2025届高考数学二轮复习专项训练：空间中的平行与垂直（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题训练空间中的平行与垂直

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.正方体A3CD—4用6。1，中，E为线段42,上的一个动点，则下列错误的是（）

\.AC±BEB.耳EH平面ABCD

C.三棱锥£—A5C的体积为定值D.直线直线3。.

2.设4b是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，则下面说法正确的是（）

A.若a±b^b//aa±a

B.若a工a.blla，则aLb

C.若aJ_a，。_L，，则au/7

D.若a-Lb'b-L，则all0

3.如图，正方体ABC。—的棱长为2,M,N分别为棱，BC的中点，尸为正方形

边上的动点（不与M重合），则下列说法中错误的是（）

A.平面MNP截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形

B.存在点尸，使得直线A4与平面脑VP垂直

C.平面跖VP把正方体分割成的两个几何体的体积相等

D.点Bl到平面MNP的距离不超过6

TT

4.如图，二面角。—/—，的大小为点A,2分别在半平面a,（3内，4。，/于点。，BD±l

于点D若AC=5,BD=6,43=2后.则CD=（）

A.—B.6C.V29D.730

2

5.设A,B,C,。是空间中4个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）.

A.若AC与瓦）共面，则与BC共面

B.若AC与8。是异面直线，则与BC是异面直线

C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC

D.若AB=AC,DB=DC,则ADLBC

6.已知a是一个平面，a,b是两条不同的直线，bua,p\aLa,q:a±b,则p是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.设/是直线,a,4是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.若〃/。，/〃月厕M/尸B.若〃/。，/，分,则

C.若则D.若0，，，〃/0,则

8.已知a,0是空间中的两个不同的平面，I,m,〃是三条不同的直线.下列命题正确的是（）

A.若mua,nua,ILm,I-Ln,贝

nu/3,"2_1_〃则0_1_,

C.若Ulm,mua,则〃/a

D.若Ulm,mlln,ILa,则“_La

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.如图一，四边形ABCD为矩形，AB=2,AD=2^2,E,M,F,N分别为矩形各边的中点,

现按图中虚线折起，得到图二所示的四面体EMV,其中点A,B,C,。重合为点G,则在图二中,

下列结论正确的是（）

A.EFLMN

B.EF=MN

4

C.四面体EMV的体积为一

3

D.四面体EMV的外接球的表面积为5兀

10.如图甲，在矩形ABCD中，AB=2AD=2,E为CD的中点，将△CBE沿直线5E翻折至

△GBE的位置，尸为AC】的中点，如图乙所示，贝ij（）

A.翻折过程中，四棱锥G-ABED不存在外接球

B.翻折过程中，存在某个位置的G，使得

点F到平面C[BE的距离为手

C.当二面角C]_BE—A为120°时，

TT

D.当四棱锥G—ABED体积最大时,以AG为直径的球面被平面C'BE截得交线长为y

11.已知直线相，n,平面2,p，则下列说法正确的是（）

A.若m//n,nua,则mlla

B.若mil/3,mua,a[}/3=n,则加〃几

C.若all0,mLa,mlIn,则〃_L/?

D.若mLa,n10,则相〃几

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知三棱锥S-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形,点A在侧面SBC上的射影H是ASBC

的垂心，三棱锥S-ABC的体积为逐，则三棱锥S-ABC的外接球半径等于.

13.已知球0是正三棱锥尸—ABC的外接球,若正三棱锥尸—A3C的高为0,底边A3=百，则球

心。到平面ABC的距离为.

14.如图，已知点P是棱长为2的正方体ABCD-的底面ABCD内(包含边界)一个动点,

若点P到点A的距离是点P到BB1的距离的两倍，则点P的轨迹的长度为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥p—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=AB=2>足为线段

上的中点.

