2025届高考数学二轮复习专练：排列组合二项式定理（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题训练9.2排列组合二项式定理

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后,

再选涂其它答案标号。

2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域

不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有()

B.296种C.362种D.384种

2.若3x-(〃eN*)的展开式中各项系数和为16,则其展开式中的常数项为()

A.54B.-54C,108D.-108

3.现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤萱老人"爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同

学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法()

A.30种B.60种C.90种D.120种

4.已知(l+ot)(2—X)4(QGR)的展开式中一的系数为17.则实数a的值为()

A—2B-1D.2

5.在自然界广泛存在且较为常见的元素包含氢(H)，氧(O)，钠(Na)，娱(Mg)，铝(AI)，硅(Si)，磷(P),

硫(S)，氯(C1)，钾(K)这10种,现从这10种元素中随机选取3种，若选取的3种元素中至少包含1种金

属元素，则不同选取方法种数是()

A.60B.85C.100D.120

6.北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的

样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4

名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（）

A.2880B.1440C.720D.576

7.5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（）

A.A；B.C；C.54D.45

8.定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022,3110”，则所有“吉祥数”的个数是（）

A.35B.32C.29D.20

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知（1一2x）”展开式的所有二项式系数之和为256,（1-2x）"=a0+axx+a2x~++anx",

则（）

A.zz=8B.a4=1120

C.al++-+ctn=1DJtzJ=3'-1

10.关于（5-x）6的展开式，下列判断正确的是（）

A.展开式共有7项

B.展开式的各二项式系数的和为64

C.展开式的第6项的系数为30

D.展开式中二项式系数最大的项是第4项

11.已知+（〃eN*）的展开式中存在常数项，则下列结论正确的是（）

A.n的最小值为10

B.当力取最小值时，展开式的二项式系数的和为32

C.当〃=10时，展开式中的常数项为45

D.当〃=10时，展开式中没有V项

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

/、

12.1+-（x—y）8展开式中dy5的系数为_________.（用数字作答）.

Iy）

13.在x+—的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是________.

2x）

14.已知正项等比数列｛4｝的公比不为1,若在｛4｝的前20项中随机抽取4项，则这4项按原来的

顺序仍然成等比数列的概率为.（用最简分数作答）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利―欧拉的装错信封问题.现在定义错排

数m）为将％,电，生，4共〃个元素排列在乙，打也，…）"共”个位置上，其中有机个元素不在

其对应位置上的情况数（软的对应位置为外，左eN*，攵W〃）.容易得

至I,b（1,1）=0,歹（2,2）=1,斤（3,3）=2,规定F（0,0）=1.

（1）计算:歹（4,4）,歹（5,5）；

⑵记4=4丁'L｝的前"项和为'，证明：S"=卜右N*）；

（3淀义错排概率P（n,m）为随机将生,电，的，…，4共”个元素排列在耳也也，…，4共”个位置上，

其中恰有机个元素不在其对应位置上的概率，证明:尸（小根）=丁亍.E上?.

16.某商店售卖一种珠环，消费者从红、蓝两种颜色的装饰珠中各选出偶数个，按随机的顺序用绳子

穿成“串”（穿在一根绳子上，之后固定位置不可移位），再将绳子首尾相接连成“环”.小王现在选了6

个红珠4个蓝珠穿成一个“串”.

（1）如果小王将这一串装饰珠剪了一刀分成了两串，每串各有5个装饰珠，求这两串装饰珠都恰好是3

个红珠和2个蓝珠的概率；

（2）在把10个装饰珠连成环后，小王剪了两刀将珠环分成各含4个装饰珠和6个装饰珠的两串.设4个

装饰珠串里红珠的个数为随机变量X,求X的分布列与期望；

⑶如果小王选了2m个红珠和2〃个蓝珠以任意顺序连成一个“环”（心"eN*）,求证：只需要在合适

的位置剪两刀，总可将环分成两串，每串都恰好是根个红珠和〃个蓝珠.

17.因受到中国八卦图和《周易》阴阳理论的启发彳惠国数学家莱布尼茨提出二进制记数法用二进制

记数只需数字0和1,对于整数可理解为逢二进一，例如:自然数1在二进制中就表示为（1）,,2表示为

（10）,,3表示为（n）,,5表示为（101）,.发现若“eN*可表示为二进制表达式

eN>

（4%的«A-A）2^

则〃=旬++4_]・+4,其中％=1，4=°或l（i=1,2,-,左）.

