2025届高考数学二轮复习专练：概率（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题训练9.1概率

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后,

再选涂其它答案标号。

2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.下列说法正确的是（）

A.事件A、8中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大

B.A、8同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小

C.若P（AB）=P（A）+P（B）=1则事件A与8是互斥且对立事件

D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

2.现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中

91

不合格人数为J,已知P（J=1）=茄，则本次测试的不合格率为（）

A.10%B.20%C.30%D,40%

3.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4,连续抛掷这个正四面体木块

两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事

件8为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）

APA

（）4B.事件A与事件8互斥

C.事件A与事件8相互独立D.P（A3）=g

4.掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次出现的点数是奇数点”，乙表示事件“两次骰子的点

数之和是7”,则甲与乙的关系为（）

A.互斥B.互为对立C.相互独立D.既不互斥也不独立

5.袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球,

则两次都摸到黄球的概率为（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.6

6.设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回到S中，则取5次后所取

出的元素有重复的概率是(保留两位有效数字)()

A.0.50B.0.55

C.0.70D.前三个答案都不对

7.抛掷三枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚硬币正面朝上"，事件3="第二枚硬币正面朝上”,

事件"第三枚硬币反面朝上”.下列结论中正确的是()

A.A与B互斥B.A与C对立

7

C.P(BC)=-D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

8

8.甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加

同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为()

42104

A.—B.—C.—D.—

81278127

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.下列说法中，正确的是()

A.一组数据9,8,13,10,12,14的第70百分位数为13

B.若样本数据须，々，…，%的方差为2,那么数据3%-5,3X2-5,--3%-5的方差为1

C.己知随机事件A和8互斥，且P(A、B)=Q.6,尸(3)=02则2(©=0.6

D.已知随机变量X服从正态分布若P(X2—3)+P(X25)=l,则〃=2

—11—3

10.随机事件A,B满足P(A)=—,P(B)=P(A|B)=一,则下列说法正确的是()

434

——1

A.P(AB)wP(A)P(B)B.P(AB)=-

6

C.P(A+B)=-D.P(ABi(A+B))=-

64

11.已知事件A,B,且P(A)=0.4,P(「)=0.3,则()

A.如果那么尸(AU5)=04,尸(AB)=0.3

B.如果A与8互斥，那么尸(AB)=0.7,尸(AB)=0

C.如果A与B相互独立，那么尸(AB)=0.7,P(AB)=0.12

D.如果A与8相互独立，那么尸(不力=0.42,P(AB)=0.18

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,4,乙的卡片上分

别标有数字1,2,5,两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张,并比较所选卡片上数字之和的大小，数

字之和大的人获胜.则甲获胜的概率为.

13.先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a力,则函数=V/的图象

过原点，且关于原点对称的概率为.

14.甲、乙两个研究小组独立攻坚一项关键技术，假设甲组成功的概率为J乙组成功的概

4

率为L则这项技术研究成功的概率为.

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为

”的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间(50,60)的人数为5.

频率

(1)求样本容量n以及频率分布直方图中的%；

(2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数；

⑶从样本中得分在［80,100］的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间

［90,100］的概率是多少？

16.哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上

网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩,

绘制成频率分布直方图(如下图所示).已知这100人中［110,120)分数段的人数比［100,110)分数段

的人数多6人.

频率/组距

(1)根据频率分布直方图，求。，6的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数;

(2)现用分层抽样的方法从分数在口30,140)，［140,150］的两组同学中随机抽取6名同学，从这6

名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概

率.

17.如图，已知四面体A8CD中,AB_L50,5C_LCD,=2BC=2CD=2,平面ABCJ_平面ACD

(1)求证:ABJ_CD；

(2)若点、E是BD的中点，求直线CE与平面AC。所成角的正弦值；

(3)若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为4;任取两个面，记它们互相垂直的概率为

P2;任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为P3，试比较概率P},P2,P3的大小.

18.2024年11月,世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大

会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别

抽取男、女生各50人作为样本.据统计女生中了解人工智能的占心,了解人工智能的学生中男生占一.

57

(1)根据已知条件，填写下列2x2列联表，是否有99%把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性

别有关？

了解人工智能不了解人工智能合计

男生

女生

合计

(2)将样本的频率视为概率,现用分层抽样的方法从女生中抽取5人，再从5人中抽取3人了解恸况,

求抽取的3人中至少有2人了解人工智能的概率.