⑴求证：尸3〃平面ACE；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个，使得平面ABCD，并求直线pc与平

面ACE所成角的正弦值和二面角E—AC—B的余弦值・

条件①：PB=26；

条件②：PB=PD；

条件③：平面平面ABCZ>

16.如图，。是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为4的正方形ABCZ),尸为线段AO上的

动点，E,E为下底面上的两点，且AE=A尸，ZEAF=120°,EF交AB于点、G.

OP_L平面CEF-,

(2)当为等边三角形时，求二面角P—印―C的余弦值.

17.如图，在直四棱柱ABCD-AACQ中，底面四边形ABC。为菱形,NA£>C=120°,点£F分别为

棱AB,CG上的点，

(1)若荏=XAB，且平面DQE1平面ABB^，求实数2的值；

(2)若尸是CG的中点，平面ABR与平面BDF的夹角的余弦值为噜^求*的值.

18.已知如图,在矩形ABCD中,AB=2，AD=，将△AB。沿着3。翻折至AMBD处，得到三棱

锥M—过加作5。的垂线,垂足为",MC=

(1)求证:MW，C£)；

(2)求二面角C-BM—D的余弦值.

19.如图所示，在三棱锥p—ABC中，与AC不垂直，平面尸AC，平面ABC，PA±AB

（1）证明：ABVAC-

（2）若Q4=PC=AB=AC=2,点M满足丽=3声而，求直线AP与平面ACM■所成角的正弦

值.

参考答案

1.答案：D

解析：A:•在正方体中，AC±BD,AC1DDX,BD^DD^D,

4。_1_面3与£)]£),

♦;BEu面BBRD,

AC_LBE,A正确.

B.v耳2〃平面ABC。，

B}EH平面ABC。成立.即B正确.

C.三棱锥£—ABC的底面ZiABC为定值，

锥体的高8片为定值，.•.锥体体积为定值，即C正确.

D.vDjQ±BCR,用后，直线3G错误.

故选D.

解析：对于A,若。,。，〃〃[，则可能区a平行或相交，可得A错误;

对于B若a，a，为/口,则Z’B，即B正确;

对于C,若。。，，则allp或au，,可知C错误；

对于D,若，，，则all/3或au，，可知D错误；

故选:B

3.答案：B

解析：在棱长为2的正方体中，

建立如图所示的空间直角坐标系,

ZA

则£>(0,0,0),A(2,0,0),A(2,0,2),G(0,2,2),

4(2,2,2),M(l,0,2),N(l,2,0),

对于A,丽=(—1,2,0),Mq=(-1,2,0)

即丽=而穿，而Ae直线MG，则AN〃/

又AN=^=MC[,因此四边形AMGN为平行四边形，

又AM=亚=AN,

则四边形AMCiN为菱形，当点尸与q重合时，

平面MVP截正方体表面所得的交线形成的图形是菱形，A正确；

对于B,4?=(0,2,0),W=(0,-2,2),M•汨=TwO,

即4片与MN不垂直，

而MNu平面肱VP,因此直线4片与平面MVP不垂直，B错误；

对于C,线段的中点(1」』)为正方体ABC。—的中心，

平面MVP过该正方体的中心，

由对称性，平面MVP把正方体分割成的两个几何体的体积相等，C正确;

对于D,当点尸(0,1,2)时，g=(—1,1,0),四=(2,2,2),

则屈函=0,NMDB^=Q

即。DBJMN,MPC\MN=M,

MN,"Pu平面ACVP,于是。与，平面跖VP,

此时点B]到该正方体中心(1,1,1)的距离也

即为点B［到平面MNP的距离,

是点BI到过MN的所有截面距离最大值,

因此点见到平面MNP的距离不超过6,D正确.

故选：B

4.答案：C

解析：在，内过点C作且B'C=BD,连接B'B,B'A,

所以NAC3'为二面角。-/-分的平面角.

易知CD,平面AB'C,而四边形5'皿。为矩形，所以BB7/CD,

故班'J_平面AB'C,因而55'LAB',

AB'=^AC2+B'C2-lACB'Ccos^=底,

CD=B'B=y/AB2-AB'2=V29；

故选：C.

