2024届高三数学二轮复习专项训练：切线（选填题12种考法）原卷版

专题08切线(选填题12种考法)

考法解读

一特征一该点为切点—未知切点先设切点

在点(Xo，f(Xo))的切线方程

①求斜率：求导k=f'(x),将切点的横坐标代入f'(A)

-题型1切线方程一

②求切线：点斜式求切线y-y()=f(Xo)(x-x())

注意：若f(x())未知，将X。代入原函数求f(x0)

「①切点处的导数是切线的斜率；

一题型2求参数+②切点在切线上,切点代入切线

I③切点在曲线上，切点代入曲线

8H刑。十层梏根据求参数解题思路列式--消元一变成关于切点的函数-一

题型3求最值根据函数特点选择判断单调性的方法--确定最值点求最值

L特征一该点不一定是切点

切

(1)设点：设切点的坐标(X0,y)

线0

(2)求导：求函数的导致f(X。)

一题型1切线方程-f'(Xo)=b^b=切点(%y)过的点(%,V)

(3)列匕｛。-弓0

乂=«0)

(4)点斜式：y-yt=f(xe)(x-xt)

设切点：曲线f(x)切点(x0,y0)

L过求导数:f(x)

点

J题型求参数.v-V

2列k式：%:f(xo)=32①((X1,yj是过点的坐标)

列方程组：｛X]-Xo

代切点：将切点代入曲线f(x)或切线方程

r①设切点坐标

一②写出切线方程或列切线k的方程，转化成求切点横坐标的根

J题型3切线条数-的个数或根的范围

I③根据需要转化成交点个数问题

①设切点坐标

题型最值或

I4②写出切线方程或列切线的方程，转化成切点横坐标的方程

取值范围｛k

③根据方程的特征选择判断单调性的方法，进而求最值

r①两个函数在切点处的斜率相等

②切点既在切线上又在曲线上，代入切线或曲线，列出有关

r题型1求参数

公切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.

切

③或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.

线L

按题型列出方程，根据方程的特征选择判断单调性的方法,

-题型求最值1

2进而求最值

切线与倾斜角

切

线

「设点：设曲线上的点坐标

l题型1点到曲线的距离最值-一列式：利用两点间的距离

J最值：根据式子的特征选择单调性的方法进而求最值

平

切

行

线r设切线：设平行于直线且与曲线相切的直线方程

切

的题型曲线上的点到

2--求切线：利用导函数的几何意义求切线

线

应直线距离最值

法

用I求距离：点到曲线距离转化成两平行线的距离

r分参参数，水平线法

L题型3零点的个数求参--分离函数，切线法

口移项到一边，求导分类讨论

典例剖析

f-考法一在点：求切线方程

一考法二在点：已知切线求参数

一考点三在点：求参数最值

一考法四过点：求切线方程

—考法五过点：已知切线求参数

切

线—考法六过点：求切线的数量

考

法一考法七过点：求最值与取值范围

—考法八公切线

一考法九切线与倾斜角

考法一在点：求切线方程

【例1】（2023•全国•统考高考真题）曲线y=鼻在点，,处的切线方程为（）

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+——

424424

【变式】

2x-1

1.（2021•全国•统考高考真题）曲线y=丝」在点（T-3）处的切线方程为.

2.（2023•安徽哈肥一中校联考模拟预测）曲线〃x）=/-6炉+18在点（2,42））处的切线方程为.

3.（2023•辽宁•校联考二模）己知函数〃到=（0-1）/_•必・是奇函数，则曲线y=在点（0,0）处的切线方

程为.

考法二在点：已知切线求参数

【例2-1］（2023•河南,校联考模拟预测）若直线y=-3x+g与曲线尤）=1工+。相切，贝壮=.

【例2-2】（2023•西藏日喀则・统考一模）已知直线好去+》是曲线〃x）=xe'.在点处的切线方程，则

k+b=___________

【变式】

1.（2023・安徽•池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数〃x）=lnx-6+1（其中aeR）在x=l处的切

线为/,则直线/过定点的坐标为.

2.（2023・广西•统考模拟预测）若曲线〃尤）=alnx+x3-2x在x=l处的切线与直线尤+4了-7=。相互垂直,

贝Ia=.

3.（2023•广东东莞•东莞实验中学校考一模）已知直线>=依-1与曲线y=aln尤+2相切，贝|。.