（1）t己5（"）=%+q++%•_]+，左eN，〃eN*，求证：S（2〃+1）=S（4〃+1）

（2）记/⑺为整数〃的二进制表达式中的0的个数，如/（2）=1,/（3）=0，

⑴求/（66）的值；

5）求g2""）的值.

511

10

18,已知（2x-l，°=%+〃]%+。2%2+。3%3+,+<210X»xeR•

⑴求的的值；

（2）求％+%+/++〃io的值；

⑶求同+同+同++|卬（）|的值.

19.（1-3%）（l+2x）5的展开式中炉的系数为.（用数字作答）

参考答案

1.答案：D

解析：首先4,5,6三个区域有A：种涂法，

当2号区域和6号区域同色时，有A：x2x3=144种涂法；

当2号区域与4号区域同色时，有A：x2x3=144种涂法；

当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有A：x2x2=96种涂法，

综上，共有384种涂法.

故选：D.

2.答案：A

解析：方法一：令x=l,可得（3—1）"=16,所以“=4,则，3x—2］展开式的通项为

（―1）仙3"人（号"23令4—2左=0,得左=2,所以展开式中的常数项为

（-1）2x32（3；=54.故选A.

方法二：令x=l,可得（3—1）"=16,所以九=4,（3x--］展开式中的常数项为

54.故选A.

3.答案：C

C2c2c2

解析：方法一：首先把6名同学分成3个小组，有**&=15（种）分组方法，再让3个小组分别前

A3

往不同的养老院，

因此共有安排方法15xA；=90（种），

方法二：设3家养老院的编号依次为1、2、3,首先安排1号养老院，

有C；=15（种），再安排2号养老院，有C”6（种），最后安排3号养老院，有C；=l（种），

根据分步乘法计数原理，因此共有安排方法15x6x1=90（种），

故选：C.

4.答案：A

解析：根据题意，(2-x)4的展开式通项为C；2—(―打，

4

所以(l+ox)(2—x)4(aGR)的展开式中x为：

1xC：24-4(-x)4+ax•C；24-3(-%)3=x4-8ax4=(l-8«)x4>

则1—8a=17,解得a=—2・

故选：A

5.答案：C

解析：总的选取方法有C；0=120种，

全是非金属元素的选取方法有C：=20种.

所以至少包含1种金属元素的选取方法有120-20=100种.

故选：C.

6.答案：A

解析：先将4名女生排在一起，有A：种方法，

再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，

有A；种方法，故4名女生相邻的站法种数为A：A；=24x120=2880.

故选：A.

7.答案：D

解析：每个毕业生都有4种不同选法，

所以不同选法的种数为45.

故选：D

8.答案：A

解析：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算，

当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0,0,0,共有1个“吉祥数”；

当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1,0,0,共有3个“吉祥数”；

当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1,1,。或2,0,0,共有3+3=6个“吉祥数”；

当首位数字为2时，剩余三位数分别是2,1,0或3,0,。或1,1,1,共有A；+3+1=10个“吉祥

数

当首位数字为1时，则剩余三位数分别是3,1,0或4,0,0或1,1,2或2,2,0,共有A；+3+3+3=15

个“吉祥数”，

则共有1+3+6+10+15=35个“吉祥数”•

故选：A.

9.答案：ABD

解析：由题意知2"=256,所以〃=8,故选项A正确；

由二项式(l—2x)8的展开式通项为=C£(-2x)"

令厂=4,得刀=C：x24%4=1120/,

所以。4=1120,故选项B正确；

令X=1,得%+++4=(1—2)8=1;

令x=0,得％)=1,所以。]+4++。8=。，故选项C错误；

二项式(1-2x)8的展开式通项为Tr+X=C；-(-2x)\

所以尤的奇数次暴的系数均为负数，

偶数次哥的系数均为正数，即％,%，%，%为负数，

CIQ,a,,。4，。6，08，为正:，

8

令x=-],得〉:kJ=%—q+a。—％++%=38,

(=0

8

所以Z|q|=38-1,故选项D正确.

(=1

故选：ABD.

10.答案：ABD

解析：对于A,展开式共有7项，故A正确；

对于B,展开式的各二项式系数的和为2$=64,故B正确；

对于C,展开式的第6项是CR(-x)5=-30/，其系数为一30,故C错误；

对于D,展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确.

