2024江苏高考数学二轮复习标训练：椭圆

课时达标训练（十一）椭圆

A组一一大题保分练

Y2V2

1.（2024•扬州期末）如图，在平面直角坐标系中，椭圆筋F+R=1（a＞力＞0）的离心

ab

率为右左、右顶点分别为4B,线段的长为4.点尸在椭圆〃上且位于第一象限，过点

A,6分别作，，为，IdPB,直线心交于点C

（1）若点，的横坐标为一1,求点尸的坐标；

（2）设直线工与椭圆〃的另一个交点为Q,且4C=4,求才的取值范围.

K

"=i

解：由题意得｛a2'解得'：.甘=-a—c=3

匕=2,f

〔2片4,1

X2V2

椭圆〃的方程是彳+《=1且4（—2,0）,8(2,0).

40

%

法：（1）设尸（Xo,Jo）9贝!J扇一x+2'

/(x+2).

阳，...直线，的方程为y=-

Jb

同理得直线心的方程为y=--(x—2).

7b

-（x+2）

,(X=—Xo,

7b

联立方程，得〈°解得1/一4

Ao一2y—，

y—（x2）,IJo

1To

42

"IF-44

乂——”，

JbJb3

，点c的坐标为（一X。，—

:点C的横坐标为一1,刘=1,

・

又尸在椭圆〃上，且位于第一象限,••Jo—、A34苞-2

点户的坐标为（1，

⑵设讥蜘％）,

一照+2=4(您+2),

AC=AAQ,.J4

一4％，

r为12c

5r+L，

解得〈

4

%=_打加

1，照2¥M4\2

:点0在椭圆〃上，：.^——+——2\+]]一■§■了%)=1，

35x—go

得7x6—36(儿一l)xo+724—100=0,解得刘=2(舍)或刘=~

361—50532516代

•••尸在椭圆〃上，且位于第一象限,•••0<---<2,解得而<4<丁，，才的取值

Iioy

'2516、

范围为18'T/

法二：⑴设"的斜率为A,P(x。,㈤,

:尸在椭圆〃上,且位于第一象限,;.Q<Y坐

yojb33

了...直线在的斜率为一获.

xo—2岔一4

6-8^

y=k(x+2),

X=4"2+3'

联立方程，得＜3解得V

尸一获(X—2),124

、尸4■+3'

%一81?128)

即、4好+3'4^+3)

.门」序，...zT，则直线，的方程为尸—3+2),

44

,：b工PB,：.1^=苜,则直线入的方程为y=y(x—2).

rir8A2-6

y=-7(x+2)

K*=4必+3,

由〈得《

4、—16A

尸y(x-2)丁=4炉+3'

口/8好一6-16^

即世”乖R

.8^2-6

:点c的横坐标为一I,•••41+3=T解得k=+1.

1

\*Q<k<之，:・k=5,・・・点户的坐标为

⑵设Q〈XQ,yQ),C(xc,"),

由(1)得直线，的方程为y=—"(x+2),

ri

y=-7(x+2),

联立方程，得〈22得(3必+4)x?+16x+16—12A2=0,

li+y-1-

ZB6^-8

8"6

..一一.,「+24'+316A2(3A°+4),7

•AC="AQ'*,=.+2=前百-=12A2(4A2+3)=1+127+9'

3?+4+2

'2516、

18'9y

2516、

・•・几的取值范围为I

18,

22

2.(2024•苏北三市一模)如图，在平面直角坐标系xa中，已知椭圆G今+£=1(8

ab

>b>0)的离心率为叩，且右焦点到右准线1的距离为1.过x轴上一点0)(卬为常数,

且〃e(0,2))的直线与椭圆。交于46两点，与,交于点只，是弦46的中点，直线必

与1交于点Q.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)试推断以匐为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

cyz

ea2[a=y[2,

解：(1)由题意，得〈.解得V所以4=2,方2=1,

a〔c=l,

——c=l,

IC

所以椭圆c的标准方程为万+/=1.

