《高考备考指南 理科数学》课件-第7章 第4讲

第七章第4讲[A级基础达标]1．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则PB．由a1＝1，an＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【答案】B【解析】从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B．2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确【答案】C【解析】f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．3．(2016年西安八校联考)观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A．22项 B．23项 C．24项 D．25项【答案】C【解析】两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C．4．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P—ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝()A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,9) C．eq\f(1,64) D．eq\f(1,27)【答案】D【解析】正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).5．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1 B．2n C．eq\f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1【答案】C【解析】1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)个区域，选C．6．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2其中正确结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【解析】(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sinαsinβ不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝eq\f(\r(3),4)，故②错误．由向量的运算公式知③正确．7．观察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…照此规律，第五个不等式为________．【答案】1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6)【解析】观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).8．已知等差数列{an}中，有eq\f(a11＋a12＋…＋a20,10)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a30,30)，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：__________.【答案】eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30)【解析】由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20＝…＝b15b16，所以eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30).9．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).在四面体A—BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【解析】如图所示，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想，四面体A—BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).证明：如图，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，AC⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，∴AB⊥平面ACD．∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).[B级能力提升]10．已知：①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是()A．正方形的对角线相等 B．矩形的对角线相等C．正方形是矩形 D．其他【答案】A【解析】根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：…图1…图2他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289 B．1024 C．1225 D．1【答案】C【解析】观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.12．如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×eq\f(R＋r,2).所以，圆环的面积等于以线段AB＝R－r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×eq\f(R＋r,2)为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是()A．2πr2d B．2π2r2d C．2πrd2 D．2π2rd2【答案】B【解析】平面区域M的面积为πr2，由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底，以O为圆心、d为半径的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V＝πr2×2πd＝2π2r2d，选B．13．如图1，若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比eq\f(S△OM1N1,S△OM2N2)＝eq\f(OM1,OM2)·eq\f(ON1,ON2).如图2，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论为____________．图1图2【答案】eq\f(VO－P1Q1R1,VO－P2Q2R2)＝eq\f(OP1,OP2)·eq\f(OQ1,OQ2)·eq\f(OR1,OR2)【解析】考查类比推理问题，由图看出三棱锥P1－OR1Q1及三棱锥P2－OR2Q2的底面面积之比为eq\f(OQ1,OQ2)·eq\f(OR1,OR2)，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为eq\f(OP1,OP2)，故体积之比为eq\f(VO－P1Q1R1,VO－P2Q2R2)＝eq\f(OP1,OP2)·eq\f(OQ1,OQ2)·eq\f(OR1,OR2).14．给出下面的数表序列：表1表2表3113135…44812其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，计算表4各行中的数的平均数，写出一个规律，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．【解析】表4为13574812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解析】(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝eq\f(3,4).证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝sin2α