OG,故四边形OGEF是矩形.

由3cl.cD,可得BD=JgC?+切2=2也，故。尸=血，

XOF=EG=—AE=—ABsin60°=^~，

333

7

设球。的半径为R,贝UR?=。。2=。产+加2=耳,

所以球。的表面积5=46?2=手

故选：c.

8.已知函数y=sinx-/(x+2)是定义域为R的偶函数,M/(x+l)=/(7-x),当xe[0,2]时，

〃x)=4cos朋,则/(1)+〃2)+〃3)+…+”2025)=()

A.2A/3B.2A/2C.254D.2025

【答案】B

【解析】由y=sinx"(x+2)是偶函数推出/(x)的性质，

因为y=sin尤-/0+2)是定义域为R的偶函数，

所以sin(-x)-f(-x+2)=sinx-f(x+2),即一sinx•/(-x+2)=sinx-f(x+2),

对于任意xeR都成立，那么，(-x+2)=-/(x+2).

用x+2代替x,可得〃-(x+2)+2)=-/((x+2)+2),HP/(-x)=-/(%+4).

又因为f(x+l)=f(7-x),则“x)关于直线无=野=4对称，所以f(-x)=f(x+8).

由/(-%)=-/(x+4)和/(一元)=/(x+8)可得/(尤+8)=-于(x+4),

再用x+4代替x,得至iJ/((x+4)+8)=-/((x+4)+4),即〃x+12)=—/(x+8),

W/(x+8)=-/(x+4),所以/(x+12)=/(x+4),进而f(x)=f(x+8),所以函数的周期是8.

7T

已知当尤e[0,2]时,/(x)=4cos(-x).

/(I)=4cos—=4x^-=20./(2)=4cos—=0.

422

因为的图象关于直线x=4对称，所以/(3)=/(5),/(0)=f(8).

/(3)=/(5)=4cos^=4x(-与)=一2垃.

/(4)=4cos7r=-4./(6)=/(2)=0,/(7)=/(I)=2应，/(8)=f(0)=4cos0=4.

贝U/⑴+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)+/(7)+/(8)=2鱼+0_2&_4_2&+0+2&+4=0.

因为2025+8=253……1,其中1是余数.

所以/(D+/(2)+/(3)+…+/(2025)=253x0+/(1)=20.

/⑴+/(2)+/(3)+…+/(2。25)=2&,故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列函数既是奇函数，又是增函数的是（）

A./（x）=x|x|B,/（x）

C.=D.=

v721+2v7T

【答案】AD

【解析】对人,,."（一”=一对—才=一刈乂=一/（",二函数/（彳）为奇函数.且当工€[0,+00）时，/（尤）=/单调

递增；

根据奇函数的性质，/（X）在（F,0]上也单调递增，.•./（>）在R上为增函数，故A正确；

对BJ.,函数/（x）的定义域为（0,+8）,.•.函数〃x）为非奇非偶函数，故B错误；

1_91

对C,；/（0）=G=-§H0,二函数“X）不是奇函数,故C错误；

对D=2,—2二;J（t）=2-x—2工=_（2工—2-，）=_〃x）,二f（x）为奇函数,

且>=20、=-2-*均随x的增大而增大，即“X）=2-2-*在R上为增函数，故D正确.故选：AD

22

10.已知椭圆匕+匕=1,A,8为左右两个顶点，屈，F2为左右两个焦点，。为原点，P为椭圆上一点，

96

则（）.

7/2

A.kPA'kPB=--

8.|巴讣|尸用的范围是[3,9]

C.若直线/过点F?与椭圆交于M,N,则沁、2+石

、4BMN

D.若cos/耳P8=g,则|尸。|=岑

【答案】ACD

【分析】根据斜率公式即可化简求解A；

根据椭圆定义，结合二次函数的性质即可求解B；

根据点到直线的距离公式即可求解C；

根据向量的模长公式，结合余弦定理即可求解D.

22

【详解】对于A,设尸（性〃）,则以+1=1,A（-3,0）,5（3,0）

nnn29J2故A正确,

。屋PB~m+3m-3-m2-9-m2-9~~39

对于B,由于|尸国+|夕鸟|=2〃=6,又a—cK|/¥；区〃+c,BP3-V3<|P^|<3+V3,

所以附H%|=|明•（2。-附|）=-（阀|-3丫+9,

故当|尸耳|=3时,|尸耳卜|尸阊取最大值9,当|尸耳|=3-石或3+小时,|尸耳|归闾取最小值6,故B错误，

1,卜3一词

q—\MN\dAd/22Q.C

对于c,设/方程为尤+百，所以=-------=今="+鲁=71=2+石，其中北也为

S、BMNL\MN\dBdB373373

」712+m2

到直线/的距离，故C正确，

对于D,由余弦定理可得闺工「=（忸团+忸用J-2阀忸闾一2阀归B|cos4P巴，

因止匕4c2=46-2俨媚|尸周一2|/V的尸国xg=俨用Z用=t=g，

------«•1/-------►-------»\------>2/------->-------»\2-------»2-------»2-------•-------•

