2025届高考数学一轮复习专练：随机变量及其分布（含解析）

2025届高考数学一轮复习专题训练随机变量及其分布

一、选择题

1.某学校有42两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，

那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4.计算王

同学第2天去A餐厅用餐的概率（）

A.0.24B.0.36C.0.5D.0.52

2.两批同种规格的产品，第一批占70%,次品率为6%;第二批占30%,次品率为5%.将这两批产品混合,

从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（）

A.5.5%B.5.6%C.5.7%D.5.8%

3.英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每

一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗

打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高

尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两

颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小

球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终

落到4号位置的概率是（）

81818181

4.若随机事件48满足p（A）=g,p（3）=g,p（AU3）=q，则P（A忸）=（）

A.±2B.±2C.l11D.l

9346

5.今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得24000元奖金.比赛规定下满五局,

五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后

面比赛，如何分配奖金最合理?（）

A.甲12000元，乙12000元B.甲16000元，乙8000元

C.甲20000元，乙4000元D.甲18000元，乙6000元

6.甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的

概率为3、第二局获胜的概率为2,第三局获胜的概率为2,则甲恰好连胜两局的概率为

433

（）

1572

A.-B.—C.—D.-

936369

7.在某电路上有M、N两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3,需要更换N

元件的概率为0.2,则在某次通电后M、N有且只有一个需要更换的条件下,M需要更换的概率是（）

121523

A.—B.—C.-D.一

191955

8.下面给出四个随机变量：

①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数J;

②一个沿直线y=2%进行随机运动的质点，它在该直线上的位置7/；

③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；

④某同学离开学校的距离匕

其中是离散型随机变量的为（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

二、多项选择题

9.下列说法中正确的是（）

A.设随机变量X服从二项分布“6,则尸（X=3）=得

B.已知随机变量X服从正态分布N（2,〃）且p（x<4）=0.9,则P（0<X<2）=0,4

C.£（2X+3）=2E（X）+3；£）（2X+3）=2D（X）+3

D.已知随机变量J满足p（J=0）=x,尸侑=1）=1—%,若0<x<g，则E（J）随着x的增大而减

小,随着x的增大而增大

10.下列说法中正确的是（）

A.从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是出

91

B.已知随机变量X服从二项分布3（",。），若E（X）=20,£＞（X）=10,贝U〃=40

C.己知随机变量J服从正态分布N（2,CT2）,若尸片＞1）=2，则尸（。＜3）=l—p

32-1

D.已知随机事件A,B满足P（3）=g,P（AB）=-,则P（A|3）=§

11.已知随机变量X,匕其中F=3X+1，已知随机变量X的分布列如下表

X12345

13

Pmn

io5To

若矶X）=3,则（）

31

A.m=-±B.„=lC.E（y）=10D.D（y）=21

三、填空题

12.对于随机事件A,B,若WB）。P⑷⑷二，则尸⑷5）=.

13.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球.采取不放回摸球，从中随机摸

出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数.当F（X=@最大时，E（X）+k=.

14.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”,

以C表示事件“被诊断者患有癌症，，则有尸（川。）=0.9，尸回0=0.9.现在对自然人群进行普春设

被试验的人患有癌症的概率为0.01,即P（C）=0.01,则P（C|A）=.

四、解答题

15.某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金.为了

解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，

对2017年至2023年研发资金的投入额占和年收入的附加额/进行研究，得到相关数据如

下：

年份2017201820192020202120222023

投入额X,103040608090110

年收入的附3.204.004.806.007.307.459.25

加额为

⑴求y关于x的线性回归方程；

⑵若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1,则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份

中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望.

777

参考数据：Zx*=2976,£乃=42,£X：=32800.

z=lz=li=\

附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

nn___

nx

Z(%，一可(丫一刃yt-y

$=—^a=y-bx-

£(%.一寸

ii=l

16.“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000

多年的历史.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青

团”和3个肉松馅的“青团”，乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”.

(1)若从甲箱中任取2个“青团”，求这2个“青团”馅不同的概率；

(2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个“青团”，求取出的这

个“青团”是肉松馅的概率.

17.人工智能(AD是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答

题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m(meN*)分,每轮答2题，都答对得1分,仅答对1

题得0分，都答错得-1分.若该答题机器人答对每道题的概率均为工,每轮答题相互独立,每轮结束后机

2

器人累计得分为乂当x=2m时，答题结束，机器人挑战成功，当X=0时，答题也结束，机器人挑战失败.

