2025高考数学二轮复习：三角函数

专题二三角函数与解三角形

微专题1三角函数

［考情分析］1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函

数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题2主要以选择题、填空题的形式考查，

难度为中等或偏下.

考点一三角函数的运算

1•同角关系：siB+cos2a=1,黑tana（a呀+而，kEZ）.

2.诱导公式：在与士a,kez的诱导公式中，记住口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(l)sin(a步尸sintxcos4土cosasin夕；

(2)cos(a±^)=cosacos夕干sinasin夕;

(3)tan(a±^)=tana±tan£

l+tanatan^?

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa；

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a;

(3)tan2ca=--2-t-a-n-a-.

'7l-tan2a

例1(1)(2024•新课标全国I)已知cos(a+/3)=m,tancctan,则cos(a/)等于()

23mB.--

3

C.-D.3〃？

3

答案A

解析由cos(a+胃)二根得cosacosy8-sinasinP=m.①

由tanatan外2得任吗=2,②

cosacosp

cosacosjff=­m,

由①②得

sinasin^=—2m,

所以cos(ct/)=cosacos£+sinasin/3=-3m.

(2)已知a,y均是锐角,设sinGCCOS£+sin6cosy+sinycosa的最大值为tan6,贝！Jsin仇sin夕+cos。)等

于()

A.V3B.-

13

D.-

13

答案B

解析由基本不等式可得

.^sin2a+cos2B

sinacosn,W-------------

.-si/B+cos2y

sin,ncos产---------

.—siMy+cos2a

sinycosocW-------------

三式相加，可得sinacos尸+sin£cosy+sinycosaW|,当且仅当a邛，y均为:时等号成立,

所以tan<9=|,

sin0(sin0+cos0)_tan20+tan0_15

贝(]sin9(sin0+cos0)=-

sin20+cos20tan20+l13

［二级结论］(1)若aG(0,T)，则sina<a<tana.

⑵由(sina±cosa)2=l±2sinacosa知，sina+cosa,sina-cosa,sinacosa三者知一可求二.

跟踪演练1(1)(2024.辽宁实验中学模拟)已知。£(0,=),3sin2a=cos2a+l,贝!Jtan2a等于()

A.V2B.V3

4

c.-D「

43

答案C

解析由3sin2a=cos2a+l,

得6sinacosa=2cos2a,

1

而aG(0,；),艮口cosa>0,贝ijtana=-,

3

2tana3

所以tan2a=-

l-tan2aG)

(2)已知兀t尸二-+3,xG(O,胃则函数y=/(x)的最小值为___________.

sin久cos%\乙/

答案4V2

解析由题意知，人了)=二-+2_2(sinx+cosx)

V''ClMVcos比sinxcosx

令Usinx+cos尸

I八ITznTCTC3TC

由。＜%＜5,倚丁，

所以字＜sin(久+：)W1,

则

由t=sinx+cosx,

得?=(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,

所以sinxcos,

则原函数可化为g(t)=^=-^-=A,

CfL-1t—~

21

显然函数产廿在(1,同上单调递增，

故当仁鱼时，产《取得最大值乎,此时g⑺取得最小值4e,即函数产危)的最小值为4V2.

考点二三角函数的图象与解析式

由函数产sinx的图象变换得到产4sin(s+e)(4>0,<u>0)图象的步骤

［函数尸sinx的图象)

横坐标伸长(Ov®vl)或缩

沿X轴向左3>o)或向右短(3>1)为原来的1倍

(卬<0)平移|个单位长度(纵坐标不变)s

［得y=sin(x+@)的图象||得尸sincox的图象

横坐标伸长(0<3Vl)或缩沿X轴向左(卬>0)或向右

短(s>l)为原来的1倍«<0)平移四个单位长度

(1)

(纵坐标不变)

|彳导y=sin(cox+0)的图象j得产sinix)X+Q的图象

纵坐标伸长H>1)或缩

短(0<4vl)为原来的A倍

,(横坐标不变)

