2025年高考数学三轮复习之相等关系与不等关系

第31页（共31页）2025年高考数学三轮复习之相等关系与不等关系一．选择题（共8小题）1．（2024秋•石嘴山期末）函数y=logax+ax-1+2(a＞0且a≠1）的图象恒过定点（k，b），若m+n＝A．8 B．9 C．92 D．2．（2025•咸阳模拟）已知直线y＝ax+b（a＞0，b＞0）过函数f(x)=xA．6 B．7 C．8 D．93．（2024秋•山西期末）数列{an}的通项公式为an=21×(12)n，当{anA．2 B．3 C．4 D．54．（2025•江西模拟）已知关于x的不等式(log2(2x-3a)a2+A．a∈(0，12) B．[12，2) C．[15．（2024秋•滨州期末）按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁．对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算．男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下：出生时间1965年1月至4月1965年5月至8月1965年9月至12月1966年1月至4月…改革后法定退休年龄60岁1个月60岁2个月60岁3个月60岁4个月…那么1973年5月出生的男职工退休年龄为（）A．61岁3个月 B．62岁 C．62岁1个月 D．62岁2个月6．（2024秋•福贡县期末）若a＞1，b＞2，则a+b的取值范围是（）A．[3，+∞） B．（﹣∞，3] C．（3，+∞） D．（﹣∞，3）7．（2024秋•昌黎县校级期末）已知集合A＝{x|x2﹣6＜0}，B＝{x|1≤2x≤8}，则A∩B＝（）A．[1，6) B．[0，6) C．(8．（2024秋•西安期末）已知正数a，b满足ab＝2，则1aA．2 B．22 C．22 D二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024秋•邢台期末）已知a＞0，b＞0，则（）A．a2+b22C．b2a+a2b≥a+b D．（a+b）（a（多选）10．（2024秋•蚌埠期末）已知a，b∈（0，+∞），a+b＝2，则以下结论正确的是（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．|a﹣2|+|b﹣2|＝2 C．a+b≥2 D．2a+2b≥4（多选）11．（2024秋•山西期末）已知实数a，b，c，d满足a＜b＜0＜c＜d，则（）A．ab＞b2 B．bc＞ad C．ba＞dc D（多选）12．（2025•咸阳模拟）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（）A．若教室的窗户面积与地面面积之和为200m2，则窗户面积至少应该为30m2 B．若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变 C．若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 D．若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了n%（m≠n）；地面面积两次都增加了m+三．填空题（共4小题）13．（2025•安徽模拟）已知a，b，c为正实数且(a+b+c)(1a14．（2024秋•师宗县校级期末）若长方形的周长为12，则该长方形面积的最大值为．15．（2025•鹰潭一模）若正实数a，b满足条件：ea+b＝e（a+b）（e是自然对数的底数），则ab的最大值是．16．（2025•常德校级一模）已知函数f（x）＝x3+2x，若m＞0，n＞0，且f（2m）+f（n﹣1）＝f（0），则1m+2n的最小值是四．解答题（共4小题）17．（2024秋•水磨沟区校级期末）已知集合A={x|14＜2x＜16}，B＝{x（1）当a＝1时，求A∪B；（2）若A∩B＝A，求a的取值范围．18．（2024秋•宿州期末）已知关于x的不等式x2﹣mx﹣3＜0的解集为（﹣1，n）．（1）求实数m，n的值；（2）若正实数a，b满足ma+nb＝1，求1a19．（2024秋•双清区校级期末）已知m＞0，n＞0且mn＝m+n+15，求解下列问题．（1）求mn的最值；（2）求m+n的最值；（3）求2m+3n的最小值．20．（2024秋•朝阳校级期末）已知x＞2，y＞0，xy＝y+4．（1）求x+y的最小值和（x﹣1）2+y2的最小值；（2）求x+

2025年高考数学三轮复习之相等关系与不等关系参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CDCCDCBD二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACDBCDABBCD一．选择题（共8小题）1．（2024秋•石嘴山期末）函数y=logax+ax-1+2(a＞0且a≠1）的图象恒过定点（k，b），若m+n＝A．8 B．9 C．92 D．【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】C【分析】首先要找到函数图象恒过的定点，得出k和b的值，进而得到m+n的值．