2025高考数学冲刺复习：函数与导数（解析版）

模块02函数与导数

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.(2025高三•全国・专题练习)已知函数〃耳=想尸，则函数8(力=〃厂1)+7^二1的定义域是(

|x1|<x<2

A.{%[%>2或％<0}B.

C.D.卜3

【答案】B

【分析】根据对数函数中真数大于0,二次根式下被开方数非负，求出定义域.

1—Y1—y

【详解】要使〃尤)=电产有意义，则产>0,

1十XL十JC

gp(l-x)(l+x)>0,解得Tvxvl,所以函数的定义域为(-U),

/、/、/----[—lv%—1<11

要使g(x)=/■(xT)+^/^二^有意义，则21_1>0'解得]Wx<2,

所以函数g(x)的定义域为卜卜…1.

故选：B

flax-2,x<1,

2.(24-25IWI三上・甘肃•期末)已知函数=1x、，满足V国,无2eR且工产超，

[a,x>\

(x2-x1)[/(x1)-/(x2)]<0,则。的取值范围为()

A.(0,1)B.(1,+s)C.(1,2]D.(0,l)u(l,+s)

【答案】C

【分析】根据给定条件可得函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合指数函数单调性列式求解.

【详解】依题意，函数/(x)满足“，无?eR且玉片马，(为-七)[〃网)-〃%)]>0,则“X)是R上的增函数，

a>0

因此<a>l,解得l<aW2,

2a—2<a

所以。的取值范围为(1,2].

故选：C

2兀

3.（24-25高三上•黑龙江•期末）设函数/（x）=sin2x+，贝域线y=在。,处的切线方程为（

A.2x+2+y/3=0B.x+2y-\[3=0

C.x+2y+\/^=0D.2X+2J-A/3=0

【答案】D

【分析】先求出导函数，再得出切线的斜率进而得出点斜式方程即可.

【详解】由题意得尸（x）=2cos0x+g

于是当x=0时，曲线y=/（汽）在点0,处的切线斜率为k=y'L。=2cosm=-1,

此时切线方程为y-#=-(x-0),即2x+2y-g=0.

故选:D.

2

4.（24-25高三上•山东烟台・期末）

【分析】利用奇偶性可判断CD不符合，利用赋值法可判断AB.

【详解】由工v>0,可得/（l——）〉。，所以］）<。，所以0〈尤2<i，

1-x2

解得一1<%<0或定义域关于原点对称,

又f(T)=Tin("=_xln

=-〃尤），故函数为奇函数，故排除CD；

lnl=O,

故B符合，A不符合.

故选：B.

5.（24-25高三上•河北保定•期末）已知。=cos2,^^log20.7,贝!J。、b、。的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性、余弦值的符号结合中间值法可得出。、b,。的大小关系.

【详解】因为余弦函数产cosx在与兀［上为减函数，且］<2<g,

2兀1

则cos——<cos2<0,即——<Q<0,

32

对数函数y=logzX为增函数，则log?；<log?0-7<log2孝，即

又因为c=2°」>0,故c>a>6.

故选：B.

6.（2025高三•全国•专题练习）为加强环境保护，治理空气污染，某生态环境部门对某工厂产生的废气进行

了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量。与时间f（h）满足p=p°e-“

（P。为初始污染物含量，k为参数）.若污染物含量达到初始含量的12.5%就达到排放标准，且在过滤的前

15个小时消除了50%的污染物，则达到排放标准至少需要（）

A.44小时B.45小时C.46小时D.47小时

【答案】B

【分析】根据条件建立方程，求出过滤过程中废气的污染物含量P,进而得出达到排放标准至少所需的时

间.

【详解】由题意，当，=0时，废气的污染物含量P=P。，

15

（1-O.5）po=poe-\贝必=詈，

M2

15

所以〃=pQe•

设达到排放标准至少所需的时间为，(h),

In2,f

则0」25p0=p0eF',化简得In8=xln2,

即31n2=gn2,所以『3,解得江=45(h).

故选：B.

b

7.(24-25高三上•湖北•阶段练习)若〃%)=三+依2+及一/一7°在*=1处取得极大值10,则一的值为()

a

A3Tl3Tl3-1

A.--^4--B.£或万C.—D.—

22

【答案】C

r(i)=o

【分析】求出/'(x),由题意可得出"1)=10,解出〃、人的值，再结合题意进行检验，即可得解.

