2025年高考数学三轮复习之平面向量及其应用

第33页（共33页）2025年高考数学三轮复习之平面向量及其应用一．选择题（共8小题）1．（2025•葫芦岛一模）平面向量a→=（1，2），b→=（﹣3，4），则A．(-35，45) B．(12．（2025•温州二模）若向量a→，b→满足|b→|＝3，a→•b→=-A．-12b→ B．-13b→3．（2025•江苏一模）已知a→，b→，c→均为单位向量．若a→=A．π6 B．π3 C．2π34．（2025•江苏一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b﹣2c＝acosC﹣2acosB，则cbA．13 B．12 C．1 D5．（2025•碑林区校级模拟）已知平面向量a→，b→满足a→=（1，3），|b→|=3，|a→A．(233，2) B．(12，6．（2025•长安区一模）已知向量a→，b→满足a→=(1，1)，A．﹣3 B．（0，﹣3） C．3 D．（0，3）7．（2025•赤峰模拟）已知向量a→和b→满足|a→|=|b→A．3 B．2 C．23 D．8．（2025•南宁模拟）平面向量m→，n→满足m→-2n→=（4，3），mA．25 B．21 C．17 D．13二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•乐山模拟）三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当△ABC内一点P满足条件：∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为布洛卡角．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，点P是△ABC的布洛卡点，布洛卡角为θ，则（）A．当AB＝AC时，PB2＝PA•PC B．当AB＝AC且PC=2PBC．当θ＝30°时，a2D．当A＝2θ时，b2＝ac（多选）10．（2025•乐山模拟）已知向量a→=（2，1），b→=（A．当a→∥b→时，B．当|a→+2b→|＝5时，xC．当x＝1时，a→在b→方向上的投影向量为D．当a→与b→夹角为锐角时，x（多选）11．（2024秋•石家庄期末）将锐角△ABC置于平面直角坐标系中，B（﹣1，0），C（1，0），A为x轴上方一点，设△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c且bccosA＝8，则△ABC的外心纵坐标可能落在以下（）区间内．A．（0，4） B．(12，75) C（多选）12．（2025•望城区校级一模）已知点D在线段AB上，CD是△ABC的角平分线，E为CD上一点，且满足BE→=BA→+A．C点的轨迹是双曲线 B．E是三角形ABC的内心 C．|AC|﹣|BC|＝6 D．BE→在a→三．填空题（共4小题）13．（2025•咸阳模拟）设非零向量a→，b→，c→满足a→∥c→，且|a→|＝2，b→=（﹣1，3）．若向量a→在b→上的投影向量为14．（2025•赤峰模拟）锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a2﹣b2＝（a﹣c）c，若b=3，则△ABC周长的取值范围是15．（2025•葫芦岛一模）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a（2cosC+1），则sinA+sinB的取值范围是．16．（2024秋•玉溪期末）已知向量a→=(0，1)，b→=(2，x)，若四．解答题（共4小题）17．（2025•潍坊模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosC+b＝0，b=24（1）求cosC；（2）若△ABC的面积为14，D是BC上的点，且∠ADB=34π18．（2025•长安区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3，D（1）若AD平分∠BAC，求证：ABAC（2）若D为BC上靠近B的三等分点，当c＝2，b＝1时，求AD的长．19．（2025•喀什地区校级二模）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知atanBcosC+（1）证明：B+C＝2A；（2）若a＝3，求2b﹣c的取值范围．20．（2025•洮北区校级一模）在△ABC中，CD为AB边上的高，已知AC+BC＝AB+CD．（1）若AB＝2CD，求tanC（2）若AB＝kCD，k＞0，求tanC的最小值及tanC取最小值时k的值．

2025年高考数学三轮复习之平面向量及其应用参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ADCDBBDC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABCACABDBCD一．选择题（共8小题）1．（2025•葫芦岛一模）平面向量a→=（1，2），b→=（﹣3，4），则A．(-35，45) B．(1【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的数量投影．【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】依题意由向量数量积的坐标表示以及投影的定义计算可得结果．【解答】解：根据题意，平面向量a→=（1，2），b→=（﹣可知a→⋅b→=-3+2×4=5，|a→在b→上的投影|a→|cos＜a→，b故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量的投影，属于基础题．2．（2025•温州二模）若向量a→，b→满足|b→|＝3，a→•b→=-A．-12b→ B．-13b→【考点】平面向量的投影向量．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】由投影向量的定义式计算即可得出答案．