《高考备考指南 理科数学》课件-第2章 第9讲

第二章第9讲[A级基础达标]1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()A．一次函数模型 B．幂函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型x45678910y15171921232527【答案】A【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A．118元 B．105元 C．106元 D．108元【答案】D【解析】设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.3．(2017届合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()【答案】A【解析】前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A．4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为()A．85元 B．90元 C．95元 D．100元【答案】C【解析】设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]，∴当x＝95时，y最大．5．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为()A．2 B．6 C．8 D．【答案】A【解析】由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x)·70·eq\f(x,100)，令104·(100－10x)·70·eq\f(x,100)≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值为2.6．(2017届长春模拟)一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【答案】16【解析】当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，所以e－8b＝eq\f(1,2).容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min.7．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L(万元)与广告费x(万元)之间的函数解析式为L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))(x>0)，则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．【答案】4【解析】由题意，得L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))≤eq\f(51,2)－2eq\r(\f(x,2)·\f(8,x))＝eq\f(43,2)，当eq\f(x,2)＝eq\f(8,x)，即x＝4时取等号，即x＝4时，L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．8．如图所示，已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4m，CD＝6m．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，(1)设MP＝x，PN＝y(单位：m)，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．【解析】(1)如图，作PQ⊥AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.又△EPQ∽△EDF，所以eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，即eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2).所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．(2)设矩形BNPM的面积为Sm2，则S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．所以当x＝8m时，矩形BNPM的面积取得最大值，为[B级能力提升]9．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2≈0.3010，lgA．19 B．20 C．21 D．【答案】C【解析】操作次数为n时的浓度为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n＋1，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n＋1<10%，得n＋1>eq\f(－1,lg\f(9,10))＝eq\f(－1,2lg3－1)≈21.8，∴n≥21.10．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14【答案】A【解析】由三角形相似，得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)(24－y)，∴S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180.∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.11．某种病毒经30min繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5h,1个病毒能繁殖为________个．【答案】2ln21024【解析】当t＝0.5时，y＝2，∴2＝eeq\f(1,2)k.∴k＝2ln2.∴y＝e2tln2.当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.12．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按右表折扣分别累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤800，,5%x－800，800<x≤1300，,10%x－1300＋25，x>1300.))若y＝30元，则他购物实际所付金额为________元．【答案】1350【解析】若x＝1300元，则y＝5%(1300－800)＝25(元)<30(元)，因此x>1300.∴由10%(x－1300)＋25＝30，得x＝1350(元)．13．(2016年佛山一模)某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(k,x－8)＋50<x<6，,14x≥6，))已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.(1)求k的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．【解析】(1)由题意，可得L＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(k,x－8)＋2，0<x<6，,11－x，x≥6，))因为x＝2时，L＝3，所以3＝2×2＋eq\f(k,2－8)＋2，解得k＝18.(2)当0＜x＜6时，L＝2x＋eq\f(18,x－8)＋2，所以L＝2(x－8)＋eq\f(18,x－8)＋18＝－[2(8－x)＋eq\f(18,8－x)]＋18≤－2eq\r(28－x·\f(18,8－x))＋18＝6.当且仅当2(8－x)＝eq\f(18,8－x)，即x＝5时取得等号．当x≥6时，L＝11－x≤5.所以当x＝5时，L取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．14．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(g/L)随着时间x(min)变化的函数关系式近似为y＝k·f(x)，其中f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(24,8－x)－1，0≤x≤4，,7－\f(1,2)x，4<x≤14.))若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4g/L时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k个单位的洗衣液，当2min时水中洗衣液的浓度为3g/L，求k(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10min后再投放1个单位的洗衣液，则在第12min时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．【解析】(1)由题意知keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,8－2)－1))＝3，∴k＝1.(2)因为k＝4，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(96,8－x)－4，0≤x≤4，,28－2x，4<x≤14.))当0≤x≤4时，由eq\f(96,8－x)－4≥4，解得－4≤x<8，所以0≤x≤4.当4<x≤14时，