附:K2=ri(ad-bc)2

(a+/?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

19.某旅游景区，为了提升服务品质，对过去100天每天的游客数进行了统计解题思路，得到下面的频数

分布表：

每天游客数(单位:千人)[0,1)口，2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)口8)

天数(频数)6101624181484

(1)记A表示事件“每天游客数小于4(千人)”，估计A的概率；

(2)为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了5天统计出这5天

的游客数(千人)分别为3.643,4.6,6,6.5,已知这5天的最高气温(单位:。C)依次为20,21,22,24,28.

①根据以上数据，求游客数y关于当天最高气温尤的线性回归方程(系数精确到0.1);

②根据①中的回归方程,估计该景区这100天中最高气温在20~26。(：的天数(保留整数).

55

附注:参考数据:Z4—%)(%-9)=14.5可一=40,

Z=1Z=1

回归方程y中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

-E(x,.-x)(y,-y)__

b-~-y-bx'

可2

i=l

参考答案

1.答案：D

解析：A:若A为必然事件,8为不可能事件，

则事件A、8中至少有一个发生的概率一定比8中恰有一个发生的概率大就是错误的;

B:从1、2、3、4中任取一个数，

用A表示取到的数是1、2、3中的一个，

用B表示取到的数是2、3、4中的一个，

则48同时发生的概率为,，

2

A、B中恰有一个发生的概率为L+工=工，二者相等，故B错误；

442

C:设在区间［0,1］上，任取一个数，设事件4表示取到的实数在［0,；),

则根据几何概型的概率公式可得P(A)=0.5,

设B表示取到的实数在(；/］上，则P(3)=0.5,

则满足条件尸(4.5)=P(A)+P(5)=1,

但事件A与B只是互斥且不对立，故C错误；

D:互斥事件可能都不发生，

因此不一定是对立事件，对立事件一定会有其中一个发生,

且不会同时发生，一定是互斥事件，故D正确，

故选：D

2.答案：C

解析：设10名学生中有〃名不合格，

从中抽取3人，其中不合格人数为&,

由尸(4=1)二」，得八『=2,

'740C：o40

化简得”(10—“)(9—〃)=6x3x7,解得〃=3,

即本次测试的不合格率为三义100%=30%.

10

故选：C.

3.答案：C

解析：由题意，用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，

则该试验的样本空间为：。={1U2,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44),

则〃(。)=16,事件A={11,12,13,14,21,22,23,24},“⑷=8*

事件B={12,14,21,23,32,34,41,43},n(B)=8.

对于A,P(A)=31=L,故A错误；

对于B,因AB={12,14,21,23)^0,

故事件A与事件8相容，故B错误；

对于C,因AB={12,14,21,23},n(A3)=4,

则尸(A©=

而尸(A)=P(3)=g,因尸(AB)=P(A»P(B),

故事件A与事件B相互独立，即C正确；

对于D,因AB={11,12,13,14,21,22,23,24,32,34,41,43),

31

P(AB)=7—,故D错误.

42

故选：C.

4.答案：C

解析：由题设，样本空间为

(1,1)，d,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),

(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1)，(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),

(6,4),(6,5),(6,6)，共有36种，

甲有

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6),(5,1)，(5,2)，(5,3)，

（5,4）,（5,5）,（5,6）共有18种，则概率为《=g,

乙有（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共有6种，则概率为？=:，

显然同时满足甲乙有（1,6）,（3,4）（5,2）且概率为鸟=《，则鸟=《鸟，

所以甲乙不互斥也不对立,但相互独立,A、B、D错,C对.

故选:C

5.答案：C

解析：设两次都摸到黄球记为事件A,2个红球记片,4,3个黄球记耳，层,用，

从中不放回地依次随机摸出2个球包含的样本点为

（44）,（。4）,（4，与），（&与），（&,四），（&，4），（4，与），（4，与），（男,与），（耳外）,

（4,4）,（44）,（与，4），（号4），（44），（4,4，），（鸟，4），（与，4），（国也）,（%4）共20

种，其中A包括的样本点为（耳与）,（5,国）,（4,男）,（%4），（四超）,（%4）共6种，

P（A）=—=0.3

V'20

故选:C

6.答案：C

解析：考虑反面，取5次后没有重复元素的概率为2*老＞＜二乂色=当士，

1010101010000

于是所求概率为1-工丝土0.70.

