2025高考二轮模拟冲刺 数学试卷（新高考Ⅱ卷）（全解全析）

2025年高考第二次模拟考试

高三数学（新高考II卷）01•全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4=卜,>15},B={-2,-1,0,1,2,3},则（）

A.{2,3}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-2,2,3}

【答案】D

【解析】

【详解】在集合8中，满足公>15的有一2,2,3,

故4口6={-223}.

故选：D.

5（1-巧

2.已知i为虚数单位，则/'、J、=（）

（2+。（2T

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】D

【解析】

5（l-i3）5（l+i）

7

【详解】z=-V-r=l+i-

（2+i）（2-i）22-i2

故选：D

3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排

放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的

污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间♦(小时)的关系为N=Noe-h

IN。为最初污染物数量，且乂>0).如果前4个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的

64%还需要()

A.3.8小时B.4小时C.4.4小时D.5小时

【答案】B

【解析】

【详解】由题意可知Noe-皿=0.8N0,即有=0.8，

ktkt

令Noe-=0.64N。,则有e-=0.64=(片妹］=e^，解得，=8,

8-4=4,故还需要4小时才能消除至最初的64%.

故选：B.

4.已知函数/(尤)=+>0)相邻两个对称轴之间的距离为27t,若在上是增函数，则m

的取值范围是()

A(C71.'|B.(回cTil］C［(c。，彳3兀］(［c。三3兀

【答案】B

【详解】因为/(x)=sin"+>0)相邻两个对称轴之间的距离为27r,

则=7=2兀，即7=4兀，则则/(x)=sin(:x+：］,

24兀2<24；

7rlTTIT37r7T

由2E—<—%+—<2kn+—,得4E----<x<4hi-\——(A;eZ),

224222

所以”x)在卜会鼻上是增函数，由(-加制融音T，得加吟

故选：B

5.已知圆C:(x—iy+(y—2)2=4,直线/:(a+l)x+(2a—2)y—4。=0,若直线/与圆C两交点记为A,

B,点P为圆C上一动点，且满足CP〃AB,则可.而最大值为()

A.2后B.3C.4D.8

【答案】C

【详解】由题意知，圆心C(l,2),半径r=2,

直线I:(a+l)x+(2a-2)y-4a=0,即a(x+2y-4)+x-2y-0,

x+2y-4=0x=2

由＜"得1，即直线/过定点”（2,1）,故1cMi=VL

[x-2y=0b=l

设A5中点为N,则。VL/R，且|CN|e[0,、/5],

又因为CP〃/所以QVLCP,

所以丽・丽=(京+西+丽)•(定+e+而)=(京+国『+福•标=(定+灰)2_；|A3|2

=r2+|C2V|2-^y)r2-\CNf^=2|CN『<4,

当|CN|=0时等号成立.

。/（X1）-/（X）„

6.已知函数y=/（x+2）是R上的偶函数，对任意埠/e[2,+8）,且马/々都有2〉0成

国一九2

(2\(InlO>

立.若a=/(log318),b=fln-1=j,c=fe2,则a,dc的大小关系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【详解】根据题意，函数y=/（x+2）是R上的偶函数，则函数/（X）的图象关于直线％=2对称,

r\/（X,）-/（X,）八r、

又由对任意%且当彳々，都有'_一＞0成立,则函数/（%）在[2,+8）上为增函

X]一%2

数,

2

Xlog318=log3(9X2)=2+log32,ln&=2-ln及，e等=M，

_2广

又ln0>O,所以ln&e=2-ln&<2,由函数/(x)的图象关于直线x=2对称，知

2-lnV2)=/(2+ln

fIn

r-In2In2In2/—imo

又1110=《-=*<而=10832<1〈9一2，所以2+ln0<log318<e'，故/?<a<c，

故选：A.

7.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高.据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，

且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98,复兴号的正点率为0.99,今有

一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（）

A.0.2B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】D

【详解】令事件4经过的列车为和谐号；事件2,经过的列车为复兴号；事件C,列车未正点到达,

则p(A)=|,P(B)=|,P(C|A)=0.02,P(C|B)=0.01,

于是P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=|x0.02+|x0.01=一，

2

—x0.02

/、P（AC）P（A）P（C|A）3,8

所以该列车为和谐号的概率为P（AC）=J：='0.05"0-

夕（C）

3

故选：D

8.已知点玛，歹2是椭圆。的两个焦点，尸是椭圆。上一点，耳耳的内切圆的圆心为Q.若

5诙1+3弧+39="则椭圆。的离心率为（）

1233

A.-B.—C.-D.一

2587

【答案】C

【解析】

22

【详解】不妨设椭圆的方程为：=+==l（a〉8〉o）,P（x0,y0）,Q（x,y）,

ab

则有£(—c,O)，K(c,O)，QF1=(-c-x,-y),QF2=(c-x,-y),QP=(x0-x,y0-y),

所以5。芭+3QF2+3QP=5(-c-x,-y)+3(c-x,-y)+3(x0-x,y0-y)