然后利用均值不等式来求4m【解答】解：函数y=logax+ax-1+2(a＞0且即函数y=logax+ax-1+2的图象恒过定点（1已知m+n＝b﹣k，把k＝1，b＝3代入可得m+n＝3﹣1＝2，即12（m+n）＝1所以4m+1n=（4m+1n）•12（m+n）=1当且仅当mn即4m+1故选：C．【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．2．（2025•咸阳模拟）已知直线y＝ax+b（a＞0，b＞0）过函数f(x)=xA．6 B．7 C．8 D．9【考点】运用基本不等式求最值；奇偶函数图象的对称性．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解．【答案】D【分析】结合函数性质求出对称中心，进而可得a+b＝1，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为f(x)=x+1则a+b＝1，a＞0，b＞0，所以4a+bab=4b+1a=当且仅当b＝2a，即a=13，b故选：D．【点评】本题主要考查了函数对称性的求解，基本不等式求解最值，属于基础题．3．（2024秋•山西期末）数列{an}的通项公式为an=21×(12)n，当{anA．2 B．3 C．4 D．5【考点】指、对数不等式的解法；数列的函数特性．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】C【分析】先根据等比数列的单调性判断1≤n≤4时，{an}的前n项积越来越大，当n≥5时，{an}的前n项积越来越小，从而可得答案．【解答】解：因为an所以数列{an}是递减数列，a4=21×(所以a1＞a2＞a3＞a4＞1＞a5＞a6＞...＞an所以当n≥5时，{an}的前n项积越来越小，1≤n≤4时，{an}的前n项积越来越大，所以当数列{an}的前n项积最大时n的值为4．故选：C．【点评】本题主要考查数列的应用，属于基础题．4．（2025•江西模拟）已知关于x的不等式(log2(2x-3a)a2+A．a∈(0，12) B．[12，2) C．[1【考点】指、对数不等式的解法；对数运算求值．【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】利用对数的运算性质及不等式的解法，结合换底公式进行计算，解答时需要进行分类讨论求解．【解答】解：不等式可化为log2(由log22x-3aa2得log22x-3aa2+log22x﹣所以log22x(2所以2x(2所以（2x）2﹣3a•2x﹣4a2＞0，即（2x﹣4a）（2x+a）＞0，因为log2（2a）＞0，所以2a＞1，解得a＞1所以2x﹣4a＞0，解得x＞2+log2a，因为关于x的不等式（log22x-3aa2+x﹣2）•log2（所以2≤2+log2a＜3，解得1≤a＜2，因为a＞12，所以1≤a＜当log2（2a）＜0时，0＜2a＜1，解得0＜a＜1由log22x-3aa2得log22x-3aa2+log22x﹣所以log22x(2所以0＜2x当2x（2x）2﹣3a•2x﹣4a2＜0，即（2x﹣4a）（2x+a）＜0，所以2x﹣4a＜0，解得x＜2+log2a，因为0＜a＜12，所以log2a＜﹣1，x取不到最小整数解为当0＜2x(2x-3a)4所以2x＜3a，解得x＜log23a，因为0＜a＜12，所以log23a＜log232，x综上所述：a的取值范围是[1，2）．故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是难题．5．（2024秋•滨州期末）按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁．对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算．男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下：出生时间1965年1月至4月1965年5月至8月1965年9月至12月1966年1月至4月…改革后法定退休年龄60岁1个月60岁2个月60岁3个月60岁4个月…那么1973年5月出生的男职工退休年龄为（）A．61岁3个月 B．62岁 C．62岁1个月 D．62岁2个月【考点】不等关系与不等式．【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；逻辑思维．【答案】D【分析】设男职工的出生于公元x年y月，1965≤x≤1976，1≤y≤12，设延迟退休月数为z，列出函数关系式，再求结论．【解答】解：设男职工的出生于公元x年y月，1965≤x≤1976，1≤y≤12，x，y∈N*，设该男职工延迟退休月数为z，则当9≤y≤12时，z＝3（x﹣1965）+3，当5≤y≤8时，z＝3（x﹣1965）+2，当1≤y≤4时，z＝3（x﹣1965）+1，因为该男职工1973年5月出生，所以延迟退休月数为3×（1973﹣1865）+2＝26，所以1973年5月出生的男职工退休年龄为62岁2个月．故选：D．【点评】本题主要考查分类讨论思想以及不等式的应用，属于基础题．6．（2024秋•福贡县期末）若a＞1，b＞2，则a+b的取值范围是（）A．[3，+∞） B．（﹣∞，3] C．（3，+∞） D．（﹣∞，3）【考点】等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】C【分析】根据不等式的性质即可求出．【解答】解：因为a＞1，b＞2，所以a+b＞3．故选：C．