2025高考数学复习易错题专练：三角函数、解三角形与平面向量（试卷+答案解析）

专题03三角函数、解三角形与平面向量

考点01三角函数

1.（2024・江西•二模）已知角a的终边经过点则cosa=（）

A.逅B.BC.72D.也

332

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义求解.

【详解】根据题意r=|。叫=«拒丫+12=6,

由三角函数的定义得cose=2=坐=迈.

/63

故选：A.

易错分析：利用三角函数的定义求值时要注意终边上的点是否是角的终边与单位圆的交

点.

2.（2024.北京通州.二模）在平面直角坐标系宜刀中，角。的顶点与原点重合，始边与次轴的非负半轴重合，

终边与单位圆交于点则COS（兀-2a）=（）

9779

A.-----B.-----C.—D.—

25252525

【答案】B

34

【分析】接根据三角函数的定义可求出sina=-|,cosa=I，再由诱导公式和二倍角余弦公式化简即可得出

答案.

34

【详解】由三角函数的定义可得sina=-丁cosa=g,

所以cos（兀-2tz）=-cos2a=-（2cos2==

故选：B.

3.（24-25高三上•重庆•期中）如图，在平面直角坐标系中，以。4为始边，角。与夕的终边分别与单位圆相

交于瓦厂两点，且"小。，/［，△4/，。，若直线跖的斜率为：，则sin（a+0=（）

4

cD.

-47

【答案】A

【分析】根据二角函数的定义可设E(cosa,sin。),产(cos0,sin,结合直线的斜率公式及和差角公式先求

出tan等,然后结合二倍角公式及同角基本关系可求.

【详解】由题意可设E(cosa,sina),厂(cossin/),

_a+/3.ex,-B

2cos------sm------

sina-sin)3J.

则直线环的斜率左二22

。一c.a+(3.a-Ba+/3

coscos[3-2sin-----sm------3

222

所以3三=3

。,a+/3a+6

2sm------cos......-2tan......-

3

所以sin(a+尸)=_______222

.2a+B2a+B

sm------+cos-----—1+tan......—5

222

故选：A.

4.(2024•北京朝阳•二模)在平面直角坐标系xOy中，锐角。以。为顶点，Ox为始边.将。的终边绕。逆时

针旋吟后与单位圆交于点C若cosa=-，贝Uy=()

10

43-34

A.——B.--C.—D.-

5555

【答案】D

【分析】根据同角的平方关系求出sine,结合三角函数的定义和两角和的正弦公式计算即可求解.

【详解】如图,

7>/2

而

所以y=sin（a+：）=（sina+cosa）=x8辞=g.

故选：D

已知，（兀），，，

5.e0,sin+cos=-g则下列结论不正确的是（）

3

A-B.tan6=——

4

37

C.cos6=——D.sin6-cose=一

55

【答案】C

【分析】由sind+cos，=」两边平方，求得sindcosd=-U,推得de（工兀），再求得sin6-cose=Z,联

52525

343

立求得sind=—,cos6=-一,即得tand=—3,即可逐一判断.

554

【详解】由sin，+cos，=-1，两边平方得：l+2sin6cose='-,

525

1O冗

JU!!sin6（cos（9=-—<0,因。《0,兀），故有（9e弓,兀）,故A正确;

12c49

由上已得：sin8cos8=-石，,故（sin8—cos6了=l—2sin6cose=不，

JT7

由。£（—,兀）可得sin。-cos6>0,于是sin6—cose=—,

25

134

Xsin<9+cos<9=--,联立解得：sin0=—,cos0=--,

3

故tan"y,故B,D正确，C错误.

故选：C.

易错分析：根据sina+cosa,sina-cosa,sin0cos。的关系求值时，转化的手段是平方、

开方，在开方时一定要注意判断符号.

