2025高考数学大题突破训练：概率统计【北京专用含答案解析】

培优专题03概率统计

培优墨嚏(特钢­帮塞提如、

题型1离散型随机变量及其分布列

r±T±TAT±T±TXT±T±TATATATATXTATATATATATXT^TATATXTAT±TATATAT±TXTAT±T±TAT±TAT±T±TXTATAT±TXTATATXTAT±TXTATAT±TATAT±TXTATATATAT±T±T±TAT±TATATAT±T±TXTXTATATXTX

点

离散型随机变量及其分布列问题，解题的思路是：

1、明确随机变量X可能取到的值并求出每一种情况下的概率

2、写出离散型随机变量的分布列

(1)离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为的，尤2,…，X"，我们称X取每一个值方的概率P(X=M)=o,

i=l,2,"为X的概率分布列，简称为分布列.

(2)可以用表格来表示X的分布列，如下表

XXIX2XiXn

PPiP2PiPn

还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.

3、必备知识：离散型随机变量的分布列的性质

(1)，20,，=1,2,…，几；(2))i+p2+…+p〃=1.

i

1.(2025•贵州黔东南•模拟预测)某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A,B,C,D,

E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为"

(24〃46,«eN+),然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，

第w次是与第"-1次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏

结束，否则运行几次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小

明参与了该购物抽奖活动.

⑴求程序运行2次小明获奖的概率；

(2)若”=4,求小明获奖的概率；

⑶若〃=6,记游戏结束时程序运行的次数为X,求X的分布列与期望.

【答案】⑴三⑵黑⑶分布列见解析,E(X)=4

12216

【分析】(1)分析小明两次获奖的情况有两种求+=］得到结果；

(2)根据题意分程序运行2次，小明获奖，程序运行4次，小明获奖，共有五种情况求和计算求解；

(3)根据〃=6,结合(1)(2)问分析，得到多种情况，分别求出概率得出X的分布列，再求数学期望.

【详解】(1)程序运行2次小明获奖的情况有A-A-E-A这两种，

其概率或二；x；+；x；=W

乙J乙乙JL乙

(2)当〃=4时，小明获奖的情况如下：程序运行2次，小明获奖；程序运行4次，小明获奖.

程序运行4次，小明获奖的情况有A—3-C—3—A,A-B-D-B-A,A-E-D-E-A,A-B-D-E-A,

4一七一。一3—4这五种,

其概率6」x'L'Wx'LL'LLLWxLLL包,

223232333223223322233216

121

故当〃=4时，小明获奖的概率尸=6+5=^

216

(3)当〃=6时，X的所有可能取值为2,4,5,6.

531

由(1)可知尸(X=2)=F，由(2)可知P(X=4)=丁,

12216

当X=5时，A-B-C-D-E-A,A-E-D-C-B-A,A-B-C-D-B-A,A-B-D-C-B-A

这四种情况，

廿百/n/v6c111110111115

其^f既;T'-P(X=5)=2x—x—x—x—x—F2x—x—x—x—x—=-----,

2323223233108

531585

P(X=6)=1-P(X=2)-P(X=4)—P(X=5)=1---------------------=——

12216108216

故X的分布列为

X2456

531585

P

12216108216

S3]525

^E(X)=2x—+4x—+5x—+6x—=4

12216108216

2.（2025・广东•一模）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为P（O<0<1）,输的

概率为1-0，每局比赛的结果是独立的.

2

⑴当p=§时，求甲最终获胜的概率；

⑵为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得3分，失败者得—2分；方案二：

最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.

【答案】⑴2"0（2）答案见解析

【分析】（1）甲最终获胜有两种情况：前2局赢、三场输一场赢两场，据此求解概率；

（2）由（1）可得甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小

即可.