又尸0=5（尸耳+町）=4Po=（PFl+PF2J=PF]+PF2+2PFiPF2,

4所2=Q所|+国]珂+2西•河cos/耳尸笈=36-2xT+2xgxg=30,故|尸。|=孚,

故选：ACD

11.点尸是棱长为1的正方体A8CO-4片和2的表面上一个动点，则下列结论中正确的（）

A.当尸在平面CCQQ上运动时，四棱锥P-ABBH的体积发生变化.

71JT

B.当尸在线段AC上运动时，2尸与AG所成角的取值范围是gw

C.若尸是44的中点，当P在底面A2CD上运动，且满足PF〃平面4cA时，P/长度的最小值是渔

2

D.使直线"与平面ABC。所成的角为45°的点P的轨迹长度为20+兀

【答案】BC

【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、已知线面角求其他量、立体几何中的轨迹问题

【分析】A选项，正方形ABBIA的面积不变，P到平面AB4A的距离不变，由体积公式可知，体积为定值；

B选项，A尸与AG所成角即为R尸与AC所成角，数形结合得到当尸在端点A,C时，所成角最小，最小

7TIT

角为当P在AC中点时，所成角最大为万，B正确；C选项，建立空间直角坐标系，设

P(m,n,O),O<m<l,O<«<l,求出平面CB.的一个法向量Z=(T,1,1),由再."=()可得"=+g,所以

|EP|=^2(m-1)2+|>^,当加=g时，等号成立，C正确；D选项，分别考虑点P在各个平面内的情况,

得到轨迹长度，相加得到答案.

【详解】对于A,底面正方形AB4A的面积不变，

当P在平面CGRD上运动时，P到平面A84A的距离不变，

即四棱锥的高为正方体棱长，

故四棱锥尸-AB44的体积不变，故A不正确；

对于B,因为AQJ/AC,所以2P与A©所成角即为。/与AC所成角，

因为AC=C"=AQ,所以△ACQ为等边三角形，

7T

显然，当尸在端点A,C时，所成角最小，最小角为三，

当尸在AC中点时，由三线合一可知，D,P±AC,此时所成角最大为T，

TTTT

所以2尸与AG所成角的取值范围是,故B正确；

对于C,以。为坐标原点，D4,DC,£>2所在直线分别为X,y,z轴，建立空间直角坐标系,

―■—.—.1

设P(m,n,O),O<m<l,O<n<l,贝|Cg=(1,0,1),CD,=FP=,

设平面CBQj的一个法向量为T=(x,y,z),

•日=(1,0,1)•(%,y,z)=x+z=0

则

-u=(0,-l,l)-(x,y,z)=-y+z=0

令z=l得x=—l,y=l,故平面的一个法向量为Z=(—l,1,1),

因为尸尸〃平面用。，所以而；=0,可得〃=加+；,

所以网=J(m-l)2+(n-1)2+l=也苏-2m+2=,2(加-g)2,

当根=g时，等号成立，C正确.

对于D,因为直线AP与平面A2CZ)所成的角为45。,

若点尸在平面BCC向内，此时当尸与与重合时，直线”与平面A2CD所成角最大,

最大值为/B|AB=45。，其他位置均不合要求，

同理，若点P在平面DCGA内，此时当P与2重合时，

直线AP与平面ABC£＞所成角最大，最大值为ND,AZ)=45。，其他位置不合要求,

若点尸在平面AQ4A内，点尸的轨迹是

若点尸在平面A84A内，点P的轨迹是皿=应；

若点尸在平面4与G2时，作PM_L平面ABC。，如图所示，

因为乙心"=45。，所以=

又因为=所以AM=M,所以=

7TTT

所以点P的轨迹是以A点为圆心，以］为半径的四分之一圆，其弧长啊/7,

故尸的轨迹长度为2&+=,故D错误；

2

故选：BC

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在等比数列｛%｝中，若。3=2,a｝+a5=10,则%=.

【答案】32

【分析】利用等比数列通项公式得2(l+q2)=10,则得到q、4,则%=%d=32.

【详解】设公比为9，%+%=10即的(1+/)=10，即2(1+不)=10,

得d=4,所以％==32.

故答案为：32.

13.设一组样本数据看,形,…，再。的平均值是1,且尤;，*，…，瑞的平均值是3,则数据玉,法…,占。的方差

是.

【答案】2

【分析】根据平均数以及方差的定义，代入公式计算即可得结果.