已知。=一(:wsina•cosa/

6.sina+cos,且ae(0,7T),贝|二---------=()

sina-cosa

12121212

A.——B.C.——D.——

553535

【答案】c

【分析】由条件结合同角关系求sinacos%sina-cosa,由此可得结论.

1

【详解】因为sina+cosa=-

5

所以(sina+cosa)

故sin2a+2sinacosa+cos2a=\,Xsin2cr+cos2a=l,

25

12

所以sinacosa=---,又o£(0,4),

25

所以i

所以sina—cos。>0,

X(sin^-cos6Z)2=l-2sin6zcos«=l+—=—

v72525

一7

所以sina-cosa=~

12

sina-cosa_25_12

所以

sina-cosa735

5

故选：C.

cos[]+aj

1

7.已知sina+cosa=一,则()

2

l-tan(-cif)

333

A.B.C.D

~4416-A

【答案】A

cosF-sinacosa13

【分析】通过变形12可以得到,从而先对sincr+cosi=——平方求出sinacosa=一一,

coscif+sin<728

l-tan(-6Z)

进一步化简求值即可.

【详解】因为sina+cosa=-工，所以(sina+cosa)?=l+2sinacosa=L

24

所以sinacosa=——,

cosI—+aI3

(2)_-sina_-sina—sina_-sinacosag_3

所以

1-tan(-cr)1+tana11sin「cosa+sinacosa+sina_j_4

cosacoscr2

故选：A.

8.(24-25高三上•山东烟台・期末)若cos,-弓卜g,则sin(28+"=(

)

55

A.B.C.D.

9999

【答案】A

【分析】先将2。+^用表示为20+$=5+2(。-与，再利用诱导公式和二倍角公式求解即得.

66626

【详解】因2，+U+2("少，

626

则sin(2^+—)=sin[—+2(0——)]=cos2(^--)=2cos2(^--)—1=--.

626669

故选：A.

易错分析：三角求值时要注意寻找条件角与未知角之间的关系，基本思路是用条件角来表

示未知角，角的变换是求解的关键.

jr477r

9.(24-25jWj二上,河北廊坊,期末)已知cos(a)—cosa=—,则sin(2]H----)=()

356

A.LB.-工C,左D.-左

25252525

【答案】A

【分析】利用和差的余弦公式求得cos(a+g),再利用诱导公式及二倍角公式可求解.

・、4bn、/»口=vr71..71471.714./7C.4

【年解】【衣题思，cosdzcos—+smasin——cosa=—,o即ncosacos——sin«sin—=——,则cos(a+—)=——,

33533535

77T27rjrjrjr7

所以sin(2aH----)=sin[(2aH------)+—]=cos2(a+—)=2cos2(cr+—)-1=—.

故选：A

10.(23-24高二下•河南洛阳•期末)已知sin"^|J=q,则cos[a-1^]=()

A.-B.--C.虫D.-6

3333

【答案】C

【分析】利用诱导公式即可求得答案.

【详解】由sin[a+^1|=。,

故选：C.

11.（2024•黑龙江大庆•模拟预测）已知sin（6+二]=：贝ljsinf20-y

551£

A.B.C.D.

9999

【答案】C

【分析】由sin12e-=+，再结合诱导公式和余弦倍角公式即可求解.

【详解】5《。中卜皿]。+总司一sin,2,+.]

=一8$]2,+a)=2sin2,+a)—l=2x[g]-1=-^,

故选：C

12.（2025高三・全国・专题练习）函数y=sin[2x-£j的单调递增区间是（）

A.2ht--,2kn+—(kGZ)B.kn--,kii+—(攵£Z)

2263J

C.A：7i+—,fai+-(fceZ)D.-2kn--,一2%兀+—(左£Z)

36JV763v7

【答案】B

【分析】根据整体代换法求单调区间即可求解.

【详解】因为>=sin(2x-巴],^2kn--<2x-—<2kji+—,keZ,

\6J262

7171

角军彳导AnWxWkuH—,kGZ,

63

所以函数的单调递增区间为:|-/版弋（k?Z）.

