2025高考数学复习易错题专练：立体几何（试卷+答案解析）

专题05立体几何

考点01空间几何体

1.（24-25高三上•河北唐山・期末）如图，在三棱柱ABC-4再£中，CG_L平面ABC-AB=BC=CA=2,

。£=0,则三棱柱48<^-4片6的体积为（）

A.与B.V2C.2及D.3拒

【答案】B

【分析】根据条件求出AA5G的面积，把求三棱锥G-ABC的体积转化成求三棱锥C-ABC的体积，再根

据咚棱=3咤棱锥G-ABC的关系进行求解.

【详解】•・•平面ABG，

CCT【ACI，CC\-LBQ,

,/AB=BC=CA=2,CQ=V2,

:.ACi=BCi=y[^i=拒,

「.△AGB是等腰直角三角形，

■•■^,=^^.5^=1x72x72=1,

一吟棱锥G—ABC=吟棱锥C—ABC1=|xCCrS^,=1x72x1=^,

所以咚棱ttABC-4BIG=3咚棱雒q-ABC=3X—=3，

故选：B.

易错分析：求几何体的体积时，若几何体是规则图形可直接利用公式求解，若几何体是不

规则图形，可考虑用“割补法”求解.

2.（24-25高三上・北京顺义・期末）某同学在劳动实践课中，用四块板材制作了一个簸箕（如图1）,其底面

挡板是等腰梯形，后侧挡板是矩形，左右两侧挡板为全等的直角三角形，后侧挡板与底面挡板垂直.簸箕

的造型可视为一个多面体（如图2）.若AB=24cm,CD=30cm,AE=15cm,AB与CO之间的距离为28cm,

则该多面体的体积是（）

图1

A.5040cm3B.5250cm3

C.5460cm3D.5670cm3

【答案】C

【分析】将几何体的体积转化为四棱锥和三棱锥的体积后可得正确的选项.

【详解】

因为四边形ABEE为矩形，故而平面平面A3C。,

平面ABFEfl平面=AEu平面ABFE,

故平面ABCD,

在平面ABC。中过A作AS_LOC,垂足为S,则AS_LAB,

同理可证AS1平面国，

11,

而AS=28,=jxl5x—x28x30=2100cm,

13

3

VCr-A,tRfrFCFj=-3x28x24xl5=3360cm,

故几何体的体积为5460cm3,

故选：C.

3.（24-25高三上・江苏•阶段练习）若在长方体A3CZ）-AB|G2中，48=3,30=1,4^=4.则四面体ABB©

与四面体AGBD公共部分的体积为（）

A.2B.3C.2D,1

13393

【答案】C

【分析】先确定两个四面体的公共部分，再利用锥体的体积公式求体积.

【详解】如图:

取A片与A出的交点为E,取3。中点G,连接AG,交AG于点月,

则三棱锥即为四面体与四面体AGBD的公共部分.

因为SABr=~xABxBC.=-X3XV1+16=^^.

△ADCJ2J2<2

AFAG11__723、所,—

乂FC[=4cI=/'所以S«ABF=1S3；G，所以S«BFG=]SAABG=]Xp—=JF7.

过耳作用于点M,

因为AB,平面BCG4，耳Mu平面BCCRi，所以42,用M.

因为AB,BCu平面ABC-所以与ML平面ABC1.

1x444、百

所以与”为耳到平面ABG的距离，其值为%^=去=普

拒17

点E为A耳的中点，所以点E到平面ABG的距离为：lxWn=2^7

21717

所以/BFC=-X>/F7X^1=-.

E-BFG3173

故选：C

【点睛】方法点睛：几何图形的公共部分和体积计算：通过分析两个几何体公共部分的几何位置，逐步构

造关键点，利用三角形面积和锥体体积公式，最终得出公共部分的体积，此方法清晰有效，能充分展示逻

辑推理与代数运算等解题技巧.

4.（24-25高二上・贵州遵义・阶段练习）如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中

AB=M=4,4。=2,则该几何体的体积为（）

A.竺叵B.竺近C.26V15D.26A/14

33

【答案】A

【分析】由正四棱台的性质，可求得正四棱台的高，从而可得正四棱台的体积.补全图中几何体可知截去的

三棱锥的底面为三角形ABC一高为正四棱台的高4后，从而可得截去的三棱锥的体积.两者做差即可得到

题目中几何体的体积.

