2025届高考数学二轮复习卷：点、直线、平面之间的位置关系（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题卷点、直线、平面之间的位置关系

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一、单项选择题：本大题共8小题，

每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正

确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.如图，正方体ABC。—44G2的棱长为1,尸为侧面BCG4内的动点，"=◎,Q在对角

___..

线4。上，且4。=手4。，则PQ的最小值为（）

C.1+V2D.72-1

2.设a,/3,丫是三个不同的平面，%/是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若_1_/?,仅ua,/_L，,则mniB.若mua,lu廿,all/3，则mill

C.若tz_L/?,tz，=根，/J_根,则/_L，D.若op|，=/,m〃/,wi_L/,则tz_L/

3.已知直线772J_平面。，则“直线〃_1_加”是“〃〃口”的（）

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.在正方体ABC。—AB'C'。'中，若点尸（异于点B）是棱上一点，则满足PB和AC'所成的角为

45°的点尸有（）

A.6个B.4个C.3个D.2个

5.已知正四棱锥P-A5CD的各棱长均相等，点E是的中点，点尸是PC的中点，则异面直线

OE和5歹所成角的余弦值是（）.

11c亚2

A.-B.-D.-

32.33

6.已知九〃是空间两条不同的直线，a,13是空间两个不重合的平面，下列命题为真命题的是（）

A.若mua,nu。,allp厕mllnB•若mLa工n，all(3”则nil13

C.若机j_1，mlIn，e_L/?，则“〃尸D.若加J_a，则加_L〃

7.正方体ABCD-4与G。的棱长为4,点M在棱AB上，且A"=l,点尸是正方体下底面ABCD

内（含边界）的动点，且动点尸到直线42的距离与点尸到点M的距离的平方差为16,则动点P

到8点的最小值是（）.

7

A.-B.2夜C.V6D.V2

2

8.如图所示，ABCD-A4Gq为正方体，给出以下四个结论:

①AC1，平面C3Q;

②直线与5。所成的角为60°；

③二面角C—用2—G的正切值是6；

④AC1与底面ABCZ）所成角的正切值是J5；

其中所有正确结论的序号为（）

C.①②④D.①②

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知正方体ABC。-的棱长为1,则下列说法正确的是（）

A.直线BC［与C4所成的角为90。

B.点B与平面AC耳的距离为走

C.直线BQ与平面BBQQ所成的角为30。

D.平面AC，与平面A8CD所成的角为45。

10.已知正方体ABC。—A4G。的棱长为2,尸为棱AA的中点，贝1（）

A.直线PD1与5C所成的角为30。

B.BQ1平面AJBCJ

C.过点P且与BQ垂直的平面截正方体所得截面的面积为373

D.以尸为球心，V6为半径的球面与侧面片的交线的长度为兀

2

11.如图所示，在棱长为2的正方体ABC。—A4G。中，M,N分别为棱42，A3的中点，P

为侧面3CG片的一动点，下列说法正确的是（）

A.异面直线AC与BM所成角的余弦值为—

3

B.若△AGP的面积为由，则动点P的轨迹为椭圆的一部分

C.若点P到直线与直线CA的距离相等，则动点P的轨迹为抛物线的一部分

D.过直线的平面。与面ABCD所成角最小时，平面a截正方体所得的截面面积为3百

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在棱长为1的正方体ABC。—中，点E在线段ACI上（不与A,G重合），EF±AC

于RFG_LBC于G,以下四个结论:

①3C，平面所G；

②线段所与线段FG的长度之和为定值；

③△EEG面积的最大值为,；

4

④线段EG长度的最小值为叵.

2

其中所有正确的结论的序号是.

13.如图所示，在长方体A3CD—ABIGR中，AA=AB=2,AD=1,点E,RG分别是。2，

AB,CC］的中点，则异面直线4E与G尸所成的角是.

14.若点Aw直线〃，且直线〃u平面cr,则Aa.(填合适的符号)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在直三棱柱ABC—4与。］中，AA=AB=AC=1，B］C=5

⑴证明：平面Age，平面A&g5；

(2)若。为A/中点，求平面ABC与平面BXCD夹角的正弦值.

16.如图，在三棱柱ABC—A31cl中，A3=AC=AA=2,BA±BC'BA=BC

（1）证明：平面ABCJ_平面ACCiA；

（2）若直线45与平面ABC所成角为60。，求平面ABC与平面ABC夹角的余弦值.

17.如图，已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,/RCD=60。,PC=PD,M,N分

别为线段DC和线段的中点.

P

（1）求证:平面平面PDC；

（2）若？6,即/，？8=1，求直线£W与平面所成角的正弦值.