考点三在点：求参数最值

【例3】（2023•浙江•模拟预测）已知直线>=分+6与曲线y=lne无相切，则a+b的最小值为（）

A.三B.1C.0D.布

【变式】

1.（2023•新疆阿克苏•校考一模）若直线y="+〃与曲线■相切，则上的取值范围是（)

x

2.（2023秋•河南商丘•高三商丘市实验中学校联考阶段练习）己知。>0,b>0,直线y=x+2a与曲线

12

y=ei-b+l相切，则—F7的最小值为_____.

ab

3.（2023秋•青海西宁•高三统考开学考试）已知直线丁=办+〃与曲线y=hx+h相切，则5〃-匕的最小值为

A.21n2B.21n2-lC.41n2D.41n2-l

4.（2023•全国•高三专题练习）已知曲线y=ln（mx+〃）与直线2x-y=。相切，则根+〃的最大值为（）

e2e2

A.—B.—C./?D.2e2?

42

考法四过点：求切线方程

【例4】（2023春•上海浦东新）已知曲线了（%）=2%3—3%,过点M（0,32）作曲线的切线，则切线的方程为.

【变式】

a

1.（2023吉林）已知函数〃彳）=丁+：/一6x+l,则曲线y=〃x）过点（0』）的切线方程为.

2.（2023・山东河北衡水中学统考一模）过点（-1,1）与曲线〃耳=111（彳+1）-36*+2相切的直线方程为.

3.（2022•全国•统考高考真题）曲线、=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.

考法五过点：已知切线求参数

【例5】（2023•北京）过原点的直线相，"与分别与曲线〃尤）=e'，g（x）=lnx相切，则直线根,“斜率的乘积为

（）

1

A.-1B.1C.eD.-

e

【变式】

1.（2023春・河南周口）已知曲线/（%）二』一—Hnx在l=1处的切线过点（2,3）,则实数”（）

A.-1B,-3C.1D.3

2.（2023广东湛江）过点尸（1,0）可以作曲线〃x）=xe£的两条切线，切点的横坐标分别为小,n,则苏+»的

值为（）

A.1B.2C.6D.3

考法六过点：求切线的数量

&c

r,x>°

【例6】（2023•福建泉州•泉州五中校考模拟预测）已知函数f（x）=厂，过点A（2,0）作曲线y=/（x）的

e

—<0

切线，则切线的条数为.

【变式】

1.（2023春•甘肃张掖）若过点尸（1,0）作曲线y=d的切线，则这样的切线共有（）

A.。条B.1条C.2条D.3条

ex

~^x>0

2.（2023•海南•统考模拟预测）已知函数〃x）=「二,过点0（0,0）作曲线y=的切线，则切线的

-彳，尤<0

Ix

条数为.

3.（2023•高二单元测试）已知函数=d.2x,则过点（2,-4）与曲线y=/（x）相切的直线有条.

考法七过点：求最值与取值范围

【例7-1］（2022•全国•统考高考真题）若曲线y=（x+a）e，有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围

是.

【例7-2】（2023・云南・校联考模拟预测）（多选）已知函数/（X）=X3-M,若过点恰能作3条曲线

y=/（x）的切线，则加的值可以为（）

3453

A.-B.—C.—D.一

4335

【变式】

1.（2021•全国•统考高考真题）若过点（凡为可以作曲线y=e"的两条切线，则（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<e〃D.0<b<ea

2.（2023•云南）过坐标原点可以作曲线y=（x+a）e'两条切线，则。的取值范围是（）

A.（-e,0）B.（-4,0）

C.（^»,-e）u（0,+oo）D.（-oo,-4）u（0,+<»）

3.（2023•江西•校联考模拟预测）若过x轴上任意点A（a,0）（a>0）可作曲线/（x）=e一右两条切线，贝麟的

取值范围________.

4.（2023•广西玉林•统考模拟预测）若曲线/（可=之有三条过点（0M）的切线，则实数。的取值范围为

考法八公切线

【例8-1】（2023•江西南昌•校考模拟预测）若直线>=履+万是曲线y=Mx+2的切线，也是曲线，=皿》+2）

的切线，则b的值为（）

A.0B.1C.0或1D.。或-1

【例8-2】（2023•河北・统考模拟预测）若曲线/。）=3/一2与曲线g（x）=-2-〃zlnx（机/0）存在公切线，则

实数加的最小值为（）

A.—6eB.—3eC.2-VeD.6e

【变式】

1.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数/（x）=ln（x+l）,g（x）=ln（e，），若直线y=履+》

为/（x）和g（无）的公切线，则6等于（）

A.3B.l-ln2C.2-ln2D.-In2

2.（2023•河南•校联考模拟预测）已知直线丁=履+6（左€此6片0）是曲线/（x）=e'-1与g（x）=1+Inx的公切

线，则上+6=.

3.（2023•全国•镇海中学校联考模拟预测）若关于x的不等式2+lnxV办+6Ve工恒成立，则实数。的取值范

围是（）

1

B.[1,A/C]C.[l,e]D.一,e

e

4.（2023・湖南郴州•安仁县第一中学校联考模拟预测）若存在直线与曲线〃无）=d一乂g⑺=/一标+。都

相切，则。的取值范围是（）

A.[0,275]B.[-2^,0]C.3亚1-旧1+V5

一=’2D.