222

MO=AE=ylAA^-AE=y/AAl-（AO-AiM）416-仅应一夜了=旧，

则该正四棱台的体积为V=：（S上+S下+Js上5下）/z=|（4+16+V4X16）X=空普.

又由图可知截去三棱锥底面积为S"qc,=；x2x2=2,

所以三棱锥体积为Asc4E=Lx2xJiZ=2叵，

即所求几何体体积为型回-叩=跑叵.

333

故选：A

5.（24-25高三上•吉林长春・期末）若圆台上、下底的面积分别为兀，4K,高为2,则圆台的侧面积为（）

A.—7TB.—C.3氐D.士反

332

【答案】C

【分析】利用给定条件结合圆台侧面积公式求解即可.

【详解】因为圆台上、下底的面积分别为兀，471,设上底半径为外，下底半径为小

所以跖2=兀，兀4=4兀，解得a=1,弓=2（负根舍去）,

设圆台母线为/,由勾股定理得、亚二=石，且设圆台侧面积为S,

故5=扃（1+2）=3后，故C正确.

故选：C

易错分析：空间几何体的面积问题要注意区分表面积和侧面积的区别.

6.（24-25高三上•重庆・期末）在正四棱台ABCD-ABCR中，AB=2,AB=4,且正四棱台存在内切球，

则此正四棱台外接球的表面积为（）

.65049C657130门。

A.—7iB.—71C.-----------JiD.8兀

2224

【答案】A

【分析】由内切球切点的截面性质，确定内切圆的圆心与半径，从而结合勾股定理得四棱台的高度，再由

外接球几何性质建立关系得外接球的半径，从而得所求.

【详解】因为正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形〃LN的内切圆，圆心为E,

设上下底面的中心分别为。.

过后作历,幅于尸，连接EN,EL,

由图可知QE=EF=EO2,

则;VL=Nr+FL=Q1N+O2L=g(/N+JL)=gx(2+4)=3,

2

过N作NKLJL于K,O,O2=NK=^Nl3-Kl3=J3-f=2五,

即四棱台的高为2夜，

设外接球球心为0,设外接球的半径为R,

则QU=。。+°°2=Ja。?-A。；+飞OA2-AO；

=+JR2_RG2=2近，

解得R,26=5¥，

O

则外接球表面积为dnF=等.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：关于正四棱台的内切球问题，关键是要通过截面法确定内切圆的圆心与半径，从而

转换为几何体的内切球，由几何性质确定正四棱台的高度，从而再根据外接球的性质求解外接球半径，即

可得所求。

7.（2025高三•全国•专题练习）如图，圆台&。2内有一个表面积为1的球0,该球与圆台的侧面和底面均相

切，则该圆台的表面积的可能取值为（）

【答案】A

【分析】设圆台的下底面半径为（，上底面半径为马，球。的半径为R,根据几何体的特征可得&=

33

根据基本不等式可得5,＞|S2=从而可得正确的选项.

【详解】不妨设圆台的下底面半径为上底面半径为球。的半径为R,

如图，作出圆台的轴截面ABC。，过点。作小，BC于点下，

由题意知圆。与梯形ABCD的四条边均相切，则OC=仪。+。夕=&+々，

AO2D

OiF

又DC=yjDF2+CF2=，4玄+(a-々J

22

故梆+(4_j=n+r2,化简可得R=rtr2,

设圆台与球的表面积分别为，，邑,

H_兀厅+碎+亿+2）（4+幻］2±豆土返＞勤2=」，（4＞小故取不到等号）

贝」--=------------5---------------------

S24成22弓&2弓&2

3337t437r3兀

故GJ1由于5,P产不大于万，/屋故圆台的表面积的可能取值为引

故选：A.

【点睛】思路点睛：解决几何体与球相切问题的基本逻辑是找空间关系或找一个特殊截面，将问题转化为

平面问题进行解决.求内切球半径的两种方法：①等体积法，先将几何体的内切球球心与几何体各个顶点

用线段连接，运用等体积法就有丫=：5/+：昆厂+…（H，星,…为几何体各表面的面积），于是就有

其中「为几何体内切球的半径，V为几何体的体积，S为几何体的表面积；②平面化，通过找特殊截面（一

般为球的截面刚好与几何体截面相切的截面），将立体几何问题转化为平面问题，从而通过求得某几何图形

的内切圆半径，求出原问题中内切球的半径.