【详解】（1）记"甲最终以2:1获胜"为事件A,记"甲最终以2:0获胜"为事件B,"甲最终获胜"为事件C,

于是C=AB,A与8为互斥事件，

Q4

由于尸（A）=C；・p-p.（l-p）=力,P⑻=/=§,

则P（C）=P（A）+P（B）=3p2_203=1^,

即甲最终获胜的概率为二20.

（2）由（1）可知，P（C）=P（A）+P（B）=3p2-2p3,

若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3,-2,

p（X=3）=P（C）=3p2-2/,P（X=_2）=l_3/+2p3,

则X的分布列为:

X3-2

P3P2-2/l-3p?+2p3

贝"E（x）=9p2_6p3_2+6p2-4/=—iOp3+I5p2_2,

若选用方案二，记甲最终获得积分为y分，则y可取1,o,

尸0=1）=尸（c）=3p2-2p3P（Y=0）=1-3P2+2/,

则y的分布列为：

Y10

P3”-2炉l-3p-+2p}

则E（y）=3p2-2/,

所以£凶/丫）=一8/+12/-2=-4,一£|（2八20-1）,

由于0<〃<1,则2P2—2p—l=2p（p—1）—1<0,

于是时，两种方案都可以选，

当0<p<g时，E（X）<E（Y）,应该选第二种方案，

当3Vp<1时，E（X）>E（Y）,应该选第一种方案.

3.（2025•山东•模拟预测）已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软

籽石榴，按质量（单位：g）将它们分成5组：[360,380）,[380,400）,[400,420）,[420,440）,[440,460],得

到如下频率分布直方图.

⑴用样本估计总体，估计该品种石榴质量的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)在样本中从质量在区间[380,400),[400,420),[420,440)上的石榴中按分层随机抽样抽取7个石榴进行检测,

再从中抽取3个石榴作进一步检测.

(0)已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；

(回)记这3个石榴中质量在区间[420,440)上的个数为X,求X的分布列与数学期望.

69

【答案】⑴416g.(2)(0)—：(0)分布列见解析，-

【分析】(1)由平均数的计算公式求解即可；

(2)(回)先确定日80,400),[400,420),[420,440)上的石榴个数分别为2,2,3.再结合古典概型及条件概

率计算公式求解即可；(回)确定X的所有可能取值，再求得对应概率即可求解；

【详解】([)由题意知这50个软籽石榴质量的平均数为

20x[370x0.005+(390+410+450)x0.010+430x0.015]=416(g),

所以估计该品种石榴质量的平均数为416g.

(2)由题意知这7个石榴中，质量在区间[380,400),[400,420),[420,440)上的频率之比为

0.010:0.010:0.015=2:2:3,

所以抽取的质量在区间[380,400),[400,420),[420,440)上的石榴个数分别为2,2,3.

(0)记事件A="抽取的3个石榴不完全来自同一区间"，事件3="这3个石榴恰好来自不同区间”,

Xg，小小C；C；C；12

则尸(A)=

35

12

所以「(冽&)=?翟35_6

34-17）

35

即所求概率为

「3418

(0)由题意知X的所有可能取值为0,L2,3,贝l]P（X=0）=^=»，P（X=1）=-^

35

c\c（21

文=2)=中

C厂35'

所以X的分布列为

X0123

418121

P

35353535

所以E（X）=Ox巴+1XG+2XU+3X-!-=2

''353535357

题型二：二项分布

TJiT±TXTXTXr±TATXTXT±TATATXTATATXTXTJiTATJiTXT±TJiTXTATATXT4iT±Trr4iTATXT±TATXT±TATXTXTXTXTATATXTXTJiTATXTdiTJiTJiTXTJiTJiTXTJiTXTATJiTJiTXTXTAT±TJiTXTAT±TXTXTATATJiTXTATA

点

二项分布问题，解题的思路是：

1、识题.

“重伯努利试验具有如下共同特征

(1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立.