故选：B

易错分析：三角函数单调性问题的求解思路是利用复合函数单调性规律求解，过程中要注

意系数的符号对单调性的影响.

13.（2024・全国•模拟预测）函数小）=-3“2尤+0的单调递增区间为（）

兀兀兀27r

A.ku,kuH—,kGZB.左兀H—,kuH-----,kGZ

3663

c.ku——，女£ZD.kn--,kn+—，女£Z

12121212

【答案】D

【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间.

()弓

【详解】/X=-3cos[2x+,令2fal<2x+—<2配+兀,左£Z,

6

7兀//75兀

rCJl-----<X<rCJl----,keZ,

1212

jr5冗

故函数“X）的单调递增区间为kn--,kn+—,keZ.

故选：D.

兀在［。，向上为单调递增函数，则。的取值范围为

14.（2024・河北唐山.二模）函数〃x)=sin(2x-0)||?|

-2

()

兀兀n兀八兀

A.B.兀0C.D.0,-

2，-66526

【答案】C

2兀71

--------(D<—

32

【分析】由x的取值范围,求出2X-9,结合正弦函数的单调性得到，解得即可.

2

2兀

【详解】由可得2尤一夕©I一一，

3

又归区贝吟v?一夕且〃）在

3,x上为单调递增函数,

203O\

2兀71

--------(P<—

32

所以解得六Y，

7162

-(D>-----

2

7171

即。的取值范围为

6,2

故选：C

71

15.（24-25高三上•天津武清•阶段练习）将函数〃x）=sin|妙+三3＞。）的图象向右平移5个单位长度，再将

36

所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的〜纵坐标不变，得到函数g（x）的图象.若g（x）在［。，［上单调递

增，则0的取值范围为（）

A.B.°'1C.°4D.°4

【答案】B

【分析】根据平移规则可得g(x)的解析式，再由正弦函数的单调性得出对应不等式可得结果.

C071兀

【详解】由题可得g(x)=sin2ox-——+—

63

〃>兀兀〃>兀兀

因为0>0,所以当0<x<?时，2s-竿+——+—,——+—

3o36323

L.兀①兀71①R71

且一£------F—,------F—

36323

〃7兀+兀〉71

因为g(x)在(0,鼻单调递增，所以<~6~3~~2

(DTI兀，兀

-----1——<—

〔2----32

又外〉0,解得0<6?<—.

故选：B

16.(24-25高三上•江苏南通阶段练习)将函数/(%)=85(2%+夕)(夕>0)图象向右平移9个单位得到奇函数,

6

则。的最小值为()

n5兀2兀c兀

A.B.—C.—D.-

6633

【答案】B

57r

【详解】先根据平移得出g(x)=cos12%+0-/,再应用函数是奇函数得出。=?+桁(左eZ)进而求出最

O

小值即可.

71

+夕

【分析】根据题意可得：g(x)=cos2尤=cosl2x+^?—

g(x)为奇函数,

:.(p——=—+kn[k^Z^-+hi^keZ)

326

八7n5兀

夕>0,.»=0,0mm=彳

故选：B

易错分析：三角变换问题要注意系数对平移单位的影响，以及横坐标、纵坐标平移规律的

差异.

17.(24-25高三上•广西・期末)将函数/(x)=sin|2s+S(0>O)的图象向右平移已71个单位长度得到函数gQ)

6

的图象，若曲线y=g。）关于直线尤=占对称，则g（x）的最小正周期的最大值为（）

【答案】A

【分析】首先根据函数的性质求。的集合，再根据三角函数的最小正周期公式，即可求解.

