2024北京铁二中高二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京铁二中高二（下）期中数学2024.5（试卷满分150分考试时长120分钟）一、选择题（每题4分，共8题，满分32分）1.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数为（）A.24 B.9 C.36 D.182.等差数列中，设前项和为，，则等于（）A.80 B.85 C.90 D.953.下列导数运算错误的是（）A.，则 B.，则C.，则 D.，则4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.3125.已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则A.1 B.2 C.3 D.46.已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（）A. B. C. D.7.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.8.设数列{an}是公比为q的等比数列，则“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二．填空题（每题5分，共8个小题，计40分）9.函数的递增区间是______．10.已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．11.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0．则他迟到的概率为______．12.若，则的解集为______．13.随机变量的取值为0，1，2，分布列如图：若，则______．01214.已知数列的前项和为，且．若，则数列的通项公式为______；若数列为等比数列，则______．15.数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是______．16.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，.例如，图中上档的数字和.若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.三．解答题（共6个大题，共计78分）17.已知数列是等差数列，其首项为，且公差为，若．（1）求证：数列是等比数列．（2）设，求数列的前项和．18.手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间.为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1234567A型待机时间120125122124124123123B型待机时间118123127120124其中，，是正整数，且.（1）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（2）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为，求的分布列；（3）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出，的值（结论不要求证明）.19.已知函数，．（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（2）若，过点作曲线的切线，求此切线与坐标轴围成的三角形的面积．20.某大学为调研学生在，两家餐厅用餐的满意度，从在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数满意度指数（1）在抽样的100人中，求对餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（2）从该校在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从，两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.21.已知函数．（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．22.设为正整数，各项均为正整数的数列定义如下：，（1）若，写出，，；（2）求证：数列单调递增的充要条件是为偶数；（3）若为奇数，是否存在满足？请说明理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共8题，满分32分）1.【答案】D【分析】直接依据分层抽样按比例抽取即可.【详解】依题意应从丙种型号的产品中抽取件.故选：D.2.【答案】B【分析】由等差数列的前项和公式和等差中项的性质计算即可.【详解】由题意可得，故选：B.3.【答案】B【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可.【详解】A选项，，则，A正确；B选项，，，B错误；C选项，，，C正确；D选项，，，D正确.故选：B4.【答案】A【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．考点：次独立重复试验．5.【答案】D【分析】先用公差表示出，结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列，所以，解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.6.【答案】B【分析】记事件第一次取到的是合格高尔夫球，事件第二次取到不合格高尔夫球，由题意可得事件发生所包含的基本事件数，事件发生所包含的基本事件数，然后即可求出答案.【详解】记事件第一次取到的是合格高尔夫球事件第二次取到不合格高尔夫球由题意可得事件发生所包含的基本事件数事件发生所包含的基本事件数所以故选：B【点睛】本题考查的是条件概率，较简单.7.【答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．8.【答案】D【分析】分别举出反例证明既不充分也不必要即可.【详解】当,时,满足,但是递增数列.当,时满足是递减数列,但不满足.故“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的既不充分也不必要条件.