故选：ABD

11.答案：BCD

解析:展开式的通项,要使展开式中存在常数项，则

n=5r.

选项A：所以〃的最小值为5,故A错误.

选项B：由A知当”取最小值时，二项式系数的和为25=32,故B正确.

选项C：当〃=10时，常数项为C；o=45,故C正确.

选项D：令*」上=2,得厂=?,不符合题意，所以当〃=10时，展开式中没有必项，故D正确.

25

12.答案:-28

C\

解析：因为1+亡(%-j)8=(%-j)8+--(%-y)8,

Iy)y

其中(x—丁了展开式的通项为l+1=C"8f•(—(0WrW8且reN),

/、

所以1+土(x—y)8的展开式中含Vy5的项为c'.(—y)5+±C"2.(—28/丁5,

Iy)y

所以dy5的系数为一28.

故答案为：-28

13.答案：7/和7/

解析：若展开式中仅第5项的二项式系数最大，则展开式中共9项,

所以〃=8,展开式的通项为C*8—左

，解得2WZW3,当左=2时系数最大的项是7犬,

当k=3时系数最大的项是7Y.

14.答案：1上9-

1615

解析：设等比数列｛4｝的首项为为,公比为4(qwl),则。2。=%，9.

23

当公比为q时，设取出来的四项为a”,，amq,amq,amq,meN*,

0<m—1<19,

3m+2

由am=%qmT,amq=axq,则<解得IV加V17,

0<m+2<19,

所以机£{1,2,,17),此时有17种情况;

A6

当公比为q2时，设取出来的四项为〃加，amc^,amq,amq,meN\

0<m—1<19,

mlm+5

由〃机=axq~,61mq°=axq,贝!J<解得冽<14,

0<m+5<19,

所以me{1,2,,14),此时有14种情况；…;

当公比为时，

n2n3n

设取出来的四项为4“，amq,amq,amq,meN*,

0<m—l<19,

由a,""=(1或3"+小，贝40V3〃+机一1<19,

20-3〃21,

解得1WWW20-3〃，l<n<6,所以7*.e{l,2,…，20-3〃},

此时有20-3〃种情况；

这是一个首项乙=17,公差d=—3的等差数列，

那么按原来顺序仍然成等比数列的组合数的总和S=6x07+2)=57种.

2

90x10x18x17

在{q}的前20项中随机抽取4项，共有=种取法，

4x3x2xl

故这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为P=—-57——=―192

5x19x3x171615

15.答案：(1)9,44

(2)证明见解析

(3)证明见解析

解析：(1)%可以排在外也也上，有C；种排法.

不妨设内排在b2上，接下来讨论a2.

当的排在乙上时，剩下两个元素生，%的排法有/(2,2)=1(种).

当«2不排在4上时，可以排在打也上，有C；种情况.

若的排在/上，剩下两个元素的，%只有1种排法.

所以尸（4,4）=C；（1+C；xl）=9.

%可以排在打也,〃，b5上，有C：种情况.

不妨设火排在b2上，接下来讨论出，

①当的排在4上时,剩下三个元素a3,a4,a5分别不排在与，%，b5上，

则的，%，%的不同排法有尸（3,3）=2（种）.

②当出不排在4上时，可以排在与，仇，b5上，有C；种排法，

若与排在b3上，接下来讨论a3.

（i）当为排在乙上时，剩下两个元素为，％的排法有/（2,2）=1（种）；

（ii）当的不排在伪上时，可以排在b4,b5上，有C；种排法，

剩下两个元素%，%只有1种排法.

故/（5,5）=C；［2+C；（l+C；xl）］=44.

（2）当“1时，5=4=/_^='=1,满足$=巴巴

11F（1,1）+F（O,O）0+1"2

当时,要证明S=皿』，只需证明4=S〃—S,r=”，

n2〃〃ri-L

所以只需证明“二中+:"+1）__,心2.

F（n,n）+F（n-l,n-l）一

当/=2时，/?，3）2=2,成立.

F（2,2）+F（l,l）1+0

回到定义，当〃》3时，对于尸〃卜不妨从外开始排列,

设%排在4（2W%W上，有〃—1种排法.

接下来讨论殁，

①当句排在可上时，乘U下〃2，。3门一4-1，4+1共〃-2个元素

分别不在。2也，…也T也+1，…，bn上，

共有方（〃-2/-2）种排法.