=(3/—Hx—2c,3%T»)=(0,0)，

所以％=3%—2c%,所以耳工的内切圆的半径为羽J,由椭圆定义可得

21111

户国+卢闾=2区闺闾=2°,

所以邑呻二?上用+|「用+闺用）、誓=；闺用x|%|

=>g（2a+2c）x如TX2CX"3-3

8

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分

（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（）

9.5

9.0

8.5

8.0

7.5

7.0

（

一甲一乙

A.若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数

B.甲得分的极差大于乙得分的极差

C.甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

【答案】ABD

【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：

甲：7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙：8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,

故去掉最高分和最低分可得甲的中位数为89,乙的中位数为8.6,故A正确；

甲的极差为9.3—7。=2.3,乙的极差为9.1-8.1=2,故B正确；

6x75%=4.5,所以甲的第75百分位数为9.2,乙的第75百分位数为8.7,故C错误;

由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.

故选：ABD

10.已知函数/(x)=sin[ox+1J(0>O),下列说法正确的是()

JT

A.当6y=2时，/(幻的图象关于直线x=-3对称

8

TT

B.当0=2时，将/(X)的图象向左平移一个单位得到g(x),g(x)的图象关于原点对称

4

兀兀

C.当0=1时，/(X)在单调递减

_42_

D.若函数/(x)在区间[0,2上恰有一个零点，则。的范围为7，||

[44J

【答案】ACD

【解析】

【详解】对于A,当<y=2时，/(x)=sin[2x++],/^-^=sin2x(—0+押=sin]=l,故/⑴

TT

的图象关于直线尤=-§对称，A正确，

对于B,当°=2时，f(x)=sinl2x+^j,

g(x)=/1%+：］=sin++?=sin［2x+?1=一sin12x+：J,故g(x)的图象不关于原点

对称，B错误，

对于C,当(y=l时，/(x)=sin(x+亨］,xe时-，x+手e兀,斗三兀,斗，故/(%)在

I4J4244242

单调递减，C正确,

对于D,xe[0,扪时，®x+—e—,a)7i+—,若/(幻在区间[0,2上恰有一个零点，则

444

n<am+—<2n,解得故0范围为y,-j,D正确

44444j

故选：ACD

11.我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数,

有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点力)成中心对称图形的充要条件是函数

y=/(x+a)—6为奇函数.已知/(%)是定义在R上的可导函数，其导函数为g(x),若函数

y=/(x+l)—1是奇函数，函数y=g(x+2)为偶函数，则下列说法错误的是()

A./(1)=1B.g(l)=l

2024

C.y=/(x+2)-l为奇函数D.£/(。=1012

Z=1

【答案】BCD

【详解】对于A选项，因为函数y=/(x+l)—1为奇函数，

所以，函数y=/(x)的图象关于点(1,1)对称，

且函数/(九)的定义域为R，则/(1)=1,A对；

对于B选项，不妨取f(x)=sin7uc+l,

因为/(x+1)—1=5111]兀(％+1)]+1-1=-51116为奇函数，

则函数〃x)=sin6+1符合题意，g(x)=y,(x)=7icos7tr,

所以，g(x+2)=兀cos[兀(x+2)]=兀cos兀¥为偶函数，

但g(l)=-兀。1，B错；

对于C选项，不妨取/(X)=%,则/(x+1)—l=x为奇函数，

g(x)=/'(x)=Lg(X+2)=l为偶函数,合乎题意,

但/(x+2)—l=x+l不是奇函数，C错；

2兀

对于D选项，若〃x)=sinm+l,则该函数的最小正周期为T=——=2,

兀

/(1)+/(2)=sin71+1+sin2兀+1=2,

2024

所以，Z/(1)=1°12X2=2024W1012,D错

?=i

故选：BCD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知ae（0,兀）,cos[a+.Vio,贝！|cos―：

lo-

3

【答案】

5

【解析】

3

故答案为：—

13.徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的

花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上、下底面直径分别为30cm和26cm,

下面圆台的上、下底面直径分别为24cm和18cm，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆

台的高为8cm,则该花盆上、下两部分母线长的总和为cm.