7171

【详解】函数/（X）的图象向右平移巳个单位长度得到函数g（元）=sin2,X--+—

6

函数的图象关于直线x书对称,

兀717171

所以2oxH—=—Fkji,左£Z,co——2—6k,keZ,0

12~662

所以。的最小值是4,则g（x）的最小正周期的最大值为葛=：

故选：A

jr

18.（24-25高三上・甘肃临夏•期末）将函数g（x）=2sin2x的图象向左平移当个单位长度，再向下平移1个

单位长度得到函数了（天）的图象，则函数/（彳）的（）

A.最大值为3B.最小值为-1C.一个对称中心为[yl.ojD.一条对称轴为尤=《

【答案】D

【分析】利用平移变换求得了（无）的解析式，进而求得最值判断AB；求得对称中心与对称轴方程判断CD.

【详解】函数g（x）=2sin2尤的图象向左平移二个单位长度,

可得g（x+^|）=2sin2]x+^1J=2sin12x+eJ的图象，

又再向下平移1个单位长度得到函数了。）的图象，所以/（x）=2sin12x+巳J-1,

当sin（2x+胃=1时，〃力皿=1,故A错误；

当$出（2天+2]=-1时，"411n=-3,故B错误；

由2尤+巴=ht,keZ,得尤=---+—，^eZ,所以函数/（x）的[-会+段,-1],左eZ,

6122

当k=l时，f（x）的一个对称中心为6,-1,故C错误;

由小会会析代学得x程建Z,所以小）的对称轴为

当当人=0时，“X）的一条对称轴为天=B，故D正确.

O

故选：D.

19.(24-25高一上•浙江宁波・期末)将函数y=/(x)图象向左平移点个单位长度，再将横坐标伸长到原来

的2倍，纵坐标不变，得到函数好侬口》一"的图象，则〃x)=()

【答案】B

【分析】结合三角函数伸缩变换与平移变换的性质往回推导即可得.

【详解】由题意可得，将函数y=cos[2x-[]横坐标变为到原来的g倍，纵坐标不变，

可得y=cos(4x-j],再将其向右平移三个单位长度，

I6J24

=COS^4%-,BP/(-^)=COS^4x-y^.

故选：B.

4

20.(2024•河北石家庄•模拟预测)已知$皿。+?)=28$(1-6)，tana+tan^=-,则tana-tan£=()

A.3B.—3C.-D.—

33

【答案】D

【分析】利用两角和差公式可得tana+tan尸=2+2tanctan尸，结合题意即可得结果.

4

【详解】因为tana+tan/=§,贝iJcosiwO,cos/7^0,

又因为sin(a+月)=2cos(。-/?),

贝ijsinacos/3+coscrsin/?=2cosacos/?+2sinasin/?①，

等式①的两边同时除以cosacos/

4i

可得tana+tan4=2+2tanatan分=§,解得tanitan/?=—.

故选：D.

易错分析：三角求值时要注意结合条件式的结构特点联想相关的公式进行变形.

2tanQC|

21.(24-25高三上•山东淄博・期末)己知sin(a-?)=-],嬴彳=一§，则sin(a+£)的值为()

【答案】C

【分析】根据题意切化弦可得cosasin，=-3sinacos/,再结合两角和差公式运算求解.

■、，八■一，tanasinacosB1八八

【详解】因为----=------=可得cosasm，=-3smacos/?,

tanpcosasmp3

21

又因为sin一月)=sinacos尸-cosasin尸=4sinacos尸=——,可得sinacos-=——,

36

所以sin(a+=sinacos/3+cosasinf3=—2sincrcos/}=；.

故选：C.