【解答】解：因为|b→|＝3，a→•b所以a→在b→上的投影向量为故选：D．【点评】本题考查投影向量的求法，属于基础题．3．（2025•江苏一模）已知a→，b→，c→均为单位向量．若a→=A．π6 B．π3 C．2π3【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】对a→=b【解答】解：因为a→=b即a→因为a→，b所以1=1+2b→⋅设b→与c→的夹角为θ，0≤θ≤π，所以因为0≤θ≤π，所以θ=所以b→与c→夹角的大小是故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．4．（2025•江苏一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b﹣2c＝acosC﹣2acosB，则cbA．13 B．12 C．1 D【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】D【分析】用射影定理即可化简求值．【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，则a＝BD+CD＝ccosB+bcosC，同理可得b＝acosC+ccosA，c＝acosB+bcosA，因为b﹣2c＝acosC﹣2acosB，所以acosC+ccosA﹣2（acosB+bcosA）＝acosC﹣2acosB，整理得ccosA＝2bcosA，因为△ABC为锐角三角形，所以cosA≠0，所以c＝2b，即cb故选：D．【点评】本题考查三角形中的几何计算，属中档题．5．（2025•碑林区校级模拟）已知平面向量a→，b→满足a→=（1，3），|b→|=3，|a→A．(233，2) B．(12，【考点】平面向量的投影向量．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据平面向量的数量积运算及投影向量的定义计算即可求得．【解答】解：因为a→=（1，3），所以因为|b→|=3，|a→-b即4-2a所以b→在a→上的投影向量为故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算及投影向量的求法，属于基础题．6．（2025•长安区一模）已知向量a→，b→满足a→=(1，1)，A．﹣3 B．（0，﹣3） C．3 D．（0，3）【考点】平面向量的投影向量．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】先计算向量b→-2【解答】解：由题意可知，b→所以(b→则(b→-2a故选：B．【点评】本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．7．（2025•赤峰模拟）已知向量a→和b→满足|a→|=|b→A．3 B．2 C．23 D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的概念与平面向量的模．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】利用向量的模长公式，结合数量积运算即可求解．【解答】解：由题意，|a→|=|b→则|2=4×9-4×3×3×故选：D．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．8．（2025•南宁模拟）平面向量m→，n→满足m→-2n→=（4，3），mA．25 B．21 C．17 D．13【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据模长公式即可求解．【解答】解：因为m→所以|m所以m→因为m→⋅n→故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，模长公式，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•乐山模拟）三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当△ABC内一点P满足条件：∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为布洛卡角．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，点P是△ABC的布洛卡点，布洛卡角为θ，则（）A．当AB＝AC时，PB2＝PA•PC B．当AB＝AC且PC=2PBC．当θ＝30°时，a2D．当A＝2θ时，b2＝ac【考点】解三角形．【专题】转化思想；转化法；解三角形；运算求解．【答案】ABC【分析】利用相似可以判断A；利用相似比，结合等腰三角形的三线合一，可得到底角是π4，再利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可求角来判断B利用余弦定理和结合θ的三角形面积公式来整体化简可判断C；同样利用角A的余弦定理和面积关系化简求解，可判断D．【解答】解：对于A，当AB＝AC时，有∠ABC＝∠ACB，又因为∠PBC＝∠PCA＝θ，所以∠PBA＝∠PCB，又因为∠PAB＝∠PBC＝θ，所以△PAB～△PBC，即PAPB=PB对于B，由△PAB～△PBC可得：ABBC又因为PC=所以ABBC取BC中点为D，可得AB2又因为AB＝AC，所以AD⊥BC，则cos∠再由正弦定理可得：PBPC展开化简得：22再由cos因为θ一定为锐角，所以cosθ=25对于C，由三角形面积关系可得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC+S△PBC=12•PA•c•sinθ+12⋅PB•a•sinθ+12因为θ＝30°，所以有S=在△PAB，△PBC，PAC中，由余弦定理可得：PB2＝c2+PA2﹣2c•PA•cosθ，PC2＝a2+PB2﹣2a•PB•cosθ，PA2＝b2+PC2﹣2b•PC•cosθ，三个式子相加得：0＝c2﹣2c•PA•cosθ+a2﹣2a•PB•cosθ+b2﹣2b•PC•cosθ，整理得：a2代入PA•c+PB•a+PCb＝4S，可得：a2+b对于D，由前面可得：12a2+b2+c2＝2cosθ（c•PA•+a•PB+b•PC），代换得：a2+b2+c2＝2cosθ2Ssinθ=4⋅cosθsinθS=4cosθsinθ⋅12bc再由余弦定理得：cosA=代换得：b2+c2﹣a2＝a2+b2+c2﹣2bc，整理得a2＝bc，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查正余弦定理的综合应用，属于难题．