5.答案：C

解析：若AC与8。共面，则A,B,C,。四点共面，故A。与BC共面，A中命题正确；假设40

与BC不是异面直线，则AD与BC共面，于是AC与2。共面，这与AC与8。是异面直线矛盾，故

AD与BC是异面直线，B中命题正确；如图所示，AB=AC,QB=DC,但不能推出40=6。，

C中命题错误；若A6=AC,取BC的中点E,连接AE,DE,则BCLDE,

AEC\DE=E,

c

故平面ADE,又AOu平面AOE,所以BCLA。，D中命题正确.故选C.

6.答案：A

解析：若a_La,由Z?ua,则。J_B；

若则。与e可能垂直、可能相交也可能平行，

还有可能au平面a；

故p是q的充分不必要条件.

故选：A.

7.答案：B

解析：设/是直线,a邛是两个不同的平面，

对于A,若///0,〃/分厕a与P相交或平行，故A错误；

对于B,若〃/a，则a内存在直线/'〃/，因为/，，，

所以/'，，，由面面垂直的判定定理得o_L分,故B正确；

对于C,若则/与/平行或/u分，故C错误；

对于D,若0，，，///1,则/与夕夕相交、平行或/u",故D错误.

故选：B.

8.答案：D

解析：对于选项A：根据线面垂直的判定定理可知：

需保证相，”相交，故A错误；

对于选项B：根据面面垂直的判定定理可知：

需推出线面垂直，现有条件不能得出，故B错误；

对于选项C：根据线面平面的判定定理可知：需保证/aa,故c错误；

对于选项D：若Ulm，mlln,则〃/〃,

且/_La,所以“J_a,故D正确；

故选：D.

9.答案：ABD

解析：由题知，GM±GE,GN工GE.

又GMCGN=G,GMU平面MGN,(3乂匚平面欣加，.・.6£，平面必加.

又MNu平面MGN,:.GELMN,即故选项A正确；

■.■GE=GF=-AB=1,：.EF=2=MN,故选项B正确；

2

■;GM=GN=-AD=yfl,MN=2,

2

:.GM?+GN?=MN?,:.GM工GN.

■：GMLGE,GM±GN,GE^GN=G,

GEu平面EFN,侬（=平面£两，，6〃，平面£：两.

所以四面体EMV的体积为」义工义行X2X&=2,故选项c错误;

323

,/MN=EF=2,ME=FN=MF=NE—\/3,

所以四面体EFAW可以放入长方体中，如图所示，

设四面体EMV的外接球的半径为R,

则有(27?)2=12+(72)2+(V2)2=5,

解得R2=3,所以外接球的表面积5=4兀氏2=5兀，故选项D正确.

4

故选：ABD.

10.答案：AC

解析：对于A,由已知直角三角形ADE存在以AE为直径的唯一外接圆,

-.-ZABE^90°,

...点8不在该圆上，所以四边形ABED不存在外接圆，

四棱锥G-ABED不存在外接球，故A正确；

对于B,由已知,AD=£)£=CE=BC=1,

ZADE=ZBCE=90°,

：.ZAED=ZBEC^45°,

：.ZAEB=9Q°,BELAE

假设在翻折过程中，存在位置G，使得BE±AG,

则AEQAC】=A,AEu平面AECX,AC,u平面AEC1,

.•.跖,平面A^。］，

又,:qEu平面AEC1,

BEJ_C]E,

•••△CBE在翻折至的位置的过程中，

NBEG=NBEC=45°,

BE1GE显然不成立,故假设错误，

翻折过程中，不存在任何位置的G，使得BE±AC1,故B错误;

对于取中点由已知

CJBE,5C=CE,

:.CH工BE,CXH1BE

：.NC[HC是二面角G-BE-C的平面角，

当二面角C1—BE—A为120°时,二面角G—BE—C为60°,

即ZCjHC=60°,

又GH=CH，BE=显,

122

G到平面ABCD的距离为hCi=^xsin60。=手，

设点A到平面QBE的距离为hA,

则匕-ABE~^A-CXBE，

•J_Vh=—Sh

•,3%ABE%-3，

11。1W111」

—x—x2xlx--=—x—xlxlx/z.