2、研究方向

一般地，在“重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(O<p<l),用X表示事件A发生的次数,

则X的分布列为：P(X=k)=C：pkQ_p)"T,k=0,1,2,…,"记作X〜8(%p).

3、必备知识：一般地，可以证明：如果X〜2(”，p),那么E(X)=〃p,O(X)=〃p(l-p).

1.(2024・贵州六盘水•模拟预测)深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大

量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中|■的

人选择只游览海滨栈道，另外］的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈

道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独

立，视频率为概率.

⑴从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望；

⑵从游客中随机抽取〃个人(awN*),记这〃个人的合计得分恰为〃+1分的概率为P“，求£B；

1=1

⑶从游客中随机抽取若干人,记这些人的合计得分恰为鼠分(〃eN*)的概率为。“，随着抽取人数的无限增加,

。“是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.

【答案】⑴分布列见解析，g(2)；一曾仁%是，!

【分析】(1)根据题意得到变量X的可能取值为2,3,4,结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，

列出分布列，利用期望的公式，求得期望.

(2)由这〃人的合计得分为“+1分，得到《=|.小弓)"，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.

(3)记"合计得〃分"为事件A,"合计得〃+1分"为事件B,得到%+1*=1(心2),结合数列的递推关系

式，进而求得数列的通项公式，得到答案.

【详解】(1)依题意，随机变量X的可能取值为2,3,4,

74731?3。

贝ljP(X=2)=(—)2=—,p(x=3)=C；x—x—=—,P(X=4)=(-)2=—

525'725525525

所以X的分布列如下表所示：

X234

4129

P

252525

412916

数学期望为石(X)=2x齐+3x齐+4x^=彳.

(2)由这〃人的合计得分为〃+1分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，

于是月=C|•(I)-1=即:=|.«-(|)"，令数列｛n-(|)"｝的前”项和为S”,

贝llS“=lx—+2x(—)2+3x(―)3++nx(—)",

23

于是|S,=lx(|)+2x(|)++(n-l)x(|r+wx(|严,

2口(2力

两式相减得|S,=|+(|)2+(|)3++(I)"X(|)"+1=—f—一»x(|)"+1

1--

5

210+6〃21010+6九2

法-，m因此uS“二了-.”)，

llti3_55+3〃/2、〃

所以=Pl+P2+，3++Pn=^Sn---T-'(T).

j=l/J5D

(3)在随机抽取的若干人的合计得分为〃-1分的基础上再抽取1人,则这些人的合计得分可能为〃分或〃+l

分,

记"合计得«分”为事件A，"合计得〃+1分"为事件B,A与B是对立事件,

P(B)=W*,4+，%=1(〃幻2),即=4(%-，)(〃22),

则P(A)=a,

33odo

由4=(2,得卬_；5=_舒9则数列他“一|5｝是首项为一9方公比为-泊3等比数歹”,

见一'1=一方一/"汕，因止匕可［一》一,产伽油，

无限趋近于0,。”无限趋近于，,

随着〃的无限增大,

O

所以随着抽取人数的无限增加，%趋近于常数1

O

2.（2025,四川•模拟预测）某学校有2000人，为加强学生安全教育，某校开展了安全知识讲座，讲座结束

后，学校组织了一场安全知识测试，将测试成绩划分为"不够良好"或"良好"，并得到如下列联表：

安全知识测试成绩

性别合计

不够良好良好

男8003001100

女700200900

合/p>

⑴根据小概率。=0.01的/独立性检验，能否认为本次安全知识测试成绩与性别有关联？

⑵设事件4="选到的学生是男生"，事件3="选到的学生的测试成绩为‘良好'"，用频率估计概率，通过计算

P（B\A）P（B\A\

比较扁F与4的大小•

P[B\A）♦（剧

其中，尸（X）表示事件X发生的概率.

n^ad-bc^

参考公式：*=其中〃=〃+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+c)(/?+d)

参考数据:

a0.150.100.050.010

Xa2.0722.7063.8416.635

【答案】⑴认为了解安全知识测试成绩与性别有关，此推断犯错误的概率小于0.01

P（冽A）/（雨）

（＞（B|A）P（B|A）

【分析】（1）利用独立性检验的方法求解判断即可;

P（B\A）P（B团

（2）利用条件概率公式求得与+4,可得结论.

