2025高考数学专项讲义：圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形（学生版）

第09讲圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形

（9类核心考点精讲精练）

12.考情探究。

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第12题,5分双曲线中集点三角形问题求双曲线的离心率

利用定义解决双曲线中集点三角形问题

2023年新I卷，第16题,5分无

求双曲线的离心率或离心率的取值范围

2022年全国甲卷（理科），椭圆定义及辨析

无

第12题,5分椭圆中焦点三角形的面积问题

2022年全国甲卷（文科），

椭圆中焦点三角形的面积问题无

第7题,5分

2022年新I卷，第16题,5分椭圆中焦点三角形的周长问题求椭圆的标准方程

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算

2.理解、掌握圆锥曲线的焦点弦三角形及其相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算,

需强化训练复习

IN.考点梳理

知识点1椭圆焦点三角形主要结论

知识点2双曲线焦点三角形主要结论

知识点3腌圆、双曲线焦点三角形离心率

知识点4椭圆焦点弦三角形周长

核心知识点知识点5双曲线焦点弦三角形周长

知识点6椭圆焦点弦三角形面积公式

知识点7双曲线焦点弦三角形面积公式

知识点8抛物线焦点弦三角形面积公式

考点1腌圆的焦点三角形周长问题

考点2椭圆的焦点三角形面积问题

考点3双曲线的焦点三角形面积问题

考点4椭圆、双曲线的焦点三角形离心率问题

考点5椭圆的焦点弦三角形周长问题

核心考点

考点6腌圆的焦点弦三角形面积问题

考点7双曲线的焦点弦三角形周长问题

考点8双曲线的焦点弦三角形面积问题

考点9抛物线的焦点弦三角形面积问题

知识讲解

1.椭圆焦点三角形主要结论

在/PF14中，记4F/F2=0,

椭圆定义可知：

(1).\PF1\+\PF2\^2a,\F1F2\^2c.

(2).焦点三角形的周长为L=2a+2c.

2b2

(3)\PFIIPF\=

r2l+cos0

2

(4),焦点三角形的而积为：S=||PF1IIPF2|sin0=dtan|.

2.双曲线焦点三角形主要结论

如图，Fi、F2是双曲线的焦点，设尸为双曲线上任意一点,

A

P

b2

记^F1PF2=/贝!J△PF1F2的面积S=藤

3.椭圆、双曲线焦点三角形离心率

记Z_P%F2=a,NP&Fi=BZF/F2=9

则椭圆的离心率为：

2cFi&lsin。

6

2a\PF±\+\PF2\sina+sin£

双曲线的离心率为：

P=—2c=--F-i-&l--=---si-n。--

2a\PFi\+|P尸2I|sina-sin/?|

4.椭圆焦点弦三角形周长

(1)FI，F2为椭圆C:《+/=l(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A.B两点，贝|AABF2

的周长为4a.

(2)FL为椭圆C:《+/=l(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A,B两点，贝!]

的周长为4a.

5.双曲线焦点弦三角形周长

如图1,F1,F2为双曲线。5一，=l(a>0,b>0)的左、右焦点，过％的直线交双曲线同支于A,B两

点，且\AB\=m,贝！]AABF2的周长为4a+2m.

6.椭圆焦点弦三角形面积公式

(1)%、F2为椭圆C:5+，=l(a>b>0)的左、右焦点，过F2倾斜角为6的直线I与椭圆C交

于力、8两点，则焦点弦三角形△F]AB的面积:

c2cpsin0甘b2

S»I4B=匚赢薪，其中，P=-

(2)Fl、F2为椭圆的左、右焦点，过尸2的直线I与椭圆c交于a、B两点，且\AB\=m,则焦点

弦三角形△FiAB的面积：

SAF1AB=byj(2a-m)m

7.双曲线焦点弦三角形面积公式

(1)设直线I过焦点F2且交双曲线接一/=l(a>0,6>0)于4、B两点，直线I倾斜角为0,双

曲线的半通径为p=城，则双曲线同支焦点弦三角形的面积

a

2cpsin。

‘△Pi"®i_?2cos2。

22

(2)Fi、F2为双曲线C:^-^=l(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2的直线I与双曲线C右支交