8.（24-25高三上•广东茂名•阶段练习）已知圆台。。°的上、下底面圆的半径分别为1和3,母线长为6,且

该圆台上、下底面圆周上的点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.24兀B.36兀C.48兀D.547r

【答案】D

【分析】求出圆台的高，球心在上、下底圆心的连线上，利用勾股定理建立等量关系，求出球心位置，即

可得到球的半径，从而解出球的表面积.

【详解】取圆台。。2的一条母线筋，连接AQ、B02,

过点A在平面AB。?。内作垂足为点E,如图：

匕

；

匕

由题意可知，四边形为直角梯形，且Ag=l,BO2=3,AB=6,

因为AO1必。2，AE1BO2>°1°2BO2-

所以四边形AEO?。1为矩形，所以。2石=401=1,则BE=BQ-aE=3-1=2,

所以A£=/4k_旅7©—展=4日

设OC\=x,贝1]0。2=4忘-x,

因为圆台的上、下底面圆周上的点都在同一个球面上，

所以应一无『="左,解得x=平，

则球的半径为r=.:史,

2

7

2

故该球的表面积为5=4无/=4TTX=54兀.

故选：D.

易错分析：空间几何体的外接球问题要注意先确定球心位置，然后根据截面圆半径、球半

径'球心距组成的直角三角形求解.

9.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）已知三棱锥S-ABC的侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，

其中&4=2,AB=l,AC=2,/JBAC=60。，则球的表面积为（）

A."NB.16JIC.3兀D.4兀

3

【答案】A

【分析】由三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，结合余弦定理可得的长，从而得

于是可得VA2C截球。所得的圆。।的半径「，由此能求出球。的半径，从而能求出球。的表面积.

【详解】

如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，

AB=l,AC=2,ABAC=60",

由余弦定理得BC-VAC2+AB2-2AC-AB-cos60°=^4+l-2x2xlx|=73,

:.AB2+BC2=AC2,则AB_L3C,

:.AABC截球0所得的圆。i的圆心。i为AC的中点，半径r=|AC=l,

由于三棱锥S-43c的侧棱长相等，所以Q,O,S共线，且SOJAC,

.'.SQ=7&42-AQ2=74^1=73.

设球的半径为R,由尺2=依-氏）2+/得：R=当.

：.球。的表面积S=4兀&=—.

3

故选：A.

10.(24-25高三上•湖南株洲・期末)已知长方体的长，宽，高分别为仇3,连接其各面的中心，得到一个

八面体.已知该八面体的体积为8,则该长方体的表面积的最小值为.

【答案】80

【分析】由已知条件作出示意图，可以把八面体分成两个同底等高的四棱锥，并且得出四棱锥的底面积和

高与长方体的关系，，从而可求得必=16,再由长方体表面积公式，利用基本不等式，即可求得长方体表面

积的最小值.

【详解】

如上图所示，

八面体分成两个同底等高的四棱锥-。2。3。4。5和四棱锥Q-。2。3。4。5，

所以咚=*《8=4，

因为四棱锥。「。2。3。4。5的底面面积是长方体底面面积的一半，高是长方体高的一半，

113

所以%一。必。"。5=§'(5浦"5=4,化简得：必=16,

所以长方体的表面积为：

S=2(ab+3b+3a)=2x[16+3(。+〃)]=32+6(a+))>32+6x2y/ab=32+12x^/16=80

当且仅当a=〃=4时，取等号，所以长方体的表面积的最小值为80.

故答案为：80.

11.(24-25高三上•山东淄博・期末)已知三棱锥S-45C的底面A8C是边长为2的正三角形，点A在侧面

S8C上的射影H是LSBC的垂心,三棱锥S-ABC的体积为石,则三棱锥S-ABC的外接球半径等于.