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．7．（2024秋•昌黎县校级期末）已知集合A＝{x|x2﹣6＜0}，B＝{x|1≤2x≤8}，则A∩B＝（）A．[1，6) B．[0，6) C．(【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】B【分析】解出一元二次不等式与指数不等式，再利用交集定义计算即可得．【解答】解：因为A＝{x|x2﹣6＜0}＝{x|-6＜x＜6}，B＝{x|0则A∩B＝[0，6）．故选：B．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．8．（2024秋•西安期末）已知正数a，b满足ab＝2，则1aA．2 B．22 C．22 D【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】D【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正数a，b满足ab＝2，则1a+1b≥21ab故选：D．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024秋•邢台期末）已知a＞0，b＞0，则（）A．a2+b22C．b2a+a2b≥a+b D．（a+b）（a【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】ACD【分析】由基本不等式的性质逐一判断所给命题的真假．【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以a+b≥2ab，a2+b2≥2ab，a则a2+b所以a2+b22≥2aba+b，（a+b）（a3+b3因为a+2b2a+b-bab2a+a2故选：ACD．【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．（多选）10．（2024秋•蚌埠期末）已知a，b∈（0，+∞），a+b＝2，则以下结论正确的是（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．|a﹣2|+|b﹣2|＝2 C．a+b≥2 D．2a+2b≥4【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】BCD【分析】A选项，由基本不等式得到ab≤1，故（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣1≤0；B选项，a，b∈（0，2），故|a﹣2|+|b﹣2|＝4﹣（a+b）＝2；C选项，直接判断即可；D选项，由基本不等式计算出答案．【解答】解：A选项，当a＝b＝1时，A显然错误；B选项，因为a，b∈（0，+∞），a+b＝2，所以a，b∈（0，2），|a﹣2|+|b﹣2|＝2﹣a+2﹣b＝4﹣（a+b）＝4﹣2＝2，B正确；C选项，a+b＝2，故a+b≥2，C正确；D选项，2a当且仅当2a＝2b，a＝b＝1时，等号成立，D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．（多选）11．（2024秋•山西期末）已知实数a，b，c，d满足a＜b＜0＜c＜d，则（）A．ab＞b2 B．bc＞ad C．ba＞dc D【考点】等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】AB【分析】由不等式的性质结合已知可得A正确、B正确；作差可得C错误；举反例可得D错误；【解答】解：对于A，因为a＜b＜0，两边同乘以b，因为b＜0，所以由不等式的性质，得ab＞b2，故A正确；对于B，因为a＜b＜0，所以0＜﹣b＜﹣a，又0＜c＜d，由不等式的性质，得﹣bc＜﹣ad，所以bc＞ad，故B正确；对于C，ba-dc=bc-adac，由题意知ac＜0，且bc﹣ad对于D，取a＝﹣3，b＝﹣1，c=12，d＝2，故选：AB．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．（多选）12．（2025•咸阳模拟）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（）A．若教室的窗户面积与地面面积之和为200m2，则窗户面积至少应该为30m2 B．若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变 C．若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 D．若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了n%（m≠n）；地面面积两次都增加了m+【考点】不等关系与不等式；不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】根据题意，用不等式的知识逐项判断．【解答】解：A选项，教室的窗户面积与地面面积之和为200m2，窗户面积如果是30m2，地面面积是170m2，此时窗户面积与地面面积之比＞15%，A不对，B选项，窗户面积和地面面积都增加原来的10%，比值没有变化，则教室通风效果不变，B正确，C选项，由ba＜b+ca+c（0＜c，0＜D选项，两次增加，窗户增加到之前的（1+m%）（1+n%），地面增加到之前的（1+m+n（1+m+n2%）2﹣（1+m%）（1+n%）＝（m+n2%）2﹣故选：BCD．【点评】本题考查不等式的知识，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•安徽模拟）已知a，b，c为正实数且(a+b+c)(【考点】运用基本不等式求最值．【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】无解．【分析】先由题设得ba+c【解答】解：因为(a所以3+ba+且(a所以[(a所以1=2(a=2(a=8(a=8×=116+2[(a≥116+2(2所以(a当且仅当a2bc=bca2，此时(a所以(a故答案为：无解．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于难题．14．（2024秋•师宗县校级期末）若长方形的周长为12，则该长方形面积的最大值为9．【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】9．【分析】设长方形的长与宽分别为a，b，可得a+b＝6，利用基本不等式求面积最大值．【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，则2a+2b＝12，则a+b＝6，所以该长方形的面积S=ab≤(a+b2)即长方形面积的最大值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了基本不等式求最值的方法，是基础题．15．（2025•鹰潭一模）若正实数a，b满足条件：ea+b＝e（a+b）（e是自然对数的底数），则ab的最大值是14【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】14【分析】确定y＝ex与y＝ex图象相切，从而得到a+b＝1，再由基本不等式即可求解．【解答】解：正实数a，b满足条件：ea+b＝e（a+b），构造函数y＝ex，y＝ex，求y＝ex在x＝1处的切线方程，y′＝ex，此时切线斜率为e，切线方程为：y﹣e＝e（x﹣1），即y＝ex，画出图象，所以由ea+b＝e（a+b）可得：a+b＝1，所以a+b=1≥2所以ab的最大值是14故答案为：14【点评】本题主要考查了函数最值求解中的应用，属于中档题．16．（2025•常德校级一模）已知函数f（x）＝x3+2x，若m＞0，n＞0，且f（2m）+f（n﹣1）＝f（0），则1m+2n的最小值是【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】8．【分析】先判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可得m，n的关系，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为f（x）＝x3+2x，所以f（﹣x）＝﹣x3﹣2x＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，因为y＝x3与y＝2x都为R上递增的函数，故f（x）在R上单调递增，若m＞0，n＞0，且f（2m）+f（n﹣1）＝f（0）＝0，则f（2m）＝﹣f（n﹣1）＝f（1﹣n），所以2m＝1﹣n，即2m+n＝1，1m+2n当且仅当n＝2m，即m=14，n故答案为：8．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•水磨沟区校级期末）已知集合A={x|14＜2x＜16}，B＝{x（1）当a＝1时，求A∪B；（2）若A∩B＝A，求a的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法；集合的包含关系的应用．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）（﹣2，8）；（2）{a|-3≤【分析】（1）解指数不等式化简集合A，再利用并集的意义求解．（2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系列式求解．【解答】解：（1）由14＜2x＜16，得﹣2＜x＜4，则A＝{x|﹣当a＝1时，B＝{x|1＜x＜8}，所以A∪B＝{x|﹣2＜x＜8}．（2）由（1）知，A＝（﹣2，4），由A∩B＝A，得A⊆B，则2a-1所以a的取值范围是{a|-3≤【点评】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题．18．（2024秋•宿州期末）已知关于x的不等式x2﹣mx﹣3＜0的解集为（﹣1，n）．（1）求实数m，n的值；（2）若正实数a，b满足ma+nb＝1，求1a【考点】运用基本不等式求最值；解一元二次不等式．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；不等式；运算求解．【答案】（1）m=2（2）3+22【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和韦达定理求解即可；（2）利用2a+3b＝1将1a【解答】解：（1）不等式x2﹣mx﹣3＜0的解集为（﹣1，n），由题意得，﹣1，n是方程x2﹣mx﹣3＝0的两根，则-1×n=-3-1+n（2）由（1）得，正实数a，b满足2a+3b＝1，所以1a当且仅当3ba=2a3b，且2a所以1a+1【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于基础题．