【答案】5后

【详解】设上面圆台的母线长为4,上面半径为4=15cm,下半圆半径为4=13cm,高为〃=8cm,

根据圆台的母线长公式/=业+(…J，带入数值计算得到4=782+(15-13)2=768=2717cm；

设下面圆台的母线长为k，上面半径为3=12cm,下半圆半径为〃=9cm,

r-r,r.-r.

由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到七一=二/，带入数值计算得到

4,2

3^=吐如亚=3后cm；

2

rx-r215-13

所以该花盆上、下两部分母线长的总和为2历+3a=5J3cm.

故答案为：5a

14.已知等差数列｛4｝的公差不为0.若在｛4｝的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成

等差数列的概率为.(用最简分数作答)

【解析】

【详解】设等差数列｛«„｝公差为d(d*0),

若在数列｛4｝的前100项中随机抽取4项，构成新的等差数列，则其公差可能为d,2d,3d,…,33d.

当公差为d时，则首项可以为。1，。2，%广、。97,可构成共97个不同的等差数列;

当公差为2d时，则首项可以为…，。94,可构成共94个不同的等差数列；

当公差为3d时，则首项可以为4,%，%，…，。91，可构成共91个不同的等差数列；

当公差为kd(keN*,^<33)时，则首项可以为6,生，％，…，。必3，可构成共100—3左个不同的等差数列；

当公差为33d时，则首项为4,可构成共1个等差数列.

故在｛4｝的前100项中随机抽取4项按原来的顺序，共可构成97+94+91+…+1=主号3=33x49个

等差数列；

又在{%}的前100项中随机抽取4项，这4项按原来的顺序共可构成C：oo个数列;

33x49_33x49_1_1

则由古典概型概率公式可得，C*c=15^99x98x97=25x97

4x3x2xl

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继

7k

续，直到答完所有题目.设选手甲答对第1题的概率为三，甲答对题序为i的题目的概率R=二，，e{1,2,3,4},

3i

各题回答正确与否相互之间没有影响.

⑴若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率;

（2）求甲停止答题时答对题目数量X的分布列与数学期望.

1230

【答案】（1）：（2）分布列见解析；期望为和

O243

【详解】（1）解：因为选手甲答对第1题的概率为:2，所以左=2即。,=不2,

333z

所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为）.（6分）

O

2121

（2）解：由题意得〃1=彳，p=-,03=入，04=”

32396

随机变量X可取04,2,3,4,

122491714

则P（X=0）=—,P（x=l）=—X—=—,p（X=2）=—x—x—=—,

333933981

p（X=3）=-xlx-x-=—,P（X=4）=-xlx-x-=—.

33962433396243

所以随机变量X分布列如下:

X01234

1414102

P

3981243243

1414102230

所以£（X）=0x—+lx—+2x—+3x——+4x——=——.（13分）

3981243243243

16.（15分）已知函数/（x）二/一的+21n%（加eR）.

（1）若/（x）在其定义域内单调递增，求实数相的取值范围;

(2)若4<加<5,且/(X)有两个极值点片,x2,其中X]<%2，求/(内)一/(%2)的取值范围•

【答案】(1)m<4

(2)^0,—-41n2j

【解析】

【小问1详解】

/(x)的定义域为(0,+8),(1分)

,//(%)在(0,+8)上单调递增，

22

/'(%)=2工一7〃+—20在(0,+8)上恒成立，即机W2x+—在(0,+8)上恒成立，(4分)

XX

又2工十422、2“己=4,当且仅当x=l时等号成立，(6分)

X\X

m<4；(7分)

【小问2详解】

由题意/'（%）=2%—加+24=21**2—/M7Y+2,（8分）

XX

・・・/(%)有两个极值点再,九2,

・・・西,x2为方程2炉_如+2=0的两个不相等的实数根,

由韦达定理得X]+尤2=—，%,％2=1，(10分)

*.•0<x1<x2,，0<玉<1<9,

又根=2(玉+々)=2(玉+—)£(4,5),解得J_<%<1,

石2

=（4_%；）+2（1口玉-lnx2）-2（x1+%2）（玉_尤2）=（%；）+2（ln玉-lnx2）

12.