【答案】弓31

lo

【分析】做辅助线，根据题意结合垂直关系可证3C_LAG,同理可得AC，8G,4?，CG,可知点G为VA2C

的垂心，即可知点G为VABC的中心，根据体积可得PG=3,结合外接球的性质列式求解即可.

【详解】延长S”交3C于点。，连接AD,

s

因为点"是ASBC的垂心，则SDL3C,

又因为平面SBC,BCu平面SBC,则AH_LBC,

且=S£»,AHu平面&W,可得平面&4D,

由SA,ADu平面&4D,可得BC_LSA,BCLAD,

且底面ABC是边长为2的正三角形，则点。为2C的中点，

过点S作SGL平面ABC,垂足为点G,

且3Cu平面A3C,可得SGL3C,

1.ASISG=S,AS,SGu平面&4G,可得BC_L平面&4G,

由AGu平面5AG,可得3C_LAG,

同理可得AC，BG,AB，CG,可知点G为VA3C的垂心，

因为VABC为等边三角形，可知点G为VABC的中心，

则GeAD,且AG=2AO=M,

33

因为三棱锥S-ABC的体积为;SGxgx2x^=道，可得SG=3,

可知三棱锥S-ABC的外接球的球心OeSG,设三棱锥S-ABC的外接球的半径为R,

431

则汗=彳+（3-四一9，解得尺=2，

3lo

所以外接球的半径为弓31.

18

31

故答案为：—.

1O

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把

空间问题转化为平面问题求解；

2.正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

3.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

4.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置,

弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

考点02点线面的位置关系

1.（24-25高三上•天津•阶段练习）已知机，/是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则的一

个充分条件是（）

A.mil,mu0,I工aB.m工I,ac/3=l,mua

C.m//I,mA.a,IL/3D.I-La,mlH,mlIP

【答案】D

【分析】对A,a与6相交或平行；对B,a与夕可能相交但不垂直；对C,可推出八对D,可得,

结合机///，得到答案.

【详解】对于A,由加，相u〃，/1«,则a与£相交或平行，故A错误；

对于B,由〃z_L/,a[\P=l,mua,则a与夕可能相交但不垂直，故B错误；

对于C,由加〃/,，篦_1_/，1^-/3,则tz//Q,故C错误；

对于D,由/_!_«r,mlH,则又机//方，则al•分，故D正确.

故选：D.

易错分析：利用空间中的平行、垂直问题时，一定要注意判定定理成立的前提条件.

2.（2025•云南昆明•模拟预测）设机，”是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若ml/a,mlI/3,则a〃9B.若mlla,a11（3班ml10

C.若根_L〃,77z_La；,"_L6，则C-L尸D.若a，/3,m/la,nl1B,则〃2_1_力

【答案】C

【分析】利用空间中线线，面面的位置关系判断即可.

【详解】对于选项A：若根///根//月，当根，儿都平行于％方的交线时.满足条件，此时两个平面名尸相交.故

A错误.

对于选项B:若加///夕〃/?,则有可能77ZU/,故B错误.

对于选项C：若加_1_“,根_1_々，则〃//a或"ua,又因为〃_Lp,如果〃ua根据面面垂直的判定定理可得

a，/3；如果〃〃a,假设过〃作平面/与a相交于直线/,由〃〃a,可得〃〃/,因为〃，尸，所以/，夕，

而/ua,根据面面垂直判定定理即可得到故C正确

对于选项D：地aLB，m〃a,nHB，则，"，〃可能平行或异面.故D错误.

故选：c

易错分析：平行关系的辨析问题，容易忽略直线在平面内这一特殊位置而致错.

3.（24-25高三上•天津河北•期末）已知a,£是两个平面，/,加是两条不同的直线，则下列说法正确的是

（）

A.若m"a,ILa,则B.若m〃a,aY./3,则〃

C.若7〃_La,IVm,则/〃aD.若a〃尸，mLa,则"2_L/?

【答案】D

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一判断四个选项得答案.

【详解】对选项A,若〃z//a,ILa,则〃z_L/,故A错误；

对选项B,若加〃ar,a，/3,则加//£,wiua,或机与a相交，故B错误；

对于C,若机_1_夕，/_!_〃?，贝！J///a或/ua,故C错误；

对于D,若a"（5,mLa,则,

即一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，D正确.

