2025年高考数学三轮复习之集合

第29页（共29页）2025年高考数学三轮复习之集合一．选择题（共8小题）1．（2024秋•铜陵期末）下列关系中正确的个数是（）①0∈N；②3∉Z；③12∈A．1 B．2 C．3 D．42．（2025•赤峰模拟）已知集合A＝{[﹣1.5]，[﹣1]，[0.4]，[2.1]}，其中[x]表示不超过x的最大整数，B＝{x∈Z|﹣2≤x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1.0，1} C．{﹣1，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}3．（2025•咸阳模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣9x≤0}，B={x|x∈A．{1，4，9，16} B．{0，1，4，9} C．{1，4，9} D．{0，1，4}4．（2025•资溪县校级模拟）设集合A={x|x+2x-2≤0}，B＝{x|log2（A．[﹣2，2] B．[﹣2，2） C．（﹣1，2] D．（﹣1，2）5．（2025•南宁模拟）已知集合M＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，N＝{x|﹣4＜x＜4}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1} C．{0，1} D．{﹣2，1}6．（2024秋•玉溪期末）已知集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．(-2，12) B．（﹣2，2） C．(17．（2024秋•师宗县校级期末）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2}，则（∁UA）∪B＝（）A．{1，2，4} B．{1，2，3} C．{1，2，3，5} D．{1，2，3，4}8．（2024秋•双清区校级期末）给出下列关系：①12∈R；②2∉R；③|﹣3|∈A．1 B．2 C．3 D．4二．多选题（共5小题）（多选）9．（2025•单县校级一模）离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合X＝{1，2，⋯，p﹣1}，若u，v∈X，m∈N，记u⊗v为uv除以p的余数，um，⊗为um除以p的余数；设a∈X，1，a，a2，⊗，⋯，ap﹣2，⊗两两不同，若an，⊗＝b（n∈{0，1，⋯，p﹣2}），则称n是以a为底b的离散对数，记为n＝log（p）ab．则（）A．若p＝13，则对应集合X有5个元素 B．若p＝7，u＝5，v＝6，则u⊗v＝2 C．若p＝11，a＝2，则ap﹣1，⊗＝1 D．log（11）24＝4（多选）10．（2024秋•衡水校级期末）若集合A＝{x|x＝kπ+π2，k∈Z]，B＝{x|x＝2kπ+π2，k∈Z}，C＝{x|x＝2kπ-π2A．B∩C＝∅ B．A∩B＝B C．A∪C＝C D．B∪C＝A（多选）11．（2024秋•朝阳校级期末）已知全集U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{﹣4，2，3}．则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁UA B．∁U（A∪B） C．{﹣3，4} D．{﹣2，﹣1，0，2，3}（多选）12．（2024秋•仁寿县校级期末）下列说法中不正确的是（）A．集合{x|x＜1，x∈N}为无限集 B．方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的解构成的集合的所有子集共4个 C．{（x，y）|x+y＝1}＝{y|x﹣y＝﹣1} D．{y|y＝2n，n∈Z}⊆{x|x＝4k，k∈Z}（多选）13．（2024秋•仁寿县校级期末）已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，若B⊆A，则实数a的值可能是（）A．0 B．1 C．2 D．3三．填空题（共3小题）14．（2025•潍坊模拟）已知集合A＝{0，1，a+2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝A，则实数a＝．15．（2024秋•仁寿县校级期末）定义集合的商集运算为：BA={x|x=nm，m∈A，n∈B16．（2024秋•鹤山市校级期末）集合A＝{x|x2﹣4x+4＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∪B＝A，则a＝．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•威海期末）已知集合A＝{x|x2﹣4x＝0}，B={（1）当a＝1时，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求a的取值范围．18．（2024秋•河池期末）已知集合U＝{1，2，3，5，7，9}，A＝{2，3，5}，B＝{1，3，5，9}．（1）求A∩（∁UB），（∁UA）∩（∁UB）；（2）若集合C＝{x|（x﹣2）（x﹣a）＝0}，是否存在实数a，使得A∪C＝A？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由．19．（2024秋•上城区校级期末）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）当m＝1时，求A∩（∁RB）；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．20．（2024秋•盐城期末）设全集U＝R，已知A={x|5x+2≥1}，B＝{x|（x﹣a）（x（1）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

2025年高考数学三轮复习之集合参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CDBDDCAB二．多选题（共5小题）题号910111213答案BCABDBCACDAB一．选择题（共8小题）1．（2024秋•铜陵期末）下列关系中正确的个数是（）①0∈N；②3∉Z；③12∈A．1 B．2 C．3 D．4【考点】判断元素与集合的属于关系．【专题】集合思想；综合法；集合；逻辑思维．【答案】C【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案．【解答】解：0∈N，3∉Z，12∈R，π∉Q故选：C．【点评】本题考查了对常用数集的掌握情况，元素与集合的关系，是基础题．2．（2025•赤峰模拟）已知集合A＝{[﹣1.5]，[﹣1]，[0.4]，[2.1]}，其中[x]表示不超过x的最大整数，B＝{x∈Z|﹣2≤x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1.0，1} C．{﹣1，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}【考点】求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】D【分析】由已知得到集合A，B，根据交集的定义即可求解．【解答】解：由题意，A＝{﹣2，﹣1，0，2}，B＝{x∈Z|﹣2≤x＜3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{﹣2，﹣1，0，2}．故选：D．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．3．（2025•咸阳模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣9x≤0}，B={x|x∈A．{1，4，9，16} B．{0，1，4，9} C．{1，4，9} D．{0，1，4}【考点】求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】B【分析】先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{x∈N|x2﹣9x≤0}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，B={x|x∈A}={0，1，4，9，16，25，36故A∩B＝{0，1，4，9}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．4．（2025•资溪县校级模拟）设集合A={x|x+2x-2≤0}，B＝{x|log2（A．[﹣2，2] B．[﹣2，2） C．（﹣1，2] D．（﹣1，2）【考点】求集合的交集；分式不等式；指、对数不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】D【分析】分别解出集合A中的分式不等式和集合B中的对数不等式，再利用集合的交集运算即可求解．【解答】解：不等式log2（x+1）＜2等价于log2（x+1）＜log24，∴x+1＞0x+1＜4，∴﹣1＜x＜3，∴B＝{x|不等式x+2x-2≤0等价于(x+2)(∴A＝{x|﹣2≤x＜2}；∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：D．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．5．（2025•南宁模拟）已知集合M＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，N＝{x|﹣4＜x＜4}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1} C．{0，1} D．{﹣2，1}【考点】求集合的交集．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】D【分析】利用交集的定义求解即可．【解答】解：M中的元素都是形如3k﹣2的整数，其中k是整数，求交集M∩N，需要找到满足﹣4＜3k﹣2＜4的整数k，解不等式﹣4＜3k﹣2＜4，得-23＜k因此整数k＝0或1当k＝0时，x＝3×0﹣2＝﹣2，当k＝1时，x＝3×1﹣2＝1，所以M∩N中的元素是{﹣2，1}．故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．6．（2024秋•玉溪期末）已知集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．(-2，12) B．（﹣2，2） C．(1【考点】求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】C【分析】根据集合的交集，可得答案．【解答】解：集合A＝{x|2x＞1}，则A={B＝{x|﹣2＜x＜2}，所以A∩故选：C．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．7．（2024秋•师宗县校级期末）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2}，则（∁UA）∪B＝（）A．{1，2，4} B．{1，2，3} C．{1，2，3，5} D．{1，2，3，4}【考点】集合的交并补混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】A【分析】根据题意结合集合的补集和并集运算求解即可．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2}，∴∁UA＝{2，4}，（∁UA）∪B＝{1，2，4}．故选：A．【点评】本题考查了补集和并集的运算，是基础题．8．（2024秋•双清区校级期末）给出下列关系：①12∈R；②2∉R；③|﹣3|∈A．1 B．2 C．3 D．4【考点】常用数集及其记法．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】B【分析】根据给定信息，利用元素与集合的关系判断作答．【解答】解：显然12，2都是实数，①|﹣3|＝3是自然数，③正确；|-3|=所以正确的个数为2．故选：B．【点评】本题考查了元素与集合的关系，实数集、自然数集和有理数集的定义，是基础题．二．多选题（共5小题）（多选）9．（2025•单县校级一模）离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合X＝{1，2，⋯，p﹣1}，若u，v∈X，m∈N，记u⊗v为uv除以p的余数，um，⊗为um除以p的余数；设a∈X，1，a，a2，⊗，⋯，ap﹣2，⊗两两不同，若an，⊗＝b（n∈{0，1，⋯，p﹣2}），则称n是以a为底b的离散对数，记为n＝log（p）ab．