32432A

=手，即点A到平面的距离为手，

•.・点尸为AC1中点,

点F到平面QBE的距离是点A到平面QBE距离的1,

76

.•.点F到平面QBE的距离为手，故C正确；

对于D,四棱锥G-ABED底面梯形ABED的面积为定值，

当四棱锥£—ABED的体积最大时，平面QBE±平面ABED,

•.•平面。15后口平面4跖。=鹿，AEu平面ABED,

由B选项有.•.AE1.平面C|BE,

•/QEu平面CXBE,

AE_LC\E,

2

ACX=^AE^+QE=J（回+俨=73,

又,.,AE_L平面C[BE

：.点A到平面QBE的距离AE=42,

•.•点尸为AG中点，

以AG为直径的球的半径R=?=与,

球心F到平面C}BE的距离d=竿=孝，

易知,球面与被平面GBE截得交线为圆，

其半径厂=,氏2_储

2

二.该交线周长为271r=兀,故D不正确.

故选：AC.

11.答案：BC

解析：选项A中，机可能在。内，也可能与。平行，故A错误；

选项B中，因为加〃？，mua,a^\/3=n,所以加〃口，故B正确；

选项C中，因为2〃/7,mVa,所以根JL/7,又加〃几，所以〃_L力，故C正确;

选项D中，因为。_L/?,mVa,n10,所以zn_L〃，故D错误.

故选：BC.

12.答案:

解析：延长SH交于点O,连接AD,

/年二:

因为点X是aSBC的垂心，则SDLBC,

又因为平面SBC,BCu平面S5C,则

且SDnAH=H,SD,AHu平面可得平面

由S4,ADu平面S4O,可得5CLS4,BC1AD,

且底面ABC是边长为2的正三角形，则点。为6C的中点，

过点S作SGL平面ABC,垂足为点G,

且BCu平面ABC,可得SGLBC,

且ASnSG=S,AS,SGu平面&1G,可得BC,平面&4G,

由AGu平面S4G,可得6CLAG,

同理可得AC_LBG,AB±CG,可知点G为ZVlBC的垂心，

因为△ABC为等边三角形，可知点G为△ABC的中心，

则GeA£>,且AG=2AD=空，

33

因为三棱锥S—ABC的体积为工SGx^x2义君=百，可得SG=3,

32

可知三棱锥S-ABC的外接球的球心O&SG,

设三棱锥S-ABC的外接球的半径为R,

则A?=—+（3-氏），解得R=

318

所以外接球的半径为二31.

故答案为:

13.答案：比/▲&

解析：如图,设点尸在底面ABC的投影为反

则AH=—xA/3xsin—=1，设OH=x，

33

所以Q4=Jc"2+Af/2=J12+i，cP=0—%，

由Q4=O。得，4rz=后—x，解得％

故答案为:

4

14.答案：—

9

解析：在正方体ABC。—A4G。中，

可得35］，平面ABCD,

因为QBu平面A3CD,所以3片，23,

则点P到BBi的距离等于点P到点B的距离，即|Z4|=2\PB\,

在底面ABC。中，以A为原点，

以AB,AD所在的直线分别为x轴和y轴，

建立平面直角坐标系，如图所示，可得A(0,0),B(2,0)

设尸(x,y),由|申|=2归同，可得,2+J=2«—2『+/，

整理得(x—|)2+y2若，

84

即点尸的轨迹是以M(1,0)为圆心，半径为厂=耳的圆弧E厂,

o2

又由忸M=|AM|—|AB|=§_2=3，

,\BM\1

可得——=-,

\MF\2

jrjr

所以/3儿炉=二，即E/所对的圆心角为

33

TT447r

所以点p的轨迹的长度为圆弧长为二义2=空.