(得y=45由(3X+(p)的图象)

例2(1)(2024.海口模拟)已知函数於尸cos(s+夕)(80,-兀〈夕〈0)的部分图象如图所示，贝!J(

A7（x）=cos（3%+

B.f（x）=cos（2x+

C^x^cos^x—

D.7（x）=cos（2%—詈）

答案D

解析由题图可知，犬0）=日,

所以cose二-日,

所以（p=—+2kTi,kRZ或（p=^+2kn,kRZ,

66

因为-兀v9Vo,所以9=W，

6

又《卜M0-9=。,

所以空0-也=三+左兀，左GZ,

362

得£0=2+主，左GZ,

又冷＜T，得去。＜3，

综上，o）=2,所以兀t）=cos,久—平）.

⑵（多选）（2024•杭州统考）为了得到函数y=2cos2x的图象，只要把函数产2$以2久-习图象上所有的点

（）

A.向左平移三个单位长度

B.向右平移三个单位长度

C.向左平移等个单位长度

D.向右平移与个单位长度

答案AD

解析把函数y=2sin（2x-"图象上所有的点向左平移?个单位长度,

可得函数y=2sin（2久+用-］）=2sin（2%+］）=2cos2x的图象,A正确；

把函数y=2sin（2x-］）图象上所有的点向右平移g个单位长度，

可得函数y=2sin（2久—亨—：）=2sin（2x~~~］）=-2cos（2x—三）的图象,B错误；

把函数产2sin伽-力图象上所有的点向左平移号个单位长度，

可得函数产2sin(2x+等—%2sin(2x—/亨)=-2cos(2x―以的图象，C错误；

把函数产2sin(2x-£)图象上所有的点向右平移管个单位长度，

可得函数y=2si12久一等一力2sin&x-苧)=2cos2x的图象，D正确.

[规律方法]由三角函数的图象求解析式尸4sin(0x+°)+3(A>O,。>0)中参数的值

(1)最值定A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为M,最小值为m,则M=A+B,m=-A+B,解

4日nM+mxM-m

定。：由周期公式T=-,可得

(2)73T

(3)特殊点定夕：代入特殊点求夕，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋

势.

跟踪演练2(1)(2024•重庆模拟)已知函数段尸sin(4x+°)(|0]<])，先将函数於)的图象向右平移合个单

位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数g(©的图象.若函

数g(x)的图象关于y轴对称，则/(录等于()

A.-B.--

22

C.在D.望

22

答案C

解析先将函数兀v)=sin(4x+e)的图象向右平移个单位长度，

得至！]y=sin[4(第—自+0卜sin(4x—]+R)的图象，

再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

得到g(x)=sin^2x一£+0)的图象，

因为函数g(x)的图象关于y轴对称，

所以-5+夕=左兀+1,kGZ,

艮[1夕二"+左兀,kRZ,

又因为I夕|<三，所以夕=3,

26

所以«x)=sin(4x—,

所以/g)=sin(4xg—%sin转.

(2)(2024•呼和浩特模拟)如图所示的曲线为函数段)=Acos(oxM(4>0,3>0,\(p\<的部分图象,

将y=/“)图象上所有点的横坐标伸长到原来的5倍，再将所得曲线向左平移3个单位长度，得到函数

Zo

y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为()

B.g(x)=2cos(2x-

C.g(x)=2sin2x

D.g(%)=2cos2x

答案D

IT2TT

解析由图象可知A=2,占=也，

212

则«x)的一个最低点为(雪，-2),

段)的最小正周期T号,则0=奈=3,

=20S3

X12)C(x12-^)=-2'即苧-9=n+2E("CZ),

所以(p=±2kMkGZ)，

又因为I矶V,所以夕三,

所以人x)=2cos(3x—E),

将y=/(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的|倍，

得尸2cos(2%-：)的图象,

再将所得函数图象向左平移J个单位长度，

得y=2cos[2(%+/)—E卜2cos2x的图象，故g(x)=2cos2x.