(2)由题意，当直线相的斜率不存在或为零时明显不符合题意，所以设直线的斜率

为k,则直线46的方程为y=A(x—4(AW0).

又准线方程为x=2,

所以户(2,4(2—㈤),

y=k（x—加,

由2.2得3+2妙（X—42=2,

x+2y=2

即（1+2«2）3—4后zzx+2后z/—2=0,

2必m土、必一2必而+2I4必m

XA,B-'2A2+1''+廊二而不p

14接m2接m(2段mkm

所以D

X-22?+T=27+T,y"2庚2如+1'

所以koD——

从而直线OD的方程为y=一(也可用点差法求解)

所以《2,—0,

所以以园为直径的圆的方程为(X—2)2+卜一人2—血]=0,

即/—4^+2+ffl+y—k（2一加一：y=0

因为该式对随意此。恒成立，令y=0,得x=2土＜2-卬,

所以以闾为直径的圆经过定点(20).

3.(2024•南通、泰

22

2a+京b

(1)求椭圆的标准方程;

⑵若尸为椭圆上的一点,

c_

aa=由

解：(1)由题意得＜a2解得c=l,

—C=l,

76=1.

c—a,

所以椭圆的标准方程为5+/=1.

(2)由题意知少的斜率存在.

当8的斜率为0时，OP=y[2,OQ=^2,

所以万产+访=L

当少的斜率不为0时，设直线少的方程为尸kx.

——Hv—]o

由＜2'得(2"2+1)3=2,解得/=支书,

、y=kx,

正」22A之曰2好+2

所以y=永甲I’所以秋=亦不r

因为OQ,所以直线OQ的方程为y=~y.

y=丑

由，1得x=一^\[2k,所以00=2段+2.

y=一飞

…1,121i+\,1

"所'人以rOF丁+—007=—2^25——+2+―2A25——+2=1

综上，可知0y+0d=1•

221

XV

4.已知椭圆瓶(=1(。＞6〉0)的离心率为5,I一个焦点到相应的准线的距离、为3,圆

ab2

”的方程为(x—c)2+/=/+/(＜?为半焦距)，直线_/：y=Ax+〃(A＞0)与椭圆〃和圆”均只

有一个公共点，分别设为4B.

(1)求椭圆〃的方程和直线1的方程；

⑵试在圆N上求一点?，使万=241

c1

---

H2

解：(1)由题意知＜解得a=2,c=l,所以b=yl3,

a2

—c=3

Ic

22

所以椭圆〃的方程为X彳V+:=1.

圆N的方程为(^-l)2+y—5,

c22

工+匕=1

联立4十3—1'

、y=kx~\~m,

消去力得(3+4/x?+8拓zx+4勿2—12=0,①

因为直线2：与椭圆〃只有一个公共点，

所以A=64A2/Z72—4(3+4^2)(W—12)=0得m=3+4/②

由直线/：y=Ax+/与圆N只有一个公共点，

得：+”弓=邓,即必+2km+货=3+3必,③

W+k

将②代入③得加=1,④

由②④且4〉0,得仁/m=2.

所以直线1的方程为y=1x+2.

(2)将《=1,片2代入①，可得/1一1,||

又过切点8的半径所在的直线？为尸一2x+2,所以得交点6(0,2),

PB

设户(xo,㈤，因为万=2班，

则北+（%—2）2

2=8

（Ab+1）2+fjb-

化简得7岔+7羌+16司一20%+22=0,⑤

又月(照，㈤满意岔+髭-2照=4,(6)

将⑤一7X⑥得3苞一2%+5=0,即为⑦

将⑦代入⑥得13AO+22AO+9=O,

、9

解得荀=-1或刘=—T7,

1o

(919、

所以尸(一1,1)或4—忘，77-.

