《高考备考指南 理科数学》课件-第7章 第6讲

不等式、推理与证明第七章第6讲数学归纳法【考纲导学】1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取_____________________时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．第一个值n0(n0∈N*)

n＝k＋12．数学归纳法的框图表示【答案】C【答案】C【答案】B5．(教材习题改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝__________，a4＝________，猜想an＝________.【答案】3

4

5

n＋11．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(

)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(

)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(

)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(

)(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(

)(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)√课堂考点突破2用数学归纳法证明等式【规律方法】用数学归纳法证明恒等式应注意：(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．【跟踪训练】1．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．【证明】(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，所以当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立．用数学归纳法证明不等式

(2016年潍坊模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0，且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；【规律方法】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题：(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明方法．【跟踪训练】2．设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N*，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．归纳—猜想—证明【考向分析】数学归纳法是高考的常考内容，此类问题经常是利用归纳—猜想—证明的思路进行解决，考查学生的归纳猜想及论证能力．常见的考向有：(1)与函数关系式有关的证明；(2)与数列通项公式、前n项和公式有关的证明；(3)存在性问题的证明．与函数关系式有关的证明与数列通项公式、前n项和公式有关的证明存在性问题的证明【规律方法】(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．课后感悟提升31种方法——寻找递推关系的方法(1)在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的．(2)探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置．(3)在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．3个注意点——运用数学归纳法应注意的三个问题(1)