18.如图，在几何体ABCDE中,C4=CB，CD，平面ABC，BE//CD-BE=2CD-

（1）求证:平面ADE_L平面ABE；

（2）若C4=AB，应：=3,AB=4,在棱AC上是否存在一点凡使得石户与平面ACD所成角的正弦

值为空?若存在，请求出的值;若不存在,请说明理由.

7AC

19.如图ABC—451cl为直三棱柱，BCLAB,BC^AB^AA,,设。为AQ的中点.

⑴证明

(2)求二面角A-BD-C的正弦值.

参考答案

1.答案：B

解析：连接男尸，易知面BCG4,

又u面BCC[Bi,所以4片，男尸,

因为尸为侧面3CG片内的动点,

且内尸|=3，|A4|=L所以14Pl=1，

即点尸在以B1为圆心，1为半径的圆弧上,

连接用。，过。作QE〃A四交B|C于E,易知QEL面BCG4,

因为。所以翳勒扁,

又硕=事而，/q=G，困。|=四

V2

y/3—y/3X-------

所以|CE|=一苏2-xV2^72-1,

忸目=1，故E在3cl上,

所以当尸与E重合时，归。|最小,

号7®

又|QE|=心一旦

2

所以|PQ|最小值为2乎,

故选：B.

2.答案：D

解析：对于A选项，若,,则〃/0或/ua，无法确定"2与/的关系,错误;

对于B选项，根据面面平行的性质定理，缺少加〃/的条件，它们可能平行或异面,错误；

对于C选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件/utzJ，分平行、相交或/u分均有可能,错误;

对于D选项，若an〃=/，rn///'m±/J'J/l/，由面面垂直的判定定理可得c±Y，正确.

故选:D

3.答案：B

解析：若直线平面a,nLm,

则直线nu平面a或nila；

若直线m_L平面a,直线nila,则〃_Lm,

所以““_L加”是“3/e”的必要不充分条件.

故选：B.

4.答案：C

解析：如图，将正方体的各个顶点（除B点外）分类，

规定当顶点与B的连线与直线AC所成的角大于等于45。时为一类，

小于45。时为一类

显然A5,BB',CB与AC所成角的正切值为后＞1,故大于45。,

AB与AC'所成角的为90。，大于45。，

£＞'3与AC所成角的余弦值为工，角大于45。，

3

与47所成角的正切值为正＜1,小于45。，

2

当点尸从3'运动到C时，角度从大于45。变化到小于45°,

一定经过一个点满足45。；

以此类推，当点P在B'C,CC,O'C上运动时，

都经历过角度从小于45。到大于45。的变化，故满足条件的点共有3个.

故选：C

5.答案：D

解析：设AC,相交于点。，根据题意，

以。4,OB,OP所在直线分别为无轴，y轴，z轴

建立空间直角坐标系，如图所示，

不妨设AB=4,则。4=08=2行，0P=2也,

则A（2后,0,0）,B（0,272,0）,C（-2A/2,0,0）,

D（0,-2A/2,0）,P（0,0,272）,

因为点E是己4的中点，点歹是PC的中点，

所以E（0,O,0）,F（-72,0,72）,

所以瓦=(行,2后,码，BF=(-V2,-2A/2,A/2),

—2-8+22

则cos瓦，品=1为竺］

HM26x2也3

因为异面直线夹角的取值范围是0,5

2

所以异面直线DE和BF所成角的余弦值是一.

3

故选:D.

6.答案：D

解析：若7〃uau/7,0〃/7,则直线m,n有可能平行,也可能异面,A错误;

右m.Lee,fn.Lncell13，则可能有nu（3或nil/3,B错误；

若m.LeemlIn,a1/3，则可能有nu（3或nil/3,C错误；

由可得比，为分别可作为平面a,p的法向量，

由czJ_/?，可得ffiJ_方，即得〃/_）_〃,D正确.

故选:D.