\J.o1o/

B组一一大题增分练

1.(2024•南通等七市二模)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆G：j+/=l，

22

椭圆G：»l(a>6>0),G与G的长轴长之比为4：1,离心率相同.

(1)求椭圆G的标准方程；

(2)设尸为椭圆G上一点.

DA

①射线户。与椭圆G依次交于点4B,求证：方为定值；

②过点户作两条斜率分别为左，左的直线，，心，且直线，，心与椭圆G均有且只有一

个公共点，求证：A•左为定值.

解：(1)设椭圆G的焦距为2c,

由题意，知a=2低昙,才=9+上

得b=y[2,因此椭圆G的标准方程为卷+卷=1.

O乙

⑵证明：①1°当直线冲的斜率不存在时，

PAf-1,必=镜+1,则裔=^1=3—2隹-

2°当直线卯的斜率存在时，设直线卯的方程为y=4x,

代入椭圆G的方程，消去修得（4^+1）1=4.

48

所以舅=喜=4«2+],同理房=4支+],

所以苏=2舅，由题意，知x-与必同号，xA,须互为相反数,

所以a=嗜心，XA=—XB,

从而再一下二高一1升+x/_隹+]_3_2^2.

所以再=3—2/，为定值.

②设P（xo,㈤，则直线Z的方程为y—yo=ki（x—xo）,

即y=k\x-\~jo—k\Xo,

记t=yo—kixo,则7i的方程为y=k\x+t,

代入椭圆G的方程，消去力得（4席+1）¥+8左5+44=0,

因为直线人与椭圆G有且只有一个公共点，

所以A=（8At）2—4（4居+1）（4方2—4）=0,即4后一日+1=0.

将力=%一左照代入上式，整理得，（岔一4）居一2苞为人十/一1=0.

同理可得，（岔一4）届一2刘如儿+/一1=0,

所以ki,4为关于k的方程（岔—4）2—2刘为A+掩一1=0的两根,

从而ki•左

1

,X2V2222

又点尸（Xo,%）在椭圆C：豆+t=1上，所以K--4-升

oZ

12

2—p—1]

所以4•k2=~-=一对为定值.

2.如图，在平面直角坐标系x%中，已知圆。：x+p=4,椭圆

C：1+/=1,/为椭圆右顶点.过原点。且异于坐标轴的直线与椭圆。交于8C两点，直

线也与圆。的另一交点为卢，直线如与圆。的另一交点为0,其中《一|，0）.设直线

/C的斜率分别为左，左.

⑴求左左的值；

⑵记直线20,a'的斜率分别为后，kBc,是否存在常数儿，使得熊=八嬴？若存在，

求才的值；若不存在，说明理由；

（3）求证：直线4C必过点Q.

2

解：（1）设8（Xo,7b）,则C（—Xo,—Jo）,1+窟=L

因为2（2,0）,所以左=上3，左=士，

XQ—Z荀十2

1

2

-苞

241

%70

=24244-

照

所以k\k.2照

xo—2刘+2

⑵设直线力刀方程为尸人（x—2）,

y=ki(x—2)

联立

x+y=4,

消去力得（1+6*—4届x+4（届—1）=0,

n//2_1\

一4人

解得XP=-六席，j>=AU-2)-1+发

y=ki(x-2),

2

联立《X,2

了+尸=1,

消去力得（1+4居）3—16届x+4（4居-1）=0,

一4人

解得须=]+4~，y13=k\(XB——2)1+4居'

—4A

/N/yB_2A,%______i+后~5ki

kpe==

所以八=京=需二T-62(AI-1),6-4居一1'

蜀+匚1+居3

555

所以局=手说,故存在常数4=5，使得k0=手小.