==一%+41n玉，（12分）

%

11

设g（犬）=~o—犬9+41nx（一<x<1）,

x2

向，,、一24-2(X4-2X2+1)—2(——Ip

则g(%)=-T--2%+—=--------------------=--------3------<0'

XXXX

.♦.g(x)在©,1)上单调递减，(14分)

又g出=4_：+41ng=9_41n2,g(l)=1-1+0=0,

0<g(x)<?—41n2,

即/(再)一/(%2)的取值范围为—(15分)

o

17.(15分)如图1,在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4,ZAJBC=60,E为的中点.WVADE

沿AE折起，连接BD与CD,如图2.

(2)设市=2砺(0<%<1),当助工。石时，是否存在实数力，使得直线AF与平面ABCE所成角的

正弦值为土生？若存在，求出X的值；若不存在，请说明理由.

10

(3)当三棱锥3-CDE的体积最大时，求三棱锥曾-A3石的内切球的半径.

【答案】(1)4(2)存在，2=-(3)*-屈

310

【解析】

【小问1详解】

连接跳，由题意得，AD=DE=2,ZADE=60°,

则VADE为等边三角形，AE=AD=2,

在ABCE中，EC=2,BC=2,ZBCE=180°—60°=120°,

由余弦定理得=302+£02—2BC•ECcosNBCE=4+4—2X2X2X=12,

所以BE=26，由BE=2百,AE=2,AB=4,

则AS?+BE?=AB2,故

若平面ADE_L平面ABCE,

由平面AD£P|平面ABCE=AE1,_B£u平面ABCE,BE_LAE,

则5石，平面ADE,D£u平面ADE,则6£1。石，

所以BD=yjBE2+DE2=426j+22=4.

下面证明当3£)=4时，平面M£_L平面A6CE.

证明：由BE=25DE=2,BD=4,则BE?+DE?=BD?，

所以BE上DE，又钻门小石二民/石刀后匚平面公叱，

所以BE，平面ADE，

又3Eu平面A5CE，所以平面ADEJ_平面A6CE,

故当3£>=4时，平面ADEL平面A6CE；(5分)

【小问2详解】

由(1)知，BEJ.DE,则平面ADEL平面ABCE.

在平面ADE内过E作石G，AE,

由平面ADE。平面A3CE=AE,EGu平面A5CE,

则EG,平面ABCE,BEu平面ADE，则EGLBE.

如图，以点E为坐标原点，以EAEB,EG所在直线分别为苍％z轴，过石垂直于平面ABCE的直线为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系石一邙,

则石(0,0,0),4(2,0,0),3(0,2班,0),。卜1,逝,0),。(1,0,6)，

故M=卜2,2^/3,0),5D=(l,-273,A/3),

由前=ABD(0<2<1),

AF=AB+BF=AB+2BD=(-2,2A/3,0)+2(1,-2A/3,A/3)=(-2+2,273(1-2),A/32),

因为z轴垂直平面ABCE,故可取平面ABCE的一个法向量为沅=(0,0』),

设直线前与平面A3CE所成角为。,

所以sin"ci，市’日①

|m||AF|j（—2+疔+[2商—田]2+（网210

2

化简得3^2—144+8=0，解得或4=4（舍去），

故当助工。石时，存在4=2,使直线AF与平面ABCE所成角的正弦值为430；（10分）

310

设点D到平面ABCE的距离为。，

由VB-CDE=Vp-BCE=§BCE力，其中SBCE为定值，

则要使三棱锥。-5CE的体积最大时，则点D到平面BCE的距离取最大,

取AE中点"，连接则DH_LAE，

当DH_L平面BCE时，点。到平面3CE的距离最大，

此时，由DHu平面ADE，则平面ADEL平面ABCE,

由（1）知，BEJ.DE,45即为直角三角形，50=4.