【详解】由题意得再+X2-+---+%0=10,考+君H---4-X,Q=30,

所以数据玉，尤2,…,%的方差?=(石一户(%2T丫+…+(/R

10

(片+*+…+匕)-2(%+尤2+…+%o)+l。30-20+10_

=-------------------------------------=----------=2•

1010

故答案为：2.

x3+3x2-2,x<0,

14.已知/⑴=In九八若函数g("=〃力-机有两个零点，则加的取值范围为______.

---,x>0,

、x

【答案】(,，一2)口l'

【解析】当xVO时,/(%)=丁+3%2—2,贝1]/'(%)=3%2+6尤=3%(%+2),

当xe(-s,-2)时，f'(x)>0,函数/(X)单调递增；

当xe(-2,0)时，/(%)<0,函数/(X)单调递减.

所以xwo时，/(xk=/(-2)=(-2)、3x(-2)2-2=2.

当x>。时，/(x)=—,则/⑺=上半，

XX

当xe(0,e)时，/(%)>0,函数/(X)单调递增；

当xe(e,+oo)时，r(x)<0,函数/(x)单调递减.

所以x>0时，、/max=/(e、)/=—e=-e.

画出函数/(X)的图象，如图所示：

函数g(x)=/(尤)-现有两个零点等价于y=/(x),y=机的图象有两个交点，，

由图可知加<-2或!<根<2.

所以m的取值2范围为2）u5

ll=A

eleX

。

故答案为：（-8,-2）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且"@=邺3^

csin3+sinA

⑴求角B；

（2）若VABC为锐角三角形，AC=2,。是线段AC的中点，求的长的取值范围.

TT

【答案】（DBM?；,A/3

h—nsinC-sinA由正弦定理得"@=尸

【解析】（1）因为——

CsinB+sinAcb+a

所以l2+。2一〃=ac，

ac_1

由余弦定理得cosB=

2aclac2

TT

又3£（0,兀），所以B=

（2）因为a?+/一。2=a。，所以片+/=々。+4.

—.1―.—.

因为D是线段AC的中点，所以BO=5(BA+BC),

——2

22

所以加2=-(BA+BC)=-(a+c+ac)=l+-acf

_2J4V72

a_b_c_2_「r-

由正弦定理得sinAsinBsinC'兀3，所以〃二工一sinA,c=―――sinC,

sin—33

迪sinA-迪sinC=屿sinAsin(A+

所以〃c二—sinA+

333I3)2

^sin^4=^sinAcosA^-"cos2A+^sin2A^sin2A-2E4,

3333333I6)3

0<A<-

又VABC为锐角三角形，所以）2，解得g<A<g,所以

八2兀/兀62666

0<------A<—

I32

即si%-患吗,则改哈4,所以丽建，,3

即比）《理,则BD的长的取值范围是容，百

16.（15分）在三棱锥P-ABC中，侧面PAC是边长为2的等边三角形，AB=y/2,PB=2,ZABC=1.

⑴求证：平面PAC_L平面A3C；

⑵求平面P4B与平面PAC的夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵手

【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、面面角的向量求法

【分析】（1）取的中点为0,连接通过证明。尸，平面ABC,即可解决问题；

（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面PAC的法向量，代入夹角公式即可.

【详解】（L）取AC的中点为0,连接。尸,03,

因为尸AC是边长为2的等边三角形，所以。尸，AC,。尸=代，

711

在直角三角形ABC中，ZABC=~,。为AC中点，所以OB=2AC=1,

又尸3=2,所以OP^+OB。=/,

所以NPO6=90°,即OPLO3,

又：OPJ_AC,OBIAC=O,O8,ACu平面ABC,

所以OP_L平面ABC,

又OPu平面PAC,

所以平面PAC_L平面ABC.

由（1）知OP,AC,03两两垂直，以。为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系。-孙z

则5（0,1,0）,A（l,0,0）,P（0,0,@,所以港=（1,0,-⑹，茏=（-1,1,0）,

设平面巴43的法向量为A=（x,y,z）,

n-PA=0L-V3Z=0

则一，即《，

n-AB=0[-尤+y=0

令z=l,可得为=（百,6,1）,

设平面PAC的法向量为帚，则庆=（0,1,0）,

设平面R1B与平面PAC的夹角为，，

则3。=卜os仞㈤[137r理.

所以平面BIB与平面PAC的夹角的余弦值为应.

7

17.（15分）某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果

等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表.

良好以下良好及以上合计

男8001100

女100

合计12001600

（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关;

(2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩

进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好

及以上”的人数为。求孑的分布列和数学期望E(f).

附表及公式:

PK>fc0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910,828

其中X=3图江)n=a+b+c+d.

【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关

(2)分布列见解析,E(f)=1

【分析】(1)根据条件可完善表格，然后计算出42的值即可;

(2)由条件可得f〜然后算出答案即可.