.D（wB|A”jP（8|A）

【详解】（1）零假设为"。：该校学生了解安全知识测试成绩与性别没有关联.

根据列联表中的数据，经计算得到/=2000（800x200-700x300）2p6.734>6.635,

1500x500x900x1100

根据小概率值a=0.01的独立性检验，可以推断/成立，

即认为了解安全知识测试成绩与性别有关，此推断犯错误的概率小于0.01.

P（HA）_3J1_3

800Q

（2）因为P（例A）=同吟,所以ppA）~nx7=8

noo

因为尸（明=器7007292

所以=——x——=——

900-9977

尸（而A）尸（B困

因为2:<、3，所以

P（B\A）P（B|A）

3.（2025・山东•模拟预测）已知48两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，

从A袋中摸出一个红球的概率是:，从8袋中摸出一个红球的概率是P.在每轮中，甲同学先选择一个袋子

摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束.已知在每轮中甲选A,3两袋的概率均

为!.如果甲选A袋，则乙选B袋的概率为二；如果甲选8袋，则乙选8的概率为

~55

2

⑴若P=§，求在一轮中乙从8袋中摸出红球的概率；

⑵求在一轮中乙摸出红球的概率；

⑶若甲，乙两位同学进行了3轮摸球.乙同学认为，P越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同

意他的观点吗？请说明理由.

71

【答案】⑴微（2）而（7。+1）⑶不同意乙的观点，理由见解析

【分析】（1）先利用全概率公式求出乙从8袋中摸球的概率，再利用乘法概率公式求解即可；

（2）利用全概率公式求解即可；

（3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布B（3,：（7p+l）j,利用二项分布的概率公式可得3

轮摸球后乙摸出2个红球的概率为盛（7。+1产（9-7p）,令/（0=（Jp+1）2（*79-7小，利用导数求最

大时，P的值即可.

【详解】（1）设。="甲从A袋中摸球"，E=”乙从B袋中摸球〃，C="乙摸出的是红球",

由全概率公式知，乙从2袋中摸球的概率P（E）=P（。）?（Ep）+P（5）P（E⑼=gxg+gx|=A，

777

所以在一轮中，乙从8袋中摸出红球的概率为尸（EC）=P（E）P（C|E）=^x§=^.

（2）在一轮中，乙摸出红球的概率P（C）=P（E）P（C|E）+尸闾P（C间=''0+A、（=七（70+1）.

（3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布g13,2（7p+l）］,

则3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为

P=C［1（7P+1）［［l-:（7P+l）］=l^（7P+l）2（9-7p）（0＜p＜l），

设/（。）=（JP+1）2（9-7#，则/（0）=7（7。+1）.（17-21p）,

17

令尸（p）=o,解得。=苛，

1717

则当。＜〃＜五时，r（p）＞o,〃p）单调递增，当五＜p＜i时，/,s）＜o,〃p）单调递减，

所以当p=M17时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点.

题型三：超几何分布

点

超几何分布问题，解题的思路是:

1、识题：超几何分布模型是一种不放回抽样

2、研究方向：一般地，假设一批产品共有N件，其中有〃件次品，从N件产品中随机抽取〃件（不放回）,

用X表示抽取的w件产品中的次品数，则X的分布列为P（X=Q=竺%,k=m,m+1,机+2,…，工

CN

其中“，N,MEN*,M<N,n<N,m=max{0,n-N+M],r=mm[n,M].如果随机变量X的分布列具有

上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

3、必备知识：超几何分布的期望£（出=臂=叩仍为N件产品的次品率）.