7.答案：C

解析：如图所示，作PQLAD,。为垂足，则PQL面AD2A

过点。作则面PQR

所以依即为P到直线A2的距离

因为PR2—PQ2=RQ2=16,PR2-PM2=16

所以=

所以点尸的轨迹是以AO为准线，点M为焦点的抛物线

如图建立直角坐标系，

贝ij点P的轨迹方程是/=2x(0<y<20)

点哈。]

所以|P8|=

所以当V=5,|P却取得最大值几

故选：C

8.答案：D

解析：①连接AG，

*/B[D[.LAG，BQ】J_AA{,

:.BQi，平面441c]，

ByDy_LAC,j，

同理：B°JLAG，BlDlC\BiC=Br

AC11平面CBR，故①正确；

②・；BD//BR,异面直线用。与8。所成的角是N°3]C或其补角,

•.•△4CP是等边三角形，

ZD1B1C=60°，故②正确;

③AC1nB1D1=0，连接OC，NCOG是二面角C—BiD「G的平面角

tanNCOC]=语=行，故③不正确;

④CG，平面ABCD，

N£AC是AG与底面ABCD所成角,

9.答案：ABC

解析：以，为坐标原点,

以2A，2。所在直线分别为了，y,z轴，建立空间直角坐标系，

A选项，则3(1,i,i),q(0,1,0),c(o,i,i),

A。,o,o)，4。,i,o)，A(I,O,I),

故国=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1),C^=(l,o,o)-(o,l,l)=,(l,-l,-l)

故cos/，C\=157cAL=导上半土11=o

忸G|.HCAIvi+ixVi+i+i

故直线BC1与CA所成的角为90。；

B选项，设平面AC8］的法向量为为二(x,y,z7

n-AC=(羽y,z)-(-1,1,0)=-x+y=0

n-AB1=(羽y,z)•(0,1,-1)=y~z=0

令y=l得，x=l,z=l,故为=(1,1,1),

故点8到平面AB1的距离为d=匕?==昱，3正确;

\ii\71+1+13

C选项，因为DR_L平面ABC。，ACu平面ABCD,

所以LAC,

因为四边形ABCD为正方形，所以

因为_8£>n£>Z)i=Z),BD,DRu平面BB[D]D,

所以AC，平面331。。，

故平面BB,D,D的一个法向量为AC=(0,1,1)-(1,0,1)=(-1,1,0),

设直线与平面5与2。所成的角大小为，,

显然sin。-Icos/fiCAC\|-"闾-|(T'0'T),(T/,0)|_1

故直线与平面5片。。所成的角为30。，正确.

D选项，设平面ACD]的法向量为初=(玉,x，zj,

m-AC=(玉，y1,z1)-(-l,l,0)=-x1+y1=0

m-ADi=(x1,y1,z1)-(-l,0,-l)=-x1-z1=0

令X]=l,则%=1,z1--1,故玩=(1,1,一1),

平面ABCD的法向量为日=(0,0,1),

\m-u\_|(1,1,-1)-(0,0,1)|

|m|-|w|V1+1+13，

故平面ACD｝与平面ABCD所成的角不为45°,

故选:ABC

10.答案：BCD

解析：对于A,在正方体ABCD—44GA中，^DJIB.CJIBC,

故直线PD1与所成的角即为直线PD1与所成的角，即NA。。,

「AI，则NARP不为30。，A错误;

在RtZ\PA2中，tan/AQP=

AA

对于B,连接4A，则

又DDX_L平面AlBiClDl,AGu平面AlBlClDl,

所以DO，,BQ口DD[=D1；

BQ,DD]u平面DDlBl,故!平面DD}By,

耳Du平面。。1月，故用。，同理可证45,4£>,

AjQn\B=,AG，A15u平面A^G，故耳。J.平面,B正确;

对于C,由B可知用。，平面A3C],

故过点P且与B.D垂直的平面截正方体所得截面与平面43cl平行，

设AB,BC,Cq,CR,2A，的重点为。，E,F,G,H

依次连接P,Q,E,F,G,H,

可得六边形PQEFGH为正六边形，

而产。〃45,PQ(Z平面4BG，ABu平面A3G，故PQ〃平面ABC1，

同理可证EQ〃平面EQp\PQ=Q,

EQ,PQu面PQEFGH,

故面PQEFGHU平面AXBCX,

即过点P且与B}D垂直的平面截正方体

所得截面即为六边形PQEFGH,边长为血，

其面积为6x——x(0)=3月，C正确;

4

对于D,过点尸作8月的垂线，垂足为

则M为8旦的中点，且9,平面BCG用，

设以P为球心，、后为半径的球面与侧面3CG5]的交线上的点为K,则PK=Jd,

上Ku平面BCC/i，故PA/，人K,

旦MK7PK2-PM。=后4=血,

则以P为球心，V6为半径的球面与侧面BCQBi的交线为平面BCC[B[上以M为圆心,

以夜为半径的圆弧，如图：

由于NB[MN=ZBML=45°,故ZLMN=90°,

则交线长度为二*忘=叵，D正确，

22

故选：BCD.