22.(24-25高三上•安徽阜阳•期末)已知cos(a-/)=l,tanatan/7=2,则cos(a+/?)=()

11

A.——B.——c"D

23-1

【答案】B

21

【分析】根据余弦的和角公式以及弦切互化，即可求解sinasin夕=]Cosacos/?=§,即可由余弦的差角公

式求解.

cosacos夕+sinasin0=1,

【详解】由85（=-/?）=1/011必0114=2可得＜csinccsinf3_,

tanatan,二---------二2

cosacos尸

21

解得sinasinJ3=—,cosacos/?=—,

故cos(a+,)=cos。cos/一sin。sin'=-g,

故选：B

23.(24-25高三上•黑龙江•期末)已知cosasin^=Ltana=3tan/7,则sin(a—R)=()

6

A.--B.--C.-D.-

9393

【答案】D

【分析】利用切化弦的思想和两角和差公式即可求解

【详解】因为tanc=3tan/7,

”,sina3sinB口.八「.八

所以----=-----,即sinacosp-3cosasm夕，

cosacosp

又cosasin/?=一,

6

所以sin(a-分)=2cosasiny0=2x'=；.

故选：D.

考点02解三角形

1.在VABC中，已知A=60°，a=2y/3,匕=2,则3=()

A.30°或150°B.60°C.30°D.60°或120°

【答案】C

【分析】运用正弦定理计算即可.

【详解】因为在VABC中，A=60°，a=26b=2,

abZ?sinA2xsin601

由正弦定理,得sin2=

sinAsinBa273-2

解得8=30°或8=150°,

又因为可得A>3,所以3=150°不符合题意，舍去.

可得3=30°,故A,B,D错误.

故选：C.

易错分析：利用正弦定理解三角形时要注意判断解的个数，判断依据是结合正弦值、大边

对大角.

2.在VABC中，三个角A民C所对的边分别是〃也c,若人=30。,々=1,。=2,则。=（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】C

【分析［根据条件，利用正弦定理，得至UsinC=l,即可求解.

ac12

【详解】因为A=3（T,a=Lc=2,由正弦定理得到,即

sinAsinCsin30°sinC

得至弥［!1。=2乂511130°=1,又。£（0,兀），所以C=T，

故选：C.

3.（24-25高三上•山东济宁•阶段练习）在三角形ABC中，a=2,A=—,b=2垂t,则/C=()

6

71兀兀

A.—cDTA.二或-P不-

6-M32

【答案】C

【分析】由正弦定理求得3,即可求解.

,2_

【详解】由一y二—，可得：了二协,

sinAsinB—

2

所以sinB，又b>a,

2

所以8=弓或名，

33

TT7T

结合内角和定理,所以"二不或万,

故选：c

4.（24-25高三上•北京房山•期中）在VABC中，a=2,A=y,b=2拒,则/C=（）

6

71

A.—c-MD.M

6

【答案】C

【分析】利用正弦定理先求8,再根据三角形内角和计算即可.

b22A/3

【详解】利用正弦定理可知赤万=嬴力^]sinB，解之得sin3=心,

2

2

因为340,兀），所以2=1,则C=n—A-3=5,

或3=—,则。=兀一A-3=工.

36

根据大边对大角，以上两种情况都符合题意.

故选：C

5.（24-25高三上•江苏淮安•期中）在外接圆半径为4的VABC中，ZA3C=30。，若符合上述条件的三角形

有两个，则边A3的长可能为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根据给定条件，由三角形有两解的条件，结合正弦定理求出边的范围.

【详解】在VABC中，ZABC=3Q°,由VABC有两解，得30<C<150,且Cw90,

则g<sinC<l,由VABC外接圆半径为4及正弦定理，得AB=8sinCe（4,8）,

所以边A3的长可能为5.

故选：D

TT

6.在VABC中，B=~,a=x,b=l,若满足条件的VABC有2个，则了的取值范围是（）

A.（0,1]｛码B.（0,1）｛码C.（0,72）D.（1,V2）

【答案】D

【分析】根据正弦定理，结合三角形解的个数，即可列式求解.

【详解】根据正弦定理，就=焉则sm八卡一条,

V2

0<—x<1左力/日,—

若满足条件的VABC有两个，贝叫2，解得lvxv夜，

X>1

所以x的取值范围是（1，行）.

故选：D.

