《高考备考指南 理科数学》课件-第8章 第1讲

第八章第1讲[A级基础达标]1．(2016年天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()【答案】B【解析】由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D－AD1C，棱CD1在左侧面的投影为BA1，故选2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A．eq\f(16,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．24π【答案】B【解析】设球的半径为R，则表面积是16π，即4πR2＝16π，解得R＝2.所以体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).3．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为()A．eq\f(20,3) B．eq\f(40,3)C．20 D．40【答案】B【解析】由几何体的三视图可知该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示．其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(1＋4)×4×4＝eq\f(40,3).4．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为()A．15π B．20πC．30π D．40π【答案】A【解析】依题意知几何体为底面半径为3，母线长为5的圆锥，所得几何体的侧面积等于π×3×5＝15π.5．(2016年潮州校级模拟)已知正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为3，则该正三棱锥的外接球的表面积为()A．eq\f(4π,3) B．4πC．eq\f(32π,3) D．16π【答案】C【解析】如图，∵正三棱锥A－BCD中，底面边长为3，侧棱长为2，BE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3＝eq\r(3)，∴高AE＝eq\r(AB2－BE2)＝1.由球心O到四个顶点的距离相等，在直角三角形BOE中，BO＝R，EO＝eq\r(OB2－BE2)＝1－R，由BO2＝BE2＋EO2，得R2＝3＋(1－R)2，R＝2，∴外接球的半径为2，表面积为4π·R2＝16π，故选D．6．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为______．【答案】16eq\r(2)【解析】由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝4，设平行四边形OABC的高为OE，则OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2).∴S▱OABC＝4×4eq\r(2)＝16eq\r(2).7．(2016年四川)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．【答案】eq\f(\r(3),3)【解析】由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\r(3)，棱锥的高为h＝1，∴棱锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),3).8．(2017年扶沟模拟)半球内有一内接正四棱锥，该正四棱锥的侧面积是4eq\r(3)，则该正四棱锥的体积为______．【答案】eq\f(4\r(2),3)【解析】如图，设球的半径为R，底面正方形的边长为x，则2x2＝(2R)2，解得x＝eq\r(2)R.∵S侧面积＝4×eq\f(1,2)×eq\r(2)R×eq\r(R2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,\r(2))))2)＝4eq\r(3)，解得R＝eq\r(2)，∴x＝2.∴该正四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×22×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3).9．一个几何体的三视图如图所示(单位长度为：cm)：(1)求该几何体的体积；(2)求该几何体的表面积．【解析】(1)由三视图知：几何体是正四棱锥与正方体的组合体，其中正方体的棱长为4，正四棱锥的高为2，∴几何体的体积V＝43＋eq\f(1,3)×42×2＝eq\f(224,3)(cm3)；(2)正四棱锥侧面上的斜高为2eq\r(2)，∴几何体的表面积S＝5×42＋4×eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝(80＋16eq\r(2))(cm2)．10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)：(1)该几何体是由哪些简单几何体组成的？(2)求该几何体的表面积和体积．【解析】(1)由三视图知几何体上面是圆锥，下面是长方体(或直四棱柱)；(2)由圆锥的高为3，底面圆的半径为1，得圆锥母线长eq\r(32＋1)＝eq\r(10)，长方体的长、宽、高分别为3,2,1，∴表面积S＝S圆锥侧＋S长方体－S锥底＝(eq\r(10)－1)π＋22(m2)，体积V＝eq\f(1,3)π×12×3＋3×2×1＝6＋π(m3)．[B级能力提升]11．若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为eq\f(1,2)，则该几何体的俯视图可以是()ABCD【答案】C【解析】若俯视图为A，则该几何体为正方体，其体积为1，不满足条件．若俯视图为B，则该几何体为圆柱，其体积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×1＝eq\f(π,4)，不满足条件．若俯视图为C，则该几何体为三棱柱，其体积为eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,2)，满足条件．若俯视图为D，则该几何体为圆柱的eq\f(1,4)，体积为eq\f(1,4)π×1＝eq\f(π,4)，不满足条件．12．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体最长的一条侧棱长度是()A．5cm B．eq\r(27)cmC．eq\r(29)cm D．eq\r(31)cm【答案】C【解析】由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为直角梯形，其直观图如图．PA＝2，AB＝2，CD＝4，AD＝3，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝5，在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(29).故选C．13．(2017年河东区模拟)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．9 B．10C．11 D．eq\f(23,2)【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为eq\f(1,2)×2×1＝1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥＝eq\f(1,3)×1×3＝1，所以V＝4×3－1＝11.故选C．14．(2016年洛阳二模)在正三棱锥S－ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2eq\r(2)，则正三棱锥S－ABC外接球表面积为()A．6π B．12πC．32π D．36π【答案】B【解析】如图，取AC的中点N，连接BN，SN.∵N为AC的中点，SA＝SC，∴AC⊥SN，同理AC⊥BN.∵SN∩BN＝N，∴AC⊥平面SBN.∵SB⊂平面SBN，∴AC⊥SB.∵SB⊥AM且AC∩AM＝A，∴SB⊥平面SAC⇒SB⊥SA且SB⊥AC.∵三棱锥S－ABC是正三棱锥，∴SA，SB，SC三条侧棱两两互相垂直．∵底面边长AB＝2eq\r(2)，∴侧棱SA＝2.∴正三棱锥S－ABC的外接球的直径为2R＝2eq\r(3)，外接球的半径为R＝eq\r(3).∴正三棱锥S－ABC的外接球的表面积是S＝4πR2＝12π，故选B．15．(2016年浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm2，体积是____cm3.【答案】7232【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，则其表面积为22×(24－6)＝72(cm2)，其体积为4×23＝32(cm3)．故答案为7216．若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为________．【答案】450eq\r(3)【解析】设棱柱的底面边长为a，高为h，则S侧＝6ah＝60h＝180，解得h＝3.S底＝eq\f(\r(3),4)×102×6＝150eq\r(3).∴正六棱柱的体积V＝S底h＝450eq\r(3).故答案为450eq\r(3).17．如图的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面