A>0

【详解】因为/(%)=%3+依2+法_。2一7。，贝IJ/，(%)=3Y+2改+〃，

又/(%)=d+办2+fev—a2—7。在％=1处取得极大值10,

/⑴=3+2〃+匕=0

</(1)=1+〃+/?—〃2_7〃=10,解得

A=W-12Z?>0

当a=—2,Z?=］时，=3x3—4x+l=(3x—1),

当g<x<l时，/z(x)<0,当无>1时,/z(x)>0,

则/(%)在X=1处取得极小值，与题意不符；

当a=-6,Z?=9时，/'(%)=312—12x+9=3(x-1)(%-3),

当x<l时，/r(x)>0,当1<兄<3时，/f(x)<0,

则/(x)在X=1处取得极大值，符合题意，则2=斗=-:，

故选：C.

8.(24-25高三上•江苏盐城•阶段练习)已知函数了。)的定义域为R,且对任意工£1<,满足

f(x+1)-/(x)>X-1,/(X+3)-f(x)<3x,且/⑴=0,则/(52)=()

A.651B.676C.1226D.1275

【答案】D

【分析】根据条件变形得到〃x+3)-再结合条件求得〃x+3)-〃x)=3x,再通过赋值求/(52)

的值.

【详解】由条件/(x+1)-/(尤空%一1,可知，/(x+2)-/(x+l)>x,f(x+3)-/(x+2)>x+l,以上三个

式子相加得：/(x+3)-/(x)>3x,

又/(x+3)—〃x)43x,所以/(x+3)—〃x)=3x,

八4)—/⑴=3x1,/(7)-/(4)=3x4,/(10)-/(7)=3x7,..../(52)-/(49)=3x49,

以上式子相加得/■(52)-〃1)=3*(1+4+7+...+49)=1275,

所以/'(52)=1275.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(24-25高三上•湖南长沙•期末)已知函数〃x)=(x+l)e"则下列结论正确的是()

A.“X)在区间(-2,+⑹上单调递增B.“X)的最小值为-4

C.方程〃尤)=2的解有2个D.导函数尸(x)的极值点为-3

【答案】ABD

【分析】利用导数分析函数/(x)的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数

的关系可判断D选项.

【详解】因为/(x)=(x+l)e、，该函数的定义域为R,r(x)=(x+2)e\

令尸(x)=0,可得％=—2,列表如下：

X(-8,-2)-2(-2,+oo)

r(x)—0+

“尤)极小值一*7

减增

e

且当x<—1时,/(x)=(x+l)ex<0；当x>-1时,/(x)=(x+l)er>0,

作出函数“X）的图象如下图所示:

对于A选项，“X）在区间（-2,+8）上单调递增，A对；

对于B选项，的最小值为-2）=-1，B对；

e

对于C选项，方程了（无）=2的解只有1个，c错；

对于D选项,令g（x）=r（x）=（x+2）e）该函数的定义域为R,

g©）=（x+3）e\令/（尤）＜0,可得.3；令夕（司＞0,可得x＞-3.

所以，函数r（元）的单调递减区间为（y,-3）,递增区间为（-二内），

所以，函数r（x）的极值点为-3,D对.

故选：ABD.

10.（2025高三・全国・专题练习）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气

中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑0.08mg/m3,二类建筑O.lmg/n?,二类建筑室内甲醛浓度小于等于

O.lmg/n?为安全范围.已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下

时，竣工2周后室内甲醛浓度为2.25mg/m3,4周后室内甲醛浓度为0.36mg/m3,且室内甲醛浓度「⑺（单

位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间t«eN*）（单位：周）近似满足函数关系式小，）=e"+〃，则（）

（参考数据：In2ao.7,In3yL1,1115yL6）

2

A.a=\n—

5

B.e">15

C.3周后室内甲醛浓度为0.9mg/m3

D.该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周

【答案】ACD

【分析】根据题意列式求解得e“=g,e〃=第，即可求出0⑺=技x1|J,即可判断选项ABC,令夕⑺<0.1,

利用指对互化解不等式即可判断选项D.

【详解】由题意可得

e2fl)2.efe=0.36

解得e'=—=>〃=

所以A正确，B错误;

2

所以夕⑺=阴+。

2

0.9,故C正确;

两边取对数得，(ln2—山5)«31n2—(21n3+31n5),

31n2-(21n3+31n5)3x0.7-(2xl.l+3xl,6)

即1之-----------------------x-------------------------------------23.4,

In2-ln50.7-1.6

所以该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，

至少需要放置的时间为6周，故D正确.