7.（24-25高三上•河北张家口•阶段练习）已知VABC是锐角三角形，角AB,C所对的边分别为.Bc,S为

VABC的面积，4S=a2+b2-c2,则，的取值范围为（）

b

【答案】B

【分析】先根据三角形的面积公式及余弦定理求出角C,再利用正弦定理化边为角，结合三角形内角和定

理及三角函数的性质即可得解.

【详解】由4s=/+廿—

『,R2_2

2absinC=a2+b2—c2所以sinC=----------=cosC,

2ab

所以tanC=l,又c（。，]），所以C=

由正弦定理得jsinAsi"1一可fcosB+fsinJg】Q

bsinBsinBsinB2tanB2

所以tan8w（l,+8）,所以

所以十

故选：B.

易错分析：三角形中的三角问题要注意挖掘三角形中的隐含条件.

8.（2024高三・全国•专题练习）在钝角三角形ABC中，角的对边分别为a,b,c,bsinC+acosCb,

则4的取值范围为（）

C

【答案】B

【分析】根据正弦定理边角互化，结合和差角公式可得sinS=cosA>0,进而讨论8为锐角还是钝角，得

7T

B=-+A,即可结合三角恒等变换，和三角函数的性质求解.

【详解】由Z?sinC+〃cosC=b及正弦定理，得sinBsinC+sinAcosC=siaB.

又-sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,/.sinBsinC=cosAsinC.

0<C<7i,sinCw0,贝UsinB=cosA.

ABC为钝角三角形，且sinB=cosA〉0、，角A为锐角.

又cosA=sin[^■—，z.sinB=sin^-AI-

若B为锐角，则8弋-A,.•.A+JB=:不符合题意.

若B为钝角，则B+g-A=%,.-.B=J+A,

22

.­.C=7r-(A+B)=-^-2Ae^O,^,Ae

sinf—+A|-sinA

b-a_sinB-sinA_12)cosA-sinA

csinC.(7i△八cos2A

1_1

cosA+sinA0sin]A+j-

由Ae„,得A+3

<sin^A+^<1,1<V2sin^A+-^J<&,

^2b-a1

/.——<------<I.

2c

故选:B.

9.（24-25高三上•浙江•期中）已知锐角VA8C,角A氏。的对边分别〃也c,且就0$。+8054=2反0$3,则

—的取值范围是（）

a

C.（73,273）D,孚2否

【答案】A

【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得cosB的值，进而求得8的大小.再利用正弦定理和两角差的

正弦公式，求得£的表达式，进而求得色的取值范围.

aa

【详解】由题设知，acosC+ccosA=2bcosB,

由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,

即sin（A+C）=2sinBcosB=>sinB=2sinBcosB,

1jr27r

又OC,所以sinbwO,所以cosB=],得5=所以A+C=3~,

.『2兀八/i

-sin------A—AJ-cinA

又c_sinj（323八+2$1吁

asinAsinAsinA

即£=".，+工，又锐角VA5C,所以所以tanA>且，

a2tanA2623

所以0<tanA<豆，即,<在.——+-<2,

22tanA2

所以:的取值范围是g，2）.

故选：A

10.（24-25高三上•江西新余•阶段练习）记ABC的内角AB,C的对边分别为a,b，c,已知a=6,A=1,

则62+2,2的最大值为（）

A.9B.6+2/C.9+粗D.12

【答案】B

【分析】由已知可得62+2Y=3（吃2/）,利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换，根据正弦函数的性

a

质，可得答案.

【详解】由a=Q,A=f,则尸+2°2=迎二生2,

3a

根据正弦定理，可得12==的耐2

b+2c3加"2siirC)B+2sinC)

sinA

“1—cos25_l-cos2Cx,cc—

=4(------------F2*-----------)=6—2cos2B—4cos2C,

2兀

在VABC中，C=TI-A-B,则。=9—5,

b1+2c2=6-2cos2B—4cos(^—2B)=6—2cos2B+2cosIB+2^3