于力、B两点，且\AB\=m,则焦点弦三角形gAB的面积：

S^F1AB=bj(2a+m)m

22

(3)Fi、F2为双曲线C彳一与=l(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2的直线I与双曲线C右支、

左支分别交于4、B两点，且\AB\=m,则焦点弦三角形gAB的面积：

Sg4B=by/(m-2a)m

8.抛物线焦点弦三角形面积公式

设直线I过焦点F且与抛物线y2=2P比(p>0)交于4、B两点，直线I倾斜角为6,则焦点弦三角

形△04B的面积为

p2

S皿B=元

考点一、椭圆的焦点三角形周长问题

典例引领

丫2

1.（23-24高三•阶段练习）已知《，鸟是椭圆C：.+『=1的两个焦点，若点尸是椭圆C上的一个动点，

则的周长是（）

A.4+2百B.4+2指C.8D.10

2.（2023•广西南宁•模拟预测）已知椭圆鸟+/=1（。>1）的左，右焦点分别为公，F2,过点片的动直线

a

/交椭圆于4B两点.若△/8月的周长为8,贝匹=（）

A.4B.2A/2C.2D.72

22

3.（2022•河北秦皇岛•二模）椭圆C:二」+匕=1的左、右焦点分别为片，F2,尸为椭圆C上一点，若△尸与耳

m+2m

的周长为6+2也，则椭圆C的离心率为（）

A.—B.—C.昱D.—

6336

22

4.（2023•陕西西安•一模）己知椭圆C:0+4=l（a>b>O）的左、右焦点分别为月,工，〃为C上一点，若

ab

上用的中点为（0,1）,且△叫工的周长为8+4收，则C的标准方程为（）

22

A.—+=1B.土+匕=1

16884

2222

C.—D.二+匕=1

1643216

即时榭｛

22

1.（22-23高三下•河南•阶段练习）已知用鼻分别为椭圆C:\+匕=1（°>2«）的两个焦点，且C的离心率

a12

为;，尸为椭圆C上的一点，贝屋尸耳耳的周长为（）

A.6B.9C.12D.15

2.（23-24高二上•辽宁大连•期中）已知?是椭圆1+A=l（Q>b>0）上一点，丸B分别是椭圆的左、右焦点

ab

、若AS名的周长为6,且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1,则椭圆的离心率为（）

3.（2024•上海・三模）已知椭圆C的焦点片、片都在x轴上，P为椭圆C上一点，人尸大名的周长为6,且户耳|,

闺阊，|尸闻成等差数列，则椭圆C的标准方程为.

考点二、椭圆的焦点三角形面积问题

典例引领

2____

1.（2023・全国•高考真题）设片为椭圆C:r+j/=l的两个焦点，点尸在C上，若西.房=0,则

I呐•陷卜（）

A.1B.2C.4D.5

2.（23-24高二上•湖北•期末）己知椭圆£+或=1（°＞板）的两焦点分别为《、耳.若椭圆上有一点P,

a2

使ZFtPF2=120。，则APRF?的面积为（）

A.2B.gC.V3D.2A/3

23

22

3.（2023•广东梅州•三模）已知椭圆c：/+q=l的左、右焦点分别为《，F2,过点鸟的直线/与椭圆C的

一个交点为A,若|/乙|=4,则△4;用的面积为（）

A.2A/3B.V13C.4D.尼

4.（2023・全国•高考真题）设O为坐标原点，弓与为椭圆C：《+匕=1的两个焦点，点尸在C上，

96

3

cos/片尸片=不，则|。。|=（）

13V3014V35

A.一B.-^―C.-D.军士

5252

22

1.（23-24高三下•湖北武汉•阶段练习）设椭圆土+匕=1的左右焦点为小大，椭圆上点P满足

2512

|尸片|:|尸用=2:3,则APg的面积为.