则（）A．若p＝13，则对应集合X有5个元素 B．若p＝7，u＝5，v＝6，则u⊗v＝2 C．若p＝11，a＝2，则ap﹣1，⊗＝1 D．log（11）24＝4【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】转化思想；分析法；集合；逻辑思维；新定义类．【答案】BC【分析】根据题目种给的新定义的概念逐项判断即可．【解答】解：因为p＝13，所以X＝{1，2，…，12}，所以共12个元素，故A错误；因为u＝5，v＝6，所以u＝30，因为30除以7的余数为2，所以u⊗v＝2，故B正确；因为p＝11，a＝2，所以ap﹣1，⊗＝210，⊗，又210除以11的余数为1，所以210，⊗＝1，即ap﹣1，⊗＝1，故C正确；由已知当p＝11，a＝2，n＝4．所以an，⊗＝24，⊗，24除以11的余数为5，所以24，⊗＝5＝b，所以log（11）25＝4，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查新定义问题的解题思路，属于中档题．（多选）10．（2024秋•衡水校级期末）若集合A＝{x|x＝kπ+π2，k∈Z]，B＝{x|x＝2kπ+π2，k∈Z}，C＝{x|x＝2kπ-π2A．B∩C＝∅ B．A∩B＝B C．A∪C＝C D．B∪C＝A【考点】求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】ABD【分析】由集合中元素的特征可判断结论．【解答】解：因为C={x|x=(2k因为B={x|x=2又2k﹣1是奇数，2k是偶数，所以B∩C＝∅，A∩B＝B，A∪C＝A，B∪C＝A，故ABD正确，C不正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．（多选）11．（2024秋•朝阳校级期末）已知全集U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{﹣4，2，3}．则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁UA B．∁U（A∪B） C．{﹣3，4} D．{﹣2，﹣1，0，2，3}【考点】Venn图表示交并补混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．【答案】BC【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，图中阴影部分表示的集合是∁U（A∪B），根据并集、补集的定义计算可得．【解答】解：全集U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{﹣4，2，3}．由x2﹣x﹣6≤0，即（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x≤3，∴A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈Z|﹣2≤x≤3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，又B＝{﹣4，2，3}，U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，∴A∪B＝{﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴图中阴影部分表示的集合是∁U（A∪B）＝{﹣3，4}．故选：BC．【点评】本题考查一元二次不等式、韦恩图、并集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）12．（2024秋•仁寿县校级期末）下列说法中不正确的是（）A．集合{x|x＜1，x∈N}为无限集 B．方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的解构成的集合的所有子集共4个 C．{（x，y）|x+y＝1}＝{y|x﹣y＝﹣1} D．{y|y＝2n，n∈Z}⊆{x|x＝4k，k∈Z}【考点】子集与真子集；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．【专题】转化思想；综合法；集合；逻辑思维．【答案】ACD【分析】根据集合的概念及描述法即可分别求解．【解答】解：对A，∵集合{x|x＜1，x∈N}＝{0}，∴A错误；对B，∵方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的解构成的集合为{1，2}，∴其所有子集个数为22＝4，∴B正确；对C，∵{y|x﹣y＝﹣1}＝R，而{（x，y）|x+y＝1}表示直线x+y＝1，∴{（x，y）|x+y＝1}≠{y|x﹣y＝﹣1}，∴C错误；对D，∵{x|x＝4k，k∈Z}⊆{y|y＝2n，n∈Z}，D错误．故选：ACD．【点评】本题考查集合的基本概念，集合的描述法，属基础题．（多选）13．（2024秋•仁寿县校级期末）已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，若B⊆A，则实数a的值可能是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．【答案】AB【分析】根据B⊆A，可得2∈A，2∈A，列出不等式求得a≤1，能求出实数【解答】解：∵集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，B⊆A，∴2∈A，2∈∴2a≤22a故选：AB．【点评】本题考查集合的运算，考查子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．填空题（共3小题）14．（2025•潍坊模拟）已知集合A＝{0，1，a+2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝A，则实数a＝0或2．【考点】集合的包含关系的应用．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】0或2．【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性求参数的值．【解答】解：因为A∪B＝A，所以B⊆A，根据集合中元素的互异性，可知a2≠1，所以a≠1且a≠﹣1，若a2＝0，则a＝0，此时A＝{0，1，2}，B＝{0，1}，满足B⊆A，若a2＝a+2，解得a＝2或a＝﹣1（舍去），此时A＝{0，1，4}，B＝{0，4}，满足B⊆A，综上a＝0或2．