故选：D

4.（24-25高三上•天津北辰•期末）已知%月是空间中的两个不同的平面，I,m,〃是三条不同的直线.下列

命题正确的是（）

A.若“zua,”ua,/〃，贝！］/_LaB.若mua,nuB，mLn,则a_L/7

C.若1//m,mua,贝！|///aD.若/〃a,则

【答案】D

【分析】对于A：根据线面垂直的判定定理分析判断；对于B：根据面面垂直的判定定理分析判断；对于C：

根据线面平面的判定定理分析判断；对于D：根据平行关系可知”例，再结合线面垂直的性质分析判断.

【详解】对于选项A：根据线面垂直的判定定理可知：需保证加，〃相交，故A错误；

对于选项B：根据面面垂直的判定定理可知：需推出线面垂直，现有条件不能得出，故B错误；

对于选项C：根据线面平面的判定定理可知：需保证/aa,故C错误；

对于选项D：若I/,则///”,

且/_La,所以〃_l_a,故D正确；

故选：D.

5.（2024・山东•模拟预测）设a是空间中的一个平面，/，九〃是两两不重合的三条直线，则下列命题中，真

命题的是（）

A.若mua,nua,l,贝

B.若/_La,/则m//tz

C.若///私7"_La,"_Lc,贝

D.若11/m,m//n,Ha,贝iJ〃_La

【答案】D

【分析】利用线面垂直判定定理可判断A；结合线面垂直与线线垂直的性质分析可判断B；由线面垂直性质

可判断C、D.

【详解】对于A,由l_Lm,l^n,只有直线机与〃相交时，可得/_La,故A错误；

对于B,由/_La,/_L7〃，知加〃（Z或〃7U6Z,故B错误；

对于C由〃/,则〃/”,故C错误；

对于D,由/〃％,/_La,可得M7_L（z,又因为加〃”，所以〃_L<z,故D正确.

故选：D.

6.（24-25高三上•河北邢台•阶段练习）已知。，£是两个互相平行的平面，I,加，〃是不重合的三条直线，

且/_1_a，机Utz,〃u£,则（）

A.ILnB.m±nC.IlinD.mJIn

【答案】A

【分析】根据空间线面位置关系的有关判定、性质定理，可得正确结论.

【详解】因为all。，11a,所以

又mua,nu0,所以/_L〃z,ILn,

机，〃平行或异面.

故选：A

7.（24-25高三上•天津和平•期末）已知加，〃为两条不同的直线，a,£为两个不同的平面，则下列说法

中正确的是（）

A.若mlla,"ua,则加〃〃B.若mJLa,ml/（3,则a_L/7

C.若加,c,mLn,则〃//aD,若mlla,al!f3,则6

【答案】B

【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.

【详解】对于A：若m//a,wua,则加/〃或m与，异面，故A错误；

对于B：在月内任取一点尸，设点P与直线加确定一个平面/,且6c/=A:,

由加〃刀，由线面平行的性质定理，可得m//k,

因为机_L（z,所以Z_La,因为ku£,所以a_L〃，故B正确;

对于C：若机_L（z且,则〃〃"或〃在a内，故C错误；

对于D：若m//e,alip,则加//尸或加u4,故D错误.

故选：B.

8.（24-25高三上•山东•阶段练习）已知a,分为两个不同的平面，/,加为两条不同的直线，则"」方的一个

充分不必要条件可以是（）

A.优与夕内所有的直线都垂直B.a1/3,ap|尸=/,

C."?与£内无数条直线垂直D./J_a,，用_L（z

【答案】D

【分析】A项由线面垂直定义可知；BC项在长方体中举反例可知；D项由推证可得充分性，必要性显然不

成立.

【详解】A项，由直线与平面垂直的定义可知/与夕内所有的直线都垂直是根，〃的充要条件，选项A错；

B项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件机ua,

如图长方体ABCD-中,

设平面4片CQ1为平面设平面A为平面夕，直线声为机，

则an〃=AA=/，满足a_L/?,«0/?=/,m±l,

但加u〃，不与平面夕垂直，故不能推出机

故条件=根，/”也不是机，尸的充分不必要条件，选项B错；

C项，如图长方体ABCD-4瓦62中,

设平面4月G2为平面B,直线8C为加，

则直线正与平面夕内无数条与BC垂直的直线都垂直，但根//£,不与平面£垂直，

故由〃?与夕内无数条直线垂直不能推出根」耳，所以不是加」方的充分不必要条件，选项C错;

D项，由/_La,I工B,得a〃尸，又因为租」/，所以机_L£；

反之，由加推不出/_La,/±/?,m±a,

所以/_La,/，"，加，£是"尸的一个充分不必要条件，选项D正确.

