菱形的性质课件-华东师大版八年级数学下册

19.2.1菱形的性质第19章矩形、菱形与正方形华东师大版数学八年级下册授课教师：********班级：********时间：********理解矩形、菱形、正方形的概念，掌握它们与平行四边形之间的关系。探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，能运用这些定理解决简单的几何问题。通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，提高学生的数学思维水平。让学生体会从一般到特殊的数学思想方法，感受矩形、菱形、正方形在生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。二、教学重难点（一）教学重点矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理。运用矩形、菱形、正方形的性质和判定定理进行计算和证明。（二）教学难点矩形、菱形、正方形性质和判定定理的证明过程，尤其是添加辅助线的方法和思路。区分矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，灵活运用它们解决综合性问题。三、教学方法讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）导入新课（5分钟）回顾平行四边形的定义、性质和判定方法。展示生活中矩形、菱形、正方形的图片，如窗户、黑板、菱形挂饰、正方形地砖等，引导学生观察这些图形与平行四边形的异同点。提问：这些特殊的图形有什么独特的性质和判定方法呢？从而引出本节课的主题——矩形、菱形与正方形。（二）讲授新课（30分钟）矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的性质探究：让学生观察矩形纸片，猜想矩形除了具有平行四边形的性质外，还有哪些特殊性质。学生汇报猜想，教师引导学生从边、角、对角线等方面进行分析。证明矩形的性质：性质1：矩形的四个角都是直角。已知：四边形ABCD是矩形，∠A=90°。证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C，∠B=∠D，AD∥BC。又因为∠A=90°，所以∠C=90°。因为AD∥BC，所以∠A+∠B=180°，所以∠B=90°，∠D=90°。性质2：矩形的对角线相等。已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O。证明：在矩形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC，BC=CB，所以△ABC≌△DCB（SAS），所以AC=BD。总结矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。练习1：在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，求对角线AC的长。答案：根据勾股定理，AC=√(AB²+BC²)=√(3²+4²)=5。矩形的判定探究：引导学生从矩形的性质定理的逆命题角度进行猜想。猜想1：有三个角是直角的四边形是矩形。证明：已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°，所以∠D=90°。所以∠A=∠C，∠B=∠D，所以四边形ABCD是平行四边形。又因为∠A=90°，所以四边形ABCD是矩形。学习目标了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.探索并证明菱形的性质定理.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理9布置作业学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解平行四边形有哪些性质？边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分中心对称图形前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形?(矩形,由角变化得到)

如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢?情境引入

在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？平行四边形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.菱形邻边相等菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、菱形的关系的是（）DC四边形菱形平行四边形四边形菱形平行四边形四边形菱形平行四边形平行四边形菱形四边形ABC生活中的实例有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？BDAC菱形是轴对称图形(2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由.提示:从边、角、对角线、面积等方面来探讨.

(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗?它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?菱形是中心对称图形由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.菱形的性质1：菱形的四条边都相等.∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，证明：∵四边形ABCD是菱形ABCDO在△ABD中，又∵BO=DO∴AB=AD（菱形的四条边都相等）∴AC⊥BD，AC平分∠BAD同理：AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC求证：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADCABCDO如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.（2）有哪些特殊的三角形？（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？相等的线段：相等的角：等腰三角形：直角三角形：全等三角形：已知四边形ABCD是菱形.AB=CD=AD=BCOA=OCOB=OD∠DAB=∠BCD∠ABC=∠CDA∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°

∠1=∠2=∠3=∠4∠5=∠6=∠7=∠8△ABC△DBC△ACD△ABDRt△AOBRt△BOCRt△CODRt△DOARt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA△ABD≌△BCD△ABC≌△ACD问题1菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?ABCD思考

前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?能.过点A作AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=底×高

=BC·AE.E问题2如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.ABCDO解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.你有什么发现？菱形的面积=

底×高=

对角线乘积的一半例1：四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长.ABCDO解：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴∴OB=3∴BD=2OB=6cm543有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1).对角线AC的长度;(2).菱形的面积解:(1)∵四边形ABCD是菱形,=2×△ABD的面积∴∠AED=900,(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE例2如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.【点睛】菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．例3如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.ABCDOE证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=BA，

∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB

，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，

∴∠ABC=∠DAE，

∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.

又∵AD＝BA

，∴△AOD≌△BEA

，∴AO＝BE.例4如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.∵又∵菱形两组对边的距离相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝.【点睛】菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．1.[2024淄博期末]

菱形具有而平行四边形不具有的性质是(

)CA.对角线互相平分

B.对角线相等C.对角线互相垂