②当殁不排在4上时，

因为a29〃3',,•’〃左一19"左+i',,•’刀力U不在b?，b?,•,?bk—i，b^+i上，

所以〃2,〃3,…，%T，4+1，…，a鹿共〃一1个元素

分别不在b2也，…也t，bk+1，…也上,

共有尸(〃一1,〃一1)种排法.

所以尸(几,〃)=(〃—1)[尸(〃——+—2,〃—2)](〃>3),

所以方(〃+1,〃+1)=+1,〃—1)],〃>2,

nrlF(n+l,n+l)

即”=而河西E'心2.

综上,S“=WD(〃eN*)成立.

(3)根据定义,人“,⑹=31=31

A；n\

先从n个元素中选出m个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上,

所以F(w,m)=C™F(/n,m).

所以

m!(n—m)!

不妨记F(m,m)=Dm,

则2=(加—1)(。吁1+。小2%且。o=L2=。，加N2，

得Dfn+2—(m+1)(。1M+4)，

则Dm+2-(rn+2)Dm+1=-\_Dm+}-(rn+l)Dm^

故但向-(m+l)2,}是等比数列，且公比为-1，

又2-2A=1,所以%「")％=(-ip1=(-ip1，

/1\m+l

变形得2+1--2二上力_,

(m+1)!ml(m+1)!

则当77122时，2——D”T=（T），…,

ml（m—1）!m!

P（-1）3P（-1）2,

3D2=2DX

3!2!3!2!1!2!

累加得乙=5（—1）'=5（-1）’

ml金i\餐z!

经检验也符合上式，

所以F（m,m）=Dm=冽!>,（］,

z=0〃

所以尸（凡加）二——7—\-7—y-———.

m!（n—m）!（〃—加）!在〃

16.答案：⑴竺

21

12

（2）分布列见解析，y

（3）证明见解析

解析：（1）设两串装饰珠都恰好是3个红珠和2个蓝珠为事件A,

「3「2I。

则小）=怜=/

JoZ1

⑵随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4,

「0041

P（x=o）=*」，

\7C：o210

P（X=1）=4="=土

'7C：o21035

C2c2

903

小=2）=宫

--

Jo2107

d

P（X=3）=*C3c808

--

Jo2K）21,

r4ro

P（X=4）=*151

--14,

jo210

所以X的分布列为

X01234

14281

P

2103572114

1A3Q1IQ

所以，E（X）=O义——+lx—+2x-+3x—+4x—=—

'721035721145

⑶编号：任选一个红珠记其编号为1,

并按顺时针方向依次给每个装饰珠编号2,3,4,5,6,,2（m+«）；

编组：1号珠，连同它顺时针方向后的加+个装饰珠，

共机+〃个装饰珠编为一组，称为1号组；

2号珠，连同它顺时针方向后的加+个装饰珠，

共〃个装饰珠编为一组，称为2号组；，

共2（m+〃）组，每组均有m+〃个装饰珠.

有以下结论：

①不可能每组中红珠都多于或少于m个.

因为每个装饰珠都同时在〃2+〃组中，

所以每组中的红珠数目之和为2根（7"+"）,

若每组中红珠都多于（或少于）机个，因为共2（加+〃）组，

则此时红珠总数会多于（或少于）2加（加+〃），

与每组中的红珠数目之和为2m（加+〃）矛盾.

②相邻两组中红珠数量最多相差1.

因为后一组的装饰珠为前一组的装饰珠去掉第一个并在最后加上一个，

所以它们之间只有2个装饰珠有区别，

前一组装饰珠的第一个可能为红珠或蓝珠，

最后加上的这一个也可能为红珠或蓝珠，

所以有以下四种情形：去掉红珠，加上红珠；

去掉红珠，加上蓝珠；去掉蓝珠，加上蓝珠；去掉蓝珠，加上红珠.

不论哪种情况，相邻两组中红珠数量只能相差1或0.

现假设没有任何一组中的红珠数量为m,

由①知，必存在两相邻号组A,B,A中红珠数1

B中红珠数》777+1，即二者红珠数至少相差2,与②矛盾.

因此，必有某号组恰好有机个红珠，几个蓝珠，

在该号组的两侧各剪一刀，即可满足条件.

17.答案：(1)证明见解析

(2)(i)5;

(ii)9841

1

解析：(1)根据题意有”=%.2"+G]・2J++ak_}-2+Gj.

2n+1=tZg-+a】•2&+…+4