(1)当爪=3时，求机器人第一轮答题后累计得分X的分布列与数学期望；

(2)当机=4时,求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.

18.中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民

对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关

中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：

责

[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

31岁〜40岁481396

41岁〜50岁28102218

规定成绩在［0,60)内代表对中医药文化了解程度低，成绩在［60,100］内代表对中医药文化

了解程度高.

(1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；

(2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记X为对

中医药文化了解程度高的人数，求X的分布列和期望.

19.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加

工出来的零件混放在一起,己知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.

(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率(结果用分数表示).

参考答案

I.答案：C

解析：设A="第1天去A餐厅用餐"，4="第1天去B餐厅用餐"，A="第2天去A餐厅用餐”,

根据题意得尸(A)=/(4)=0.5,尸(414)=0.6,p(414)=04,

由全概率公式，得尸（&）=尸（A）P（4IA）+P（4）P（4I4）

=0.5x0.6+0.5x0.4=0.5

因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为05

故选：C.

2.答案：C

解析：用事件A1,&分别表示取到的产品来自第一批,第二批,8表示取到次品,

依题意，尸(4)=70%,尸(4)=30%,?(为4)=6%，?(84)=5%,

所以由全概率公式得尸（5）=P（A）P（6|A）+P（4）P（B|&）=5.7%.

故选:c

3.答案：A

解析：向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.

所以向左下落的概率为2,向右下落的概率为工，

33

则下落的过程中向左一次，

向右三次才能最终落到4号位置，

故此时概率为:c[J=A.

故选:A

4.答案：D

解析：由题意知：p(AU3)=G3=P(A)+PCB)—P(AB),可得尸(43)=§1+15—3：=五1,

1

故⑻=2=单」

v17P(B)16

2

故选：D.

5.答案：D

解析：乙最终获胜的概率为!，甲最终获胜的概率为1—工=。,所以甲乙两人按照31分配奖

22444

3一1

金才比较合理，所以甲24000x-=l8000元，乙24000x-=6000元，

44

故选:D

6.答案：B

解析：设甲第i局胜,i=1,2,3,且p(4)=：,p(4)=j,P(A3)=j,

则甲恰好连胜两局的概率=p(44A)+p(44A)=W(1」)+(1」)xL工=W,

-43343336

故选：B.

7.答案：A

解析：记事件A为在某次通电后M、N有且只有一个需要更换，事件B为M需要更换，则

P(A)=0.3x(1-0.2)+(1-0.3)x0.2=0.38,P(AB)=0.3x(l-0.2)=0.24，由条件概率公式可得

八P(AB)0.2412

Pn/(BnlA)=—~-=——=—.故选A.

P(A)0.3819

8.答案：C

解析：对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；

对于②，沿直线y=2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散

型随机变量；

对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；

对于④，某同学离开学校的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变

量.

所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.故选C.

9.答案：ABD

解析：对于选项A,设随机变量X〜

则一)wm染,

所以选项A正确；

对于选项B,因为随机变量J〜N(2,CT2}

所以正态曲线的对称轴是尤=2,

因为。（乂<4）=0.9,所以。（乂<0）=0.1,

所以尸（0<X<2）=04,所以选项B正确；

对于选项C,石（2X+3）=2E（X）+3,

DOX+BNJDIX卜故选项C不正确;

对于选项D,由题意可知,£信）=1一%,

D（^）=x（l-x）=-x2+x,

由一次函数和二次函数的性质知，

当0<x<1•时,随着x的增大而减小，

D（J）随着龙的增大而增大，故选项D正确.

故选：ABD.

10.答案：BD

解析：对于A,从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为

6x10

—,故A错误;

14x13x291

n=40

np=20

对于B,〜<解得<1,故B正确;

秋（l—p）=10

对于C,〜N（202）,则正态曲线的对称轴为J=2,根据正态曲线的对称性可得

P（J>1）=P值<3）=0,故C错误；

对于D,­.•P（B）=P（AJB）+P（AB）,.-.P（AB）=|-|=|,

/一、1

、P（AB）71

所以P（AB）=>，=弓=—,故D正确.

V1'P（B）33

'5

故选：BD.

11.答案：AC

解析：由£（X）=lxm+2x0.1+3x0.2+4x〃+5x0.3,可得加+4〃=0.7,

由加+0.1+0.2+〃+0.3=1，可得加+〃=0.4,

从而得:m=0.3,〃=0.1,故A正确,B错误,

石(丫)=3E(乂)+1=10,故©项正确,

因为。(X)=0.3x(l-3f+0.1><(2-3f+0.1><(4-3『+0.3x(5-3『=2.6

所以D(Y)=9D(X)=23.4，故D错误.