252

考法九切线与倾斜角

【例9-1]（2023•四川成都•四川省成都列五中学校考模拟预测）设点P是函数〃口=尤3广⑴尤+尸⑵图

象上的任意一点，点尸处切线的倾斜角为。，则角。的取值范围是（）

【例9-2】（2023春•福建,高二校联考期中）曲线》=-^+/+8了+3在某点处的切线的倾斜角为锐角，且该

点坐标为整数，则该曲线上这样的切点的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式】

1.（2023・上海徐汇•位育中学校考三模）设P是曲线丁=-尤3+犬+：上任意一点，则曲线在点P处的切线的

倾斜角a的取值范围是

2.（2023・四川成都•四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设点P是函数--（0卜+尸（1）图象上

的任意一点，点P处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是

3.（2023•河北衡水•校联考二模）已知函数的导函数为尸（x）,且满足关系式/（xbBx2-#3'⑴+21nx.

则/（x）的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为.

考法十切线的应用1i点到曲线的距离最值

【例10】（2022•全国•高三专题练习（理））若点A（0,f）与曲线＞=lnx上点8距离最小值为2石，则实数/为

【变式】

1.（2022•江苏,苏州市苏州高新区第一中学）直线y=m分别与曲线y=]/-21nx,直线j=x-3交

于A8两点，则|A目的最小值为（）

A70R367区

A♦------D♦------Jr•U.73

422

2.（2022•河北邯郸二模）已知点P为曲线，=也上的动点，。为坐标原点.当|04最小时，直线OP恰好

e

与曲线y=alnx相切，则实数。=—.

3.（2023•山西临汾•统考一模）设4＞,0）,尸是曲线＞=^上的动点，且|尸山..26.则f的取值范围是.

考法十一切线的应用2—曲线上的动点到直线距离的最值

【例11】（2023春•陕西安康）若点尸是曲线y=hi”尤2上任意一点，则点尸到直线/：x+y-4=0距离的最

小值为（）

A.5B.0C.2D.272

【变式】

1.（2023春广西钦州）已知P是函数〃x）=e'+d图象上的任意一点，贝U点尸至IJ直线元7-5=0的距离

的最小值是（）

A.36B.5C.6D.572

2.(2023秋•河南许昌•高三禹州市高级中学校考阶段练习)点尸是曲线/(x)=2d-31nx上任意一点，则点p

到直线J=x-4的最短距离.

3.(2023春•福建漳州•高二校考阶段练习)已知函数/。)=丈+b-1,如果直线丫=履-1与〃劝的图象无交

点，则人的取值范围是

考法十二切线的应用3-零点或实根的个数

一%+1,xWO

【例12-1】(2023北京)函数〃x)=3,若方程/(X)-依=0恰有3个根，则实数。的取值范围

|lnx|,x>0

为.

ex,%>0

【例12-2](2023•江苏扬州,扬州中学校考模拟预测)已知函数〃x)=/、2,g(x)=Mx-l),

—(x+2)+5,尤<0

若方程“X)-g(x)=O恰有三个不相等的实数根，则实数左的取值范围是()

A.(―2,—l)<j(e2,+oo)B.(―2,—l)u(2e,+oo)

C.(―3,—l)u(e2,+oo)D.(―3,—1)u(2e,+oo)

【变式】

1.(2023•四川•校考模拟预测)若函数g(x)=xlnx-〃(1-1)恰有2个零点，则实数〃的取值范围为()

A.(0,+功B.(0,e)

C.(0,1).D.(O,l),(l,e)

-^2|I^5_]

2.(2023•江苏淮安・江苏省吁胎中学校考模拟预测)已知函数/(x)=]]n(x+l)|I1]，8(X)=mX,若函

数y"(x-1)-g(x)恰有2个零点，则实数，”的取值范围为.

3.(2023・福建福州•福州四中校考模拟预测)已知函数〃x)=xlnxT+|x-4,若“可有且仅有两个零点,

则实数。的取值范围为

强化训练

一.单选题

1.(2023•山东潍坊•三模)若尸为函数““=(/-6万图象上的一个动点，以尸为切点作曲线y=〃x)的

切线，则切线倾斜角的取值范围是()

2.(2023•江苏南京•南京市第一中学校考模拟预测)已知a=5^S=log23,c=e2,设曲线y=lnd在

*=匕左>。处的切线斜率为〃％),则()

A./(c)</(Z?)</(«)B./(a)</(c)</(Z?)