故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的辨析,及充分必要条件判断，是基础题二．填空题（每题5分，共8个小题，计40分）9.【答案】，【分析】由题意求函数定义域，再求导函数，利用，求得函数的单调递增区间即可.【详解】由题意：函数，定义域为，且，令，即，解得或，所以函数的递增区间是.故答案为：，.10.【答案】【详解】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．11.【答案】##【分析】由全概率公式公式求出答案即可.【详解】由题意可得，他迟到的概率为，故答案为：.12.【答案】【分析】求导后，令导数大于零，解出不等式即可.【详解】由题意可得，因为，所以，解得，故答案为：.13.【答案】##【分析】根据概率和为，确定，根据，确定，联立解出、，再根据求方差公式即可求解.【详解】根据题意有，即①，又因为，即，即②，联立①②，有，解得，所以，.故答案为：14.【答案】①.②.【分析】将代入，先求，再利用求出数列的通项公式为即可；先求，再利用求出时数列的通项公式，根据为等比数列，即可求解.【详解】因为，所以，时，又，即，时，，，检验：不符合上式，所以；因为，时，又，即时，，，所以，，所以，所以时，数列为等比数列，又因为数列为等比数列，所以符合上式，即，解得.故答案为：；15.【答案】【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案.【详解】由数列是递增的，则，即，整理可得，由一次函数的单调性且，则，解得.故答案为：.16.【答案】32【分析】先确定每档可取的整数，再根据公差分类讨论，最后根据分类计数原理得结果.【详解】每档可取7到14中的每个整数，若公差为0，共有8种；若公差为±1，则共有12种；若公差为±2，则共有8种；若公差为±3，则共有4种；所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种，故答案为32【点睛】本题考查分类计数原理，考查基本分析求解能力，属难题.三．解答题（共6个大题，共计78分）17.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用等差数列通项公式可得，进而得到，由，可证得结论；（2）利用等差数列、等比数列求和公式可分别求得的前项和，加和即可得到.【小问1详解】由题意得：，，又，，数列是以为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】设数列的前项和为，数列的前项和为，，，.18.【答案】（1）40（2）分布列见解析（3）【分析】（1）由频率估计概率，再计算即可；（2）由古典概率计算出概率，再列出分布列即可；（3）由平均值相等和方差最小列方程，再结合实际意义可得.【小问1详解】被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，所以56台A型手机中有台手机的待机时间不少于123小时.【小问2详解】的可能取值为，，，，，所以的分布列为：0123【小问3详解】型号被测试手机待机时间的平均值为，型号被测试手机待机时间的平均值为，因为A，B两个型号平均值相等，所以，即，B型号被测试手机待机时间的方差为，因为方差最小，所以最小，又，令，则上式可化为，因为是正整数，所以也是正整数，所以结合二次函数的性质可知，当或时，B型号被测试手机待机时间的方差最小，当时，，满足；当时，，不满足；综上，.19.【答案】（1）（2）【分析】（1）对函数求导，解出在点处的切线斜率，令斜率得即可解出的值；（2）代入化简函数，求出过点的切线方程，进而解出此切线与坐标轴围成的三角形的面积即可.【小问1详解】直线的斜率为，所以切线斜率为，由，，所以，则，所以.【小问2详解】如图：由题意知：，所以，定义域为，由，则过点作曲线的切线斜率一定存在，设切点为，设切线斜率为，则，则，又因为切线过两点，所以，所以，解得，或（舍），所以，，切线方程为，即，令，，即切线横截距为，纵截距为，所以此切线与坐标轴围成的三角形的面积为.20.【答案】（1）（2）（3）详见解析【分析】（1）对A餐厅“满意度指数”为0，是指分数在内，由频率分布直方图求出内的频率，再求出人数；（2）分别求出对A,B餐厅评价“满意度指数”为0,1,2时的概率，对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高包括：对餐厅评价的“满意度指数”为1，对B餐厅评价的“满意度指数”为0；对餐厅评价的“满意度指数”为2，对B餐厅评价的“满意度指数”为0；对餐厅评价的“满意度指数”为2，对B餐厅评价的“满意度指数”为1，由相互独立事件计算公式，求出结果；（3）从学生对A,B餐厅评价的“满意度指数”期望看，分别求出分布列，算出期望，得出结果.【小问1详解】由对餐厅评分的频率分布直方图，得对餐厅“满意度指数”为0的频率为，所以，对餐厅评价“满意度指数”为0的人数为.【小问2详解】设“对餐厅评价‘满意度指数’比对餐厅评价‘满意度指数’高”为事件.记“对餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件；“对餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件；“对餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件；“对餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件.所以，，由用频率估计概率得：，.因为事件与相互独立，其中，.所以所以该学生对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高的概率为.【小问3详解】如果从学生对，两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：餐厅“满意度指数”的分布列为：餐厅“满意度指数”的分布列为：因为；，所以，会选择餐厅用餐.注：本题答案不唯一.只要考生言之合理即可21.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是.【详解】【试题分析】（1）依据题设条件及导数的几何意义先对函数求导，再将切点的横坐标代入借助斜率相等建立方程，即，求出.（2）先对函数解析式进行求导，再对实数进行分类讨论，依据导函数的值的符号断定函数的单调性，求出其单调区间．解：函数的定义域为．且.(1)因为曲线在和处的切线互相平行，所以．即，解得.(2).