考点三三角函数的性质

函数y=Asin(0x+9)(A>。，0>0)的性质

⑴单调性：由衿>2E/CZ)可得单调递增区间，由>2E〈cox+衿亨+2Eacz)可得单调递

减区间.

(2)对称性：由0x+9=E(%6Z)可得对称中心；由cox+o=E■审%GZ)可得对称轴.

(3)奇偶性：当9=E(kGZ)时，函数产Asin(s+9)为奇函数；当9=®+云％GZ)时，函数产Asin(s+9)为偶函

数.

例3⑴已知直线产强x=g是函数於)=Asin(s+G(A>0,3>0,|如<§图象的两条相邻的对称轴,

且詹)陪务4则火妨等于()

A.-V3B.V3

C.-lD.1

答案D

解析由题意可知工

23124

所以7=；.由T=—,

23

得今专,所以。=4,

因为，

且直线x4,是函数危)图象的两条相邻的对称轴，

所以A=O=2,

所以/(x)=2sin(4x+9),

由/£)=2sin(4xV+0)=2,

得4x^1+e=］+2左兀，女£Z,

所以(p=^-+2kn,%£Z,

又加|<;,所以夕=5,

Zo

所以於)=2si、4x+,,

则八夕)=/(%2sin(4X%+%2sin詈1.

(2)(多选)(2024.枣庄模拟)已知函数/+g)+cos(2x-蓝)，贝(J()

A.当xG(—/以时，式幻的取值范围是(―b，2］

B.八x)在［一^，3上单调递增

C/(x)在［0,兀］上有2个零点

D.把人龙)的图象向左平移卷个单位长度，得到的新函数为奇函数

答案AC

解析函数於尸sin（2%+以+cos（2%-

二sin（2x+g）+cos（2x+；-

二sin（2%+］）+sin（2%+g）=2sin（2%+

选项A,当同冶,加,法+罗（冶,苧）,

所以sin（2x+g）e',1］,

所以兀0的取值范围是（-百，2］,故A正确；

选项B,当回-?乎时,$2吗＜y,

於）=2sin（2久+以不单调，故B错误；

选项C,当xe［0,兀］时，衿2吗＜y,

可知当2%+$兀以及2%+弓=2兀,即以及%二乎时，於）=。，在［。，兀］上有2个零点,故C正确；

选项D，於）的图象向左平移巳个单位长度，得至IJg（x）=2sin。久+m+J=2cos2x的图象，该函数为偶函数，

故D错误.

［规律方法］研究三角函数的性质，首先化函数为兀0=Asin（°x+°）+/i的形式，然后结合正弦函数产sinx的

性质求兀0的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sinx的性质求出式x）的性质，然后判断各选项；另一

种是由x的值或范围求得仁ox+9的范围，然后由产sinf的性质判断各选项.

跟踪演练3（1）（2024•济宁模拟）已知函数次x）=（V^sinx+cosx）cosx-土若火x）在区间［―?加］上的值域

为卜当，1］,则实数机的取值范围是（）

士=）B.［”］

S）D稹到

答案D

解析依题意,函数/（x）=V^sinxcosx+cos2^,二■sin2x+|cos2x=sin（2%+盛）,

当XG［一?T时,2x+衿卜g,2m+3,

业然sm（一孑尸m三二丁,sin-=l,

且正弦函数产sinx在信阳上单调递减，

由於）在区间卜卜t上的值域为卜当，1],

得?2加+/<，

ZOD

解得后得，

612

所以实数机的取值范围是管，§].