C./(c)<f(a)</(Z?)D./(a)</(&)</(c)

3.(2023•全国,模拟预测)过点(2,0)作曲线〃x)=xe'"的两条切线，切点分别为(芯,〃西))，伍，〃％))，则

玉+%=()

A.-2B.-72C.正D.2

4.(2023秋糊南常德•高三常德市一中校考阶段练习)若函数/(x)=21n元+/++1的图象上任意一点的

切线的斜率都大于0,则实数机的取值范围为()

A.(-0o,-4)B.(-℃,4)C.(-4,+8)D.(4,+8)

5.(2023•山东烟台•校考模拟预测)已知函数〃元)=；以2一/(。>。且。工1)有一个极大值点々和一个极

小值点巧，且占<%,则a的取值范围为()

6.(2023•河北沧州•校考模拟预测)已知直线丫=履+〃与曲线>=1+2和曲线>=111付尤)均相切，则实数上的

解的个数为()

A.0B.1C.2D.无数

7.(2023春•江苏南通,高三校考开学考试)已知函数/(x)=4«+alnx,存在两条过原点的直线与曲线

y=/(x)相切，则实数a的取值范围是()

A.(-e2,0)B.(-00,-e3)

（3>

C.（一五,0）D.-00,-e2

\7

8.（2023•四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若曲线y=lnx上恰有三个不同的点到直线y=x+a

的距离为近，则实数。的值为（）

A.-3B.-2A/2C.1D.-3或1

9.（2023•河南嚷城高中校联考三模）已知函数〃对二人国七⑺二；1!，若方程/（x）=g（x）有两个实根，

且两实根之和小于0,则实数左的取值范围是（）

A.（ofB.C.[,+"D.（2,+00）

10.（2023•四川成都・四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知°>1,占,马，无3为函数/（》）=。「无2的零点，

Xl<X2<X3,若X]+尤3=2%2，贝I（）

A.-<21nczB.­=21na

x,x2

C.i>21naD.4与21na大小关系不确定

马尤2

二.多选题

11.（2023•云南・云南师大附中校考模拟预测）已知函数/（x）=|lnx|-履-1,下列结论正确的是（）

A.若％=0,则〃工）有2个零点B.若0〈上<e一2,则有3个零点

C.存在负数3使得〃x）只有1个零点D.存在负数3使得有3个零点

12.（2023,湖南长沙•长沙市实验中学校考二模）已知/（x）=d-x,若过点P（m,〃）恰能作两条直线与曲线

y=〃x）相切，其中相中0,则根与〃可能满足的关系式为（）

A.m+n=0B.m=n

C.m2—n=0D.—m3+m+n=0

13.（2023•安徽合肥•合肥市第六中学校考模拟预测）己知函数/（x）=e*+2（e为自然对数的底数），则下

列结论正确的是（）

A.曲线y=/（x）的切线斜率可以是-2

B.曲线y=/（x）的切线斜率可以是3

C.过点（0,2）且与曲线y=〃x）相切的直线有且只有1条

D.过点（1,4）且与曲线y=/（x）相切的直线有且只有2条

14.（2023•广东•校联考模拟预测）已知函数"x）=ei+lnx,则过点（。㈤（“>0）恰能作曲线y=〃x）的两

条切线的充分条件可以是（）

A.b=2a-l<lB.b=2a—l>l

C./（tz）<2a—l<lD.2a—1>>1

15（2023・上海•高二专题练习）已知函数〃x）=W，过点（。,为作曲线〃x）的切线，下列说法正确的是（）

A.当a=0,6=0时，有且仅有一条切线

4

B.当a=0时，可作三条切线，则0<〃工不

e

C.当。=2,力>。时，可作两条切线

D.当0<a<2时，可作两条切线，则b的取值范围为丫或二

ee

三.填空题

16.（2023•四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知/（力=依2（。>。）的图象在*=1处的切线与

与函数g（x）=e，的图象也相切，则该切线的斜率左=.

17.（2023•浙江・统考一模）若曲线y=e，+asinx存在两条互相垂直的切线，则。的取值范围是.

18.（2023•广东肇庆•校考模拟预测）已知曲线〃x）=e-l与曲线g（x）=e>2有相同的切线，则这条切线的

斜率为.

19.（2023•陕西榆林•校考模拟预测）已知函数〃x）=lnx+gx2+x,则广⑺所有的切线中斜率最小的切线方

程为.

20.（2023・全国•模拟预测）曲线y=在x=0处的切线的倾斜角为。，贝（Jsin（2a+1^=.

21.（2023•内蒙古呼和浩特,统考一模）设点P为函数八*）=3尤2+26与8（2=3内11%+2%（4>0）图象的公

共点，以P为切点可作直线/与两曲线都相切，则实数b的最大值