（多选）10．（2025•乐山模拟）已知向量a→=（2，1），b→=（A．当a→∥b→时，B．当|a→+2b→|＝5时，xC．当x＝1时，a→在b→方向上的投影向量为D．当a→与b→夹角为锐角时，x【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法分析A，由向量模的计算公式分析B，由投影向量计算公式分析C，举出反例可得D错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当a→∥b→时，则有2x＝1，解可得x=1对于B，向量a→=（2，1），b→=（1，x），即a→+2b当|a→+2b→|＝5时，即42+（2x+1）2＝25，解可得：x＝1或﹣2对于C，当x＝1时，b→=（1，1），a→在b→方向上的投影向量为对于D，当x=12时，向量a→=2b→故选：AC．【点评】本题考查向量数量积的性质和应用，涉及向量的坐标计算，属于基础题．（多选）11．（2024秋•石家庄期末）将锐角△ABC置于平面直角坐标系中，B（﹣1，0），C（1，0），A为x轴上方一点，设△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c且bccosA＝8，则△ABC的外心纵坐标可能落在以下（）区间内．A．（0，4） B．(12，75) C【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；解三角形；运算求解．【答案】ABD【分析】运用余弦定理算出b＞22且c＞22，结合二次函数的性质算出96＜b2c2≤100，可得46＜bc≤10，进而求出cosA=8bc∈[4【解答】解：根据题意，可得a＝BC＝2，bccosA＝8，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得b2+c2＝a2+2bccosA＝20．根据cosC=a2+b所以b2c2＝b2（20﹣b2）＝﹣（b2﹣10）2+100，结合b2＝20﹣c2＞8且c2＞8，可得8＜b2＜12．根据二次函数性质，可得96＜b2c2≤100，即46由cosA=8bc因为A为锐角，所以sinA=记△ABC的外接圆半径为R，则2R=2由三角形外心的定义，可知△ABC的外心在y轴上，记△ABC的外心纵坐标为y0，则y0对照各个选项，A、B、D三项中的区间与[43，2C选项中的区间与[43，2故选：ABD．【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、同角三角函数的基本关系、二次函数的性质等知识，属于中档题．（多选）12．（2025•望城区校级一模）已知点D在线段AB上，CD是△ABC的角平分线，E为CD上一点，且满足BE→=BA→+A．C点的轨迹是双曲线 B．E是三角形ABC的内心 C．|AC|﹣|BC|＝6 D．BE→在a→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．【专题】数形结合；定义法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】BCD【分析】由|BA→|＝14，可设A（﹣7，0）、B（7，0），结合双曲线的定义可得点C的轨迹，判断选项A；由条件可得E为△ABC的内心，判断选项B；根据双曲线焦点三角形内心的性质判断选项C；根据投影向量的定义判断选项D【解答】解：由|BA→|＝14，可设A（﹣7，0）、B（7，0），由|CA→|﹣|CB→|得点C的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点），选项A错误；因为CD是△ABC的角平分线，且BE→-BA→=AE→=所以AE也为△ABC的角平分线，E为△ABC的内心，选项B正确；如图，设E（x0，y0），EM⊥AC，EQ⊥AB，EN⊥BC，则由双曲线与内切圆的性质可得，|AC|﹣|BC|＝|AM|﹣|BN|＝|AQ|﹣|BQ|＝6，选项C正确；又|AQ|+|BQ|＝14，所以|BQ|＝7﹣3＝4，所以BE→在a→上的投影长为则BE→在a→上的投影向量为414故选：BCD．【点评】本题考查了双曲线与投影向量的定义应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•咸阳模拟）设非零向量a→，b→，c→满足a→∥c→，且|a→|＝2，b→=（﹣1，3）．若向量a→在b→上的投影向量为-1【考点】平面向量的投影向量；数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】π3或2【分析】根据投影向量的计算公式即可求出a→⋅b→的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出a→与b→的夹角，然后根据【解答】解：∵a→在b→上的投影向量为：∴a→∴cos＜a→∴＜a→，∴b→与c→的夹角为：π3故答案为：π3或2【点评】本题考查了投影向量的计算公式，向量夹角的余弦公式，是基础题．14．（2025•赤峰模拟）锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a2﹣b2＝（a﹣c）c，若b=3，则△ABC周长的取值范围是(3+【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；解三角形；运算求解．