（2）（多选）（2024・大连模拟）已知函数於尸sin（cox+夕）（。>0，0<9<兀），若/（-£）=/（磬）=1，JLVxG/詈），

都有兀r）<l，贝1]（）

A.y=/（x）在（0,工）上单调递减

B.月⑴的图象关于点偌，0）对称

C.若店沏-滔则sin（2&-9=-|

D.y刁（x）的图象向右平移g个单位长度后得到的函数g（x）是偶函数

答案BC

解析对于A,因为危尸sin（s:+9）（G>0,0〈夕〈兀）,

所以於）max=l,

又代）=O=i，

且VxW（-/y）,都有人尤）<1,

所以T片一（一命兀,

所以丁=空=兀，解得3=2,

0）

即於尸sin（2%+（p）,

又代）=sin（Y+9）=l，

所以《+9=1+2%兀,kGZ,

解得（p=—+2kTt,kGZ,

又0<0〈兀,所以9二史,

6

所以/（x）=sin.％,

当1。，工）时，21+詈（济T）.

又尸sinx在售，聿上不单调，

所以y=/（x）在（0,工）上不单调，故A错误；

对于B,因为/工）=sin（2X曰+Y）=sin2无=0，

所以y=/（x）的图象关于点（工，0）对称，故B正确；

对于C,由仔o—相,

得sin（久。+%]

所以sin（2久o-，sin[2+:）-外

二-cos2（%o+]）=2sin2（xo+*1=],故C正确；

对于D,将月⑺的图象向右平移软单位长度后得到g（x）=sin[2（%-=）+^]=sin（2x+习的图象，显然

g（x）是非奇非偶函数，故D错误.

专题强化练

（分值：84分）

素养提升

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.（2024•南充模拟）已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（-1,

则cos（a+：）等于（）

A*B虎

1010

C.-型D.型

1010

答案C

解析因为角a的终边与单位圆相交于点p（—|,|）,所以sina=]cosa=-|,

所以cosa+工二cosacos--sinasin-

\4/44

3V24A/27A/2

---X---X——-----.

525210

2.（2024・石嘴山模拟）将函数兀0=sin2x的图象向左平移;个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐

4

标不变，得到g（x）的图象，贝Ug（x）等于（）

A.cos4xB.-cos4x

C.cosxD.-cosx

答案c

解析将函数兀c)=sin2x的图象向左平移E个单位长度，得至!1产Sin2(x+习的图象，

再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)=sin2G久+2的图象，

所以g(x)=sin(x+=COSX.

3.(2024•郑州模拟)若复数z=sin仇|+(cos。-是纯虚数，则tan20等于()

A.-—24B.±—24

77

2424

C.-—D.±—

2525

答案A

解析因为z=sin8|+(cos6-Ji是纯虚数，

fsin0--=0,Q

所以《力所以sine=l,

Icos0-gw0,

所以cos0=-y/1—sin20,

所以tan3=--,故tan20=^^^-=--.

4l-tan207

4.(2024.渭南模拟)函数本)=2sin(s+9乂3>0,0<R<以的图象如图所示.已知4(一半，-2),,2),

将7U)的图象向右平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为()

A.g(x)=2sin(]x―三)

B.g(x)=2sin(T%+])

C.g(x)=-2sin偿x一或

D.g(x)=-2sin管％+

答案D

解析由题意可知火x)的周期T满足

rr(-i)=21得I,

即空=4,得。J,

0)2

所以“x)=2sin("+R),

因为点3©,2)是人幻图象上的一个点，

所以/Q)=2sind+@)=2,sin6+>)=1,

则"+9=3+2左兀，左£Z,

又0<0音，所以W,

所以段)=2sin偿％+g),

将火x)的图象向右平移2个单位长度，

得到函数g(x)=2sin.(%-2)+4

=-2sinQx+])的图象.

5.(2024・长沙模拟)已知a©(0,》且&cos2a=sin(a+*贝Usin2a等于(

33

A.--B.-

44

C.-lD.l

答案B

解析V2cos2a=sin(a+,

V2(cos2a-sin2«)=^(sina+cosa),

(cosa+sina)(cosa—sina—0=0,

又ae(o,9,

贝！]sin«>0,cosa>0,即cosa+sina>0,

・・・i

cosa-sma=2-,

“(0,=),

/.2a(0,兀),sin2a>0.

由(cosa-sina)2=l-sin2a=：,

得sin2a=-,符合题意.