11.答案：BCD

解析：

以。为原点，以ZM,DC,所在的直线分别为x,y,z轴,

建立空间直角坐标系，

如图所示,可得4(2,0,0),C(0,2,0),5(2,2,0),M(l,0,2),

贝西=(-2,2,0),加7=(-1,-2,2)

।__.___.ACBM2J2

所以bosACBAf=7~尸=所以A错误；

11"H

AC^BMA/8XV96

设尸到AC|的距离为〃，则;MG|•丸=6,解得场=1，

所以点P位于以AG为中轴线，半径为1的圆柱面上，

又因为P位于平面5。。|与上，

则尸位于平面BCG4与圆柱面的交线上，

根据圆柱面与平面的位置关系，

可得尸的轨迹为椭圆的一部分，故B正确；

点P到直线CR的距离等于|PCj,

即P到点G与尸到直线BC的距离相等，

根据抛物线的定义，则动点P的轨迹为抛物线的一部分，所以C正确;

取A。中点则易得MH=2,且平面A6CD,

易得当9与平面a和底面ABCD的交线垂直时，

过直线的平面a与面ABCD所成角最小，

可知TiNLAC,则平面a和底面A3CD的交线与AC平行，

此时易得平面a即为图中的平面MQVE尸G,

其中点Q,E,F,G是所在棱的中点，

可得截面图形为正六边形，边长为行，

所以其面积为4x(J5>x走x6=3豆，所以D正确.

22

故选：BCD.

GCi

12.答案：①②④

解析：

对于①，如图，在正方体ABCD—4片。]口中，CCjJ_平面ABCD，

因CC]u平面ACC1，则平面ACC,1平面ABCD，

因平面ACGC平面A6CD=AC，所u平面ACG且即，AC，

故瓦，平面ABC。，又BCu平面ABC。，则EFL5C，

又因BCLFG，FGCEF=F，FG,EFu平面EFG，

故BC_L平面EFG，故①正确;

FFAF

对于②，由①解题思路易得及7/CC],则有——=——，即得£尸=小人尸;

CCXAC2

又由5cG，8。，46可得45〃尸6，则有生=0£，即得FG=R2b，

ABAC2

故得:EF+FG=^AF+^CF=^^=V

即防+FG为定值1，故②正确;

对于③，由①，已得石下，平面ABCD，因尸Gu平面ABCD，则有即，FG，

则△EEG的面积SA£FG=-EFxFG<-x3+FGY=」,

△EFG2248

当且仅当EF=FG=-时等号成立，

2

即当EF=BG=工时，△EEG面积的最大值为」，故③错误；

28

对于④，由③已得上FJ_FG，则EG?=EF?+FG?+FG)=」,

22

当且仅当EF=FG=-时等号成立，

2

即当所=BG=工时，线段EG长度的最小值为正，故④正确.

22

故答案为：①②④.

13.答案：90°

解析：连接B,F,EG,•.•点E,F,G分别是D，，AB,CC1的中点,

:.EGHD[G，EG=D[C[,D^C^IIA^By,DyCi—

4耳〃EG,44=EG,四边形A1EGBi为平行四边形，

则GBJAE,故NB[GF或其补角即为与GF所成的角,

易得4G="阈+℃2=#+12=V2,

2

BXF=^B^+BF=VF+f=75,

GF=JCG+CBP+BF?=V3，

所以*+FG?=Bp?,所以NB]GF=90°.

故答案为：90°.

14.答案：e

解析：点Ac直线a,且直线au平面a,则Aea,

故答案为：e

15.答案：（1）证明见解析；

⑵走

3

解析：（1）在直三棱柱ABC—44G中，

故AB,=7M2+A5I2=6,故与。2=AB;+AC2-

所以ACLAg，又因为ACJ.A&，441nA4=A，

"，人与匚平面原田田，故AC,平面A41AB.

因为ACu平面AB'，所以平面A4c，平面A4耳8.

（2）因为ABu平面MqB，所以A3,AC，

所以AgLAG，所以4A，A5.-4G两两垂直・

以44,4G,多乂为x轴,>轴，z轴正方向建立空间直角坐标系A-孙z,

则4(i,o,o)，c(o,i,i).。[。，°，£|，故阿反=[o,i,g

因为A4_L平面ABC，所以4了=（。,。,1）可作为平面A5C的一个法向量,

设平面4CD的一个法向量为为=（九,y,z），

x——z=0x=l

取贝」为二(

则2｛y=_l，I1,—1,2).

y+一z=0z=2

2

设平面ABC与平面与。。的夹角为。，

贝！Icos3=cos/n,=—，

\…A同1M3

所以sin。=Jl-cos"='

3

16.答案：（1）证明见解析；

⑵丸

7

解析：（1）方法1：取AC的中点。，连接AO，B0,

因为AA=AC，所以A】。LAC，且402+042=.=4,

因为ABL3C，BA=BC，。为AC的中点，所以。A=O3=OC，

所以4。2+OA2=+。台2=4=4笈,所以A,0±BO,

因为。AnOB=O，OAu平面ABC，OBu平面ABC，所以4。，平面ABC，

因为AOu平面ACC]A，所以平面ABC_L平面ACGA.