339

故答案为：—.

解析：（1）证明:

设3。交AC于点。，连结0?

因为底面ABC。为正方形，所以O是30中点，E为线段p£）上的中点

所以0E是△尸皿的中位线，所以PB//0E，

又OEu平面ACE，PBa平面ACE，

所以直线PBH平面ACE-

（2）选择①，若上4,平面ABC。，ABu平面ABC。，则B4_LA5,

故=，/鼠+6=2后，这与PB=2g矛盾，故错误♦

选择②，PB=PD，又因为底面ABCD为正方形，PA1.AD'

可得△PAB04PAD，所以以_LA5,所以上4，平面ABC。，

以A为原点，通，而，Q的方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,

Zj

则4（0,0,0），3（2,0,0），C（2,2,0）.D（0,2,0）»尸（0,0,2），£（0,1,1），

AE=（O,l,l）＞AC=（2,2,0）＞PC=（2,2,-2）

设平面ACE的法向量为为=（x,y,z），

由2衣=2x+2y=0,得为二（1』）；

n-AE=x+z=0

设直线pc与平面ACE所成角为3

贝Usin0=cos（n,PC\=J—；——I=—.

'/|n|-|PC|3

所以直线PC与平面ACE所成角的正弦值为

3

设二面角E—AC—B的为a，a为钝角，

平面ABCD的法向量为沅=（0,0,1），

cos。=一W5砌.需=-

二面角E—ac—B的余弦值为一且.

3

选择③，平面PA£）_L平面ABCD，

又因为平面PAZ）n平面ABCD=A。，PA±AD'上4u平面B4。，

所以PAJ_平面ABC。，

以A为原点，丽，而，Q的方向分别为x，y,z轴正方向建立空间直角坐标系，则4（0,0,0）,

5（2,0,0），C（2,2,0），0（0,2,0），P（0,0,2），£（0,1,1）.

荏=（0,1,1）,AC=（2,2,0）＞PC=（2,2,-2）

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)

加”=2x+2y=0,得为=(―1,中

由＜

n-AE=x+z=0

设直线PC与平面ACE所成角为"

\n-PC\

则sin0=卜os(五,PC^|1

H-M3

所以直线PC与平面ACE所成角的正弦值为工•

-3

设二面角£_AC—5的为a,a为钝角,

平面ABC。的法向量为沆=(0,0,1),

cos«=-|cos(n,m)|=-^=-^，

二面角£_AC—5的余弦值为一走.

3

16.答案：(1)证明见解析

解析：⑴连接。尸，CG,由题意可知NEA尸=120°,

且AE=AF,因此EF_L49,

易知AE=2,点G为。4中点，

nA01

考虑△BCG与△AOP,-=-=

C542

3

-=1=-,且NM9=NGfiC=90。，

BG32

因此ABCG~Z\AOP,故NP6M+NCGfi=9O°,因此OPJ_CG,

在圆柱中，ZM_L平面AER

EFu平面AER因此跖，

又因为灰，49,DA[}AO=A,

DA,AOu平面ABC。，因此历_L平面ABCD,

由于尸Ou平面ABCD,因此石F_LPO,

由于EFLPO,CG±PO,

EFC\CG=G,EF,CGu平面CEP,

因此OP1•平面CEF；

（2）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系,

则有网-6,1,0）,F（V3,l,0）,

C（0,4,4）,G（0,l,0）,设P（0,0,左），

若ZXPEF为等边三角形，则|厘|=|赤|=2g,

PE=^-y/3,l,-k）,|固|=,3+1+左2=26,

于是左=2正或左=-272（舍去），

由(1)知平面CEF的法向量为为=10,2,—I1,

PE=(-A/3,1,-2V2),PF=(A1,-272),

设平面PEF的法向量为沅=(%，x，Z]),

制J-&X]+%-20Z1=0,

则«

6xi+%-20Z]=0,

取%=2A/2,则2]=1,西=0,沅=(0,2A/^,1),

设二面角尸—跖—C为。，

4历3

由图知。为锐角，cosa==------m=8氏-3.