【答案】(3+3【分析】由余弦定理列式求出B=π3，然后根据正弦定理、三角恒等变换公式，化简得a【解答】解：由已知得a2+c2﹣b2＝ac，结合余弦定理得cosB=在△ABC中，B∈（0，π），所以B=根据正弦定理，可得asinA所以a＝2sinA，c＝2sinC，可得a=3sinA根据△ABC为锐角三角形，可得A∈（0，π2），且C=2π3-A∈（0，π2），解得A所以A+π6∈(π3，2π3)，可知sin综上所述，△ABC周长a+故答案为：(3+3【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．15．（2025•葫芦岛一模）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a（2cosC+1），则sinA+sinB的取值范围是(2，【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；函数思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】(2【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得A、C的关系，结合锐角三角形条件可求A的范围，然后结合二倍角及和差公式对sinA+sinB进行化简，构造函数，对其求导，结合导数分析函数的单调性，进而可求．【解答】解：因为b＝a（2cosC+1），由正弦定理可得sinB＝sinA（2cosC+1）＝2sinAcosC+sinA，因为sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝2sinAcosC+sinA，所以sinAcosC﹣cosAsinC＝﹣sinA，即sin（A﹣C）＝﹣sinA，所以sin（C﹣A）＝sinA，而三角形为锐角三角形，所以C﹣A＝A或C﹣A+A＝π（舍去），所以C＝2A，由题意得0＜所以π6＜AsinA+sinB＝sinA+sin（A+C）＝sinA+sin（2A+A）＝sinA+sin2AcosA+cos2AsinA＝sinA+2sinAcos2A+（1﹣2sin2A）sinA＝sinA+2sinA（1﹣sin2A）+（1﹣2sin2A）sinA＝4sinA﹣4sin3A，令f（x）＝4x﹣4x3，x∈则f′（x）＝4﹣12x2，易得，当12＜x＜33时，当33＜x＜22时，故当x=33又f(12所以f(故答案为：(2【点评】本题主要考查正弦定理的应用，三角恒等变换的应用，利用导数研究函数的最值问题，考查运算求解能力，属于中档题．16．（2024秋•玉溪期末）已知向量a→=(0，1)，b→=(2，x)，若|b【考点】平面向量数乘和线性运算的坐标运算．【专题】方程思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．【答案】2或4．【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，可得答案．【解答】解：向量a→=(0，1)，则|b→-3a→|=故答案为：2或4．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025•潍坊模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosC+b＝0，b=24（1）求cosC；（2）若△ABC的面积为14，D是BC上的点，且∠ADB=34π【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）-5（2）510【分析】（1）由已知得出c=22b，利用余弦定理结合acosC+b＝0可得出a=（2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出a、b、c的值，求出sin∠CAD的值，利用正弦定理可求出CD的长．【解答】解：（1）因为acosC+b＝0，所以由余弦定理可得：a⋅a2+b2-c22ab+因为b=24c，所以c=22b，即a2+3b2﹣8由余弦定理可得：cosC=（2）因为cosC=-5因为S△ABC=因为a=5b，c=22b，所以因为D是BC上的点，且∠ADB=3π4所以sin=2在△ACD中，由正弦定理可得：bsin所以CD=【点评】本题考查利用正、余弦定理，三角形的面积公式解三角形，属于中档题．18．（2025•长安区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3，D（1）若AD平分∠BAC，求证：ABAC（2）若D为BC上靠近B的三等分点，当c＝2，b＝1时，求AD的长．【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）213【分析】（1）分别在△ABD与△ACD中运用正弦定理，结合诱导公式与比例的性质证出结论；（2）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算律和定义进行求解即可．【解答】（1）证明：在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠在△ACD中，由正弦定理得ACsin∠①、②两式相除，得ABsin∠ADC由AD平分∠BAC，可得sin∠CAD＝sin∠BAD，结合sin∠ADB＝sin（π﹣∠ADC）＝sin∠ADC，化简③式，可得ABAC（2）因为D为BC上靠近B的三等分点，所以BD→可得AD→由c＝2，b＝1，∠BAC=π3，可得AB→•AC→=所以AD→2=(23AB→【点评】本题主要考查正弦定理、平面向量的线性运算与数量积运算法则等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．19．