10000

故选：C.

7.答案：D

解析：抛掷三枚质地均匀的硬币，所有的结果是：

（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），

（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），

（反，反，正），（反，反，反），共8种情况；

事件A="第一枚硬币正面朝上”包含：（正，正，正），（正，正，反），

（正，反，正），（正，反，反），共四种情况；「网=j

事件3="第二枚硬币正面朝上”包含：（正，正，正），（正，正，反），

（反，正，正），（反，正，反），共四种情况；P网=j

事件C="第三枚硬币反面朝上”包含：（正，正，反），（正，反，反），

（反，正，反），（反，反，反），共四种情况；P（c）=!；

因此事件A与事件B包含有相同情况，不互斥；

事件A与事件C包含有相同情况，不对立，即选项AB错误；

又事件BC包含：（正，正，正），（反，正，正），（正，正，反），

（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共六种情况，

P（BC）=-=-,故C错误；

'-84

事件ABC包含：（正，正，反），只有一种情况，

故P（ABC）=—=P（A）尸（B）（C）,故D正确;

8

故选：D

8.答案：C

解析：因为甲和乙不参加同一科，

甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择，

所以3科的选择数有2,2,1和3,1,1两种分配方案，

当分配方案为2,2,1时，共有C；A；=18种不同的选择方案；

当分配方案为3,1,1时，共有C；A；=12种不同的选择方案；

所以满足要求的不同选择种数为18+12=30；

所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，

且这三科竞赛都有人参加的概率为当=—.

3581

故选：C.

9.答案：AC

解析：对于A,数据从小到大排列为8,9,10,12,13,14,由6x0.7=42,所以第70百分位数

是第5个数，即为13,故A正确；

对于B,样本数据再，々，…，须。的方差为2,则数据3占—5,3X2-5,…，3%—5的方差为

32x2=18,故B错误；

对于C,因为A与8互斥，且尸（Al8）=P（A）+PGB）,所以

P(A)=P(A8)—2(5)=0.6—0.2=04,所以P(Z)=1—P(A)=0.6,故C正确;

对于D,因为X〜N（〃Q2）,P（X>-3）+P（X>5）=l,所以X=—3与X=5关于直线x=〃对

称，所以〃=二y=1,故D错误.故选AC.

10.答案：BC

解析：由已知可得：尸⑷函=|,因为“福户鬻

——_i_i

则尸(A3)=P(A|B)«尸(3)=—,所以P(AB)=P(A)~P(AB)=

24

所以P(AB)=P(A)P(B),A错;P(AB)=P(B)-P(AB)=±B正

6

确.P(A+3)=P(A)+P(B)_P(AB)=2,C正

6

1

确./W(A+5))J[(硒”+助=上也=4=2错.

P(A+B)P(A+B)510

6

故选：BC.

11.答案：ABD

解析：如果那么尸（A._5）=尸（A）=0.4,

P（AB）=P（B）=0.3,故A正确；

如果A与2互斥，

那么P（A5）=P（A）+P（6）=04+0.3=0.7,

P（AB）=P（0）=O,故B正确；

如果A与8相互独立，

那么P（AB）=P（A）P（B）=0.4x0.3=0.12,

P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）

=0.4+0.3-0.4x0.3=0.58,故C错误；

如果A与8相互独立，

那么P（A-B）=（1-0.4）（1-0.3）=0.42,

P(A-B)=(1-0.4)x0.3=0.18,故D正确;

故选：ABD

12.答案：A

9

解析：设事件w="甲乙两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张”，

事件A=“两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张,甲比乙选的数字之和大”,

则Q（W）=C[C；=9,

乙选1,2时，甲获胜有C；=3种选法;

乙选1,5时，甲获胜只有1种选法；

乙选2,5时，甲不可能获胜，

所以Q（A）=3+1=4，

所以唳）=磊4

故答案为:

9

13.答案：1/0.25

4

解析：根据题意，先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为为a,b,

则a,b都有6种情况，故（。力）的可能情况有6义6=36种，

若则函数/（%）=£»的图象过原点，且关于原点对称，则a—6为正奇数,

则符合题意的有（2,1）,（3,2）,（4,1）,（4,3）,（5,2）,（5,4）,（6,1）,（6,3）,（6,5）共9种情况,

ab

故函数=x-的图象过原点，且关于原点对称的概率为白=1

故答案为:4.