故选：ACD

11.(24-25高三上•山东滨州•期末)已知定义域为R的偶函数〃x),满足〃l-x)=〃l+x),当OVxVl时,

f[x}=x.则()

A.〃龙)的一个周期为2

2513

的解集为一+2乂(yteZ)

D./(2左)=0(yteZ)

【答案】ABD

【分析】根据条件推得了(x)的一个周期为2判断A项，利用函数的周期性和对称性，化简计算即可判断B

项，结合函数的图象即可判断C,D两项.

【详解】对于A,因了("是定义域为R的偶函数，贝Uf(-x)=/(x),

由/(1一x)=〃l+力可知：由x)的图象对称轴为直线且—(x+2),

即得〃尤+2)=/(幻，则的一个周期为2,故A正确;

对于B,因/0)=/(；)=g,W/(-y)=/(-1)=/(1)=1)

因为/所以/［三)>/(一个)，故B正确；

对于C,根据题意，可以作出函数/(尤)的图象如下：

¥

y=f(x)_1

八、，火、入二一E

/、/、/\/\；

-4-2O24%

由上分析知，函数的最小正周期为2,当OVxVl时，f(x)=x,则由〃可得;WxWl；

13

而当1<%<2时，fM=2-x,贝ij由可得l<x<“

113

综上可得0<xW2时，由可得5<无<于

113

故对于xeR,则的解集为($+2忆5+2Q/eZ,故C错误；

对于D,由图知对于ZeZ,必有42人)=0,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(24-25高三上•全国•专题练习)函数y=/(尤)为定义在(-2,2)上的增函数，且/(2附>/(-%+1),则实

数m的取值范围是

【答案】切

-2<2m<2

【分析】根据函数的单调性可得，-2〈-机+1<2,解不等式组即可求解.

2m>-m+1

-2<2m<2

解得:<机

【详解】由题意得-2<-小+1<2,<1.

2m>-m+1

所以实数机的取值范围是

故答案为：Qa]

13.（23-24高三上.江苏淮安•阶段练习）已知函数/（力=2/_向，若“X）在区间（2〃?,〃?+1）上单调递增,

则实数小的取值范围是.

【答案】4，i）

【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.

【详解】由y（x）=2x2-hu得/（x）=4x-』=^^,

XX

由于函数“X）的定义域为（。,+8）,故令/''（x）'O,解得xN；,故“X）的单调递增区间为3，+“],

2m〉—1

若/（X）在区间（2m,m+l）上单调递增，贝u-2,解得^工加,，

故答案为：已,1）

4

%?+2x+3丫<0

14.（24-25高三上・江西•期中）已知函数,c'一，若存在实数4，9，%且占<多<三，

Inx,x>0

使得/（不）=/（吃）=/（七）=4，则七（玉+W+1nw）的最大值为.

【答案】e3

【分析】先由题设数形结合得2<aW3和wa+x2+lnx；）=e"（-2+a）,再构造函数

g（a）=e"（-2+a）,2<aW3,利用导数求出其最大值即可得解.

【详解】由题/（—1）=2,〃0）=3,当〃力=3时，x=-2,0,e由当/（力=2时,x=-l,e2；

故作出的图象如图所示：

因为存在实数XI,x2,%且不<尤2<W，使得ym/NI/G)”，

所以直线y=a与y=/(>)图象有三个交点，

23

所以2<aV3,>-2<Xj<-1<x2<0<e<x3<e,xt+x2=-2,

所以Wa+Xz+lnx^uel-Z+a),

设g(a)=e"(-2+a),2<aW3,贝i|g'(a)=e"(-2+a)+e"=(a-l)ea>0恒成立，

所以函数g(a)在(2,3］单调递增，所以函数g(q)1Mx=g0=e3,

所以Wa+Z+lnx；)的最大值为e3.

故答案为：e3.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合得到2<。43和-2+a),从而将问题

转化成求函数8(。)=小(-2+4),2<。43的最大值，简化了问题的难度.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(2025高三・北京・专题练习)已知函数/(%)=加-(o+2)x+lnx.