故选：D.

9.（24-25高三上•河北张家口•期末）已知a是一个平面，。涉是两条不同的直线，ba,p:a±a,q:al.b,

则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由线面垂直的性质定理及空间中直线与平面的位置关系，结合充分条件与必要条件定义判定即可

得.

【详解】若由6u（z,则；_L力；

若:_L力，则。与a可能垂直、可能相交也可能平行，还有可能。u平面a；

故P是4的充分不必要条件.

故选：A.

10.（24-25高三上•天津河西•期末）设“〃是两条不同的直线，a,Q是两个不同的平面，则下列说法中正确

的是（）

A.若加//。,力2//夕，则aup

B.^m±a,m±n,贝！］〃-L（z

C.若（z_L/,加_La,则机.///

D.若相_La,〃z//£,则tz_L/?

【答案】D

【分析】根据各项给定的线面、面面的位置关系，结合平面的的基本性质及空间想象判断正误即可.

【详解】A：若加//%，〃///，则a、夕可能平行或相交，故A错；

B：若m则〃//（/或"ua,故B错；

C：若a_L/?,7〃_Lar,则机//夕或加u，，故C错；

D：若〃?_1_/根根〃夕，则存在直线附u£,使得加//〃，

又加所以“_Le,所以a_L£.故D对.

故选：D

II.（2025・上海•模拟预测）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（）.

A.AB和GA；B.A4和CG；C.和片。；D.4%和A8.

【答案】D

【分析】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断.

【详解】因为ABCD-4与62是正四棱台，所以AB//A再〃G2,故A错误，

侧棱延长交于一点，所以9与CG相交，故B错误，

同理8月与。2也相交，所以四点共面，所以8R与BQ相交，故C错误，

4,与A3是异面直线，故D正确.

故选：D

12.（2025高三•全国・专题练习）在正方体A8C。-中，下列选项错误的是（）

A.A片与2c异面B.BQAAG

C.平面AC。//平面A2GD.42,平面瓦RC

【答案】D

【分析】根据异面直线的性质即可求解A,根据线面垂直的性质可判断B,根据线线平行可证明线面平行判

断D,根据面面平行的判定求解C.

【详解】由于&月〃〃£,而2c与z）G相交，结合正方体的性质易知A片与2c异面，所以A正确；

因为DR，平面A4GA,AGU平面A81GA,所以Z）D,±AG，

又在正方体中易知qR，AG，=

BA，2。u平面片。口，所以4。，平面耳DR,

又BQu平面所以4G_L8Q,所以B正确;

因为AC//AC,ACu平面ACQ,AG/平面4C01，所以AG〃平面AC。],

又BC\〃AD\,ARu平面AC。，BG/平面AC%,所以BC"/平面AC。,

因为G，AG，JBGu平面A出G，

所以平面ACR〃平面A8G，所以C正确；

因为AB//，C,D]Cu平面D[B]C,48仁平面。田。,

所以48〃平面〃80,所以D错误.故选D.

故选：D

考点03空间角

1.（24-25高三上.甘肃白银・期末）若ABC。-A4G2为正方体,则异面直线BQ与CD,所成角的大小为（）

A.-B.-C.-D.-

3428

【答案】A

【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线夹角的定义，可得答案.

【详解】连接A2，AC,如下图：

易知B£〃A〃，所以为异面直线BG与CB所成的角（或其补角）,

7T

易知△AC0为等边三角形，所以NADC=].

故选：A.