阿M|3X515

2

17.答案：(1)2=1

2

(2)丛=6或&L=YI

ABAB2

解析：（1）方法一:如图1,取AB的中点连接£）石'，

因为四边形ABC。是菱形，且ZDAB=180°-120°=60°，

所以△ABD是等边三角形，所以DE'X.AB-

因为。2，平面ABCD,ABu平面ABC2所以1AB.

因为DE'^DD,=D,次u平面DDR,DDXu平面DRE，,

所以ABJ_平面。RE'.

因为ABu平面ABB14，所以平面DDXE'±平面ABB^，

所以E点和E，点重合.

所以衣=工通,即通=工通，即;1='.

222

AG

AE（E）B

图1

方法二:如图2,在A4上取一点G,使AG=AE，连接EG,G}D.

显然四边形AEG\为平行四边形，得到AAJ/EG，且AAX=EG,

同时胡HDD,，且A4,=DQ,

有DDJIEG,旦DD[=EG,

四边形DEGD]为平行四边形，

则平面2DEC平面ABBX\=EG,且DDJ/EG-

因为。°，平面ABCD,ABu平面ABC。,所以DD,±AB,

所以EGLAB-

又平面DXDE1平面ABB.A,，平面DXDEQ平面ABB.A,=EG,ABu平面ABB^.

所以45，平面。。£・

又£>£u平面DQE,所以Afi，£）石•

又因为四边形ABCD是菱形，且ZDAB=180°-120°=60°，

所以Z^ABD是等边三角形,

所以立=!通，即彳=工.

22

图2

(2)方法一:以E为A3的中点.

以点£)为原点，分别以。石,℃,。£>1为x,y,z轴，建立如图3所示的空间直角坐标系

不妨设AB=2，=2a,则

A（73,-l,0），4（6,1,2a）,Q（0,0,2a），后1,0）,D（0,0,0）,F（0,2,a），所以

A^=（0,2,2«），D^=（73,l,0），DB=（V3,l,0），DF=（0,2,fl）.

设平面AB[。]的法向量为〃=（%,%,zj,

则上9=0,即户+2叼=0,

n-DxBx=0,[+%=0,

令刀=百厕Z[=3,%=—3,所以平面A5Q]的一个法向量为为=（四,—3,3],

aIa）

设平面BDF的法向量为用=(%2，%，22%

则口差=0,即!回+%=0,

in-DF-0,[2y2+az?-0,

令M=6厕％=—3/2=9,所以平面应)产的一个法向量为玩=-3,9

~"aIa

则

设平面ABYDX与平面BDF的夹角为3

V3xV3+(-3)x-x-^

aa12a2+18

同•同12+〉Jl2a2+9xJ12/+36

令,12a2；18=亚，解得2=3或万=3,所以抬或走.

Jl2a2+9XJ12/+361042

所以丛=哀1=括或&L=XI

AB2AB2

方法二:连接AC,与BD相交于点O,连接4G与B[D]相交于点。],

连接AO],OF,OO「

由题意得,A。J_5Z），OOi_L平面ABCD.

以点0为原点，分别以08,OC，OO]为xj，z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系,

不妨设AB=2,M=2a，

则A（0,-A0），Q（0,0,2a）,F（0,A«）

所以丽=e,6,2a）,历（0,6,a）.

易知BDHB\D\,AQ_L用〃，OF_L，

所以向量而\酝夹角余弦的绝对值等于平面AB]A与平面3£）尸夹角的余弦值,

所以卜怎福,赤卜噜.

所以-a。。_3+2〃_3屈

时回“3+4/々3+/―10

解得储=3或所以a=6或虫.

42

18.答案：（1）证明见解析

⑵巫

13

解析：（1）连结“，

由MB=CD=2，