1.（2024•云南•一模）为节约水资源，某市对居民用水实行"阶梯水价"制度，其标准如下:

基础水价污水处理到户综合水价

项目月用水量

（元/m3）价（元/m3）

(元/m3)

第一阶梯不超过15m3的部分3.31.14.4

超过15m3但不超过27m3

第二阶梯4.91.16.0

的部分

第三阶梯超过27m3的部分6.41.17.5

例如：该市某户居民家庭某月用水量为18m3,则其该月应缴纳的综合水费（包括基础水费、污水处理费）

合计为4.4x15+6.0x（18-15）=84（元）.

⑴若该市某户居民某月用水30m3,则该月应缴纳的综合水费为多少元？

（2）为了解该市居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了该市100户居民某月的用水量数据（单位：m3）,

整理得到如下频数分布表：

月用水

(3,7]（7，川(11,15](15,19](19,23](23,27](27,31]

量

频数141828181255

（0）若该市相关部门采取分层抽样的方法，在这100户居民中，从月用水量在（15,19］和（19,23］两组内选

10户居民参与节水宣传活动，并决定在这10户居民中按抽签方式选出5户进行深度调研，设X,V分别为

月用水量在（15,19］和（19,23］中被选中进行深度调研的居民户数，记随机变量Z=|X-"，求Z的分布列和

数学期望.

（国）以上表中的100户居民月用水量作为样本估计该市居民月用水量.现从该市随机抽取20户，记取到第

一阶梯水量的户数为4,当4=左时对应的概率为居，求号取得最大值时％的值.

一34

【答案】（1）160.5元⑵（国）分布列见解析，—；（回）12

【分析】（1）根据阶梯收费的制度即可求解，

（2）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可求解分布列和期望，

（3）利用二项分布的概率公式，利用不等式求解最值.

【详解】（1）由题意可得，该户居民该月用水30立方米分三个阶梯收费，

4.4x15+6.0x（27-15）+7.5x（30-27）=160.5（元）

故该户居民该月应缴纳的综合水费为160.5元.

（2）（0）由表可知:月用水量为（15,19]和（19,23]的用户分别为18户和12户,

根据分层抽样，参与节水宣传活动的居民总共抽10户，

1Q1O

所以用水量在（15,19]的应抽取10x5=6户，用水量在（19,23]的应抽取10x3=4户

根据题意选出5户进行深度调研，可知随机变量Z的可能取值为1,3,5.

P(Z=l)=P(X=2,y=3)+尸(X=3,Y=2)=生詈」=罢］

p(z=3)=尸-4)+尸(X=4,y=i)=c"?:©=联=£

p(Z=5)=P(X=5,y=0)=M=5^=5

V_X|Q乙。乙什乙

故Z的分布列为

Z135

5_111

P

74242

£(Z)=1X|+3X11+5X±=^

则尺=尸仔=左）=4[|]]|「:（左=0,123,20）,

（国）根据题意，

20-左

"3

<5J

kfinr5L5863

令4解得《

2.0—kz2、左+1

y55

处从<2。

ME15

又上eN*,故当左=12时，A取得最大值.

2.（2024•上海长宁•一模）2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海

国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会

者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为[15,25）,[25,35）,[35,45）,[45,55）,[55,65）,[65,75].

把年龄落在区间[15,35）内的人称为“青年人〃，把年龄落在区间[35,65）内的人称为“中年人"，把年龄落在

[65,75]内的人称为“老年人”.

4频率

200名参会者的频率分布直方图

⑴求所抽取的"青年人"的人数；

（2）以分层抽样的方式从"青年人""中年人""老年人"中抽取10名参会者做进一步访谈,发现其中女性共4人，

这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.

①简述如何采用抽签法任选2人；

②设事件42人均为“中年人”，事件32人中至少有1人为男性，判断事件A与事件2是否独立，并说

明理由.