4

综上,sin2a=-.

4

6.(2024•新课标全国I)当犬£[0,2兀]时，曲线y=sinx与y=2sin(3x—、

A.3B.4

C.6D.8

答案C

解析因为函数y=sin%的最小正周期

T=2TI,

函数y=2sin（3%-匀的最小正周期,

所以在XG[O,2扪上，函数），=2sin（3x—B有三个周期的图象，

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，

由图可知，两函数图象有6个交点.

7.(2024•广东省百日冲刺联合学业质量监测)已知cos2a*4-cos2^=-^-,sin(a/)=；,则cos(2a+2份等于()

124

77

A.--B.-

99

22

C.--D.-

99

答案B

解析因为COS2Q-COS2小匕咨巴上X

r22

=|(cos2a-cos2A)=sin(a+胃)sin(a/)=-2,

得至!]sin(a+夕)sin(a/)=七,

又sin(a-yS)=-,所以sin(a+夕)二工，

43

所以COS(2Q+2£)=1-2sin2(a+yg)=1-|=1.

8.(2024・昆明模拟)已知函数於)=公m1+8$%,泉，若存在即使得於1月(%2)，则实数〃的取值

范围是()

A.(-oo,1]B.[V3,+oo)

C.(l,V3)D.[l,V3]

答案C

解析若存在X#X2,使得兀ri）=/（X2）,等价于函数人X）在（卜匀上不是单调函数，

易知八%）=acos%-sinx,

若函数火x）为增函数，则八的20恒成立，即acosx-sinxNO,

所以心^=tanx在（%以上恒成立,则心g；

同理，若函数兀0为减函数，则八x）＜0恒成立，得aWl,

即若函数於）在弓,§上不单调,则l＜a＜y［3.

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

9.（2024•合肥模拟）已知xi，松是函数危）=2sin（co久—）。＞0）的两个零点，且质-刈的最小值是泰贝心）

A.函数y=/（%—习为奇函数

B人x）的图象关于直线a］对称

O

C«r）的图象可由g（x）=2sin2x的图象向右平移:个单位长度得到

D.八x）在卜,n］上有且仅有1个零点

答案BD

解析由题意可知，函数本）的最小正周期T=2x＞詈,

所以0=2,/（元）=2sin（2x—/）.

对于A,j（x—,）=2sin（2x—］）=-2cos2x,为偶函数,故A错误；

对于B,因为4-］）=2sin|2X（一方）—9=2sin（-］）=-2,

所以兀r）的图象关于直线x=?对称，故B正确；

对于C,将g（x）=2sin2x的图象向右平移汐单位长度得到y=2sin2（x-%2sin。久-以新元），故C错误；

对于D,当问》时时，吗噜,等］,

当且仅当2/｝兀，即时，段）=0,

即«x）在稹，向上有且仅有1个零点，故D正确.

10.（2024.芜湖模拟）在平面直角坐标系。孙中，角。以坐标原点。为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终

边经过点M（a,b）,\OM\=m（m^,定义火仍=拶，g（6）=管，贝11（）

AJ（9）=sine+cos6

B.g（e）=V^sin（e

C若螺=2,贝Ijsin2”

g（。）4

D./（e）g（e）是周期函数

答案ABD

解析由题意得M{a,6）在角0的终边上，且|0M=〃?,

所以cos6=—,sin6=—,

mm

则八e)=^=sine+cos0=V2sin(0+,

g(e)=g+sin0-cos0=V2sin^0-，故A,B正确;

f(e)_sin0+cos6>_tane+l棚但.„/)_□

两一sine-coseFk?,解传tan9-3,

2sin0cos0_2tan0_2x3_3

又由sin29=2sin9cos9=，故C错误；

sin20+cos20tan20+l32+l5

«O)g(d)=(sin(9+cos(9)(sin0-cos(9)=sin20-cos20=-cos20,

因为产cos20为周期函数，

所以/（（9）g（d）=-cos261为周期函数，故D正确.