（3）证明：设直线的方程为y=#2（x—2）,

当直线园与x轴垂直时，（T，一才，

则4T1｝所以左=6

即夙0,1),<7(0,-1),所以左=看

8

~51

则左o=-7--=~=ki,所以直线/C必过点Q.

o2

当直线PQ与x轴不垂直时，

设直线户。的方程为y=超”

联立尸底同什可

、/+/=4,

-2（16^-1）16.

解倚四—-标有一，%—顺率p

4一

中出,—ye_______1+4.1

因为.=刀与=二一届）=一诟

-1+4居2

16A

16—+11一，一八，一

所以kAQ=2~（］6々2］）=-44一卜2,••AyQ,。二点共线，故直线4。必过点Q.

16—+12

X2V2

3.（2024•南京三模）在平面直角坐标系x夕中，已知椭圆C：/+3=l（a>6>0）过点

11,当，离心率为半，A,8分别是椭圆C的上、下顶点，〃是椭圆C上异于46的一点.

（1）求椭圆。的方程；

（2）若点£在直线x—y+2=0上，且防=3,，求△硼4的面积；

（3）过点〃作斜率为1的直线分别交椭圆。于另一点N,交y轴于点D,且〃点在线段

物上（不包括端点。，A）,直线也与直线加交于点?，求&•苏的值.

解：（1）因为椭圆，过点［1,坐;离心率为:

所以/+2层一1'/—Ie―?，解得a—2,b2=l,

所以椭圆。的方程为5+4=1.

⑵由⑴知6(0,-1),设〃(肠词,E(XE,yM

由BE=3BM,得(XE,y'E~\~1)=3(XM,YM~\~1),

则XE=3XM,#=3%+2.

又点£在直线x—y+2=0上，所以肪=用，①

2

因为〃在椭圆。上，所以可+j4=l,

2

将①代入上式，得器=亍

所以|篇=乎,从而|焉=干,

所以S&EMA=S&EAB-5k®=]X2XX2X3-3，

⑶法一：由（1）知，4（0,1）,

设〃(0,勿)，0<zz7<l,M(xi,%),N(X2,㈤.

因为直线腑的斜率为1,所以直线腑的方程为y=x+/n.

y=x~\~m,

联立，得＜x2消去%得33+4勿x+2/^—2=0,

万+y=1，

-2刃±46-2神

则矛,12=

3

4/2m~2

所以X1+X2《-，X\•至=---

OO

又直线MB的方程为旷=21里x—1,直线照的方程为尸工+1,

矛1X2

日|、［B4B—（\+1）一+（现一1）矛1

加以易得yp—工K-

（八十1）加一（刃—1）矛1

将yi=xx+m,刃=刘+勿代入，得

2x\X2~\~m(xi+吊)+x2~xi

yp='

矛1+吊+/(田—Xi)

2m—2

2•,—2------+x2-Xi

4r

——-rm(用一矛1)

41

—--\-X2-Xi

^X2~X1)

1

F

—►—►i

所以0D,OP=S,而♦(xp,yp)=myp=m,_=1.

m

法二：由（1）知2（0,1）,

设加Xo,㈤，则/+4=1.

因为直线腑的斜率为1,所以直线掰V的方程为p=x—苞+用，则〃（0,%一苞）,

y~x-刘+y()9

联立方程，得＜x2消去人得3f—4(照一K)X+2(XO—Th)?—2=0,

万+y=l，

/=16(Ao—Jo)2—24[(Ao—Jo)2—1]，

4（刘一〃）士

则XI,2=,

6

4（苞一用）

所以XN+XQ—

3

匚二〜苞一4%2xo+yo

所以许=---,yN=-―一

所以直线序的方程为尸二叶1=2「"+3了+1,

XN4/b—Ab

直线超的方程为1,

苞

旷］目7日2点+者+刘+2%

所以易行yp—~r^—2----------o一丁丁.

—Xo—Xoyo—2刘十2%

2+刘+2K1

所以yp—

(2+刘+2%)(Jb—Ab)yb-Xo

—►—►1

所以OD•OP—(0,jb