易错分析：求异面直线所成角的方法一般有两种：一是几何法，即平移作角、通过解三角

形求解；二是向量法，即通过空间向量进行求解，无论何种方法都要注意异面直线所成角的范

围为（0，^

2.（23-24高三上・江苏南京•期中）已知矩形中，A8=1,8C=鱼,E是边BC的中点.AE和80交于

点/,将AABE沿AE折起，在翻折过程中当与垂直时，异面直线54和CD所成角的余弦值为（）

A.-B.-C.—D.-

64123

【答案】D

【分析】证明三角形相似得到进而证明出线面垂直，面面垂直，作出辅助线，得到或其

补角即为异面直线B'A和C。所成角，结合余弦定理求出答案

【详解】如图1,在矩形ABCD中，AB=1,BC=应,E是边BC的中点,

“BEAB

故BE当故一=——

ABAD

又/BAD=/ABE=90°,i&NABE-.NDAB,所以NBAE=NAD3,

图①图②

如图2,将AABE沿AE折起，点8的对应点为8',在翻折过程中，当A9与垂直时,

因为71£^m，=4的,钻匕平面钻£,所以MD_L平面ABE,

因为MDu平面AECD,所以平面平面AEC。，

因为8加_LAE,u平面AB'E,平面AB'E^平面AECD=AE,

所以B'M_L平面AEC。，

连接3'3，因为AB//C。，

所以NAAB或其补角即为异面直线3'A和CD所成角，

因为工4比8'=工人工8加，所以创/=且，

223

,则BB'=+B'M?=巫,又河=AB=1,

33

2?

故cos/B,AB=AB?+Bd-B®="I->=2,即所求角的余弦值为:，

故选：D.

3.（24-25高三上・吉林・期末）正三棱台ABC-DEF中，AB=2AD=2DE,G,H分别为AB,DE的中点,

则异面直线G〃，5F所成角的余弦值为（）

【答案】C

【分析】先做ET//GH,得出=再得出2尸=6,进而应用空间向量的线性表示及数量积公式

计算，最后应用异面直线所成角的向量法求解.

【详解】

设AB=2AO=2DE=2,过点E做ET//GH,T是G8中点，

因为G,H分别为AB,£>E的中点，所以G"_LAB,所以£T_LM,

因为BT=g,BE=l,所以GH=ET=/^=",

7T

所以NTBE=g,因为正三棱台ABC-£«犷中，三个侧面是全等的等腰梯形，

2兀

所以=BF2=l+l-2xlxlxcosZBEF=3,BF=y/3

所以丽・乔=-丽•丽=-lxlxcos/BE/=L,BEBG=lxlxcosZGB£=-,

22

EFBG=-BCBG=lxlxcosZABC=-

22

又因为丽=回而_钎=/苑，BF=BE+EF，

所以丽.而=（而+丽）・1=BE2--BGBE+BEEF--BGEF=l--+---=l

222424

设异面直线G/Z,即所成角为0

\GH-BF\_1_2

所以cos。=

2

故选：C.

4.（2024・四川绵阳•一模）三棱柱A5C-4印7底面边长和侧棱长都相等.N&VQNC4A=60。，则异面

直线A4与5G所成角的余弦值为（）

A.且B.1C.逅D.逅

2236

【答案】D

【分析】由题意设通=7市"=瓦相"=己同=W=同=1，a,b=b,5^S,a^60°,ABl^a+c,BC[=-a+b+c,

由数量积的运算律、模的运算公式以及向量夹角的余弦的关系即可运算求解.

【详解】

设AB=a,AC=瓦=|&|=|c|=1,

由题意扇B=b,c=c,a=60°,ABX=万+税BQ=-d+b+c,

|=\Ja2+c2+2a-c=V1+1+2-1-1-cos60°=^3,

|5q|=y]a2+b2+c2-2a-b-2a-c+2b^c=6，

AB]•BC]=(1+/)•(—u+/7+])=/?•万+/?•}+/—万2=—+—+1—1=1,

设异面直线阴与BCX所成角为凡则cose[cos例,时卜Q尸=乎.

故选：D.

5.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）在三棱锥尸-ABC中，平面平面ABCAPAB是边长为2道的

等边三角形，VABC是直角三角形，且AC=3C,则E4与BC所成角的余弦值为（）

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得R1与所成角的余弦值.