11.（2024•日照模拟）已知函数外）=Asin（cox+9）（A>0,a）>0,0q<兀）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与

八x）的图象交于“，N两点，且用在y轴上，则下列命题正确的是（）

A.函数人幻的最小正周期是71

B.函数於）在（一工，-；）上单调递减

C.函数式外的图象向左平移工个单位长度后得到的函数图象关于直线对称

D.若圆C的半径为白则段）="%in（2x+9

126\3/

答案ACD

0+空

解析A选项，由对称性可知C点的横坐标为，

设段）的最小正周期为T,贝叶T=；（—当三，解得T=n,A正确；

B选项，因为m>0,所以①手=2,点（―,0）在图象上，将其代入函数解析式得sin（*+（p）=。，

又0v9V兀,故（p三,

故於）=Asin（2%+§,

、[,

当一7TC4〈-TC一n-d时.，一5n<2x+TC-v-TC-,

123633

又A>0,令z=2x+],则尸inz在（一詈，一三）上不单调,

故函数段）在（―工，-以上不单调递减，B错误；

C选项,函数於1的图象向左平移卷个单位长度后得到g（x）=Asin（2%+£+以=Asin（2%+5）=ACOS2%的图象，

其中g得）=4COS7t=-A,故g（x）的图象关于直线对称，C正确；

D选项，若圆C的半径为工，即|。必=工，

又玄=，故修Y+QMJ⑶2，

解得QM三，

4

所以将（0,£）代入40=4sin卜久+9中得，Asingq,解得4=等,

贝lJy（x）=^sin（2K+]）,D正确.

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.（2024•南京联考）将函数治尸sin（2x+°）的图象上的每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变），再将得到的

图象向左平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的夕的值：.

答案-3答案不唯一）

解析由题意可知，所得的图象对应的函数解析式为g（x）=sin[4（%+;）+<p]=sin（4x+y+<P）,

又g（x）的图象关于y轴对称，

所以：+夕=]+左兀，左£Z,

解得9=左兀],kRZ,

令k=0,得夕二工.

13.（2024•新课标全国H）已知。为第一象限角，夕为第三象限角，tana+tanW=4,tanatan夕=鱼+1,贝!J

sin（o+份=.

^2^安2y

解析方法一由题意得tan（a+£）

_tana+tanS_4_0后

l-tanatan^51-（V2+1）'

因为a^(2kn,2kn+,

夕£(2mii+TI,2mn+,k,m^Z,

贝ija+BW((2"7+2左)兀+兀，(2加+2左)兀+2兀)，%,"/£Z,

又因为tan(a+胃)=-2a<0,

贝!I[+夕£((2加+2左)兀+手，(2〃t+2左)兀+2兀),k,m^Z,

贝(]sin(a+,)<0,

则

cos(a+0)

联立sin2(«+^)+cos2(a+yg)=l,

解得sin(a+£)=-乎.

方法二因为。为第一象限角，夕为第三象限角，

则cosa>0,cosB<0,

coscz1

cosa=1「2=~i=2，

Vsinza+coszaVl+tanza

口_COS0_-1

7sin2^+cos2/?Jl+tan2s，

贝ijsin(a+£)=sinacos尸+cosasin0

二cosacos仇tantx+tan夕)

,c—4

二4cosacosB=一LI.二

Vl+tan2ajl+tan20

-4

7(tana+tanj5)2+(tanatan^-l)2

__4_2V2

3+23.

14.(2024・南通统考)已知函数段)=3sin(2x-1)-2cos2(x-升1,把函数於)的图象向左平移汐单位长度,

得到函数g(x)的图象若Xl,X2是关于X的方程g(x)=a在[o,]内的两根，则COS(X1+X2)的值

为.

答案-逗

10

解析«x)=3sin(2%—^-2COS2^X—/)+1

=3sin(2%—3cos(2%—以

=V10sin^2x--0)，

甘+.Vlo3V10

具甲sin3=—,cos(p=---,

Y10r10

因为把函数1X)的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，