2

2.（23-24高三上•云南•阶段练习）己知点尸为椭圆C:r?+F=l上的一个动点，点可，耳分别为椭圆C的左、

右焦点，当鸟尸的面积为1时，%质=（）

3.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）设片，片是椭圆C：二+匕=1的两个焦点，点尸是C上的一点,

618

且cos//尸耳=：,贝!USg的面积为（）

A.3B.3A/2C.9D.972

考点三、双曲线的焦点三角形面积问题

中典例引领

1.（2024・湖北•模拟预测）设片为双曲线片=1的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且4PF,=90。，

63

则AFFB的面积为.

22

2.（22-23高二下•四川德阳,阶段练习）已知焦点在x轴上的双曲线的左右焦点别为《和鸟，

mm—1

其右支上存在一点尸满足尸耳，尸鸟，且的面积为3,则该双曲线的离心率为.

22

3.（2023仞川凉山・一模）已知点尸在椭圆・+3=1（°>6>0）上，片，鸟是椭圆的左、右焦点,若西・运=3,

且的面积为2,则/=（）

A.2B.3C.4D.5

2

1.（22-23高二上•北京朝阳•期末）在平面直角坐标系xOy中，设片，匕是双曲线C:x?-匕=1的两个焦点，

一2

点M在。上，且砺•近=0,则△片工河的面积为（）

A.73B.2C.V5D.4

2

2.（23-24高三上•重庆沙坪坝,期中）设双曲线C:f一匕=1的左、右焦点分别为耳点”在C的右支上，

2

且ZMFrF2=30°,则△儿军工的面积为（）

A.2B.V6C.2也D.4+2百

2

3.（2022•四川成都三模）设片，鸟是双曲线C:--事=1的左，右焦点,点尸在双曲线C的右支上，当|尸耳|=6

时，AP片外面积为（）.

A.4GB.3bC.^556出

2

考点四、椭圆、双曲线的焦点三角形离心率问题

典例引领

1.（全国•高考真题）已知片，鸟是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PFJPFz，且/尸耳耳=60。，

则C的离心率为

A.1一也B.2-73C.D.V3-1

22

_炉2

2.（安徽•高考真题）已知外巴为椭圆'+与=1（。>6>0）的焦点，M为椭圆上一点，出垂直于x轴，

ab

且N/Mb=60。，则椭圆的离心率为（）

A1nV26G

2232

3.（2021・全国•统考高考真题）已知耳匕是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点，且NRPFz=60。,仍片卜3\PF2\,

则C的离心率为（）

A.—B.史C.V7D.V13

22

即时凝I

（全国考真题）已知，是双曲线民=1的左，右焦点，点M在E上，MB与x轴垂直,

1.E/2/一瓦

sinZA^7?=|，则£的离心率为

l3

A-V2B.-

C.V3D.2

II

2.（福建・高考真题）设圆锥曲线r的两个焦点分别为Fi,F2,若曲线r上存在点P满足|PF|：|FF2|：|PF2|=4：

3：2,则曲线r的离心率等于

3.（福建•高考真题）设圆锥曲线方的两个焦点分别为耳耳，若曲线「上存在点P满足

|尸图:忸词:阀|=4:3:2,则曲线7的离心率等于

A.g或|B.g或2C.j■或2D.g或|

4.（湖北•高考真题）已知片,工是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且/耳尸£=A，则椭

圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）

A.9B.述C.3D.2

33

考点五、椭圆的焦点弦三角形周长问题

典例引领

22

1.（2022•重庆沙坪坝,模拟预测）已知仁居分别为椭圆C：二+匕=1的左、右焦点，直线x-3y+l=0与椭

43

圆交于尸，。两点，则△户。工的周长为.