故答案为：0或2．【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，考查了元素的互异性，属于基础题．15．（2024秋•仁寿县校级期末）定义集合的商集运算为：BA={x|x=nm，m∈A，n∈B【考点】子集的个数；求集合的并集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解；新定义类．【答案】15．【分析】求出集合B，利用题中定义可得出集合BA，利用并集的定义可得出集合BA∪【解答】解：因为A＝{2，4}，则B={又因为BA故BA∪B所以集合BA∪B的真子集个数24﹣1故答案为：15．【点评】本题主要考查并集、真子集的定义，属于基础题．16．（2024秋•鹤山市校级期末）集合A＝{x|x2﹣4x+4＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∪B＝A，则a＝0或12【考点】集合并集关系的应用．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】0或12【分析】由题意可知A＝{2}，分a＝0和a≠0两种情况讨论，结合B⊆A求解即可．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4x+4＝0}＝{2}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a≠0时，B＝{1a}，则1a解得a=1综上所述，a＝0或12故答案为：0或12【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•威海期末）已知集合A＝{x|x2﹣4x＝0}，B={（1）当a＝1时，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求a的取值范围．【考点】求集合的并集；解一元二次不等式；集合的包含关系的应用．【专题】对应思想；定义法；集合；运算求解．【答案】（1）{x|x＝0或x＝4或x＝1}；（2）{a|a≤0或a＝2}．【分析】（1）根据并集的定义可解；（2）若A∩B＝B，则B⊆A，从而可解．【解答】解：已知集合A＝{x|x2﹣4x＝0}＝{x|x＝0或x＝4}，B={（1）当a＝1时，B＝{x|x＝1}，则A∪B＝{x|x＝0或x＝4或x＝1}；（2）若A∩B＝B，结合题意A≠B，若B＝∅，则a＜0，若B＝{x|x＝0}，则a＝0；若B＝{x|x＝4}，则a＝2．故a的取值范围为{a|a≤0或a＝2}．【点评】本题考查集合间的关系，属于基础题．18．（2024秋•河池期末）已知集合U＝{1，2，3，5，7，9}，A＝{2，3，5}，B＝{1，3，5，9}．（1）求A∩（∁UB），（∁UA）∩（∁UB）；（2）若集合C＝{x|（x﹣2）（x﹣a）＝0}，是否存在实数a，使得A∪C＝A？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【考点】集合的交并补混合运算．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】（1）A∩（∁UB）＝{2}，（∁UA）∩（∁UB）＝{7}；（2）存在，a＝2或3或5．【分析】（1）求出∁UA，∁UB，再求A∩（∁UB），（∁UA）∩（∁UB）；（2）分类讨论求出集合C，根据A∪C＝A得C⊆A，可得答案．【解答】解：（1）∵A＝{2，3，5}，B＝{1，3，5，9}，U＝{1，2，3，5，7，9}，∴∁UB＝{2，7}，∁UA＝{1，9，7}，∴A∩（∁UB）＝{2}，（∁UA）∩（∁UB）＝{7}；（2）存在．C＝{x|（x﹣2）（x﹣a）＝0}，①当a＝2时，C＝{2}，满足A∪C＝A，所以a＝2；②当a≠2时，C＝{2，a}，要满足A∪C＝A，则C⊆A，因为A＝{2，3，5}，所以a＝3或5；综上所述，a＝2或3或5．【点评】本题主要考查集合的混合运算，属于基础题．19．（2024秋•上城区校级期末）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）当m＝1时，求A∩（∁RB）；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．【考点】集合的交并补混合运算；集合的包含关系的应用．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】（1）{x|﹣3≤x＜1或2＜x＜4}．（2）{m|m≥﹣1}．【分析】（1）先计算∁RB，再计算A∩（∁RB）；（2）由A∩B＝B得B⊆A，再分类讨论．【解答】解：（1）当m＝1时，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．则B＝{x|1≤x≤2}，则∁RB＝{x|x＜1或x＞2}，集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，则A∩（∁RB）＝{x|﹣3≤x＜1或2＜x＜4}．（2）若A∩B＝B，则B⊆A，当B＝∅时，2m﹣1＞m+1，即m＞2；当B≠∅时，﹣3≤2m﹣1≤m+1＜4，得﹣1≤m≤2，则实数m的取值范围为{m|m≥﹣1}．【点评】本题主要考查集合的混合运算，属于基础题．20．（2024秋•盐城期末）设全集U＝R，已知A={x|5x+2≥1}，B＝{x|（x﹣a）（x（1）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】集合交集关系的应用；必要不充分条件的应用．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）；（2）[﹣2，1]．【分析】（1）解不等式化简集合A，B，根据交集运算列式求解即可；（2）分析可知集合B是集合A的真子集，根据包含关系列式求解即可．【解答】解：（1）A＝{x|﹣2＜x≤3}，B＝{x|a＜x＜a+2}，若A∩B＝∅，则a≥3或a+2≤﹣2，可得a≥3或a≤﹣4，所以实数a的取值范围（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）；（2）由（1）可知：集合A＝{x|﹣2＜x≤3}，集合B＝{x|a＜x＜a+2}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集，则a+2≤3a≥-2，解得﹣2所以实数a的取值范围为[﹣2，1]．【点评】本题考查了分式不等式的解法，交集和空集的定义，必要不充分条件的定义，是基础题．