【答案】（1）80（2）①答案见解析；②事件A与事件B不独立，理由见解析

【分析】（］）根据频率分布直方图求得。的值，然后求得“青年人"人数占比，从而可得"青年人"人数；

（2）①利用简单随机抽样设计抽签法任选2人即可；②根据独立事件判断公式，结合超几何分布概率问

题求解尸（A）,尸（8）,尸（AB）,从而可得结论.

【详解】（1）由频率分布直方图可得（24+0.01x2+0.015x2）x10=1,解得：a=0.025,

又"青年人”占比为（0.015+0.025）xl0=0.4,

所以所抽取的“青年人"人数为200x0.4=80人；

（2）①先将10名参会者进行编号：1、2、L、10,并将10个号码写在完全相同的纸片上，

放入某容器中充分混合均匀，再取出2张，2张纸片上所对应的参会者就是要选取的人，

②"青年人""中年人""老年人"的人数之比为0.04:0.05:0.01=4:5:1,

所以10人中“中年人"共有5人，

2人均为“中年人"的概率P（A）=景=|,

Jo,

C213

2人中至少有1人为男性的概率P（B）=1-寸=百，

2人均为"中年人"且至少有1人为男性的概率尸=三,

因为尸（AB）^P（A）.P（B）,所以事件A与事件B不独立.

3.（2024・重庆・模拟预测）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场"数学

文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛.已知共有8000

名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分

布直方图：

］频率/组距

0.030--------------1—I

。405060708090100学生初赛成绩

（百分制）

⑴规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下

为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概

率，并求初赛成绩优秀的人数X的分布列及数学期望；

⑵由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩Z服从正态分布其中〃可近似为

样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且02=65.已知小华的

初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？

（参考数据：A/65^8；若贝。尸（，一CT<Z<，+CF）Q0.6827,尸（〃一2cr<Z<4+2cr）k0.9545,

P（〃-3b<Z<4+3b卜0.9973.

171

【答案】⑴至少有1人初赛成绩优秀的概率为二，分布列见详解，£（X）=-.

（2）估计小华有资格参加复赛.

【分析】（1）根据频率分布直方图求得初赛成绩不低于80分的学生人数，再根据超几何分布写出随机变

量X的分布列，进而求得概率和数学期望；

（2）根据频率分布直方图估计正态分布的均值，进而利用3。原则估计全校参加初赛的学生中成绩不低于

85分的人数，即可估计小华是否有资格参加复赛.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，

样本中位于区间［80,90)内的人数：0.015x10x100=15,

样本中位于区间［90,100］内的人数：0.005x10x100=5,

抽取的2人中成绩优秀的人数X可能的取值有0,1,2

尸斜=。）=£=11，P"=l）=智，P（X=2）=m=:

^20L20JOVz20AV

所以X的分布列为

X012

21151

P

383819

因此，至少有I人初赛成绩优秀的概率P(X21)=《+［=1,

381938

数学期望双X)=lx1|+2><，；.

JoLyZ

(2)由频率分布直方图可知:

〃二45x0.05+55x0.2+65x0.3+75x0.25+85x0.15+95x0.05=69,

由〃=65,得orp8,又ZN(69,65),

所以尸(ZZ85)=尸(ZNM+2b)=；［l-P(〃-2bWZ4〃+2b)］Q0.02275,

所以全校参加初赛学生中，不低于85分的约有8000x0.02275=182人，

因为182<200,所以估计小华有资格参加复赛.