22

2.（2024•河北•二模）过椭圆C：L+匕句的中心作直线/交椭圆于尸，。两点，尸是C的一个焦点，则△PF0

169一

周长的最小值为（）

A.16B.14C.12D.10

22

3.（22-23高二上•山东德州•期中）已知椭圆C：*+3=1（°>%>0）,椭圆C的一顶点为/,两个焦点为片，

F2,△/耳工的面积为百，焦距为2,过片，且垂直于/8的直线与椭圆C交于D,£两点，贝UV/DE的周

长是（）

A.4后B.8C.2-719D.16

电即鹤号

22

1.（2024•河北衡水•三模）已知椭圆C：0+4=l（a>b>O）的左、右焦点分别为耳，F2,焦距为6,点“（U）,

ab

直线〃a与C交于4,8两点，且“为中点，则△/耳3的周长为.

22

2.（23-24高三下•上海•阶段练习）已知椭圆C:=+4=l（a>6>0）,C的上顶点为A,两个焦点为《，F2,

ab

i74

离心率为5.过用且垂直于工工的直线与C交于。，E两点，|z）£|=—,则VNDE的周长是.

考点六、椭圆的焦点弦三角形面积问题

中典例引领

1.（2023•云南昆明•模拟预测）已知椭圆C:1+：=1的左、右焦点分别为片，F2,直线>=息与椭圆C

交于N,B两点,若|/到=闺闾，则”8月的面积等于（）

A.18B.10C.9D.6

22

2.（2024•全国•模拟预测）已知椭圆C:\+4=l（a>6>0）的右焦点为尸，过坐标原点。的直线/与椭圆C

ab

交于A,B两点.在△4E8中，ZAFB=120°,且满足S△谢=6改，则椭圆C的离心率为.

电即叫机

1.（2023・全国•高三专题练习）设P为椭圆C：《+且=1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且

4924

△PF#2的重心为点G,若|PF1|：|PFz|=3：4,那么△GPE的面积为（）

A.24B.12C.8D.6

22

2.（2023・全国•高三专题练习）（多选）设椭圆C：、_+太=1的左、右焦点分别为耳，F2,过耳垂直于x轴

的直线与椭圆C交于M,N两点，则（）

A.椭圆的离心率e="B.的周长为12

3

C.△巴的面积为2百D.△名为等边三角形

考点七、双曲线的焦点弦三角形周长问题

*典例引领

1.（2022•全国•高三专题练习）过双曲线f-?=l的左焦点片作一条直线/交双曲线左支于P,。两点，若

|尸。|=10，鸟是双曲线的右焦点，则△尸工。的周长是.

2.（2023・全国•模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为耳、心，过片的直线交双曲线左支于42两点，且

|/4=5,若双曲线的实轴长为8,那么工的周长是（）

A.5B.16C.21D.26

3.（2023•新疆乌鲁木齐•三模）已知双曲线C：；-/=i的左右焦点分别为片，片，过片的直线交双曲线c

的右支于4,8两点，若的周长为20,则线段N3的长为.

即时根（

1.（2022・全国•高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为B、F2,在左支上过尸/的弦N3的长为5,

若2a=8,那么△/AE?的周长是（）

A.26B.21C.16D.5

2.（2022・全国•高三专题练习）如果耳、旦分别是双曲线1-4=1的左、右焦点，是双曲线左支上过点片

169

的弦，且|/4=6,则A48为的周长是

22

3.（2024•江西南昌三模）已知双曲线C:=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为小用过用作直线/与

ab

双曲线C的右支交于A,8两点，若4耳48的周长为106,则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A.-^-,^[5B.C.—,2D.[2,+oo）