考点卡片1．常用数集及其记法【知识点的认识】数学中一些常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记为R．﹣【解题方法点拨】熟练掌握几个常见数集的符号与含义，能判断给出的数是否属于这些数集．【命题方向】给出下列关系：（1）3∈Q；（2）17∈R；（3）3.1∉Z；（4）0解：（1）3∈Q错误；（2）17∈R正确；（3）3.1∉Z正确；（4故答案为：2．2．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．3．判断元素与集合的属于关系【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【解题方法点拨】明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合．【命题方向】验证元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．4．元素与集合的属于关系的应用【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．【命题方向】知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．5．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．6．集合的包含关系的应用【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】设m为实数，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，满足B⊆A，则m的取值范围是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B⊆A，∴当m＞2m﹣1时，即m＜1时，B＝∅，符合题意；当m≥1时，可得-3≤m综上所述，m≤32，即m故答案为：(-∞，7．子集与真子集【知识点的认识】1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．2、真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}3、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．8．子集的个数【知识点的认识】1、子集真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】公式计算：若一个集合有n个元素，则它的子集个数为2^n．理解幂集：幂集是一个集合的所有子集组成的集合．【命题方向】已知集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．解：当x∈Z时，A＝{x|﹣2≤x≤5}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，∴A的非空真子集的个数为28﹣2＝254个；9．求集合的并集【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．【解题方法点拨】定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命题方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝解：依题意，A={x∈所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．10．集合并集关系的应用【知识点的认识】两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题．【解题方法点拨】求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．【命题方向】集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．11．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．12．集合交集关系的应用【知识点的认识】两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题．【解题方法点拨】求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．【命题方向】集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．13．集合的交并补混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．设全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，求：（Ⅰ）∁U（A∩B）；（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）；（Ⅲ）A∩（∁UB）．解：（Ⅰ）∵全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1＜x＜5}，∵全集U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅲ）∵全集U＝R，B＝{x|1＜x＜5}，∴∁UB＝{x|x≤1或x≥5}，∵A＝{x|0≤x＜8}，∴A∩（∁UB）＝{x|0≤x≤1或5≤x＜8}．14．Venn图表示交并补混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．Venn图表示N∩（∁UM）为：．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】如图，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，则阴影部分表示的集合是（）解：由题意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{