（2025•喀什地区校级二模）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知atanBcosC+（1）证明：B+C＝2A；（2）若a＝3，求2b﹣c的取值范围．【考点】解三角形．【专题】转化思想；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；解三角形；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）(-【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式，结合正弦定理加以证明，可得所求结论成立；（2）利用（1）中的结论，结合正弦定理将2b﹣c化简为关于角B的三角函数式，结合正弦函数的性质算出2b﹣c的取值范围．【解答】（1）证明：由atanBcosC+csinA=去分母得asinBcosC+csinAcosB＝asin2A，根据正弦定理得sinAsinBcosC+sinCsinAcosB＝sinAsin2A．因为在△ABC中，sinA≠0，所以sinBcosC+cosBsinC＝sin2A，即sin（B+C）＝sin2A，可得sinA＝sin2A，结合A∈（0，π），可得A+2A＝π，解得A=所以B+C＝π﹣A=2π3，即B+C＝（2）解：由（1）可知B∈结合cosB≠0，可得B≠π2由正弦定理得bsinB所以2=23=6(3因为B-π6可得6sin（B-π6）∈(-3，33)∪(3【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．20．（2025•洮北区校级一模）在△ABC中，CD为AB边上的高，已知AC+BC＝AB+CD．（1）若AB＝2CD，求tanC（2）若AB＝kCD，k＞0，求tanC的最小值及tanC取最小值时k的值．【考点】解三角形．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）tanC（2）tanC的最小值为247，此时k的值为3【分析】（1）设a、b、c分别为角A、B、C所对的边，CD＝h，则a+b＝c+h，然后余弦定理推导出cosC与a、b、c、h之间关系，结合c＝2h利用三角恒等变换公式与三角形的面积公式算出tanC（2）过B作AB的垂线EB，且使EB＝2h，则CE＝CB＝a，根据AC+CE≥AE列式推导出0＜hc≤23，结合（1）的结论算出tanC2∈[34，1），然后利用函数的单调性证出tan【解答】解：（1）设a、b、c分别为角A、B、C所对的边，CD＝h，则a+b＝c+h．在△ABC中，由余弦定理得cosC=根据三角形的面积公式，可得12absinC=12因为AB＝2CD，即c＝2h，所以1+cosCsinC=1+（2）由（1）可知1+h在△ABC中，过B作AB的垂线EB，且使EB＝2h，则CE＝CB＝a，AC+整理得（c+h）2≥c2+4h2，解得0＜hc≤23，所以令y=2x1-x2，x∈（由于t=1x-x恒大于0，且在（0，1）上为减函数，所以y=因此，当tanC2∈[34，1）时，tanC综上所述，tanC的最小值为247，相对应的k值为3【点评】本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换公式、函数的单调性及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．

考点卡片1．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．2．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．3．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→cosθ（其中e→为与b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求点到平面的距离．4．平面向量的数量投影【知识点的认识】1、两个向量的数量积及其性质：（1）a→•b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→⇔a→•b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2、向量的投影：|b→|cosθ=a→⋅b→|5．平面向量数乘和线性运算的坐标运算【知识点的认识】﹣数乘：对向量a→=(a1，﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解．【解题方法点拨】﹣数乘计算：将向量的每个分量乘以标量k，得到数乘结果．﹣线性运算应用：在计算问题中应用线性运算规则，如向量的缩放和组合问题．【命题方向】﹣向量运算的应用：考查如何使用数乘和线性运算解决实际问题，如图形变换等．﹣线性运算技巧：掌握数乘和线性运算的技巧，提高计算效率．已知平面向量a→，b→，a→=（1，2），b→=（0，1），求解：a→∴|a6．数量积表示两个平面向量的夹角【知识点的认识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ【解题方法点拨】例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60解：zz=3+i3∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．【命题方向】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．7．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S=12a•ha（ha表示边2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．8．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．9．三角形中的几何计算【知识点的认识】1、几何中的长