19．（2024秋•双清区校级期末）已知m＞0，n＞0且mn＝m+n+15，求解下列问题．（1）求mn的最值；（2）求m+n的最值；（3）求2m+3n的最小值．【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由已知结合m+n≥2mn，解不等式即可求解（2）由已知结合mn≤(m+n2（3）由已知得（m﹣1）（n﹣1）＝16，然后结合基本不等式即可求解2m+3n的最小值．【解答】解：（1）因为m＞0，n＞0，mn＝m+n+15≥2mn+15，当且仅当m＝n＝5所以mn≥25，即mn的最小值为25；（2）由m+n+15＝mn≤(m+n2)2解得，m+n≥10（舍负），所以m+n的最小值为10；（3）由mn＝m+n＝15可得，（m﹣1）（n﹣1）＝16，所以2m+3n＝2（m﹣1）+3（n﹣1）+5≥22(m-1)×3(n当且仅当2m﹣2＝3n﹣3且（m﹣1）（n﹣1）＝16，即n＝1+463，m＝所以2m+3n的最小值为5+86．【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．20．（2024秋•朝阳校级期末）已知x＞2，y＞0，xy＝y+4．（1）求x+y的最小值和（x﹣1）2+y2的最小值；（2）求x+【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】（1）x+y的最小值为5，（x﹣1）2+y2的最小值为8；（2）5．【分析】（1）依题意可得x=1+（2）结合（1）可得x+【解答】解：（1）因为x＞2，y＞0，xy＝y+4，所以x=1+4y＞2，解得0＜所以x+y=1+4y+y≥1+24y⋅所以x+y的最小值为5；又(x-1)2+y2=16y2所以（x﹣1）2+y2的最小值为8．（2）因为x=1+4y，x＞2且0＜y所以x=1+1+4-当且仅当4-yy=y4-y，即y＝所以x+44-【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．

考点卡片1．集合的包含关系的应用【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】设m为实数，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，满足B⊆A，则m的取值范围是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B⊆A，∴当m＞2m﹣1时，即m＜1时，B＝∅，符合题意；当m≥1时，可得-3≤m综上所述，m≤32，即m故答案为：(-∞，2．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．3．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且4．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．5．不等式比较大小【知识点的认识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【命题方向】方法一：作差法典例1：若a＜0，b＜0，则p=b2a+a2bA．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q解：p﹣q=b2a+a2b-a﹣b=b∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，综上p≤q，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数(25)-1A．(65)-15＜(65)-解：由指数函数的单调性可知，(6由幂函数的单调性可知，(2则(2故(6故选：B．6．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．7．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．8．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：9．解一元二次不等式【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣将不等式转化为ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根据根的位置，将数轴分为多个区间．﹣在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．﹣综合各区间的解，写出最终解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}10．奇偶函数图象的对称性【知识点的认识】奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n．【解题方法点拨】由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1