4

14.答案：2

6

解析：因为甲、乙研发新产品成功的概率分别为3和L

43

则这项技术研究不成功的概率为（1-1）（1-1）=1,

再根据对立事件的概率之间的公式可得这项技术研究成功的概率为1-工=9

66

故答案为：工.

6

15.答案：（1）”=25,x=0.012

(2)71.4

7

(3)w

解析：（1）成绩在区间（50,60）的频率为0.2,〃=W=25,

由频率分布直方图可得第4组的频率为

1-0.2-0.24-0.36-0.08=0.12,故x=0.012.

（2）先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为

（55x0.02+65x0.024+75x0.036+85x0.012+95x0.008）x10=71.4（分）,

估计全年级学生竞赛成绩的平均数为71.4；

⑶得分成绩在［80,90）有。012*10*25=3（人），

这组的3名学生分别为a,b,c,

得分在区间［90,100］有0008x10x25=2（人），

这组的2名学生分别为d,e,

随机抽取两人，所以可能的结果为

（c,d）,（c,e），（d,e）共10种，

所抽取的两人中至少有一人的得分在区间［90,100］的结果为

(瓦e),(c,e)，(d,e)共7种,

16.答案：(1)«=0.020-6=0.026；中位数为H2百；

13

(2)A.

15

解析：(1)由频率分布直方图的面积和为1,

贝"0.002+0.008+0.014+a+Z?+0.015+0.01+0.005)x10=1-得a+〃=0.046，

又由100人中［110,120）分数段的人数比［100,110）分数段的人数多6人

则100xl03—a)=6，解得a=0.020，Z?=0,026

中位数中位数为H0+1°（。。°2+°.0°8+°.014+°.02）_9色

0.02613

（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A,

由题意知，在分数为［130,140）的同学中抽取4人，

分别用4，a2，a3，%表示，

在分数为［140,150］的同学中抽取2人，分别用白，为表示，

从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：

（%,%），（«1，«3）>（%,%）（%，伉），（。1也），（生，4〉（。2，。4），（。2，伪），

（%也），（4，%），（%，4），（。3也），（。4，伪），（%也），（4也），共15种

抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：（对幼，（力力2），（生，白），

（%也），（为，幻，（％也），（。4，伪），（%也），共8种

所以p（A）=抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为§.

1515

17.答案：（1）见解析

⑵昱

3

（3）见解析

解析：（1）证明:过B作AC,交AC于H,因为平面ABC，平面AC。

所以_L平面AC。，

因为CDu平面AC2所以±CD.

又因为BCLCD,BH3C=3,所以CD，平面ABC.

因为ABu平面ABC,所以CD，A5，得证.

（2）由（1）易得AB,平面BCD,又因为5。=。=1,故&）=、/5,AB=

又因为点E是BD的中点，所以CELBD,以B为原点，过B且与CE平行的线为x轴,8。为y轴,BA为

Z轴建立空间直角坐标系B-xyz,

由题意知:5(0,0,0),4(0,0,应)，。—,0,D(0,&0),E0,—,0

222

所以AC=］孚孝，一行

,CE=

*+*—缶=0

n-AC=Q

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z)，则有<,即

n-CD=0

x+y-2z=0

<

x-y=0

令z=1,则x=y=1,即平面AC。的一个法向量为n=(1,1,1).

设直线CE与平面ACZ)所成角为0，则sin。=|cos〈CE,〃〉|=

(3)6条棱中任选2条，共有C；=15种情况，其中相互垂直的棱有5对，

AB，6C,ABJ_CD,,AC_LCD,5C，CD,所以々5=g；

4个面任选2个面，共有C：=6种情况，其中相互垂直的面有3对：

31

平面ABC_L平面BCD,平面ABC±平面ACD平面ABD_L平面88,故£=-=—.

62

任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有C；=4种情况，再从不在此面上的

3条棱中选1条，有C；=3种情况，故共有C；C；=12种情况，其中满足垂直关系的有2种，分别为平面