⑴当a=l时，求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)当a>。时，函数〃x)在区间［l,e］上的最小值为-2,求°的取值范围；

【答案】(1)>=一2

⑵［L+s)

【分析】(1)求出导数7'(x),根据导数的几何意义求出切线方程；

(2)求出导数尸(x),分三种情况讨论。的范围，判断单调性求得函数最小值，令所求最小值等于-2,排

除不合题意的。的取值，即可求得到符合题意实数。的取值范围.

【详解】(1)当a=l时，f(x)=^2-3x+ln%,f'(x)=2x+--3,

则/'(1)=-2,r(i)=o,

所以曲线>=〃尤)在点(L〃l))处切线的方程为>=-2.

(2)当。>0时，尸⑴=2-.+2)+9(21*1),xe[l,e],

令尸(x)=0,得x=：或'，

2a

当即心1时，对xe[l,e],/(%)>0,即函数“X)在xe[Le]上单调递增，

a

所以/(力向=/(1)=一2,符合题意；

当l<L<e,即，<a<l时，xe1,—,f,(x)<0,xe(L,ej,/,(x)>0,

所以函数在xe1,£|上单调递减，在xe\,e上单调递增，

2

•••/«m,„=/</0)=->不合题意；

当」Ne即0<aW)时,xe[l,e],f'(x)<Q,即函数〃尤)在xe[l,e]上单调递减，

ae

e1

/«m„=/()</()=-2>不合题意

综上，实数。的取值范围为[1,入).

【点睛】思路点睛：本题第二问利用单调性求最值.求出导数/3=(2》一1心一一1),xe[l,e],分析发现

导数正负取决于依-1的正负，抓住零点:与区间[l,e)的关系讨论，得到函数/(尤)在[l,e]上的单调性，求

出最小值进行判断求解.

Q

16.(2024.山西•模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当xNO时，/(x)=-3「，，且/(-1)=§.

(1)求。的值，并求出f(x)的解析式；

⑵若2/(x)-9"-9r-14(。在xe(0,+oo)上恒成立,求2的取值范围.

【答案】(1)。=1,/(尤一：,：'：；

(2)(-00,8]

【分析】(1)利用偶函数性质以及函数值可得。=1,再由偶函数定义可得其解析式；

(2)将不等式恒成立转化为求彳恒成立问题，由基本不等式计算可得4的取值范围.

1Q

【详解】(1)因为/'(X)是偶函数，所以〃-1)=/(1)=3。-3=；,

解得a=l，

当尤<0时，可得T>0,所以/0)=/(-幻=3一工一3«口=37-3',

所以函数/(%)的解析式为/(x)=j:「3'%?

13—3,x<(J.

(2)由(1)知，当尤>0时，/(尤)=3。3-,>0,

因为2/0)-9,一9一，一1440在xe(0,欣)上恒成立，

所以」<炉+9T+14_(3「尸『+16_3-3工+，

一3"—3一"3”—3^3「3一九

又因为3'-3一，+16>2.(3^-3-')•—更一=8,

3-3、V)3,-3、

1

当且仅当3-3T=-^―时，即x=log3(^+2)时等号成立,

3—3

所以几48,即％的取值范围是(一*8].

17.(25-26高三上•全国・单元测试)已知函数/(%)=加+阮之+C¥+i(q,/7,ceR),且不等式3加+26x+c>0

的解集为(-M).

⑴求函数图象的对称中心；

⑵证明：函数〃尤)在区间(-U)上单调递增；

⑶若方程3«[/(x)]2+2妙(x)+c=。有6个不相等的实数根，求实数。的取值范围.

【答案】⑴(0,1)

(2)证明见解析

(3)(-8,-1).

【分析】(1)结合一元二次不等式解集求参，进而求出对称中心；

(2)应用单调性定义证明函数的单调性；

(3)根据方程根的个数列不等式组计算参数范围.

【详解】(1)由3/+2Zzx+c〉0的解集为知，方程3/+2Zzx+c=0有两个不相等的实数根±1,且〃V。,

-萨=1+(-1)，

则故匕=O,c=_3a>0,因止匕/(0=。卜3_3x)+l.

因为丫=4丁-3同为奇函数，故函数y=_3x）图象的对称中心为点（0,0）,

将y=《x3-3x）的图象向上平移1个单位长度可得/（x）的图象,

所以函数〃x）图象的对称中心为点（0,1）.