【详解】设。是AB的中点，连接OP,。。，则OPLAB,OP=#@2一肉

由于平面上钻，平面ABC且交线为AB,OPu平面上4B,

所以。尸，平面ABC,由于OCu平面ABC,所以OPLOC,

由于VABC是直角三角形，且AC=3C,

所以OC_LAB,且OC=A^,

由此以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

*0,0,3）,A（后0,0）,网一后0,0）,C（0,e0）,

PA=（V3,0,-3）,BC=（A^,73,0）,

PABC叵

则PA与8c所成角的余弦值为

|PA|-|BC|2岛通

故选：A

6.（24-25高三上•四川宜宾•阶段练习）在平行六面体ABC。-A耳G3中，

7T

ZDAB=ZA,AB=ZA,AD=-,AAi=3,AB=AD=2,则&G与平面ABCD所成角的正弦值为（）

AV6rV22rV22NA/6

11112233

【答案】B

__.null___,

【分析】证明4。是平面A5CD的法向量后，可得直线AG与平面ABCD所成角的正弦值即为AG与4。所

成角的余弦值，借助空间向量夹角公式计算即可得.

【详解】

连接ACBD,ACc9=O,。为BD的中点,

AB-AD=2x2xcos—=2x2x—=2,

32

AB•AA^=2x3xcos(=2x3x：=3,

AD•A4j=2x3xcos[=2x3xg=3,

AQ=AC-^-CQ=AC-i-A^=AB^AD+A^f

故阳=“荏+而+丽)2=,网2+画2+\^AA^+2AB-AD+2AB-AA^+2AD-AA^

=J4+4+9+4+6+6=y/33;

丽=而_丽=3而+g而一五

又丽.丽=市&福+；而_丽)=：网2+：福正_/阳

=2+1-3=0,

又近.而=彷1诟+3亚_羽)=.珂+3^.赤—访丽

=2+1-3=0,

故AOJ.A3,^OlAD

又AO、ABu平面ABC。，且ADcAB=A,

故AO,平面ABCD,即即是平面ABCD的法向量，

ACl-Ald=^AB+AD+AAiy^AB+^AD-

=；|通『+荏.而通.瓯+；|码2_；亚.丽T网2

=2+2-3+2-9=-6

=J1+1+9+1-3-3=«

设AG与平面ABCD所成角为。

诉「，河・蒲16肥叵

故选：B.

vn•rj—►-

易错分析：利用空间向量求线面角的公式是sin6=F，办〃是异面直线的方向向量，不

rIH

要误认为公式求出的是余弦值.

7.（24-25高三上•云南昆明•期中）在正方体ABCD-A瓦G2中，下列说法错误的是（）

A.AD11ACB.AA与30所成角为与

C.A，〃平面D.AQ与平面ACG所成角为方

【答案】D

【分析】设正方体ABCD-A耳G2的棱长为1，以点。为坐标原点，DA,DC,。，所在直线分别为x、y、

z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.

【详解】设正方体ABC。-44^2的棱长为1,以点。为坐标原点，DA.DC、。，所在直

线分别为X、y、z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,O,O)、*1,1,0)、c(o,i,o)、0(0,0,0)、A(1,0,1)、耳(1,1,1)、G(0,1,1)、A(0,0,1),

对于A选项，AD,=(—1,0,1),4c=(—1,1,—1),

贝1」画•而=1+0—1=0,所以，AD]14。，A对；

_■•丽-11

对于B选项，两二(1』,。)，则侬叫的人演眄=反&="，

所以，A2与3。所成角的大小为g,B对；

对于C选项，设平面80G的法向量为庆=&,%,4)，西=((U,1),

-»

m•DB=%.+¥,=0/、

则—.，取％=T,则用=1,一1,1),

m-DCi=yl+zl=0

则必•送=-1+0+1=0,所以，AZ^lm,

又因为ADy平面BDCi，所以，A，〃平面C对；

对于D选项，设平面ACC的法向量为西=(9,%/2)，西=(0,0,1),04=(1,-1,0),

ii-CC=z=0/、

则一9，取％=1，则为=(1,1,0),

n-CA=x2-y2=0

所以，与平面ACJ所成角为为D错.

6

故选：D.

8.(2024・河南.模拟预测)为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平

台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上

一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢(如图1).己知A3和CD是圆。的两条互相垂直的直径，将平

面ABC沿A3翻折至平面ABC',使得平面ABC'_L平