【详解】(1)由题中的数据补充列联表可得：

良好以下良好及以上合计

男8003001100

女400100500

合计12004001600

K2=1600X(800X100-400X300)2=当=9697>3841，

1200X400X1100X50033~'

故有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.

⑵根据题意，体测结果等级为“良好及以上”的频率闿

可知f的取值有0,1,2,3,4,f〜记P(《=i)。=0,1,2,3,4)为§=泊勺概率,

则P&=°)=c：.(|)4=羡

p(”】)=禺.(/G)=黑

%=2)=鬣.(|)2(丁=装，

P—,图(广急

P(f=4)=*(34=专

则f的分布列为：

01234

8110854121

p

256256256256256

所以f的数学期望EG)=4x；=1.

18.(17分)已知函数/(%)=ln(x—l)—ox+2M£R.

⑴讨论了(%)的单调性；

(2)证明：—I----1-----1-------->—In--------(〃22且〃£N*)

352几一123

(3)若对任意x>0,都有/(x+l)21-。-士恒成立，求实数。的取值范围.

X

【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)

【分析】(1)首先求函数的导数，讨论”的取值范围，求函数的单调区间；

(2)首先a=l时，函数为"x)=ln(x-l)r+2,根据(1)的结论，得x>2时，0<ln(x-l)<%-2,再

赋值尤=M±^+1>2(〃22且〃eN*),代入不等式，利用累加法，即可证明；

2九一1

(3)由所证明的不等式，构造函数g(x)=q+ln%-以+1,x>0,再讨论，得到取值，通过放缩法得到

g(x)=-—+\nx-ax+l>-—+lnx-x+l=e^2-lnx-(x-2-lnx)-l,构造函数，利用导数，即可证明.

【详解】(1)“X)的定义域为(1,内)，所以((无)=」：-a,当aVO时，r(x)>0,/(x)在(1,+向上单

调递增，当a〉0时，令/'(力=0,得尤=1+：,

当1<X<1+：时，f'(x)>0,/(x)在区间[1』+£|上单调递增，

当尤>1+：时，r(x)<0,小)在1+J上单调递减，

综上可得，当aVO时，/(x)在+8)上单调递增，

当a>0时，“X)在1,1+j上单调递增，在区间(l+：,+eJ上单调递减；

(2)当a=l时，=ln(x—1)—x+2,由(1)可知，/(九)在。,2]上单调递增，在(2,+oo)上单调递减，

故〃尤)《〃2)=0,即In—1)—%+2。。在(l,+oo)上恒成立,所以当x>2时，0<ln(x—l)<x—2,

4x=^^+l>2(«>2H〃eN*),则■—1=^—,

2n-l2n-l2n-l2n-l

即工>L(ln5-ln3),->-(ln7-ln5),>-[ln(2M+l)-ln(2«-l)],

325212

所以累加得g+(+…+^~^>；(1115-1113)+3(1117-1115)+...+；口11(2"+1)-111(2〃-1)]=3111^1,

,,cl*-1111,2Z2+1

故当且时，—+—+••-+->—In--一.

352n-l23

(3)由题对任意%>0,\nx-ax-a+2>l-a--—恒成立，HP-—+111%一〃1+120在(。,+8)上恒成立，

xx

令g(x)=±—+kix-ax+l,x>0,即g(x)zo在(0,+e)上恒成立,①当时，由于x>O,-aN-l,

e"一2巳"一2

贝I有g(尤)=---Flnx-tzx+1>--------1-]nx-x+l=ex-2-lnx-(x-2-lnx)-l,

1y_1

令/z(x)=x-2—lnx(x>0),所以=l——=----,令/«x)=0,得彳=1,

所以当x«O,l),〃(x)<0,〃⑺在(0,1)上单调递减，

当X€(l,+oo),〃(x)>0,在(1,+co)上单调递增，

所以当X«O,4W)时,/i(x)>/i(l)=-l,

令f=x-2-Inx,贝！]tw[-1,+oo),令p(r)=e'一/一1,所以p'(t)=e'-1,

令//9)=0,得t=0,所以当/4TO)时,p'⑺<0,p⑺在[T0)单调递减,

当fe(O,"K»)时，p'⑺>0,p(。在(0,+<»)单调递增，

所以当fw[-l,+oo)时，pp(O)=O,

即g(x)=----\-\nx-ax+\>p(f)NO在xe(0,+co)上恒成立，符合题意，

②当时，由于力⑴在(1,+8)上单调递增且力(2)=-ln2<0,A(4)=2-21n2>0,

故存在唯一%e(2,4),使得〃(%)=0,即=。，即%一2=111%,即^^二天,

e与-2

此时g(%)=---+1口/0-~+1=(1-々)/vO这与g(x)NO在(0,+8)上恒成立不符，

%0