题型四：成对数据的统计相关性

■TATATATATXTATATXTXTATATXTXTATXTXTXTXTATXTXT±TXTXTATATATATXT^AT^AT±^TAT±TXTXTATXTATATXTXTXTXTXTXTATXTATXTATATATXTATATATAT±TATATATXTXT±TXTXTXTXT^ATXTXTX,.i

点

成对数据的统计相关性问题，解题的思路是：

1、识题：两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系

2、研究方向：相关系数厂的计算

注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量

假设两个随机变量的数据分别为(无1，%),(X2,>2)，…，(X.,切)，对数据作进一步的“标准化处理”处理，用

(x,—x)2,(y「y)2分别除和(z=1,2,...,w,x和y分别为x”&，

招和力，如…，%的均值)，得卫二以二2,担二，丝二2,…，土二，,为简单起见，把上

IS*SyJ\SxSyJ\SxSyJ

r

述“标准化”处理后的成对数据分别记为(xj,yi'),(尤2'，田)，…，(Xj,y„),则变量x和变量y的样本相关系

数厂的计算公式如下：

Z(%,—%)(为一y)

3、必备工具：相关系数r的性质

(1)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r=0时，成对样本数据间没

有线性相关关系.

(2)样本相关系数厂的取值范围为[—1,1].

当|〃|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当川越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

(3)样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系

厂=)夕=%x[Wcos，=cos供其中W=(xJ,x2',x„'),V=(yi',yi,y„'),|x'|=W=,,。为向量x'

和向量V的夹角).

1.(2025•山东日照•一模)近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40%的消费者更加频繁地使用网

上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数》和时间第x天间的数

据，列表如下:

X12345

y75849398100

⑴由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数，和时间第x天之间的关系？若可用，估计1

月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由(人数用四舍五入法取整数，若相关系数H>。-75,

则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0Q1);

(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案.方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性

购物金额超过8。。元可抽奖三次,每次中奖的概率均为:,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖

两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望

的角度分析选哪种方案更优惠.

参考数据：J4340x65.88.

£（乙-可（％-9）_

附：相关系数厂=I------------，&=取.

也（乙-丁）安他-才ZU一寸

Vi=ii=i1=1

【答案】⑴可用，109（2）选择方案二更划算

之a—元）（--丁）64

【分析】（1）先计算相关系数,=|广,=而京仁勿装人,再结合线性回归方程的

也（…）》（一『"340

VZ=1Z=1

知识求解即可；

（2）首先根据二项分布的概率公式求出X为600,800,900,1000的概率值，则方案二的期望可求，与方案一

的950进行比较即可判断.

【详解】（1）由表中数据可得元=3,歹=90,

555

£(%-可2=102(%-歹)2=4342&-元)(％-9)=64,

i=l;=11=1

ta-元）（％-歹）

i=l64

所以，=X0.97>0.75

忙（%一可欠（%一寸74340

Vz=i/■=1

所以可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系.

£(乙-丁)(％-9)

而2=J-----------------丝6.4

f(%-可210

Z=1

则&=歹—放=90-6.4x3=70.8所以5=6.4尤+70.8,

令x=6,可得9=109.2,所以1月10日到该专营店购物的人数约为109.

（2）若选方案一、需付款1000-50=95。元.

若选方案二、设需付款X元，则X的取值可能为600,800,900,1000,

)；£

则尸(X=600)=C；x|="(X=800=Cx|\3_9

4I464

产)；；2727

(X=900=Cxx—,P(X=1000)=C®x

64

19272759100

所以石（X）=600x—+800x—+900x—+1000x—<950,

6464646464

因此选择方案二更划算.

2.（2025•上海•模拟预测）为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查:

第，次检查抽取，号零件，测量其尺寸加单位：厘米）.检查员共进行了100次检查，整理并计算得到如下数

100100100

据：X%=52,X以=2428,2城=3。18.

Z=1i=li=l

⑴这批零件共有1000个.若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数

量；

（2）若变量％与i存在线性关系，记为=加+区，求回归系数a的值；

⑶在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有X

对相邻序号的零件，求X的数学期望.

示例零件序号为"1、2、4、5"与"1、2、3、5”时均恰有2对相邻序号的零件.

-5）

参考公式：（1）线性回归方程：y=ax+b,其中&=----------,b=y-ax.

f（吞-无）2