（2）任取%,9且玉<龙2,贝U"%）-"无2）=。［（另—3%）-（只-39）］=。（%-尤2乂片+%尤2+无；-3）,

因为玉一元2<0，又一BP0<<1,0<xf<1,-1<xxx2<1,

则龙；+西吃+/-3'<0,故〃%）-/（/）<0,即〃再）</（苍）,

所以函数〃x）在区间（T1）上单调递增.

（3）因为3a［〃切?+2妙（x）+c=0,所以由⑴知，”尤）=±1,从而直线V=±1与曲线y=〃x）共有6

个公共点.

又函数“X）在区间（-M）上单调递增，在区间（口,-1）,（1,y）上单调递减，故-I，；］解得"T，所

以实数。的取值范围为（-叫-1）.

18.（2024・云南・二模）已知常数。>0,函数/（x）=gf-依一2/ln尤.

⑴若V尤>0"（尤）>-4人,求。的取值范围；

⑵若耳、X?是/（X）的零点，且无产/，证明：X］+X2>4a.

【答案】（I）［。,］

（2）证明见解析

【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意

22

fMmia=-2aln2a>-4a,即可求出。的取值范围；

（2）由（1）不妨设0<%<2。<々，设尸（x）=/O）--x）,利用导数说明函数的单调性，即可得到

f（xl）>f（4a-xl）,结合/1）=〃3及/（%）的单调性,即可证明.

【详解】(1)由已知得/(x)的定义域为｛x|x>0｝,

22

月/(冗)_工a_x—ax-2a_(x—2a)(x+a)

xxx

a>0,

.,.当无£(0,Id)时，f\x)<0,即/(x)在(0,2a)上单调递减；

当工£(2a,+oo)时，f(x)>0,即/(x)在(2々,+8)上单调递增.

所以/(X)在尤=2a处取得极小值即最小值，

・••"xLn=7(2。)=-2/ln(2a)，

2222

\/x>0,/(x)>-4aof(x)mjn=-2aIn(2a)>-4a<x>ln(2o)<lne,

.■,0<a<y,即0的取值范围为[o,1]

(2)由(1)知，/(无)的定义域为｛%l%>。｝,

/(%)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+8)上单调递增，且x=2a是/(%)的极小值点.

・・・尤1、%是/(%)的零点，且玉。工2，

一•看、々分别在(°，2。)、(2a,+8)上,不妨设0<不<2〃<%，

设F(x)=/(x)-/(4ez-x),

riT/、(x-2a)(x+a)(2a-x)(5a-x)2a(x-2a)2

贝F(x)=------------------+--------------------=----------------.

x4a-xx(x-4a)

当xw(0,2a)时,F(X)<0,F(26Z)=0,即/(无)在(0,20上单调递减.

*/0<玉<2〃，

JF(%)>JF(2Q)=0,即/(%)>/(4〃一%),

,."(%)=/㈤=。,

二/。)>/(4a-%),

再〈2。，

4〃一芯>2a,

又•.・尤2>2a,/(x)在(2a,+8)上单调递增,

/.x2>4。一再，即玉+%>4〃.

【点睛】方法点睛：(1)给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值

构造函数，利用函数的单调性可比较大小；

(2)极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以

及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不

等式.

19.(24-25高三上•河北张家口・期末)若定义在D上的函数/(X)满足：对任意x&D，存在常数M,

都有f(x)<M成立，则称M为函数/(%)的上界，最小的M称为函数的上确界，记作M=

sup/(x).与之对应，若定义在D上的函数/(X)满足：对任意x^D，存在常数加，都有f^)>m

成立，则称机为函数/(%)的下界，最大的m称为函数/(%)的下确界，记作m=inf/(x).

⑴若/(X)有下确界M，则m一定是/(x)的最小值吗？请举例说明.

(2)已知函数f(x)=aex~'-]nx+x,其中aeR.

(i)若。=0,证明：/(%)有下确界，没有上确界.

(ii)若函数/(%)有下确界，求实数。的取值范围，并证明inff(x)上1.

【答案】⑴加不一定是f(x)的最小值，如/(*)=2\

⑵(i)(ii)证明见解析

【分析】(i)举例〃x)=2，，根据下确界的定义即可判断；

(ii)直接求导得尸5)=-工+1,得到其最小值即可得inf/(x)=l,再通过反证法假设其有上确界，根据上

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确界定义即可得