则'BE。=g3E-DE=gx2Gx2=2百，

S4AB甘=；AE-BE=gx2x26=2也,

S,=-AE-DH=-x2x—x2=73-

心D£222

在Z\ABD中，AB-4,AD-2,BD=4,取AD中点M,

则5MLAD，且9=,42_1=后,

所以s4ABDDU=-AD-BM=-X2X415=J15,

设内切球球心为/,内切球半径为r,由等体积法知,

^D-ABE=匕-ABD+匕-ABE+匕-ADE+匕-BDE=g+^^ABE+ADE+^BDE）

其中，V…44ABE-DH=—2昌6=2,

rxijLLic△ZxOi-/c

3V2x35卮岳

故厂二__________JVD-ABE_____________

v-kq-i-vaq10

°△ABD丁U^ABE丁UAA£）E丁。ABDE273+^+273+715

三棱锥£>-ABE的内切球的半径为金叵二巫.（15分）

故当三棱锥5-CDE的体积最大时,

10

22

18.（17分）已知双曲线C：A—当=1（。〉0力〉0）的实轴长为2,离心率为2,右焦点为尸，P为C上

a2b2

的一个动点,

（1）若点尸在双曲线C右支上，在x轴的负半轴上是否存在定点".使得/母70=2/冏〃？若存在,

求出点河的坐标；若不存在，请说明理由.

3

（2）过尸作圆。:炉+丁2=5的两条切线八%,若切线h4分别与C相交于另外的两点E、G,证明:

E、O、G三点共线.

【解析】【小问1详解】

2a=2

a=1a2=11,"

根据题意，有《=>,nb'9=3,

-=2c=2c2=4

2

所以双曲线的方程为2L=i.

3

设P（毛,%）,河亿0）,且才<0,

①当直线尸/的斜率存在时，即天彳2时,

因为/PFM=2ZPMF,所以左p”=tanZPMF=

x0-t

2tan/PMF

k=tan（7t-ZPFM）=-tan（2-ZPMF）=%

PF2

tanZPMF-1x0-2,

2”

从而(，化简整理得，2焉-(4+2/)x0+4/=2xj+2tx0-f-3,

y0[_]/_2

I%0—，J

—(4+2，)=21/、

Z_2n/=—l，所以在x轴负半轴上存在点M(—1,0)使得NPR0=2NPMG

②当直线P产的斜率不存在时，即4=2时，

NPFM=90°,若ZPFM=2ZPMF，则NPMF=45°，此时P点的坐标为(2,3),

所以尸=3,则引0=尸耳=3,又用=2,所以|。叫=1,此时/=-1，

综上，满足条件的M点存在，其坐标为(-1,0).

斗

*

【小问2详解】

2J2_

x----=182V2

ik=t[k士奈

设PQo，%)，由题意得，双曲线和圆相交,所以联立两曲线方程，得<3

x2+j2=-

即为两曲线四个交点的坐标，

①当尸(%,%)=P存#时，即x0=±g时，直线PG的斜率不存在,

直线尸E的斜率为0,

此时易得E一，GJ]，—，此时点以G关于点。对称，故E

、。、G三点共线.

IV2V2J1V2V2J

②当A金，且"后或“<一泉且"一即‘

此时直线PE、PG的斜率存在且不为零，分别设为匕水2，

设经过P(x0,yo)的直线方程为丁=左(%-为)+%，由于直线与圆相切，

所以1rr-'%）2（k+1),即[x；_|■卜2_2毛为左+¥-3=0

7k+1Y/乙

4-322323

%-y%

由韦达定理得左•&=——»又焉=国+1，所以尢・%—22—〃Q、—3，

生+1-3心，

片-53

32311)

=聆=优吊一%)2(婷+1)，

由直线PE与圆的位置关系可知，।二一1

VV+i

同理直线PG的方程为y=&（x—/）+%，彳4左2%-％)=5付+1),

%2V—1

联立彳3，消去y并整理得，（k；—3)d_(2/0%2_2%%)x+kyXQ—24]x。%+y：+3—0,

丁=匕（》-%）+%

即（6—3*-2勺化%）龙+化/一%）一+3=0,

即（左；_3卜2_26j|•（左；+i,+m

E+1)+3=0,

[禽+1)+3；(川+3),所以x(后+3)

令E（玉根据韦达定理得丫丫

A1.406―3k；-31%(6—3)

R3dq3191Q

_2(抬+32[UJ[2]肝+3；2代+3)

设6（%2，%），又勺・左2=3，所以%一天(片—3),上3丫丁」9)小区―3)'

%「3%3J

2

所以%+%2=0，又x；=1~+l,x；=上+1

3

22

两式相减得，才-后=&-五=0：力才=£，

1，33

由图可知，为片%，所以％=-%，即M+%=0.

所以点E、G关于点。对称，此时E、0、G三点共线，

综上得，E、。、G三点共线.

19.（17分）设数列｛%｝的前w项和为S“，对一切〃eN,心1,点｝,都在函数〃x）=x+言图象上.

（1）求q,a2,a3,归纳数列｛q,｝的通项公式（不必证明）：

（2