方法2：设。为A在底面ABC的射影，则平面ABC，

因为A3=A1C=AA，所以。4=O5=OC

射影O为底面△ABC的外心，

又△ABC为直角三角形，所以°恰为斜边AC的中点，

因为AOu平面AC£A，所以平面ABC_L平面ACG4.

（2）由（1）可知，4。_L平面ABC，

所以A3与平面ABC所成角即为NA50，所以NA50=60°，

因为所以NABO=NAAO=60°，所以4。=用,ao=i，

因为B4=5C,。为AC的中点，所以50JLAC，

方法1：如图所示，以。为原点，分别以丽，痂,两所在方向为无轴、y轴、z轴正方向，建立

空间直角坐标系，

则A（0,0,⑹，c（-i,o,o）.BJTLG），

所以福=（一1,1,0），西=（o/,G），

则y=-G,x=-A/3,所以％=卜6,—6」），

易知平面ABC的一个法向量为4=（0,0,1）.

设平面ABC与平面ABC的夹角为0，所以cos。==以一=—

同・同V7xl7

所以平面与平面ABC夹角的余弦值为近.

7

方法2：如图，过C作AB的平行线/,因为45〃4月，所以〃小片，

过。作垂足为"，

因为A。_L平面ABC，CHu平面ABC，所以

又OH_LCH，Aono〃=o，AO,OHu平面A。”，

所以CH，平面因为4〃U平面4。"，所以

所以平面AAC与平面ABC的夹角即为NA〃O，

易知0H=£=叵，所以tanj"。-访-万-亚

22三

2

所以cosZA^HO=—平面431c与平面ABC夹角的余弦值为—■

17.答案：(1)证明见解析

⑵叵.

13

解析：(1)连结DB-

因为四边形ABCD为菱形，所以6C=CD.因为ZBCD=60°，所以△BCD为正三角形.

因为M为DC中点，所以CD.

因为PC=PD且M为DC中点，所以CD，.

又因为创/。。/欣=加，3N，冏/匚平面PHW，所以CDJ_平面PBM

因为CDu平面P0C，所以平面平面PZ)C-

(2)因为CD1平面PBM，PBu平面PBM，所以CDLPB，又因为

PBJ_3"，口M，助公。<=平面ABC。,所以Q5，平面ABCD

法一:延长AD,BM交于点。，连结PQ-

因为四边形ABC。为菱形，所以AB//CD且A5=CD.

因为M为。C中点，所以ABHDM且DM=；AB，所以。为AQ中点.

因为N为Q4中点，所以DW/PQ,

所以直线£>N与平面PBC所成角即为直线PQ与平面PBC所成角.

VPBCO=--PB-S^BCO=-X1X(-X2^3X1]=--

设。到平面PBC的距离为h，

V-V——-h-S.=—/z|—xlx2|=—,^1^/2-yR.

pBC0orPoBCC3ZXPJTDBC3(213"YJ

在△PBQ中，PQ2=2§2+302=1+(2由『=13,则PQ=yjl3-

设PQ与平面PBC所成角为e，则Sin6=—L=e=工£，

'PQ岳13

所以直线ON与平面PBC所成角的正弦值为叵.

13

法二:因为BALBM，PB_L平面ABCD，所以BA，BM，BP两两垂直.

以B为原点旅所在直线分别为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则£＞（1,6,0）,4（2,0,0）,「（0,0,1）,。卜1,百,0）.

因为N为/%中点，所以N[1,0,g

则丽=1o,-右=BP=(0,0,1)-

设平面PBC的法向量为为=（x,y,z）,

方♦一即］z=0

所以3，丽,3，配，则＜

n-BC=0-%+也〉=0

令y=l,则平面PBC的一个法向量为为=（6』,0）.

设直线DN与平面PBC所成角为0

所以直线ON与平面所成角的正弦值为我.

13

18.答案：（1）证明见解析

（2）存在,4£=工

AC2

解析：（1）因为CD,平面ABC，且5E〃CD，

所以BE，平面ABC，

取AB的中点°，连接CO，则COu平面ABC，所以BE，CO，

又C4=CB，所以COLAB，

取AE的中点M连接0M，DM，则OMI