考点八、双曲线的焦点弦三角形面积问题

.典例引领

22

1.（2023•安徽六安・模拟预测）已知双曲线C:土-匕=1的左、右焦点分别为片、F2,直线y=履与双曲线

169

C交于A,8两点，若|/刈=阳用，贝心4圻；的面积等于（）

A.18B.10C.9D.6

2.（2024咛夏银川•一模）已知双曲线£-4=1（°>0,6>0）,过原点的直线与双曲线交于A,8两点，以

线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点厂，若△/时的面积为2r,则双曲线的离心率为（）

A.2B.-^2C.5/3D.yfs

1.（2023・全国•高三专题练习）设月，鸟分别是双曲线C:x2-Zt=l的左右焦点，过外作x轴的垂线与C

b

交于43两点，若A/3耳为正三角形，则。的离心率为,A/24的面积为

22

2.（2023・山西吕梁・统考二模）已知双曲线C：=_三=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳，片,

直线y=区与C交于P,。两点，所.函=0,且△尸工。的面积为4a2,则C的离心率是（）

A.V3B.V5C.2D.3

考点九、抛物线的焦点弦三角形面积问题

典例引领

1.（全国•高考真题）设F为抛物线C:/=3x的焦点，过F且倾斜角为30。的直线交C于A,B两点，O为坐标

原点，则△OAB的面积为

3AA9石639

A.—B.—C.一D.-

48324

2.（2022・山西•高三校联考期末）设/为抛物线C:r=4x的焦点，过P的直线交抛物线。于/,8两点，

且4尸=33尸，O为坐标原点，贝!UQ/3的面积为（）

436R973r273n473

4833

即时根（

L（2023•黑龙江校考期末）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F且倾斜角为60。的直线交C于4B两点,

O为坐标原点，贝UAO/3的面积为（）

.373„9_473口“

443

2.（2023・全国•高三专题练习）（多选）己知过抛物线C:j?=4x的焦点厂的直线/交。于A,8两点，。为

坐标原点，若“03的面积为4,则下列说法正确的是（）

A.弦的中点坐标为（13,46）

B.直线I的倾斜角为30。或150°

C.|明=16

D.

电•好题冲关

能力提升

一、单选题

1.（2024•山东泰安•二模）设抛物线，=例的焦点为尸，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为。，若

ZPQF=30°,则|尸Q|=（）

A.B.迪C,V3D.至

333

2.（2024•北京海淀•三模）已知抛物线/=4x的焦点为R点M在抛物线上,垂直夕轴于点N,若|斯|=6,

则AACVF的面积为（）

A.8B.475C.575D.1075

3.（23-24高二下•安徽亳州•期末）设片,居分别是离心率为变的椭圆C：W+^=l（a>6>0）的左、右焦点,

2ab

过点片的直线交椭圆C于45两点，且|/4|=3闺到，则cos/4g3=（）

1V223

A.-B.—C.-D.-

5555

4.（2024•福建三明•三模）已知抛物线一=2加（0>0）的焦点为F,第一象限的两点4B在抛物线上，且满

足|/尸|-|5尸|=3,|/2|=3板.若线段48中点的横坐标为3,则p的值为（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2024•山东泰安・模拟预测）已知抛物线C:x?=2加（p>0）的焦点为尸，C上一点"（x。,3）到焦点厂的距

离为4,过焦点厂的直线/与抛物线交于48两点，则尸|+平口的最小值为（）

A.4百+4B.2月+4C,-273+4D.2百+8

6.（2024•新疆•三模）已知抛物线C：必的焦点为凡在抛物线。上存在四个点尸，M,Q,N,若弦尸。

11

与弦的交点恰好为R且则西+丽=（）

A.1B.1C.72D.2

22

7.（23-24高二下•安徽宣城•期末）已知双曲线C:二-二=l（a>0,6>0）的左右焦点分别为耳，工，曲线C上

ab

存在一点P,使得△理与为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（）

A.^±1B.72C.V2+1D.