故选:AC.

12.答案：-

6

解析：。（例人:常又P（A）=g，

所以P（AB）=Lp（A）=^x2=J_,

174v74510

1

6

故答案为：—

6

13.答案：17.8“79

5

解析：不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布

「kr~\Xl—k

P(X=A)=40看0,左=0,1,2…22,

joo

P（X=k）最大时,

即C：°C笊最大,

超几何分布最大项问题，利用比值求最大项

c$c阳-s

设为=P(X=s)=

则4+1=JJ—kC；

4—C：

k\（〃-女）！

(s+l)!(左-s-1)!(机一s-1）!（〃一人一机+s+l）!

k!（n-k》.

s!(左-s)!（机一s）!（〃一女一机+s）!

(s+l)(〃一左一根+s+l)

0-s)(m-s))]

令

(5+1)(〃一左一根+5+1)

=>(左一s)(m—s)+一左一机+s+l)

=>——^k+m)s+bn>s2+^2+n—k—m)s+l+n—k—m

nAm>(〃+2)s+l+"—(m+k)

n左)+1>(〃+2)s+(l+n)+l

口「J%+l)(m+l)]

n+2

W+l)(〃z+l)时,p(x=s)严格增加,

故当sW

〃+2

当§2(左+1)(加+1)_1时,p(X=s)严格下降,

n+2

即左=9时取最大值,

此题中〃二100,加=22,左=40,s=kf

根据超几何分布的期望公式可得E（X）==竺出=8.8，

''n100

矶X)+左=8.8+9=17.8

故答案为：17.8

14.答案：J-

12

解析:因为尸（Z@=0.9,所以P（A©=1—P(A|C)=l-0.9=0.1,

因为P(C)=0.01,所以P(C)=0.99，

所以由全概率公式可得P（A）=P（A|C）.P（C）+P（A©.P（0,

因为尸（AC）=P（C|A）P（A）=P（A|C）P（C）

所以

P（A|C）P（C）P(A|C)P(C)0.9x0.01

P（C|A）

P(A)-P(A|C)P(C)+P(A|C)P(C)0.9x0.01+0.1x0.99

91

-108-12,

故答案为：L

12

15.答案：(Dy=0.06x+2.4

⑵分布列见解析,2

7

解析：⑴依题意,7=；x(10+30+40+60+80+90+110)=60,

_i

y二,x(3.2+4+4.8+6+7・3+7.45+9.25)=6,

7__

2976-7x60x6。》

b=------------=-----------------------=0.06,

32一232800-7x3600

Xxi~nx

i=l

a=y-bx=6-0.06x60=2A^

所以y关于X的线性回归方程为y=0.06%+2.4-

(2)由题意,7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个,

所以X的可能取值为0,1,2,3,

P(x=o)=等＜，P(X=1)=萼=||,

r20iioc3i

p(X=2)=^^=—,P(X=3)=-4=—,

1/C3517C,35

X分布列如下:

X0123

418121

P

35353535

所以X的期望是石(X)=0x4+lx更+2XU+3XL=2

V7353535357

16.答案:(1)7

-I

解析：(1)从甲箱中任取2个“青团”的事件总数为C；=21,

这2个“青团”馅不同的事件数为C；C；=12,

124

所以这2个“青团”馅不同的概率为—=—.

217

(2)设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团'，取出的这个‘青团'是肉松馅”，

事件4为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是蛋黄馅”，

事件不为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”，

事件员为“从甲箱中取出的2个‘青团’为1个蛋黄馅1个肉松馅”，则与，B2,以彼此互斥.

。⑷=5=9二，p㈤*)二叩」，

、1，C；217、C；217''C；217

()

pAl4=7P(^B2)=-,P(A|B3)=-,

所以()(

P(A)=P4PA|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(S5)-P(A|B3)

22144320

——X---1——X——|——X——=---,

77777749

20

所以取出的这个“青团”是肉松馅的概率为

49

17.答案：(1)分布列见解析,E(X)=3

(2)11

1024

解析：(1)当爪=3时，第一轮答题后累计得分X所有取值为4,3,2,

根据题意可知：p(X=4)=-x-=-,P(X=3)=2x-x-=-,P(X=2)=-x-=-,

所以第一轮答题后累计得分X