22

22

8.（24-25高三上•湖北•阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线C：A-1r=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别

为用工，”为双曲线右支上一点，连接交y轴于点B,若|』同=|』用，且/4，/巴，则双曲线的离心率

为（）

A.71+^2B.72+收C.V5D.y[f>

22

9.（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）已知点。为坐标原点，椭圆三+\=1的左、右焦点分别为《，F2,

点尸在椭圆上，设线段尸斗的中点为且闾=|<W|,贝心助区的面积为（）

A.V15B.叵C.3小D.4岳

2

22

10.（2024・新疆•二模）设耳,耳分别是椭圆方+?=1的左，右焦点，过大的直线/交椭圆于43两点，则

|/闾+忸周的最大值为（）

11.（2024・全国•模拟预测）椭圆C:曰+/=1的左、右焦点分别为片，F2,直线y=x+"加W土也）与C交

于42两点，四边形/43此的周长为4G,若ABAB的面积是△0/5的面积的2倍（。为坐标原点），贝1］刃=

（）

A一旦B.走C一旦D,也

2332

22_

12.（23-24高三下•安徽芜湖•阶段练习）设椭圆C：三+匕=l（a>2g）的左、右焦点分别为可，匕，直线

a8

/:y=x+f交椭圆C于点A,B,若的周长的最大值为16,则C的离心率为（）

A."B.正C.遮D.-

3329

22

13.（2024・河南信阳•模拟预测）已知椭圆C:\+方=1（。>6>0）的左、右焦点分别为昂匕，过点片和上

顶点/的直线/交C于另外一点B,若丽=2坪,且△片88的面积为文，则实数2的值为（）

4A

A.3B.1C.3或7D.g或7

14.（2024高三•全国•专题练习）已知O为坐标原点，抛物线。：必=2.（°>0）上一点尸（2,%）到其准线的

距离为3,过C的焦点厂的直线交C于45两点.当％^=2后时，H尸卜忸耳的值为（）

A..72B.3V2C.—D.8

4

15.（2024•四川•模拟预测）已知片，耳分别是椭圆C：与+己=1的左、右焦点，。为坐标原点，M,N为

C上两个动点，且/MON=90。，△血用工面积的最大值为百，过。作直线的垂线，垂足为X,则

（）

HFX-HF2=

15125_

A.B.C.1D.

T77

二、多选题

22

16.（2024・广东广州•模拟预测）已知椭圆£：\+勺=1（。>6>0）的左、右焦点为《，耳，过耳的直

ab

7

线与E交于M,N两点.若cos/月班=g,|九的|=|町|.则（）

MFS1

A.△A耳MN的周长为4。B.—^=-

N项2

C.MN的斜率为土由D.椭圆E的离心率为更

3

r2,.2

17.（2024嘿龙江双鸭山•模拟预测）己知直线J=-x+l经过椭圆£：=+与=1（。>6>0）的一个焦点和一个

ab

顶点。，且与E在第四象限交于点尸1的左、右焦点分别为耳工，则（）

A.E离心率为:B.△尸勿的周长为4夜

C.以尸片为直径的圆过点。D.PQ|=2次

22

18.（23-24高三上•河南•期中）已知B,B分别是椭圆'+"=1（。>6>0）的左、右焦点，且/月，片《，

ab

直线/瓦与椭圆的另一个交点为3,且正=30,则下列结论中正确的是（）

7

A.椭圆的长轴长是短轴长的几倍B.线段l片的长度为:“

C.椭圆的离心率为"D.△瓦gi的周长为"舟。

33

19.（23-24高二上•浙江宁波•阶段练习）已知斜率为左的直线交抛物线必=2.（p>0）于/（孙乂）、

8（马，％）两点，下列说法正确的是（

A.七%为定值B.线段48的中点在一条定直线上

；为定值D.亲为定值（尸为抛物线的焦点）

C.

k（DA^OB

2

20.（24-25高三上•广西•阶段练习）已知双曲线C：*-匕=1的左、右焦点分别为耳、F2,过点石且倾斜

3

角为。的直线/与双曲线的右支交于4、3两点（4在第一象限），则下列说法中正确的是（）

jr27r

A.双曲线C的虚轴长为百B.j<a<y